总结16种方法求极限
极限求法总结
极限求法总结极限是微积分中的一个重要概念，是研究函数变化趋势的基础。
在求解极限的过程中，我们常常会使用一些常用的技巧和方法。
下面我将对常见的极限求法进行总结，详细说明每种方法的步骤和应用场景。
一、直接代入法当函数在某个点有定义并且极限存在时，我们可以通过将变量直接代入函数中计算出极限的值。
例如，对于 f(x) = x^2 - 1，当 x -> 2 时，我们可以将 x 的值替换为 2，计算出 f(2) 的值。
这种方法适用于函数在该点有定义且不产生未定义结果的情况。
二、分子有理化法有些极限问题中，分子含有根式、分母含有分式等情况，为了便于计算，我们可以使用有理化方法。
主要有三种情况：有理化分母、有理化分子和有理化共轭。
1. 有理化分母：当分母中含有根式时，我们可以通过乘上分母的共轭形式，并利用差平方公式，将根式有理化为有理数。
例如，对于f(x) = 1/√x，当 x -> 4 时，我们可以乘上分母的共轭√x，得到f(x) = √x/√x^2，再利用 x^2 - a^2 = (x - a)(x + a) 的差平方公式，化简出分母为 (x - 4)。
接着我们可以直接代入计算。
2. 有理化分子：当分子中含有根式时，我们可以通过乘上分子的共轭形式，并利用和平方公式，将根式有理化为有理数。
例如，对于f(x) = √x + 1，当 x -> 2 时，我们可以乘上分子的共轭√x - 1，得到f(x) = (√x + 1)(√x - 1)/(√x - 1)，再利用 a^2 -b^2 = (a - b)(a + b) 的和平方公式，化简后得到 f(x) = (x - 1)/(√x - 1)。
接着我们可以直接代入计算。
3. 有理化共轭：当分式中含有复杂的分母，我们可以根据分母的共轭形式，将分式有理化为分子和分母之间关于负号的组合。
例如，对于 f(x) = 1/(x + 3)^2，当 x -> -3 时，我们可以将分子和分母都乘上 (x + 3)^2 的共轭 (-x - 3)^2，然后化简分子和分母。
高数中求极限的16种方法
高数中求极限的16种方法——好东西首先对极限的总结如下:极限的保号性很重要，就是说在一定区间内，函数的正负与极限一致一、极限分为一般极限，还有数列极限，（区别在于数列极限发散，是一般极限的一种）二、求极限的方法如下：1 .等价无穷小的转化，（一般只能在乘除时候使用，在加减时候用必须证明拆分后极限依然存在） e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。
全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小）2.罗比达法则（大题目有时候会有暗示,要你使用这个方法）首先他的使用有严格的使用前提，必须是 X趋近而不是N趋近！所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！必须是函数的导数要存在！必须是 0比0 无穷大比无穷大！当然还要注意分母不能为0注意：罗比达法则分为3种情况0比0，无穷比无穷的时候直接用；0乘以无穷，无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
通项之后这样就能变成1中的形式了；0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方;对于（指数幂数）方程,方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了,（这就是为什么只有3种形式的原因， LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候LNX趋近于0）3.泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余弦的加减的时候要特别注意！！！！）E的x展开，sina 展开，cos 展开，ln1+x展开，对题目简化有很好帮助4.面对无穷大比上无穷大形式的解决办法取大头原则，最大项除分子分母！！！！！！！！！！！5.无穷小于有界函数的处理办法面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。
面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了！！！6.夹逼定理（主要对付数列极限！）这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。
求极限的12种方法总结及例题
求极限的12种方法总结及例题求极限的12种方法总结及例题1. 引言在数学学习中，求极限是一个重要的概念，也是许多数学题解的基础。
在学习求极限的过程中，有许多不同的方法可以帮助我们理解和解决问题。
本文将总结12种方法，帮助我们更全面地理解求极限的概念，并提供相应的例题进行演示。
2. 利用极限的定义我们可以利用极限的定义来求解问题。
根据定义，当x趋向于a时，函数f(x)的极限为L，即对于任意的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε。
利用这个定义，可以求得一些简单的极限，如lim(x→0) sinx/x=1。
3. 利用夹逼准则夹逼准则是求极限常用的方法之一。
当我们无法直接求出某个函数的极限时，可以利用夹逼准则来找到该函数的极限值。
要求lim(x→0) xsin(1/x)的极限，可以通过夹逼准则来解决。
4. 利用极限的四则运算极限的四则运算法则是求解复杂函数极限的基本方法之一。
利用这个法则，我们可以将复杂的函数分解成简单的部分，再进行求解。
要求lim(x→0) (3x^2+2x-1)/(x+1)，可以利用极限的四则运算法则来求解。
5. 利用洛必达法则当我们遇到不定型的极限时，可以利用洛必达法则来求解。
洛必达法则可以帮助我们求出不定型极限的值，例如0/0、∞/∞、0*∞等形式。
通过洛必达法则，我们可以将求解不定型极限的过程转化为求解导数的问题，从而得到极限的值。
6. 利用泰勒展开泰勒展开是求解复杂函数极限的有效方法之一。
当我们遇到无法直接求解的函数极限时，可以利用泰勒展开将其转化为无穷级数的形式，然后再进行求解。
通过泰勒展开，我们可以将复杂函数近似为一个多项式，从而求得函数的极限值。
7. 利用换元法换元法是求解复杂函数极限的常用方法之一。
通过适当的变量替换，可以将复杂的函数转化为简单的形式，然后再进行求解。
对于lim(x→∞) (1+1/x)^x，可以通过换元法将其转化为e的极限形式来求解。
极限的求法总结
极限的求法总结引言：在数学中，极限是解决各种问题的关键方法之一，涉及到函数的趋势和趋近性质。
从初等数学到高等数学，极限概念与求法贯穿始终。
本文将总结几种常见的极限求法，旨在帮助读者更好地理解和应用极限概念。
一、代入法代入法是最常见也是最直观的一种极限求法。
当需要求一个函数f(x)在某一点a的极限时，我们可以尝试将x的值逐渐靠近a，观察f(x)的趋势。
若存在一个固定的实数L，使得当x趋近于a时，f(x)趋近于L，则称L为f(x)在点a的极限。
代入法适用于大多数简单的初等函数，例如多项式函数和三角函数。
二、夹逼法夹逼法是一种常用的极限求法，适用于一些特殊函数或复杂函数的极限。
它的思想是通过构造两个较为简单的函数，使得它们夹在待求函数的两侧。
具体步骤为：找到两个函数g(x)和h(x)，它们分别趋近于同一个极限L，且g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)。
如果满足这个条件，那么f(x)在点a的极限也是L。
夹逼法常用于计算无穷小量、复合函数和级数等问题。
三、洛必达法则洛必达法则是一种利用导数的性质来求极限的常用方法。
当使用代入法或夹逼法无法直接得到极限结果时，可以考虑使用洛必达法则。
该法则的关键思想是利用函数的导数与函数的极限之间的关系。
具体步骤为：对于函数f(x)和g(x)，如果当x趋近于某个实数a时，它们的极限都是0或无穷大，并且f'(x)和g'(x)都存在（其中f'(x)表示f(x)的导数），那么f(x)/g(x)的极限等于f'(x)/g'(x)。
洛必达法则常用于处理0/0型和∞/∞型的极限。
四、级数收敛法和发散法级数是数列的和。
在数学中，根据级数的性质，可以判断它的收敛与发散。
对于一个给定的级数，当其各项逐渐趋近于某个极限L（L可能是一个实数或无穷大）时，称该级数收敛于L。
反之，如果级数的和不会趋近于任何值，称该级数发散。
级数的收敛性与发散性在数学中具有广泛应用，特别是在实际问题中的数值分析和近似计算中。
16种求极限的方法
16种求极限的方法在微积分中，求极限是一项重要的技巧和方法，用于研究函数在其中一点或趋于其中一点时的行为。
求极限的方法有很多种，下面将介绍16种常见的求极限方法。
1.代入法：将待求极限中的变量替换成极限点处的值，如果代入后得到一个有界的数或者可数收敛，则该极限存在。
2.四则运算法则：利用加法、减法、乘法和除法的性质进行极限运算。
例如，如果两个函数的极限都存在，则它们的和、差、积以及商（除数非零）的极限均存在。
3.夹逼定理：如果两个函数在其中一点附近夹住一个函数，并且夹住的函数的极限存在，则被夹住的函数的极限也存在，并且等于夹住的函数的极限。
4.极限的唯一性：如果存在一个数L是函数f在其中一点的极限，那么该极限是唯一的。
5.极限的有界性：如果函数f在其中一点的极限存在，则函数f在该点附近必定有界。
反之，如果函数f在其中一点附近有界，那么该点处的极限必定存在。
6.无穷小量和无穷大量：无穷小量是指当自变量趋于其中一点时，函数值趋近于零的量，无穷大量是指当自变量趋于其中一点时，函数值趋近于无穷的量。
利用无穷小量和无穷大量的性质，可以简化极限的求解过程。
7. 根式求极限：使用L'Hopital法则来解决根式的极限问题，即将根式转化为分式，再求导数。
8.多项式求极限：将多项式的极限转化为无穷小量的极限，利用低阶无穷小量和高阶无穷小量的性质进行极限计算。
9.取对数法：将函数取对数后，利用对数的性质进行极限计算。
10.换元法：通过进行合适的变量替换，将待求极限转化为更容易求解的形式。
11.不等式运算法：通过使用不等式的性质，对函数进行合理的估计，从而求解极限。
12.导数法则：利用导数的性质，对函数进行极限计算。
例如，利用导数的定义和求导法则可以方便地求解一些函数的极限。
13.递推法：对于一些递归定义的数列或函数，可以通过递推法求解其极限。
14.泰勒展开法：利用函数对应点附近的泰勒展开式，将函数的极限转化为级数的极限，进而求解极限。
极限的求法总结
a xn
=
a 0 xn
a
即 {xn} 有下界， 由此得
xn+1 −
xn
=
1 2
(
xn
+
a xn
)
−
xn
=
a − xn2 2 xn
0
既
xn 单调下降，因此
lim
x→+
xn
存在。
（2）设
lim
x→+
xn
=
，由（1）
a 0
对递推公式两端取极限，得 = 1 ( + 2 ) 2
解得 = a （舍去负值），所以 = a.
=
a0
(
lim
x→x0
x)n
+
a1
(
lim
x→x0
x) n−1
++
an
= a0 x0n + a1 x0n−1 + + an = Pn (x0 ).
２
极限的求法总结
例3. lim x2 + 5x − 6 x→−1 3x2 + 2
商的法则(代入法)
方法总结： 多项式函数与分式函数(分母不为0)用 代入法求极限;
极限的求法总结
极限的求法总结
简介：求极限方法举例，列举21种 求极限的方法和相关问题
１
1.代入法求极限
极限的求法总结
例1.lim(x2 + x − 2) x→2
例2.设有多项式Pn (x) = a0 xn + a1xn−1 + ... + an ,
求
lim
x → x0
Pn
(
16种求极限方法及一般题型解题思路分享
16种求极限方法及一般题型解题思路分享求极限是微积分中的重要内容之一，常见于各种数学和工程科学中。
为了求出一个函数在某一点的极限，需要使用合适的方法。
下面介绍16种常用的求极限方法，以及一般题型解题思路。
一、直接代入法对于多项式函数和分式函数，可以直接将自变量代入函数表达式中计算极限。
例如，求函数 f(x) = 2x + 3 在 x = 1 处的极限，直接代入即可得到结果。
二、分解因式法对于分式函数，可以通过分解因式来简化计算，特别适用于分子和分母都是多项式的情况。
例如，求函数 f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1) 在 x = 1 处的极限，可以将分子进行因式分解，得到 f(x) = (x - 1)(x + 1)/(x - 1)，然后约去公因式，即可得到结果。
三、夹逼定理夹逼定理用于解决复杂函数在某一点处的极限问题。
如果一个函数在某一点附近被两个其他函数夹住，并且这两个函数的极限都存在且相等，那么原函数的极限也存在且等于这个相等的极限。
例如，对于函数 f(x) = x*sin(1/x)，当 x 趋近于 0 时，f(x) 被两个函数 g(x) = x 和 h(x) = -x 夹住，且 g(x) 和 h(x) 的极限都是 0，所以 f(x) 的极限也是 0。
四、变量代换法第1页/共5页对于一些特殊的函数，可以通过变量代换来简化计算。
例如，对于函数f(x) = sin(1/√x)，当 x 趋近于 0 时，可以将√x = t，那么 x = t^2，且当 x 趋近于 0 时，t 也趋近于 0，所以求 f(x) 在 x = 0 处的极限可以转化为求 g(t) = sin(1/t) 在 t = 0 处的极限。
五、洛必达法则洛必达法则是一种常用的求函数极限的方法，特别适用于形如 0/0 或∞/∞的不定式。
根据洛必达法则，如果一个不定式的分子和分母的极限都存在且为 0 或∞，那么可以分别对分子和分母求导后再次求极限，直到找到一个不是 0/0 或∞/∞的形式。
求极限的计算方法总结
求极限的计算方法总结在数学中，极限是一种重要的概念，用于描述一个函数或者数列在一些点或无穷远处的趋势。
计算极限是解决微积分、数学分析以及其他数学领域中问题的基础。
极限的计算方法种类繁多，以下是一些常见的极限计算方法的总结：1.代入法：直接将要计算的极限值代入函数中。
这个方法通常适用于简单的极限，例如多项式的极限。
2. 分子有理化法：对于含有根式的极限，可以通过有理化方法将分子有理化，从而更容易求得极限。
例如，对于极限lim(x->0)((sinx)/x)，可以通过将分子分母都乘以(conj(x))来有理化。
3. 倍角公式和和差化积公式：对于一些三角函数的极限，可以使用倍角公式或和差化积公式进行化简。
例如，对于极限lim(x->0)((sin2x)/(x^3))，可以使用倍角公式将分子化简为2*sin(x)*cos(x)，进而求得极限。
4. 指数函数和对数函数的性质：对于一些指数函数和对数函数的极限，可以利用它们的性质进行计算。
例如，对于极限lim(x->0)(e^x-1)/x，可以利用指数函数的性质e^0=1进行计算。
5. L'Hospital法则：L'Hospital法则是求解一些特定类型极限的强大工具。
该法则适用于极限形式为0/0或无穷/无穷的情况。
它的基本思想是将函数的求导转化为简化问题。
例如，对于极限lim(x->0)((sinx)/x)，可以使用L'Hospital法则将其转化为lim(x->0)(cosx)/1=16. 夹逼准则：夹逼准则适用于求解一些不能直接计算的极限，它的基本思想是找到两个函数夹住要计算的函数，并且这两个函数的极限相等。
然后可以利用夹逼准则得到要计算函数的极限。
例如，对于极限lim(x->0)(x*sin(1/x))，我们可以利用夹逼准则，将其夹逼在两个函数0和x之间，从而得到0。
7. 泰勒级数展开：对于一些复杂的函数，可以利用泰勒级数展开来近似求解极限。
高数中求极限的16种方法
高数中求极限的16种方法——好东西(from Lisa liu)来源：高婕Summer.G的日志高数中求极限的16种方法——好东西假如高等数学是棵树木得话，那么极限就是他的根，函数就是他的皮。
树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见这一章的重要性。
为什么第一章如此重要？各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。
函数的性质表现在各个方面首先对极限的总结如下极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致1 极限分为一般极限，还有个数列极限，（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种）2解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！！！你还能有补充么？？？）1 等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在）e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于A x 等等。
全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小）2 LHopital 法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！必须是 X趋近而不是N趋近！！！！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件（还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！）必须是函数的导数要存在！！！！！！！！（假如告诉你g（x）, 没告诉你是否可导，直接用无疑于找死！！）必须是 0比0 无穷大比无穷大！！！！！！！！！当然还要注意分母不能为0LHopital 法则分为3中情况1 0比0 无穷比无穷时候直接用2 0乘以无穷无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
通项之后这样就能变成1中的形式了3 0的0次方1的无穷次方无穷的0次方对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0）3泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意！！！！）E的x展开 sina 展开 cos 展开 ln1+x展开对题目简化有很好帮助4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法取大头原则最大项除分子分母！！！！！！！！！！！看上去复杂处理很简单！！！！！！！！！！5无穷小于有界函数的处理办法面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。
求极限的13种方法
求极限的13种方法（简叙）龘龖龍极限概念与求极限的运算贯穿了高等数学课程的始终，极限思想亦是高等数学的核心与基础，因此，全面掌握求极限的方法与技巧是高等数学的基本要求。
本篇较为全面地介绍了求数列极限与函数极限的各种方法，供同学参考。
一、利用恒等变形求极限利用恒等变形求极限是最基础的一种方法，但恒等变形灵活多变，令人难以琢磨。
常用的的恒等变形有：分式的分解、分子或分母有理化、三角函数的恒等变形、某些求和公式与求积公式的利用等。
例1、求极限 )1...()1)(1(22lim na a a n +++∞→ ，其中1<a分析 由于积的极限等于极限的积这一法则只对有限个因子成立，因此，应先对其进行恒等变形。
解 因为)1...()1)(1(22na a a +++ =)1...()1)(1)(1(1122na a a a a +++-- =)1...()1)(1(11222na a a a ++-- =)1(1112+--n a a当∞→n 时，,21∞→+n 而1<a ，故从而,012→+n a)1...()1)(1(22lim naa a n +++∞→=a-11 二、利用变量代换求极限利用变量代换求极限的主要目的是化简原表达式，从而减少运算量，提高运算效率。
常用的变量代换有倒代换、整体代换、三角代换等。
例2、求极限11lim 1--→nmx x x ，其中m,n 为正整数。
分析 这是含根式的（00）型未定式，应先将其利用变量代换进行化简，再进一步计算极限。
解 令11,1→→=t x x t mn时，则当原式=mnt t t t t t t t t t t t m m n n m m n n t m n t =++++++=+++-+++-=----------→→1...1...)1...)(1()1...)(1(lim 11lim 2121212111 三、利用对数转换求极限利用对数转换求极限主要是通过公式,ln v u v e u ⋅=进行恒等变形，特别的情形，在（∞1）型未定式时可直接运用v u v e u ⋅-=)1( 例3、求极限ox →lim xx 2csc )(cos解 原式=ox →lim 21sin sin 21lim csc )1(cos 2202---==→ee e xx xx x四、利用夹逼准则求极限利用夹逼准则求极限主要应用于表达式易于放缩的情形。
高等数学求极限的17种常用方法(附例题和详解)
(iii)
(iv)单调有界准则
（v）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）
（vi）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 存在的充分必要条件是：
二．解决极限的方法如下：
1.等价无穷小代换。只能在乘除时候使用。例题略。
2.洛必达（L’hospital）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）
它的使用有严格的使用前提。首先必须是X趋近，而不是N趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f（x）、g（x）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：
；
cos=
ln（1+x）=x-
(1+x) =
以上公式对题目简化有很好帮助
4.两多项式相除:设 ，
P（x）= ,
(i) （ii）若 ，则
5.无穷小与有界函数的处理办法。例题略。
面对复杂函数时候，尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了。
（i）“ ”“ ”时候直接用
(ii)“ ”“ ”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后，就能变成(i)中的形式了。即 ；
(iii)“ ”“ ”“ ”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即 ，这样就能把幂上的函数移下来了，变成“ ”型未定式。
3.泰勒公式(含有 的时候，含有正余弦的加减的时候）
例1已知A=｛x -2≤x<3｝，B=｛x -1<x≤5｝，求A B，A B
高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)
高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)高等数学中求极限是一项重要的数学技巧，它在数学分析、微积分和其他数学领域中都有广泛应用。
本文将介绍一些常用的求极限的方法，并给出相应的例题和详解。
一、直接代入法直接代入法是求极限的最基本方法之一。
当函数在某一点连续时，可以直接将该点代入函数中来求极限。
例题1：求函数f(x) = x^2在x=2处的极限。
解：直接将x=2代入函数中，得到f(2) = 2^2 = 4。
因此，f(x)在x=2处的极限为4。
二、夹逼法夹逼法（也称为夹挤准则）是求解一些复杂极限的常用方法。
它基于一个简单的想法：如果函数g(x)和h(x)在某一点p附近夹住函数f(x)，并且g(x)和h(x)的极限都相等，那么f(x)的极限也等于这个相等的极限。
例题2：求极限lim(x→∞) [(x+1)/x]。
解：我们可以用夹逼法来求解这个极限。
首先，我们可以注意到1 ≤ [(x+1)/x] ≤ [x/x] = 1（其中[x]表示取整函数）。
因此，我们可以将极限表达式两侧夹逼：lim(x→∞) 1 ≤ lim(x→∞) [(x+1)/x] ≤ lim(x→∞) 1。
根据夹逼准则，当lim(x→∞) 1 = 1时，极限lim(x→∞) [(x+1)/x]存在且等于1。
三、极限的四则运算法则在求解复杂函数的极限时，可以利用极限的四则运算法则。
该法则规定，如果函数f(x)和g(x)在某点p处的极限存在，则函数h(x) = f(x) ± g(x)、h'(x) = f(x) * g(x)、和h''(x) = f(x) / g(x)在点p的极限也存在，并满足相应的运算法则。
例题3：求极限lim(x→0) (sinx/x)。
解：我们可以利用极限的四则运算法则来求解这个极限。
首先，观察到当x→0时，分子sinx和分母x都趋向于0，因此这个极限是一个未定式。
根据极限的四则运算法则，我们可以将lim(x→0) (sinx/x)转化为lim(x→0) sinx / lim(x→0) x。
16个重要极限公式推导
16个重要极限公式推导《16个重要极限公式推导》在数学中，极限是一个重要的概念，它描述了函数在某一点上趋近于某个值的行为。
极限公式是一种常用的工具，可以帮助我们求解各种复杂的极限问题。
以下是16个重要的极限公式以及它们的推导过程。
1. 极限公式：$\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=1$推导过程：我们从单位圆的几何性质入手。
当$x$接近于0时，我们可以认为边长为$x$的小角度$x$是相似三角形中的等腰三角形。
根据单位圆上的弧长公式，我们有$\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x}=1$。
2. 极限公式：$\lim_{x\to \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e$推导过程：我们将极限转化为自然对数的形式，即$\lim_{x\to\infty}\ln\left(\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\right)$. 通过应用泰勒级数展开，我们可以得到$\ln\left(\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\right)=1-\frac{1}{2x}+O\left(\frac{1}{x^2}\right)$。
因为$\lim_{x\to \infty}\frac{1}{2x}=0$，所以$\lim_{x\to\infty}\ln\left(\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\right)=1$，即$\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e$。
3. 极限公式：$\lim_{x\to \infty}\left(1+\frac{a}{x}\right)^x=e^a$推导过程：类似于第2个公式的推导，我们可以得到$\lim_{x\to\infty}\ln\left(\left(1+\frac{a}{x}\right)^x\right)=a$。
2020考研高数求极限的16个方法及常考题型
2020考研高数求极限的16个方法及常考题型2017考研高数求极限的16个方法及常考题型极限可以说是高数的重点，是每年都必考的一个知识点，复习高数的时候，求极限大家一定要多理解多做题，下面总结了16类求极限的方法及一些常考察的题型，把它们掌握了，相信对于求极限的问题已经基本可以解决了。
解决极限的方法如下：1、等价无穷小的转化，(只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用,前提是必须证明拆分后极限依然存在,e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于Ax等等。
全部熟记(x趋近无穷的时候还原成无穷小)。
2、洛必达法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)。
首先他的使用有严格的使用前提!必须是X趋近而不是N趋近!(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件(还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存在!(假如告诉你g(x),没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死!!)必须是0比0无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0。
洛必达法则分为3种情况：0比0无穷比无穷时候直接用;0乘以无穷，无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
通项之后这样就能变成第一种的形式了;0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。
对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，(这就是为什么只有3种形式的原因，LNx 两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候，LNX趋近于0)。
3、泰勒公式(含有e的x次方的时候,尤其是含有正余弦的加减的时候要特变注意!)E的x展开sina，展开cosa,展开ln1+x,对题目简化有很好帮助。
4、面对无穷大比上无穷大形式的解决办法,取大头原则最大项除分子分母!!!看上去复杂,处理很简单!5、无穷小于有界函数的处理办法,面对复杂函数时候,尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候,一定要注意这个方法。
极限求法总结
极限的求法1、利用极限的定义求极限2、直接代入法求极限3、利用函数的连续性求极限4、利用单调有界原理求极限5、利用极限的四则运算性质求极限 6. 利用无穷小的性质求极限 7、无穷小量分出法求极限 8、消去零因子法求极限 9、 利用拆项法技巧求极限 10、换元法求极限11、利用夹逼准则求极限[3] 12、利用中值定理求极限 13、 利用罗必塔法则求极限 14、利用定积分求和式的极限 15、利用泰勒展开式求极限 16、分段函数的极限1、利用极限的定义求极限用定义法证明极限，必须有一先决条件，即事先得知道极限的猜测值A ，这种情况一般较困难推测出，只能对一些比较简单的数列或函数推测分析出极限值，然后再去用定义法去证明，在这个过程中，放缩法和含绝对值的不等式总是密切相连的。
例：()0lim x x f x A →=的ε-δ 定义是指：∀ε＞0， ∃δ=δ(0x ，ε)＞0，0＜|x-0x |＜δ⇒|f(x)-A|＜ε 为了求δ 可先对0x 的邻域半径适当限制， 如然后适当放大｜f(x)-A ｜≤φ(x) (必然保证φ(x)为无穷小)，此时往往要用含绝对值的不等式：｜x+a ｜=|(x-0x )+(0x +a)|≤|x-0x |+|0x +a|＜｜0x +a ｜+δ1 域|x+a|=|(x-0x )+(0x +a)|≥|0x +a|-|x-0x |＞|0x +a|-δ1 从φ(x)＜δ2，求出δ2后，取δ＝min(δ1，δ2)，当0＜|x-0x |＜δ 时，就有|f(x)-A|＜ε.例：设lim n n x a →∞=则有12 (i)nn x x x a n→∞++=.证明：因为lim n n x a →∞=,对110()N N εε∀>∃=，,当1n N >时，-2n x a ε∣∣<于是当1n N >时，1212......n n x x x x x x na a n n+++∣+++-∣∣-∣=0ε<<1其中112N A x a x a x =∣-∣+∣-∣+∣-α∣是一个定数,再由2A n ε<，解得2An ε>,故取12max ,A N N ε⎧⎫⎡⎤=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭12...+=22n x x x n N n εεε+++>-α<当时，。
求极限的方法与技巧
求极限的方法与技巧求极限是微积分中的基本问题，它在解决实际问题中起着关键作用。
在高等数学中，求极限的方法有多种。
下面将介绍一些常见的求极限的方法与技巧。
一、代入法：当极限中存在一些点，可以通过直接将该点代入函数中来求得极限。
二、化简法：当题目给出的函数比较复杂时，可以通过化简来求极限。
比如，利用封闭函数性质、基本运算法则等进行化简。
三、夹逼法：夹逼法也叫夹定理法，是一种常用的求极限方法。
其基本思想是给出两个函数，找到一个中间函数，使得中间函数的极限等于极限所求的值。
通过夹定理可得：若函数f(x)、g(x)、h(x)满足f(x)≤g(x)≤h(x)，当x趋于其中一值a时，f(x)和h(x)的极限都等于L，则g(x)的极限也等于L。
四、间断分解法：当函数在其中一点存在间断时，可以将函数分解开来，单独求解每一段函数的极限，然后再进行综合得出最后的极限。
五、无穷小量替换法：当给出的函数极限不好求解时，可以通过将其替换为一个相等的无穷小量来简化计算。
比如，将极限中的分子或分母替换为无穷小量，或者将函数替换为等价的无穷小量。
六、洛必达法则：洛必达法则是求解一些形如$\displaystyle\frac{0}{0}$ 或$\displaystyle\frac{\pm\infty }{\pm\infty }$型极限的常用方法。
其基本思想是将函数的极限转化为分数的形式，然后对分子和分母同时求导，最后将得到的导数值带入原函数中。
如果在求导之后依然得到一个$\displaystyle\frac{0}{0}$形式的极限，可以继续应用洛必达法则，直到得到非$\displaystyle\frac{0}{0}$形式的极限。
七、级数展开法：对于一些无穷级数的极限求解，可以通过级数展开来计算。
例如，利用泰勒级数展开，将函数展开成无穷级数的形式，然后利用级数的性质进行计算。
八、极限换元法：有时候对于一些较为复杂的函数，可以通过对变量进行换元简化问题。
极限的16种求法
极限的16种求法--献给还在为高数咬牙的孩子~来源：中珠GBT的日志假如高等数学是棵树木得话，那么极限就是他的根，函数就是他的皮。
树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见这一章的重要性。
为什么第一章如此重要？各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。
函数的性质表现在各个方面首先对极限的总结如下极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致1 极限分为一般极限，还有个数列极限，（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种）2解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！！！你还能有补充么？？？）1 等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在）e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。
全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小）2 LHopital 法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！必须是X趋近而不是N趋近！！！！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件（还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！）必须是函数的导数要存在！！！！！！！！（假如告诉你g（x）, 没告诉你是否可导，直接用无疑于找死！！）必须是0比0 无穷大比无穷大！！！！！！！！！当然还要注意分母不能为0LHopital 法则分为3中情况1 0比0 无穷比无穷时候直接用2 0乘以无穷无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
通项之后这样就能变成1中的形式了3 0的0次方1的无穷次方无穷的0次方对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候LNX趋近于0）3泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意！！！！）E的x展开sina 展开cos 展开ln1+x展开对题目简化有很好帮助4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法取大头原则最大项除分子分母！！！！！！！！！！！看上去复杂处理很简单！！！！！！！！！！5无穷小于有界函数的处理办法面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。
快速求解各类数学极限技巧(建议收藏)
快速求解各类数学极限技巧1．约去零因子求极限例1：求极限11lim 41--→x x x【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。
【解】6)1)(1(lim 1)1)(1)(1(lim2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限例2：求极限13lim 323+-∞→x x x x【说明】∞∞型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。
【解】3131lim 13lim 311323=+-=+-∞→∞→x xx x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方；(2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=<∞>=++++++----∞→nm b a n m n m b x b x b a x a x a n nm m m m n n n n x 0lim 011011ΛΛ 3．分子(母)有理化求极限例3：求极限)13(lim 22+-++∞→x x x【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。
【解】13)13)(13(lim)13(lim 22222222+++++++-+=+-++∞→+∞→x x x x x x x x x x0132lim22=+++=+∞→x x x例4：求极限3sin 1tan 1limxxx x +-+→【解】xx x xx x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim3030+-+-=+-+→→ 41sin tan lim 21sin tan limsin 1tan 11lim30300=-=-+++=→→→x x x x x x xx x x x 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键4．应用两个重要极限求极限两个重要极限是1sin lim 0=→xxx 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→10)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。
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首先对极限的总结如下
极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致
1 极限分为一般极限，还有个数列极限，（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种）
2解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！！！你还能有补充么？？？）
1 等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在）e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。
全部熟记
（x趋近无穷的时候还原成无穷小）
2落笔他法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）
首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！
必须是 X趋近而不是N趋近！！！！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x 趋近的一种情况而已，是必要条件
（还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！）
必须是函数的导数要存在！！！！！！！！（假如告诉你g（x）, 没告诉你是否可导，直接用无疑于找死！！）
必须是 0比0 无穷大比无穷大！！！！！！！！！
当然还要注意分母不能为0
落笔他法则分为3中情况
1 0比0 无穷比无穷时候直接用
2 0乘以无穷无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。
通项之后这样就能变成1中的形式了
3 0的0次方1的无穷次方无穷的0次方
对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0）
3泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意！！！！）
E的x展开 sina 展开 cos 展开 ln1+x展开
对题目简化有很好帮助
4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法
取大头原则最大项除分子分母！！！！！！！！！！！
看上去复杂处理很简单！！！！！！！！！！
5无穷小于有界函数的处理办法
面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。
面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了！！！
6夹逼定理（主要对付的是数列极限！）
这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。
7等比等差数列公式应用（对付数列极限）（q绝对值符号要小于1）
8各项的拆分相加（来消掉中间的大多数）（对付的还是数列极限）
可以使用待定系数法来拆分化简函数
9求左右求极限的方式（对付数列极限）例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下， xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化
10 2 个重要极限的应用。
这两个很重要！！！！！对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值。
地2个就如果x趋近无穷大无穷小都有对有对应的形式
（地2个实际上是用于函数是1的无穷的形式）（当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限）
11 还有个方法，非常方便的方法
就是当趋近于无穷大时候
不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！！！！！！！！！！！！！！！
x的x次方快于 x！快于指数函数快于幂数函数快于对数函数（画图也能看出速率的快慢） !!!!!!
当x趋近无穷的时候他们的比值的极限一眼就能看出来了
12 换元法是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元，但是换元会夹杂其中
13假如要算的话四则运算法则也算一种方法，当然也是夹杂其中的
14还有对付数列极限的一种方法，
就是当你面对题目实在是没有办法走投无路的时候可以考虑转化为定积分。
一般是从0到1的形式。
15单调有界的性质
对付递推数列时候使用证明单调性！！！！！！
16直接使用求导数的定义来求极限，
（一般都是x趋近于0时候，在分子上f（x加减麽个值）加减f（x）的形式，看见了有特别注意）
（当题目中告诉你F(0)=0时候 f（0）导数=0的时候就是暗示你一定要用导数定义！！！！）
函数是表皮
函数的性质也体现在积分微分中
例如他的奇偶性质他的周期性。
还有复合函数的性质
1奇偶性，奇函数关于原点对称偶函数关于轴对称偶函数左右2边的图形一样
（奇函数相加为0）
2周期性也可用在导数中在定积分中也有应用定积分中的函数是周期函数积分的周期和他的一致
3 复合函数之间是自变量与应变量互换的关系
4还有个单调性。
(再求0点的时候可能用到这个性质！）
（可以导的函数的单调性和他的导数正负相关）
:o 再就是总结一下间断点的问题（应为一般函数都是连续的所以间断点是对于间断函数而言的）
间断点分为第一类和第二类剪断点
1 第一类是左右极限都存在的（左右极限存在但是不等跳跃的的间断点或者左右极限存在相等但是不等于函数在这点的值可取的间断点
地二类间断点是震荡间断点或者是无穷极端点
（这也说明极限即是不存在也有可能是有界的）
:o 下面总结一下
求极限的一般题型
1 求分段函数的极限
当函数含有绝对值符号时，就很有可能是有分情况讨论的了！！！！！！！
当X趋近无穷时候存在e的x次方的时候，就要分情况讨论应为E的x次方的函数正负无穷的结果是不一样的！！！！！！！！
2 极限中含有变上下限的积分如何解决类？？？？
说白了就是说函数中现在含有积分符号，这么个符号在极限中太麻烦了你要想办法把它搞掉！！！！！！！！！！！！！！！解决办法：
1求导，边上下限积分求导，当然就能得到结果了这不是很容易么？
但是！！！！！有2个问题要注意！！！！
问题1 积分函数能否求导？题目没说积分可以导的话，直接求导的话是错误的！！！！
问题2 被积分函数中既含有T又含有x的情况下如何解决？？？？？？
解决1的方法：就是方法2 微分中值定理！！！！！！！！！！
微分中值定理是函数与积分的联系！更重要的是他能去掉积分符号！！！！！！
解决2的方法：当x与t的函数是相互乘的关系的话，把x看做常数提出来，再求导数！！！！！！
当x 与t是除的关系或者是加减的关系，就要换元了！！！！！！！！！（换元的时候积分上下限也要变化！！！！）
3求的是数列极限的问题时候
夹逼或者分项求和定积分都不可以的时候
就考虑x趋近的时候函数值，数列极限也满足这个极限的
当所求的极限是递推数列的时候
首先：判断数列极限存在极限的方法是用的单调有界的定理。
判断单调性不能用导数定义！！！应为是离散的只能用前后项的比较（前后项相除相减），数列极限是否有界可以使用归纳法最后对xn 与xn+1两边同时求极限，就能出结果了！！！！！！
4涉及到极限已经出来了让你求未知数和位置函数的问题
解决办法：主要还是运用等价无穷小或者是同阶无穷小。
应为例如当x趋近0时候 f（x）比x =3 的函数，分子必须是无穷小否则极限为无穷
还有落笔他法则的应用，主要是应为当未知数有几个时候，使用落笔他法则可以消掉模些未知数，求其他的未知数
5 极限数列涉及到的证明题，只知道是要构造新的函数但是不太会！！！！！！！！！！！！！！！！！！！
:o 最后总结一下间断点的题型
首先遇见间断点的问题连续性的问题复合函数的问题，在莫个点是否可导的问题。
主要解决办法是3 个一个是画图，你能画出反例来当然不可以了
你实在画不出反例，就有可能是对的，尤其是那些考概念的题目，难度不小，对我而言证明很难的！我就画图！！我要能画出来当然是对的，在这里就要很好的理解一阶导的性质 2阶导的性质，函数图形的凹凸性，函数单调性函数的奇偶性在图形中的反应！！！！！！！
（在这里尤其要注意分段函数！！！！！！！！！）（例如分段函数导数存在还相等但是却不连续这个性质就比较特殊！！！应为一般的函数都是连续的）
方法2 就是举出反例！（在这里也是尤其要注意分段函数！！！！！！！！！！）
例如一个函数是个离散函数还有个也是离散函数他们的复合函数是否一定是离散的类？？
答案是NO 举个反例就可以了
方法3 上面的都不行那就只好用定义了主要是写出公式，连续性的公式求在抹一点的导数的公式
:o 最后了
总结一下函数在抹一点是否可导的问题
1首先函数连续不一定可导，分段函数x绝对值函数在（0 ，0 ）不可导，我的理解就是：不可导=在这点上图形不光滑。
可导一定连续，应为他有个前提，在点的领域内有定义，假如没有这个前提，分段函数左右的导数也能相等
1 主要考点1
函数在抹一点可导，他的绝对值函数在这点是否可导？
解决办法：记住函数绝对值的导数等于 f（x）除以（绝对值（f（x）））再乘以F（x）的导数。
所以判断绝对值函数不可导点，首先判断函数等于0的点，找出这些点之后，这个导数并不是百分百不存在，原因很简单分母是无穷小，假如分子式无穷小的话，绝对值函数的导数依然存在啊，所以还要找出f（a）导数的值，不为0的时候，绝对值函数在这点的导数是无穷，所以绝对值函数在这些点上是不可导的啊
考点2
处处可导的函数与在抹一些点不可以导但是连续的函数相互乘的函数，这个函数的不可导点的判断
直接使用导数的定义就能证明，
我的理解是f（x）连续的话但是不可导，左右导数存在但是不等，左右导数实际上就是X趋近a的2个极限， f （x）乘以G（x）的函数在x趋近a的时候
f（x）在这点上的这2个极限乘以g（a），当g（a）等于0的时候，左右极限乘以0当然相等了，乘积的导数=f （a）导数乘以G(a) + G(a)导数乘以F（a），应为f（a）导数乘以G(a) =0，前面推出来了，所以乘积函数。