基与维数的求法学习资料

基与维数的求法

线性空间基和维数的求法 （邓云斯、李秀珍、高华艳）

方法一(定义法):根据线性空间基和维数的定义求空间的基和维数,即：在线性空间V 中，如果有n 个向量n αα,,1Λ满足:(1)n ααα,2,1Λ线性无关；(2)V 中任一向量α总可以由n ααα,,21,Λ线性表示. 那么称V 为n 维（有限维）线性空间，

n 为V 的维数，记为dim v n =，并称n ααα,,2,1Λ为线性空间V 的一组基.如果

在V 中可以找到任意多个线性无关的向量，那么V 就成为无限维的.

例1 数域P 上全体形如0a a b ⎛⎫

⎪-⎝⎭的二阶方阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法

所组成的线性空间，求此空间的维数和一组基.

解 易证0100,1001⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭为线性空间0,a V a b p a b ⎧⎫⎛⎫=∈⎨⎬ ⎪

-⎝⎭⎩⎭

｜的一组线性无关的向量组，且对V 中任一元素0a a b ⎛⎫ ⎪-⎝⎭有00100+1001a a b a b ⎛⎫

⎛⎫⎛⎫=

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 按定义0100,1001⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

为V 的一组基，V 的维数为2.

方法二(维数确定基法):在已知线性空间的维数为n 时，任意n 个向量组成的线性无关向量组均作成线性空间的基.

例2 假定[]n R x 是一切次数小于n 的实系数多项式添上零多项式所形成的线性空间，证明：()()()2

1

1,1,1,,1n x x x ----L 构成[]n R x 的基.

证明 ()()

1

121110n n k k x k x -⋅+-++-=L

由1n x -的系数为0得0n k =，并代入上式可得2n x -的系数10n k -= 依此类推便有110n n k k k -====L ， 故()()

1

1,1,,1n x x ---L 线性无关

又[]n R x 的维数为n ,于是()()11,1,,1n x x ---L 为[]n

R x 的基.

方法三(利用同构求维数法):数域p 上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数.

例3 设0110A -⎛⎫

= ⎪⎝⎭，证明：由实数域上的矩阵A 的全体实系数多项式()f A 组

成的空间()0110V f A A ⎧-⎫

⎛⎫==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩

⎭｜与复数域C 作为实数域R 上的线性空间

{}',V a bi a b R =+∈｜同构，并求它们的维数.

证明 V 中任一多项式可记为()()=,,f A aE bA a b R +∈，建立'V 到V 的如下映射

()()11111111:,a bi f A a E b A a b R σα=+→=+∈

易证σ是'V 到V 上既是单射又是满射即一一映射. 再设222,a b i α=+ 22,,a b R K R ∈∈，则有

()()()()()()()121212121212a a b b i a a E b b A σαασσασα+=+++=+++=+⎡⎤⎣⎦

()()()111111k ka kbi ka E ka A k x σασσ=+=+=

故σ是'V 到V 的同构映射，所以V 到'V 同构 另外，易证'V 的一个基为1，i ，故'dim 2V =

'V V Q ;

dim 2V ∴=

方法四(求可逆矩阵确定基法)：设12,,,n αααL 与12,,,n βββL 是n 维线性空间V 中两组向量，已知12,,,n βββL 可由12,,,n αααL 线性表出：

11112121n n a a a βααα=+++L 21212222n n a a a βααα=+++L 1122n n n nn n a a a βααα=+++L

令1112121

2221

2n n n n nn a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

L L L

如果12,,,n αααL 为V 的一组基，那么当且仅当A 可逆时，12,,,n βββL 也是V 的一组基.

例4 已知231,,,x x x 是[]4p x 的一组基，证明()()2

3

1,1,1,1x x x +++也是[]4p x 的一组基. 证明 因为

23111000x x x =⋅+⋅+⋅+⋅ 23111100x x x x +=⋅+⋅+⋅+⋅

()2

23111210x x x x +=⋅+⋅+⋅+⋅ ()

3

23111331x x x x +=⋅+⋅+⋅+⋅

且1111

0123000120001

A =

≠

所以()()23

1,1,1,1x x x +++也为[]4p x 的一组基.

方法五(向量等价求基法):如果空间V 中一向量组与V 中一组基等价，则此向量组一定为此空间的一组基.

例5 设[]2R x 表示次数不超过2的一切实系数一元多项式添上零多项式所构成的线性空间的一组基，证明22,,1x x x x x +-+为这空间的一组基. 证明 ()()()2212310k x x k x x k x ++-++= 则121233

000k k k k k k +=

⎧⎪

-+=⎨⎪= ⎩

解得3210k k k ===

于是22,,1x x x x x +-+线性无关，它们皆可由2,,1x x 线性表示，因此

22,,1x x x x x +-+与2,,1x x 等价，从而[]2R x 中任意多项式皆可由22,,1x x x x x +-+线性表示，故22,,1x x x x x +-+为[]2R x 的基.

方法六（求两个子空间交集的基确定维数法）：对以一组向量1212,,,ααββ为列向量做成的矩阵施行行初等变换和列初等变换，不改变矩阵1212,,,ααββ间的线性关系.任何一个m n ⨯矩阵A ，总可以通过行初等变换和列变换化为标准阶梯

型矩阵：00r

I B ⎛⎫

⎪⎝⎭

，其中r I 表示r 阶单位矩阵.依据这两个定理，我们可以很方便地求出12V V I 的一个基，从而确定了维数.

例6 设()()112212,,,V L V L ααββ==是数域F 上四维线性空间的子空间，且

()()()()12121,2,1,0,1,1,1,1;2,1,0,1,1,1,3,7.ααββ==-=-=-求12V V I 的一个基与

维数.

解 若12r V V ∈I ，则存在1212,,,x x y y F --∈，使

11221122r x x y y ααββ=+=-- (1)

即有112211220x x y y ααββ+++= (2)

若1212,,,ααββ线性无关，（2）仅当2120x x y y ====时成立 那么12V V I 是零子空间，因而没有基，此时维数为0，12V V +是直和 若存在不全为零的数1212,,,x x y y 使（2）成立，则12V V I 有可能是非零子空间 若为非零子空间，由（1）便可得到基向量r .

以1212,,,ααββ为列向量作矩阵A ，经行初等变换将A 化为标准阶梯形矩阵A .

112110012111010411030013011700

00A A --⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪-- ⎪ ⎪

=−−−−→

= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

行初等变换