基与维数的几种求法

线性空间基和维数的求法

方法一 根据线性空间基和维数的定义求空间的基和维数,即：在线性空间V 中，如果有

n 个向量n αα,,1 满足:

(1)n ααα,2,1 线性无关。

(2)V 中任一向量α总可以由n ααα,,21, 线性表示。

那么称V 为n 维（有限维）线性空间，n 为V 的维数，记为dim v n =，并称

n ααα,,2,1 为线性空间V 的一组基。

如果在V 中可以找到任意多个线性无关的向量，那么就成V 为无限维的。

例1 设{}

0V X AX ==，A 为数域P 上m n ⨯矩阵，X 为数域P 上n 维向量，求V 的维数和一组基。

解 设矩阵A 的秩为r ，则齐次线性方程组0AX =的任一基础解系都是V 的基，且V 的维数为n r -。

例2 数域P 上全体形如0a a b ⎛⎫

⎪-⎝⎭

的二阶方阵，

对矩阵的加法及数与矩阵的乘法所组成的线性空间，求此空间的维数和一组基。

解 易证0100,1001⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪

-⎝⎭⎝⎭为线性空间0,a V a b p a b ⎧⎫⎛⎫=∈⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭

｜的一组线性无关的向量组，且对V 中任一元素0a a b ⎛⎫ ⎪-⎝⎭有00100+1001a a b a b ⎛⎫

⎛⎫⎛⎫=

⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭⎝⎭⎝⎭ 按定义0100,1001⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

为V 的一组基，V 的维数为2。

方法二 在已知线性空间的维数为n 时，任意n 个向量组成的线性无关向量组均作成线性空间的基。

例3 假定[]n R x 是一切次数小于n 的实系数多项式添上零多项式所形成的线性空间，证明：()()()

2

1

1,1,1,

,1n x x x ----构成[]n R x 的基。

证明 考察()()

1

121110n n k k x k x -⋅+-+

+-=

由1

n x

-的系数为0得0n k =，并代入上式可得2n x -的系数10n k -=

依此类推便有110n n k k k -====，

故()()

1

1,1,

,1n x x ---线性无关

又[]n

R x 的维数为n ,于是()()

1

1,1,

,1n x x ---为[]n

R x 的基。

方法三 利用定理：数域p 上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数。

例4 设0110A -⎛⎫

=

⎪⎝⎭

，证明：由实数域上的矩阵A 的全体实系数多项式()f A 组成的

空间()0110V f A A ⎧-⎫

⎛⎫==⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩

⎭｜与复数域C 作为实数域R 上的线性空间

{}'V a bi R =+∈｜a,b 同构，并非求它们的维数。

证明 V 中任一多项式可记为()()=,,f A aE bA a b R +∈，建立'

V 到V 的如下映射

()()11111111:,a bi f A a E b A a b R σα=+→=+∈

易证σ是'

V 到V 上的单射，满射即一一映射。 再设222,a b i α=+ 22,,a b R K R ∈∈，则有

()()()()()()()121212121212a a b b i a a E b b A σαασσασα+=+++=+++=+⎡⎤⎣⎦

()()()111111k ka kbi ka E ka A k x σασσ=+=+=

故σ是'

V 到V 的同构映射，所以V 到'

V 同构 另外，易证'

V 的一个基为1，i ，故'

dim 2V =

'V V

dim 2V ∴=

方法四 利用以下结论确定空间的基： 设12,,

,n ααα与12,,,n βββ是n 维线性空间V 中两组向量，已知12,,,n βββ可由

12,,,n ααα线性表出：

11112121n n a a a βααα=++

+

21212222n n a a a βααα=+++ 1122n n n nn n a a a βααα=++

+

令1112121

2221

2

n n n n nn a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

如果12,,,n ααα为V 的一组基，那么当且仅当A 可逆时，12,,

,n βββ也是V 的一

组基。

例5 已知2

3

1,,,x x x 是[]4p x 的一组基，证明()()23

1,1,1,1x x x +++也是[]4p x 的一

组基。

证明 因为

23111000x x x =⋅+⋅+⋅+⋅ 23111100x x x x +=⋅+⋅+⋅+⋅

()2

23111210x x x x +=⋅+⋅+⋅+⋅ ()

3

23111331x x x x +=⋅+⋅+⋅+⋅

且1111

0123000120001

A =

≠

所以()()23

1,1,1,1x x x +++也为[]4p x 的一组基。

方法五 如果空间V 中一向量组与V 中一组基等价，则此向量组一定为此空间的一组基。

例6 设[]2R x 表示次数不超过2的一切实系数一元多项式添上零多项式所构成的线性空间的一组基，证明2

2

,,1x x x x x +-+为这空间的一组基。

证明 ()()

()2

2

12310k x x k x x k x ++-++=

则1212330

00k k k k k k +=⎧

⎪

-+=⎨⎪=⎩