基与维数的几种求法复习过程

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子空间的交的基和维数求法

子空间的交的基和维数求法如果有两个子空间V1和V2，则它们的交子空间V3是满足以下条件的子空间：1.V3是V1的子空间。

2.V3是V2的子空间。

设V1和V2的基分别为{v1, v2, ..., vm}和{w1, w2, ..., wn}，则V3的基可以表示为{v1, v2, ..., vm}∩{w1, w2, ..., wn}。

要求V3的维数，可以使用以下方法：1.将V1和V2的基分别转化为矩阵的行矢量，构造出一个矩阵A。

2.使用线性代数中的高斯消元法求解线性方程组Ax=0，求出其自由元。

3.自由元的数量即为V3的维数。

例如，假设有两个子空间V1和V2，它们的基分别为{(1,2), (2,3)}和{(1,1), (2,2)}。

则V3的基为{(1,2), (2,2)}，V3的维数即为2。

注意，在求解线性方程组Ax=0时，需要注意矩阵A是否为奇异矩阵（即行列式为0），因为在这种情况下无法使用高斯消元法求解。

此时，可以使用其他的线性代数方法来求解线性方程组。

另外，在求解线性方程组Ax=0时，还可以使用线性代数中的矩阵分解方法，例如奇异值分解、QR分解等。

这些方法可以帮助我们在矩阵A为奇异矩阵的情况下，仍然能够求出自由元。

此外，还可以使用线性代数中的向量线性无关的概念来求解线性方程组Ax=0。

向量线性无关的定义是：若存在一组向量{v1, v2, ..., vm}，使得任意的向量v都可以表示为v=a1v1+a2v2+...+amvm的形式，则这个组合{v1, v2, ..., vm}为线性无关的向量组。

在求解线性方程组Ax=0时，如果A的列向量组{v1, v2, ..., vm}为线性无关的向量组，则Ax=0的解的数量就等于A的列向量的数量减去Ax=0的无穷解的数量。

例如，假设有线性方程组Ax=0，其中A是一个3*4的矩阵，则Ax=0的解的数量就等于4减去Ax=0的无穷解的数量。

综上所述，求解线性方程组Ax=0的方法有多种，可以根据实际情况选择合适的方法进行解决。

第二章3基与维数

1
例：设
1
1
,
0
2
2
1
,
3
3
3
1
,
2
5
0 7
,
验证1,2 ,3 是R3的基，并求向量在基1,2 ,3
下的坐标。
3
2.3.2、坐标变换公式
设V是n维线性空间.给了V的两组基
B (v1,…,vn )和B' (v1 ',…,vn ')
则有
p1 j
v
j
'
v1
p1
j
1
0
0
1'= 1，2'=
1
，
，
n
'=
0
1
1
1
构成Rn的另一组基B' (1 ',2 ', ,n ').
5ห้องสมุดไป่ตู้
从E到B的过渡矩阵为
1 0
0
1 1
0
1 1
1
6
命题:设矩阵P是基B到B’的过渡矩阵，则P可逆.
证明:P是基B到B’的过渡矩阵，故B’=BP. 又B’也是线性空间V的基，故有基B’到基B的过渡矩阵Q，满足B=B’Q. 于是B=B’Q=BPQ.即
1
,
1 ;
0 0 1
都是向量空间R3的基。
1 1 1
2
,
1
,
0
;
3 0 1
2
定义：设V是Rn 中的r 维子空间，1,2 , ,r 是V 的一个基，对任意的 V , 有
x1 1 x2 2 xr r
称 x1, x2 , , xr T 是向量在基 1,2, ,r 下的坐标。

求生成的子空间的基与维数

求生成的子空间的基与维数
假设已知一个向量空间V中的一组向量S，求出它所生成的子空间的基和维数是一个常见的问题。

首先，我们需要清楚什么是生成的子空间。

对于一个向量空间 V 和它的一个子集 S，S 所生成的子空间是由所有可以表示为 S 的线性组合的向量构成的空间。

也就是说，如果有向量 v 属于 S，那么任何 S 中所有向量的线性组合都属于 S 所生成的子空间。

接下来，我们可以使用高斯消元法来求出 S 所生成的子空间的一个基。

将 S 中的向量按列组成一个矩阵 A，然后对 A 进行高斯消元操作，将它化为简化行阶梯形矩阵 R。

S 所生成的子空间的一个基可以由 R 中的每一个非零行所对应的向量来得到。

如果 R 中有 k 个非零行，那么 S 所生成的子空间的维数就是 k。

需要注意的是，如果 S 中有线性相关的向量，那么它们所生成的子空间的维数就小于 S 中向量的个数。

因此，在求解生成的子空间的基和维数时，需要先对 S 进行线性无关性检查，排除线性相关的向量。

总之，求出一个向量空间中由一组向量生成的子空间的基和维数是一个基本的线性代数问题，可以通过高斯消元法和线性无关性检查来解决。

- 1 -。

多项式空间的基和维数

多项式空间的基和维数多项式空间的基和维数是高等数学中一个非常重要的概念，也是一种重要的数学工具，它在解决许多数学问题中起到了至关重要的作用。

在本文中，我们将详细讨论多项式空间的基和维数。

第一步：定义多项式空间多项式空间是指由多项式构成的向量空间，其中每一个多项式是由实数系数和有限多个变量构成，它们可以进行加法和数乘运算，并且满足向量空间的基本条件。

多项式空间是数学中常用的一个概念，它在许多领域中都得到了广泛的应用。

第二步：理解基的概念在数学中，基是指一个向量空间中的一组线性无关向量组成的集合，通过这些向量可以表示出向量空间中的任何向量。

在多项式空间中，基由一组多项式构成，可以表示出多项式空间中的任何多项式。

第三步：定义维数维数是指一个向量空间中所需要的最小基的个数，从而能够表示出该向量空间中的所有向量。

在多项式空间中，维数即为一组多项式的个数。

第四步：如何求多项式空间的基和维数在许多情况下，我们需要求出多项式空间的基和维数。

这可以通过以下步骤进行：1. 首先，我们需要确定多项式的最高次数，设其为n。

2. 接着，我们需要构造n+1个多项式，它们依次具有0次，1次，2次，……，n次的项，形式类似于1，x，x^2，……，x^n。

3. 我们需要检验这n+1个多项式是否构成了多项式空间的一组基。

为此，可以通过证明这n+1个多项式线性无关，即其中任意一组多项式不能表示成其他多项式的线性组合来实现。

4. 如果n+1个多项式确实构成了多项式空间的一组基，则该空间的维数为n+1，基即为这n+1个多项式。

第五步：多项式空间的应用多项式空间在数学中有着广泛的应用，比如在插值问题中，使用多项式空间可以通过已知的一些点来计算出未知的函数值。

另外，在数值计算及科学计算中，多项式空间也得到了广泛的应用。

总结多项式空间的基和维数是高等数学中非常重要的概念，它在解决许多数学问题中起到了至关重要的作用。

通过本文的阐述，我们能够更好地理解多项式空间的基和维数的定义及应用。

求基与维数的流程

求基与维数的流程
在数学，特别是线性代数中，“基”与“维数”的概念通常关联于向量空间：
1. 基（Basis）：在向量空间V中，一组线性无关的向量集合，且能通过线性组合生成整个向量空间，这样的集合称为V的一个基。

例如，在三维空间中，三个正交单位向量构成一个基。

2. 维数（Dimension）：向量空间的维数定义为构成该空间的一组基中所含向量的数量。

也就是说，如果一个基含有n个线性无关的向量，则相应向量空间的维数就是n。

流程概括：
- 确定向量空间V。

- 寻找一组线性无关的向量集合。

- 如果这组向量能够张成整个向量空间，那么它们就是一个基。

- 计算基中向量的数量，这个数量即为向量空间的维数。

基与维数的几种求法

基与维数的几种求法线性空间基和维数的求法方法一根据线性空间基和维数的定义求空间的基和维数,即：在线性空间v中，如果有n个向量α1,,αn满足用户:(1)α1,α2,αn线性无关。

(2)v中任一向量α总可以由α1,α2,,αn线性则表示。

那么称v为n维（有限维）线性空间，n为v的维数，记为dimv=n，并称α1,α2,,αn为线性空间v的一组基为。

如果在v中可以找到任意多个线性无关的向量，那么就成v为无限维的。

基准1设v=xax=0，a为数域p上m⨯n矩阵，x为数域p上n佩向量，谋v的维数和一组基为。

解设矩阵a的秩为r，则齐次线性方程组ax=0的任一基础解系都是v的基，且v的维数为n-r。

基准2数域p上全体形似对矩阵的乘法及数与矩阵的乘法所共同组成⎪的二阶方阵，-ab⎪⎪的线性空间，谋此空间的维数和一组基为。

⎪⎪0a⎪⎪⎪01⎪⎪00⎪为线性空间,v=｜a,b∈p⎪⎪的一组线性毫无关系的向⎪⎪⎪⎪-10⎪⎪01⎪⎪⎪-ab⎪⎪⎪0a⎪⎪0a⎪⎪01⎪⎪00⎪量组，且对v中任一元素⎪=a⎪+b⎪⎪有ab1001-ab⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪01⎪⎪00⎪⎪,⎪为v的一组基为，v的维数为2。

⎪10⎪⎪01⎪方法二在已知线性空间的维数为n时，任意n个向量组成的线性无关向量组均作成线性空间的基。

基准3假设r[x]n就是一切次数大于n的实系数多项式迎上零多项式所构成的线性空间，证明：1,(x-1),(x-1),,(x-1)构成r[x]n的基。

证明实地考察k1⋅1+k2(x-1)++kn(x-1)的系数为0得kn=0，并代入上式可得xn-2的系数kn-1=0依此类推便存有kn=kn-1==k1=0，故1,(x-1),,(x-1)又r[x]的维数为n,于是1,(x-1),,(x-1)为r[x]的基。

方法三利用定理：数域p上两个非常有限佩线性空间同构的充份必要条件就是它们存有相同的维数。

例4设a=⎪，证明：由实数域上的矩阵a的全体实系数多项式f(a)共同组成的空间v=⎪f(a)｜a=⎪⎪⎪0-1⎪⎪⎪⎪与复数域c作为实数域r上的线性空间10⎪⎪⎪v'={a+bi｜a,b∈r}同构，并非谋它们的维数。

基与维数的求法

线性空间基和维数的求法（邓云斯、李秀珍、高华艳）方法一(定义法):根据线性空间基和维数的定义求空间的基和维数,即：在线性空间V 中，如果有n 个向量n αα,,1 满足:(1)n ααα,2,1 线性无关；(2)V 中任一向量α总可以由n ααα,,21, 线性表示. 那么称V 为n 维（有限维）线性空间，n 为V 的维数，记为dim v n =，并称n ααα,,2,1 为线性空间V 的一组基.如果在V 中可以找到任意多个线性无关的向量，那么V 就成为无限维的. 例1 数域P 上全体形如0a a b ⎛⎫⎪-⎝⎭的二阶方阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法所组成的线性空间，求此空间的维数和一组基. 解易证0100,1001⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭为线性空间0,a V a b p a b ⎧⎫⎛⎫=∈⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭｜的一组线性无关的向量组，且对V 中任一元素0a a b ⎛⎫⎪-⎝⎭有00100+1001a a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 按定义0100,1001⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为V 的一组基，V 的维数为2. 方法二(维数确定基法):在已知线性空间的维数为n 时，任意n 个向量组成的线性无关向量组均作成线性空间的基.例2 假定[]n R x 是一切次数小于n 的实系数多项式添上零多项式所形成的线性空间，证明：()()()211,1,1,,1n x x x ----构成[]n R x 的基.证明 ()()1121110n n k k x k x -⋅+-++-=由1n x-的系数为0得0n k =，并代入上式可得2n x -的系数10n k -=依此类推便有110n n k k k -====，故()()11,1,,1n x x ---线性无关又[]nR x 的维数为n ,于是()()11,1,,1n x x ---为[]nR x 的基.方法三(利用同构求维数法):数域p 上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数. 例3 设0110A -⎛⎫=⎪⎝⎭，证明：由实数域上的矩阵A 的全体实系数多项式()f A 组成的空间()0110V f A A ⎧-⎫⎛⎫==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭｜与复数域C 作为实数域R 上的线性空间{}',V a bi a b R =+∈｜同构，并求它们的维数.证明 V 中任一多项式可记为()()=,,f A aE bA a b R +∈，建立'V 到V 的如下映射()()11111111:,a bi f A a E b A a b R σα=+→=+∈易证σ是'V 到V 上既是单射又是满射即一一映射. 再设222,a b i α=+ 22,,a b R K R ∈∈，则有()()()()()()()121212121212a a b b i a a E b b A σαασσασα+=+++=+++=+⎡⎤⎣⎦()()()111111k ka kbi ka E ka A k x σασσ=+=+=故σ是'V 到V 的同构映射，所以V 到'V 同构另外，易证'V 的一个基为1，i ，故'dim 2V ='VVdim 2V ∴=方法四(求可逆矩阵确定基法)：设12,,,n ααα与12,,,n βββ是n 维线性空间V 中两组向量，已知12,,,n βββ可由12,,,n ααα线性表出：11112121n n a a a βααα=+++ 21212222n n a a a βααα=+++ 1122n n n nn n a a a βααα=+++令111212122212n n n n nn a a a A a a a a a a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭如果12,,,n ααα为V 的一组基，那么当且仅当A 可逆时，12,,,n βββ也是V 的一组基.例4 已知231,,,x x x 是[]4p x 的一组基，证明()()231,1,1,1x x x +++也是[]4p x 的一组基.证明因为23111000x x x =⋅+⋅+⋅+⋅23111100x x x x +=⋅+⋅+⋅+⋅()223111210x x x x +=⋅+⋅+⋅+⋅ ()323111331x x x x +=⋅+⋅+⋅+⋅且11110123000120001A =≠ 所以()()231,1,1,1x x x +++也为[]4p x 的一组基.方法五(向量等价求基法):如果空间V 中一向量组与V 中一组基等价，则此向量组一定为此空间的一组基.例5 设[]2R x 表示次数不超过2的一切实系数一元多项式添上零多项式所构成的线性空间的一组基，证明22,,1x x x x x +-+为这空间的一组基.证明 ()()()2212310k x x k x x k x ++-++=则121233000k k k k k k +=⎧⎪-+=⎨⎪= ⎩解得3210k k k ===于是22,,1x x x x x +-+线性无关，它们皆可由2,,1x x 线性表示，因此22,,1x x x x x +-+与2,,1x x 等价，从而[]2R x 中任意多项式皆可由22,,1x x x x x +-+线性表示，故22,,1x x x x x +-+为[]2R x 的基.方法六（求两个子空间交集的基确定维数法）：对以一组向量1212,,,ααββ为列向量做成的矩阵施行行初等变换和列初等变换，不改变矩阵1212,,,ααββ间的线性关系.任何一个m n ⨯矩阵A ，总可以通过行初等变换和列变换化为标准阶梯型矩阵：00rI B ⎛⎫⎪⎝⎭，其中r I 表示r 阶单位矩阵.依据这两个定理，我们可以很方便地求出12V V 的一个基，从而确定了维数.例 6 设()()112212,,,V L V L ααββ==是数域F 上四维线性空间的子空间，且()()()()12121,2,1,0,1,1,1,1;2,1,0,1,1,1,3,7.ααββ==-=-=-求12V V 的一个基与维数. 解若12r V V ∈，则存在1212,,,x x y y F --∈，使11221122r x x y y ααββ=+=-- (1)即有112211220x x y y ααββ+++= (2)若1212,,,ααββ线性无关，（2）仅当2120x x y y ====时成立那么12V V 是零子空间，因而没有基，此时维数为0，12V V +是直和若存在不全为零的数1212,,,x x y y 使（2）成立，则12V V 有可能是非零子空间若为非零子空间，由（1）便可得到基向量r .以1212,,,ααββ为列向量作矩阵A ，经行初等变换将A 化为标准阶梯形矩阵A .112110121110104110300130117000A A --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪=−−−−→= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭行初等变换212143βααβ=-++()1212435,2,3,4r ααββ∴=-+=-+=-是12V V 的一个基 ()12dim 1V V =同时知，12,αα是1V 的一个基，1dim 2V =12,ββ是2V 的一个基，2dim 2V =1212,,,ααββ是12V V +的一个基，()()12dim =3V V A +=秩方法七(极大无关组确定基法):线性空间V 中任意一个向量α，都可以表示成V 中的一组线性无关向量组的线性组合，则这一组线性无关向量组就是V 的基. 例7 求112()V L αα=，与212()V L ββ=，的交的基和维数. 设12(1,2,1,0)(11,1,1)αα=⎧⎨=-⎩，，12(21,0,1)(11,3,7)ββ=-⎧⎨=-⎩，，解任取12V V α∈，则11122V x x αααα∈=+，，且21122V y y ααββ∈=+，，1122112x x y y αααββ=+=+（注：此时α虽然已表成一线性组合的形式，但它仅仅是在1V 、2V 中的表示，并非本题所求，即要在空间21V V 中将α线性表出）11221120x x y y ααββ∴+--=，求1212,,,x x y y121212121222122020300x x y y x x y y x x y x y y ---=⎧⎪+-+=⎪⎨+-=⎪⎪--=⎩ ７解得1212(,,,)(,4,3,)x x y y k k k k =--1212(4)(3)(5,2,3,4)k k k αααββ∴=-=-+=-故12V V 是一维的，基是(5,2,3,4)-易知(5,2,3,4)-是非零向量，是线性无关的.方法八（利用维数公式求子空间的基和维数法）：按维数公式求子空间的交与和的维数和基维数公式：如果1,2V V 是有限维线性空间V 的两个子空间，那么()()()()121212d i m d i m d i m d i m V V V V V V +=++例8 已知()()123,1,2,1,0,1,0,2αα=-=()()121,0,1,3,2,3,1,6ββ==--求由向量12,αα生成的4p 的子空间()112,V L αα=与向量1,2ββ生成的子空间()212,V L ββ=的交与和空间的维数的一组基.解因为()121212,,,V V L ααββ+=，对以1212,,,ααββ为列的矩阵施行行初等变换：30120000110311032011001112360003A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---- ⎪ ⎪=→= ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭秩A =秩3B =，所以12V V +的维数是3且1212,,,ααββ为极大线性无关组，故它们是12V V +的一组基.又由12,αα线性无关知1V 的维数为2，同理2V 的维数也为2，由维数公式知12V V 的维数为()2231+-=.从矩阵B 易知12122ββαα+=-,故()123,3,2,3ββ+=--是12,V V 公有的非零向量，所以它是交空间12V V 的一组基.方法九(替换定理法):由替换定理确定交空间的维数. 替换定理：设向量组12,,,r ααα线性无关，并且12,,,r ααα可由向量组12,,,s βββ线性表出，那么()1r s ≤()2必要时可适当对12,,,s βββ中的向量重新编号，使得用12,,,r ααα替换12,,,r βββ后所得到的向量组121,,,,,,r r s αααββ+与向量组12,,,s βββ等价.特别，当r s =时，向量组12,,,s ααα与向量组12,,,s βββ等价.例9 已知向量组()()()()12342,0,1,3,0,3,1,0,1,2,0,2,2,6,3,3,αααα====设它们是向量组1,23,βββ的线性组合，又设向量组12,,,m r r r 与向量组123,,βββ等价，试求12,,,m r r r 生成的空间的交空间的基和维数.解 2013041107010*********10120212021202263306200000----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭显然1234,,,αααα线性相关，123,,ααα线性无关由替换定理知123,,ααα与123,,βββ等价，进而知12,,,m r r r 与123,,ααα等价于是()12,,,m L r r r 维数为3，基为()123124,,;,,L αααααα维数为2，基为12,,αα因此，()()12412,,,,,m L L r r r ααα⊂故()124,,L ααα与()12,,,m L r r r 的交空间的基为12,,αα维数为2。

基与维数的几种求法

线性空间基和维数的求法方法一根据线性空间基和维数的定义求空间的基和维数,即：在线性空间V 中，如果有n 个向量n αα,,1 满足:(1)n ααα,2,1 线性无关。

(2)V 中任一向量α总可以由n ααα,,21, 线性表示。

那么称V 为n 维（有限维）线性空间，n 为V 的维数，记为dim v n =，并称n ααα,,2,1 为线性空间V 的一组基。

如果在V 中可以找到任意多个线性无关的向量，那么就成V 为无限维的。

例1 设{}0V X AX ==，A 为数域P 上m n ⨯矩阵，X 为数域P 上n 维向量，求V 的维数和一组基。

解设矩阵A 的秩为r ，则齐次线性方程组0AX =的任一基础解系都是V 的基，且V 的维数为n r -。

例2 数域P 上全体形如0a a b ⎛⎫⎪-⎝⎭的二阶方阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法所组成的线性空间，求此空间的维数和一组基。

解易证0100,1001⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭为线性空间0,a V a b p a b ⎧⎫⎛⎫=∈⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭｜的一组线性无关的向量组，且对V 中任一元素0a a b ⎛⎫ ⎪-⎝⎭有00100+1001a a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 按定义0100,1001⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为V 的一组基，V 的维数为2。

方法二在已知线性空间的维数为n 时，任意n 个向量组成的线性无关向量组均作成线性空间的基。

例3 假定[]n R x 是一切次数小于n 的实系数多项式添上零多项式所形成的线性空间，证明：()()()211,1,1,,1n x x x ----构成[]n R x 的基。

证明考察()()1121110n n k k x k x -⋅+-++-=由1n x-的系数为0得0n k =，并代入上式可得2n x -的系数10n k -=依此类推便有110n n k k k -====，故()()11,1,,1n x x ---线性无关又[]nR x 的维数为n ,于是()()11,1,,1n x x ---为[]nR x 的基。

基与维数的求法学习资料

基与维数的求法线性空间基和维数的求法（邓云斯、李秀珍、高华艳）方法一(定义法):根据线性空间基和维数的定义求空间的基和维数,即：在线性空间V 中，如果有n 个向量n αα,,1Λ满足:(1)n ααα,2,1Λ线性无关；(2)V 中任一向量α总可以由n ααα,,21,Λ线性表示. 那么称V 为n 维（有限维）线性空间，n 为V 的维数，记为dim v n =，并称n ααα,,2,1Λ为线性空间V 的一组基.如果在V 中可以找到任意多个线性无关的向量，那么V 就成为无限维的.例1 数域P 上全体形如0a a b ⎛⎫⎪-⎝⎭的二阶方阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法所组成的线性空间，求此空间的维数和一组基.解易证0100,1001⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭为线性空间0,a V a b p a b ⎧⎫⎛⎫=∈⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭｜的一组线性无关的向量组，且对V 中任一元素0a a b ⎛⎫ ⎪-⎝⎭有00100+1001a a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 按定义0100,1001⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为V 的一组基，V 的维数为2.方法二(维数确定基法):在已知线性空间的维数为n 时，任意n 个向量组成的线性无关向量组均作成线性空间的基.例2 假定[]n R x 是一切次数小于n 的实系数多项式添上零多项式所形成的线性空间，证明：()()()211,1,1,,1n x x x ----L 构成[]n R x 的基.证明 ()()1121110n n k k x k x -⋅+-++-=L由1n x -的系数为0得0n k =，并代入上式可得2n x -的系数10n k -= 依此类推便有110n n k k k -====L ，故()()11,1,,1n x x ---L 线性无关又[]n R x 的维数为n ,于是()()11,1,,1n x x ---L 为[]nR x 的基.方法三(利用同构求维数法):数域p 上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数.例3 设0110A -⎛⎫= ⎪⎝⎭，证明：由实数域上的矩阵A 的全体实系数多项式()f A 组成的空间()0110V f A A ⎧-⎫⎛⎫==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭｜与复数域C 作为实数域R 上的线性空间{}',V a bi a b R =+∈｜同构，并求它们的维数.证明 V 中任一多项式可记为()()=,,f A aE bA a b R +∈，建立'V 到V 的如下映射()()11111111:,a bi f A a E b A a b R σα=+→=+∈易证σ是'V 到V 上既是单射又是满射即一一映射. 再设222,a b i α=+ 22,,a b R K R ∈∈，则有()()()()()()()121212121212a a b b i a a E b b A σαασσασα+=+++=+++=+⎡⎤⎣⎦()()()111111k ka kbi ka E ka A k x σασσ=+=+=故σ是'V 到V 的同构映射，所以V 到'V 同构另外，易证'V 的一个基为1，i ，故'dim 2V ='V V Q ;dim 2V ∴=方法四(求可逆矩阵确定基法)：设12,,,n αααL 与12,,,n βββL 是n 维线性空间V 中两组向量，已知12,,,n βββL 可由12,,,n αααL 线性表出：11112121n n a a a βααα=+++L 21212222n n a a a βααα=+++L 1122n n n nn n a a a βααα=+++L令111212122212n n n n nn a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭L L L如果12,,,n αααL 为V 的一组基，那么当且仅当A 可逆时，12,,,n βββL 也是V 的一组基.例4 已知231,,,x x x 是[]4p x 的一组基，证明()()231,1,1,1x x x +++也是[]4p x 的一组基. 证明因为23111000x x x =⋅+⋅+⋅+⋅ 23111100x x x x +=⋅+⋅+⋅+⋅()223111210x x x x +=⋅+⋅+⋅+⋅ ()323111331x x x x +=⋅+⋅+⋅+⋅且11110123000120001A =≠所以()()231,1,1,1x x x +++也为[]4p x 的一组基.方法五(向量等价求基法):如果空间V 中一向量组与V 中一组基等价，则此向量组一定为此空间的一组基.例5 设[]2R x 表示次数不超过2的一切实系数一元多项式添上零多项式所构成的线性空间的一组基，证明22,,1x x x x x +-+为这空间的一组基. 证明 ()()()2212310k x x k x x k x ++-++= 则121233000k k k k k k +=⎧⎪-+=⎨⎪= ⎩解得3210k k k ===于是22,,1x x x x x +-+线性无关，它们皆可由2,,1x x 线性表示，因此22,,1x x x x x +-+与2,,1x x 等价，从而[]2R x 中任意多项式皆可由22,,1x x x x x +-+线性表示，故22,,1x x x x x +-+为[]2R x 的基.方法六（求两个子空间交集的基确定维数法）：对以一组向量1212,,,ααββ为列向量做成的矩阵施行行初等变换和列初等变换，不改变矩阵1212,,,ααββ间的线性关系.任何一个m n ⨯矩阵A ，总可以通过行初等变换和列变换化为标准阶梯型矩阵：00rI B ⎛⎫⎪⎝⎭，其中r I 表示r 阶单位矩阵.依据这两个定理，我们可以很方便地求出12V V I 的一个基，从而确定了维数.例6 设()()112212,,,V L V L ααββ==是数域F 上四维线性空间的子空间，且()()()()12121,2,1,0,1,1,1,1;2,1,0,1,1,1,3,7.ααββ==-=-=-求12V V I 的一个基与维数.解若12r V V ∈I ，则存在1212,,,x x y y F --∈，使11221122r x x y y ααββ=+=-- (1)即有112211220x x y y ααββ+++= (2)若1212,,,ααββ线性无关，（2）仅当2120x x y y ====时成立那么12V V I 是零子空间，因而没有基，此时维数为0，12V V +是直和若存在不全为零的数1212,,,x x y y 使（2）成立，则12V V I 有可能是非零子空间若为非零子空间，由（1）便可得到基向量r .以1212,,,ααββ为列向量作矩阵A ，经行初等变换将A 化为标准阶梯形矩阵A .11211001211101041103001301170000A A --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-- ⎪ ⎪=−−−−→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭行初等变换212143βααβ=-++()1212435,2,3,4r ααββ∴=-+=-+=-是12V V I 的一个基 ()12dim 1V V =I同时知，12,αα是1V 的一个基，1dim 2V =12,ββ是2V 的一个基，2dim 2V =1212,,,ααββ是12V V +的一个基，()()12dim =3V V A +=秩方法七(极大无关组确定基法):线性空间V 中任意一个向量α，都可以表示成V 中的一组线性无关向量组的线性组合，则这一组线性无关向量组就是V 的基. 例7 求112()V L αα=，与212()V L ββ=，的交的基和维数.设12(1,2,1,0)(11,1,1)αα=⎧⎨=-⎩，，12(21,0,1)(11,3,7)ββ=-⎧⎨=-⎩，，解任取12V V α∈I ，则11122V x x αααα∈=+，，且21122V y y ααββ∈=+，，1122112x x y y αααββ=+=+（注：此时α虽然已表成一线性组合的形式，但它仅仅是在1V 、2V 中的表示，并非本题所求，即要在空间21V V I 中将α线性表出）11221120x x y y ααββ∴+--=，求1212,,,x x y y121212121222122020300x x y y x x y y x x y x y y ---=⎧⎪+-+=⎪⎨+-=⎪⎪--=⎩ ７解得1212(,,,)(,4,3,)x x y y k k k k =--1212(4)(3)(5,2,3,4)k k k αααββ∴=-=-+=-故12V V I 是一维的，基是(5,2,3,4)- 易知(5,2,3,4)-是非零向量，是线性无关的.方法八（利用维数公式求子空间的基和维数法）：按维数公式求子空间的交与和的维数和基维数公式：如果1,2V V 是有限维线性空间V 的两个子空间，那么()()()()121212dim dim dim dim V V V V V V +=++I例8 已知()()123,1,2,1,0,1,0,2αα=-=()()121,0,1,3,2,3,1,6ββ==--求由向量12,αα生成的4p 的子空间()112,V L αα=与向量1,2ββ生成的子空间()212,V L ββ=的交与和空间的维数的一组基.解因为()121212,,,V V L ααββ+=，对以1212,,,ααββ为列的矩阵施行行初等变换：3012000110311032011001112360003A B ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪----⎪ ⎪=→= ⎪ ⎪- ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭秩A =秩3B =，所以12V V +的维数是3且1212,,,ααββ为极大线性无关组，故它们是12V V +的一组基.又由12,αα线性无关知1V 的维数为2，同理2V 的维数也为2，由维数公式知12V V I 的维数为()2231+-=.从矩阵B 易知12122ββαα+=-,故()123,3,2,3ββ+=--是12,V V 公有的非零向量，所以它是交空间12V V I 的一组基.方法九(替换定理法):由替换定理确定交空间的维数.替换定理：设向量组12,,,r αααL 线性无关，并且12,,,r αααL 可由向量组12,,,s βββL 线性表出，那么()1r s ≤()2必要时可适当对12,,,s βββL中的向量重新编号，使得用12,,,r αααL 替换12,,,r βββL 后所得到的向量组121,,,,,,r r s αααββ+L L 与向量组12,,,s βββL 等价.特别，当r s =时，向量组12,,,s αααL 与向量组12,,,s βββL 等价.例9 已知向量组()()()()12342,0,1,3,0,3,1,0,1,2,0,2,2,6,3,3,αααα====设它们是向量组1,23,βββ的线性组合，又设向量组12,,,m r r r L 与向量组123,,βββ等价，试求12,,,m r r r L 生成的空间的交空间的基和维数.解 201304110701031003100310120212021202263306200000----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭显然1234,,,αααα线性相关，123,,ααα线性无关由替换定理知123,,ααα与123,,βββ等价，进而知12,,,m r r r L 与123,,ααα等价于是()12,,,m L r r r L 维数为3，基为()123124,,;,,L αααααα维数为2，基为12,,αα 因此，()()12412,,,,,m L L r r r ααα⊂L故()124,,L ααα与()12,,,m L r r r L 的交空间的基为12,,αα维数为2。

向量空间的基与维数

设矩阵
例6
向量
解析几何
线性代数
既有大小又有方向的量
有次序的实数组成的数组
几何形象：可随意平行移动的有向线段
代数形象：向量的坐标表示式
坐标系
四、向量与向量空间
空间
解析几何
线性代数
点空间：点的集合
向量空间：向量的集合
坐标系
代数形象：向量空间中的平面
说明
2．维向量的集合是一个向量空间,记作 .
1．集合对于加法及乘数两种运算封闭指
一、向量空间的概念
定义1 设为维向量的集合，如果集合非空，且集合对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称集合为向量空间．
.
,
3
3
是一个向量空间
维向量的全体
R
例1
例2 判别下列集合是否为向量空间.
几何形象：空间直线、曲线、空间平面或曲面
一一对应
叫做维向量空间．
时，维向量没有直观的几何形象．
叫做维向量空间中的维超平面．
确定飞机的状态，需要以下6个参数：
飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)
机身的水平转角
机身的仰角
机翼的转角
所以，确定飞机的状态，需用6维向量
m
m
m
m
m
m
l
l
l
l
l
l
L
L
L
L
L
L
例5
定义2 设有向量空间及，若向量空间，就说是的子空间．
实例
设是由维向量所组成的向量空间，
二、子空间
那末，向量组就称为向量的一个

线性代数中的基与维数

线性代数中的基与维数线性代数是数学的一个分支，主要研究向量空间和线性映射的性质。

而在线性代数中，基与维数是两个重要的概念，它们扮演着关键的角色。

本文将详细讨论线性代数中的基与维数，并探讨它们的应用。

一、基与线性无关性在线性代数中，我们将向量空间中的一组向量称为基（basis），它们具有以下两个性质：1. 生成性：基中的向量可以通过线性组合生成向量空间中的任意向量。

2. 线性无关性：基中的向量不能通过线性组合得到零向量。

具体来说，设V是一个向量空间，若存在向量组B={v₁, v₂, ..., vₙ}满足以下两个条件，则称该向量组为V的基：1. 所有的向量v∈V都可以由B中的向量线性表出。

2. 如果B中的向量进行线性组合时等于零向量，那么必须其中的所有系数都等于零。

基的一个重要性质是线性无关性。

线性无关的向量组意味着每个向量都是独立的，不能由其他向量线性表示出来。

当一组向量线性无关时，它们的个数称为向量空间的维数。

二、维数的概念及性质在线性代数中，维数（dimension）是向量空间中独立向量的最大个数，记作dim(V)。

维数是衡量向量空间复杂程度的一个指标，它具有以下性质：1. 如果向量空间V中存在有限个向量使得它们线性无关，那么V的维数是有限的。

2. 如果在V中存在无穷多个向量，且它们线性无关，那么V的维数是无穷大。

3. 如果V的维数为n，那么V的任意一个基都包含n个向量。

4. 如果V的维数为n，那么V中的任意n+1个向量必然线性相关。

维数的计算方法也有一些常见的技巧。

对于有限维向量空间V而言，可以通过求解线性方程组的方法来求解维数。

另外，对于一些特殊的向量空间，也可以直接通过观察其内部的向量性质来确定维数。

三、基与维数的应用基与维数在线性代数中有广泛的应用，下面简要介绍几个常见的应用领域：1. 基变换与坐标系：在向量空间中，不同的基可以产生不同的坐标系，基变换就是在不同的基之间进行坐标的转换。

线性代数5.3 向量空间的基与维数

解.
非齐次线性方程组的通解= 齐次线性方程组的通解 + 非齐次线性方程组的特解
注非齐次线性方程组的两个解的和及一个解的倍数一般不再是该非齐次线性方程组的解.
思考题
（该例子可有助于对齐次和非齐次线性方程组解的结构的理解）
例子：设A是m 3矩阵,且RA 1.如果非齐次线性
方程组Ax b的三个解向量1 ,2 ,3满足
V2 x 1, x2 , , xn T x2 , , xn R
解若 1,a2, ,an T V2,
则2 2,2a2 , ,2an T V2 .
所以V2不是向量空间.
例4 设a,b为两个已知的n维向量，集合
V x a b , R
例6 设矩阵
2 2 1
1 4
A (a1 ,a2 ,a3 ) 2 1 2 , B (b1 ,b2 ) 0 3,
1 2 2
4 2
验证a1 ,a2 ,a3 ,是R3的一个基，并把b1 ,b2用这个基
线性表示.
2 2 1 1 4
2．n 维向量的集合是一个向量空间,记作Rn.
例1 3 维向量的全体R3 ,是一个向量空间.
因为任意两个3维向量之和仍然是3维向量, 数
乘3维向量仍然是3维向量，它们都属于R3 .
类似地，n维向量的全体Rn，也是一个向量空间.
例2 判别下列集合是否为向量空间.
V1 x 0, x2 , , xn T x2 , , xn R
证明 A A A 0 b b,
所以x 是方程 Ax b的解.
证毕．
非齐次线性方程组Ax=b的通解为
x k11 knrnr .

线性代数中的向量空间的基与维数计算与应用

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特征值分解（EVD）：用于主成分分析和图像处理
矩阵分解在推荐系统中的应用：通过分解用户-物品交互矩阵，推荐相关物品
数据降维案例
数据降维的背景：高维数据难以处理，需要降低维度以便分析
基与维数的概念：基是向量空间的一组线性无关的向量，维数是向量空间的秩，即基向量的个数
响，例如小波变换、中值滤波等。
THANKS
汇报人：XX
向量空间在解析几何、线性代数等领域中有着广泛的应用。
向量空间的基的定义
基是向量空间中线性无关的向量组
向量空间是由同维线性组合生成的向量集合
基的个数是向量空间的维数
基可以用来描述向量空间中的任意向量
基的个数与向量空间的维数的关系
基的个数必须等于向量空间
的维数
基的个数不能超过向量空间
的维数
06 基与维数的计算注意事项
Part One
单击添加章节标题
Part Two
向量空间与基的定义
向量空间的定义
向量空间是一个由向量构成的集合，满足加法和数乘封闭性、加法的结合律和交换律、数乘的结合律和分配律。
向量空间中的向量可以进行加法、数乘等运算，且满足一定的性质。
向量空间中的向量可以表示为坐标系中的点或矢量，具有方向和大小。
迭代法：利用迭代算法求解基
维数的计算方法
定义：基与维数是线性代数中描述向量空间的重要概念，维数等于向量空间的基中向量的个数。计算方法：通过求解线性方程组，可以得到向量空间的基，从而计算出维数。应用：维数的计算在解决实际问题中具有广泛的应用，如机器学习、图像处理等领域。注意事项：在计算维数时，需要注意线性相关性的问题，避免出现计算错误。

向量空间的基与维数定理

向量空间的基与维数定理一、基的定义与性质在向量空间中，基是指能够通过线性组合生成整个向量空间的一组向量。

具体来说，若向量空间V中的向量组{v1, v2, ..., vn}：1. 线性无关：任意一个向量vi都不能由其他向量的线性组合表示出来。

2. 生成性：任意一个向量v都可以表示成向量组{v1, v2, ..., vn}的线性组合。

二、基的存在性与维数定理对于任意一个向量空间V，都存在一组基。

而且，不同的基所含有的向量个数是相同的，称为这个向量空间的维数，记作dim(V)。

三、基的个数与维数之间的关系设V是一个有限维向量空间，则：1. 若V中存在有限个向量，它们组成了V的一组基，则称V是有限生成的；2. 若V是有限生成的，则V中的任何一组基所含有的向量个数都相同。

四、维数定理相关的证明与推论1. 维数定理的证明：设V为一个有限维向量空间，存在两个有限的基：{v1, v2, ..., vm} 和 {u1, u2, ..., un}。

首先，我们需要证明向量组{v1, v2, ..., vm}线性无关。

即对于任意一个向量的线性组合：a1v1 + a2v2 + ... + amvm = 0，若存在不全为零的系数a1, a2, ..., am，则上述方程成立，从而基{u1, u2, ..., un}中的向量也可以表示成{v1, v2, ..., vm}的线性组合，与其构成基的定义相矛盾，所以{v1, v2, ..., vm}是线性无关的。

其次，我们需要证明向量组{v1, v2, ..., vm}能生成整个向量空间V。

任意一个向量u都可以表示为基{u1, u2, ..., un}的线性组合：u = b1u1 + b2u2 + ... + bun，并且可以将基{u1, u2, ..., un}中的向量表示成基{v1, v2, ..., vm}的线性组合：ui = a1i v1 + a2i v2 + ... + ami vm，因此，u也可以表示成基{v1, v2, ..., vm}的线性组合：u = (b1a11 + b2a21 + ... + banan) v1 + (b1a12 + b2a22 + ... + banan) v2 + ... + (b1a1m + b2a2m + ... + banan) vm，即向量组{v1, v2, ..., vm}能够生成整个向量空间V。

线性空间维数与基的求法

线性空间维数与基的求法维数与基是线性空间V 的一个基本属性，它的确立对于我们认识线性空间有着很大的作用。

因为确定了维数和基以后n 线性空间V 上任意向量的坐标（即n 元数组）也就相应确定了，在学习了线性空间的同构的知识后会知道，任意n 维线性空间V 都与n P 同构，这样，我们可以通过n P 的性质来研究任意n 线性空间V 的性质。

同时对维数与基概念的把握也是我们后面学习线性空间的同构、线性变换、欧氏空间的基础。

但是，鉴于它是线性空间的一个基本概念，多数教科书对于该部分的处理往往是泛泛而谈，比如文献1250P 例3更是一笔带过，这对学生深入理解相关概念造成了一定的障碍。

虽然它的求法没有统一的方法，但却有着一致的要求，即要符合定义。

本文计划从以下两方面对维数与基的求法做进一步的归纳和总结，同时也是对《高等代数》250P 例3的补充说明，希望对初学者认识线性空间以及后续的学习有一定的帮助。

一、数域P 上的线性空间V ——数域P 的作用和角色凡是涉及数与空间中向量（取自集合V 中的元素）的乘积，即通常所说的数量乘法，其中的数都是取自数域P 。

例如：线性变换、同构定义中的第二条保持数量乘法，判别向量的线性相关性等这些问题都是依赖数域P 的。

同一线性空间V 指定数域的不同，通常对于我们的结果也会造成很大差别。

1.数域P 对线性空间V 的线性变换判别的影响例1：把复数域看作复数域上的线性空间，ξξ=A解：举反例如下，系数k 取自复数域i k =，)())(()(ai b bi a i k +-A =+A =A αai b --=，而ai b bi a i bi a i k +=-=+A =A )())(()(α，显然)()(ααA ≠A k k ，故变换A 不是线性的。

例2：把复数域看作实数域上的线性空间，ξξ=A解：系数k 取自实数域R k ∈，kbi ka kbi ka bi a k k -=+A =+A =A )())(()(α， kbi ka bi a k bi a k k -=-=+A =A )())(()(α，容易验证A 也保持向量的加法，故A 是线性的。

基与维数的几种求法

线性空间基和维数的求法方法一根据线性空间基和维数的定义求空间的基和维数，即：在线性空间V 中，如果有n 个向量宀，…n 满足:⑴1,2…，n 线性无关。

⑵V 中任一向量G 总可以由 S ,..0n线性表示。

那么称V 为n 维(有限维)线性空间，n 为V 的维数，记为dim V = n ,并称O∙ι,Ct 2,…，ct n 为线性空间V 的一组基。

如果在V 中可以找到任意多个线性无关的向量，那么就成V 为无限维的。

例1设V=IXAX=O?，A 为数域P 上m n 矩阵，X 为数域P 上n 维向量，求V 的维数和一组基。

解设矩阵A 的秩为r ,则齐次线性方程组 AX=O 的任一基础解系都是 V 的基，且V 的维数为n -r 。

[0 a例2数域P 上全体形如的二阶方阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法所组成'<-a b 」的线性空间，求此空间的维数和一组基。

方法二在已知线性空间的维数为 n 时，任意n 个向量组成的线性无关向量组均作成线性空间的基。

例3假定R IX I n 是一切次数小于n 的实系数多项式添上零多项式所形成的线性空间，证明：1,X -1 , X-1 2川|, X-1 n 4 构成 R IX ]n的基。

n证明考察 k 1+k 2(x -1)+IH+k n (x -1) =0由X n4的系数为0得k n =0 ,并代入上式可得X nJ 的系数k n ∕=0 依此类推便有k n = k n 4I = k 1= 0 ,a,b P 的一组线性无关的向量组，且对V 中任广O a有r0 a=a '0 1、 + b'0 O Ai —a b 」I a b 」J 0」<01‘0 1 ' ‘0 0'<1 0」' <0 1」V 的维数为2。

元素按定义为V 的一组基,故1,(x_1 )，HI,(x_1 )^ 线性无关n 1又RlX n的维数为n,于是I) x_1 ,川，x_1 为RlX(I的基。

基与维数的求法

例1数域P 上全体形解易证I a.bep\P 1、 (J 0, AO+h 为V 的一组基，V线性空间基和维数的求法（邓云斯、李秀珍、高华艳）方法一（定义法）:根据线性空间基和维数的走义求空间的基和维数，即：在线性空间V 中,如果有〃个向呈满足:⑴ms …，弘线性无关；（2）V 中任一向星a 总可以由 6,氏2,.久线性表示.那么称V 为n 维（有限维践性空间，"为V 的维数，记为dim v = n , 并称 qar ：%为线性空间V 的一组基•如果在V 中可以找到任意多个线性无关的向呈，那么V 就成为无限维的.的二阶方阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法所组成的线性空间r 求此空间的维数和一组基.方法二（维数确定基法）:在已知线性空间的维数为〃时，任意〃个向呈组成的线性无关向呈组均作成线性空间的基.例2假走/?[•{]”是一切次数小于〃的实系数多项式添上零多项式所形成的线性空间，证明： l,（x —l ）,（x —1）2，…,（x —1）' I 构成/?[虬的基.证明何•1 +他（牙一1） +・・・+兌（尤一1）"“ =0 由疋"的系数为0得心=0 ,并代入上式可得疋J 的系数k n _{ = 0 依此类推便有k“=kz=・.・ = k\=0 , 故1,（—1）,…，（―1厂线性无关组，且对V 中任一元素 0 b '0 1 、一 1 0按定义 r0>又川虬的维数为心于是1心一1),…心一1)2为乩吐的基方法三(利用同构求维数法):数域P上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数.(0 _1\例3设人= ,证明：由实数域上的矩阵A的全体实系数多项式/(A)组成的空间11 °丿f fo -1YV=y(A)\A=(与复数域C作为实数域/?上的线性空间I I】。

/V = {a+bi\ a.b w R}同构，并求它们的维数.证明V中任一多项式可记为f(A)=aE+bA,(abwR)，建立V到V的如下映射b：e =a A +Z?J—> /；(4) = «]£+/?[A wR)易证CT是/到V上既是单射又是满射即一一映射.再设弘=心+加，a^b. eR.K eR，则有■■■厶■b(y + a2) =+«2)4-(/?1+优"]=(® +a1)E+(b x 4-Z?2)A = <7(a1) + o-(6Z2)<T( toj) = b( ka、+ kbj) = ka{E+ka y A = kb(xj故cr是/到'/的同构映射，所以V到V同构另外，易证H的一个基为1 , / ,故dimV =2vV^V.•.dimV = 2方法四(求可逆矩阵确走基法)：设冬,勺,匕与卩、、・•••、卩“是"维线性空间V中两组向星，已知0],02，・-，0”可由少心，…“线性表出：A =如匕+佝勺+- + %心Pl =叱|+eg+••• + %"5令人=«21 如…d\Cl nl Cl n2 …a nn 7如果^，色，…，％为V 的一组基，另吆当且仅当A 可逆时，卩\、卩J …、卩"也是u 的一组基. 例4已知1,圮疋,_?是卩[虬的一组基，证明1,1 +兀(1 +龙)2,(1+刃'也是“[虬的一组基・证明因为l = ll + 0x+0x 2+0-x 3l + x = 1-1 + 1-x+O-x 2+0-x 3(l + x)~ = 1-1 + 2-x+l-x 2+0x 3(1 + X)3= 1 • 1 + 3 • A + 3 • x 2+1 • X 311110 0 0 1所以1,1 + X, (1 + ,(1 +町"也为P [x]4的一组基.方法五(向呈等价求基法):如果空间y 中一向量组与V 中一组基等价,则此向量组一走为此空间的一组基.例5设/?卜】2表示次数不超过2的一切实系数一元多项式添上零多项式所构成的线性空间的一组基，证明x 2+ x,疋一圮％ +1为这空间的一组基. 证明 k } (x 2+x)+k 2 (x 2一/)+他(兀+1) = 0 则 k l +k 2=0< « _ 他 + £3 = o&3=0解得他=鸟2=/=0于是V 2+ X, * - X, X + 1线性无关,它们皆可由%2, X, 1线性表示，因此A-2+ X, F - X, X+ 1与 x\x,\等价，从而R[X ]2中任意多项式皆可由x 2+x t x 2-x,x+\线性表示，故X2 + X,x2 -x,x + l 为[x],的基.方法六(求两个子空间交集的基确走维数法):对以一组向量a\、j、卩、、P"为列向呈做成的矩阵施行行初等变换和列初等变换，不改变矩阵卬,色，0，02间的线性关系•任何一个m x H(j B、矩阵A ,总可以通过行初等变换和列变换化为标准阶梯型矩阵：' ，其中表示邛介I。

二向量空间的基与维数

设 b1 = x11α1+x21α2+x31α3
b2 = x12α1+x22α2+x32α3 即
( b1,b2 )＝ (α1,α2,α3 )
x11
x21
x31
x12
x22
,
x32
记作 B = AX。
对矩阵（A|B）施行初等行变换，若 A 能变为 E，则
α1,α2,α3为R3的一个基，且当 A变成 E 时，B 变为X = A-1B.
1 c111 c212
2
c121
c22 2
n c1n1 c2n2
cn1n cn2n
cnnn
即(β1 , β2 ,… , βn ) = (α1 , α2 , … , αn )C. 称矩阵 C 为由基α1 , α2 , … , αn到基 β1 , β2 ,… , βn的过渡矩阵。其中Fra bibliotekx1
y2
C 1
x2
.
yn
xn
例7 已知R3的两组基分别为
a 0 0
A
: 1
1
,2
b
,3
0
,
1
1
c
1 y 1
B
:
1
1
,
2
1
,
3
z
,
x 1 1
且由基 α1,α2,α3到基 β1, β2, β3 的过渡矩阵为
1 1 1
C
0
0
1 2
2 0
,
求a、b、c、及x、y、z。
解由基变换公式
1 y 1 a 0 0 1 1 1
1
1
z
1
b