循环群

例 1 整数加群 Z {n | n Z} {,3,2,1,0,1,2,3,} 中，每 个元素都是 1 的倍数（因为此群是加法运算，所以用“倍数”这个 例1 整数加群中，每个元素都是的倍数（因为此 词） 。
群是加法运算，所以用“倍数”这个词）。事 事实上， 0 是 1 的零倍： 0 0 1 ；正数 m 是 1 的 m 的倍： 实上，是的零倍： m m 1，负数 m 是 1 的 m 倍: m (m) 1 。 ；正数是的的倍：，负数是的倍:。
这说明 a 5 也能生成 G ，即 : (a 5 ) {e, a, a 2 , a 3 , a 4 , a 5 } . 最后可断 言：上例中的生成元只有 a 和 a 5 。
那么为什么说，只有 a 和 a 5 是 6 阶循环群 G (a) 的生成元 呢？
因为 | a | 6 ，同时例中也验证了 | a 5 | 6 . 这就是说， (a 5 )
的。
由定义 1 可知，例 1 和例 2 都是循环群，并且按习惯记为
Z (1) 和 Z n ([1]) 。其中， 1 和 [1] 分别是 Z 和 Z n 的生成元。

我们仔细观察下面两对群，它们元素之间存在着对应关系：
定理 2
设 G (a) 是由生成元 a 生成的循环群。 如果 | a | ，
同的 (a i ) n 恰有 n 个，所以 (a i ) G (a) 。
思考 3
当 G (a) {a 0 , a1 , a 2 ,, a n1} . 除了 a 自然是 G 的
思考 3 当. 除了自然是的生成元之外，还有其余生成元 生成元之外，还有其余生成元吗？ 吗？ 解 为了讨论的方便，现假设 .这时， n 6 .这时， 解 为了讨论的方便，现假设 ， 0 1 2 3 4 5 G (a) 可以验证也是的生成元 : {a , a , a , a , a , a }， . 可以验证 a 5 也是 G 的生成元: 这说明也能生成，即:. 最后可断言：上例中的生成元只 有和。 e (a 5 ) 0 ; a 5 ; 那么为什么说，只有和是阶循环群的生成元呢？因为， 同时例中也验证了 . 这就是说，中也含有个元素 .与 5 2 10 4 5 3 15 3 5 4 20 2 5 5 25 (a ) a .. a ; ( a ) a a ; (a ) a a ; ( a ) a a . 的一样多 也是生成元，而其他元素的阶都不是，所 以它们都不能成为生成元。
那么 G Z . 如果 | a | n ，那么 G Z n 。
定理2 证明 设是由生成元生成的循环群。如果，那么 . 如果， (1)当时 | a | ，作 1 : G Z ,1 (a i ) i .由上述的对 那么。 应关系易知 , 1 是双射 . 而 证明 (1)当时，作 .由上述的对应关系易知 ,是双射.而 （2）当时，作,，由上述对应关系也易知,是双射 . 而且 i j i j . 即. 1 (a a ) 1 (a ) 1 (a ) G Z 注意 用代数同构观点，循环群只有两个：一个是整数加 群；一个是模的剩余类加群。 （2）当 | a | n 时，作 2 : G Z n , 2 (a i ) [i] ，由上述对应关系

(a i a j ) 2 (a i ) 2 (a j ) . 即 G Z n .
注意 用代数同构观点， 循环群只有两个： 一个是整数加群 Z ； 一个是模 n 的剩余类加群 Z n 。
3．循环群的生成元
（1）无限循环群的生成元 当时，自然是的生成元，但除了外 ,其实也是的生成元。即 3 2 1 2 3 当 G ( a ) { , a , a , a , e , a , a , a ,} 时， a 自然是 G 的 无限循环群中只有两个不同的生成元和。 证明 因为 1
一、循环群


研究一个对象可粗略地分为两种方法：一种方法是研究此 对象的内部关系，另一种是把此对象放在其它对象的相互 联系中去研究。当我们对一个群“孤立地”去研究时，掌 握这个群的一个好的生成元（生成元集）常是非常有帮助 的，循环群就是由一个生成元生成的一种特殊的群。循环 群是所有群中最简单的一种群。它的结构到目前为止是可 以完全刻划清楚的。 本讲中，我们要了解这类群的特点，从本质上领会“循环 群已经完全弄清楚了”的含义。先看下面的例子.
由 (*)和 (**)知, k
d
r 首先, (a ) (a
n d
dq2
) a q2n (a n ) q2 e q2 e .
n d
. 即 | a |
d
.
由性质 1 知，若 d 1 时，| a r | n ，这时 a r 就是 G 的生成元， 所以有 由性质 1知，若时，，这时就是的生成元，所以 有 性质 2 在 n 阶循环群 G (a) 中， a r 是生成元 (r, n) 1。 性质2 在阶循环群中，是生成元。 (n, r ) d . “ . 设 ” ，若 a r 是生成元 证明 证明 设. “ ” ，若是生成元 但由性质 1. | a r | n . 但 n n r “”也是生成元。 由性质 1 | a | , n d 1即(n, r ) 1 .
n r n dq1 , r dq2 这里 q1 , q 2 并且知 (q1 , q2 ) 1 (互质)。 d d
对于无限循环群 G (a) {, a 3 , a 2 , a 1 , e, a, a 2 , a 3 ,} ，我们自
首先, . n 若设 若设 其次，，这说明，但 | a r | k , k | . ( *) d . n r r k | k ，但 其次， ，这说明 ( a ) e n | rk ( | a | n ) 由和知,. 即. d d n r n 由性质1知，若时，，这时就是的生成元，所以 ( , ) 1 | k . (**) . d d d 有 n n r
中也含有 6 个元素. 与 G 的一样多. G (a 5 ) . a 5 也 是 生 成
元，而其他元素 a 2 , a 3 , a 4 , a 0 e 的阶都不是 6 ，所以它们都不能 成为生成元。


（3）寻找循环群的其他生成元的方法 上思考题告诫我们，寻找循环群的其他生成元的关键问 题是要确定其阶数。 于是元素的阶数问题自然很重要了. （4）循环群的一个性质 循环群一定是交换群。
证明 设 G (a), am , an G ,则 am an amn anm an am 。
4．循环群中元素的阶的性质
对于无限循环群，我们自然清楚其中每个元素的 然清楚其中每个元素 e 的阶都必是无限的（否则，便成为有限 阶都必是无限的（否则，便成为有限循环群 循环群了） 。 下面主要讨论 n 阶循环群 G (a) {e, a, a 2 ,, a n1} 了）。 下面主要讨论阶循环群 中的元素的阶 中的元素的阶的问题。 的问题。 性质 1 设 a r 是 n 阶循环群 G (a) 中任一个元， 若 d (n, r ) . 性质1 设是阶循环群中任一个元，若. 那么。 n r | a | 。 那么 因为是与的最大公因数。并且有这里并且 证明 d 知(互质 证明 )。 因为 d 是 n 与 r 的最大公因数 d | n且d | r 。并且有
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上课啦！
The class is begin!
循环群

课时安排 约2课时 教学内容 1．循环群的思想，理想在循环群结构中的主要的结果 （i）数量总数，(ii)构造问题，（iii）循环群的生成 元； 2．循环群的阶与生成元的阶的关系； 3．两类循环群的本质区别及各自的同构象； 4．循环群中元素之间的联系和性质；
思考 1
除 a 和 a 1 之外，
思考1 除和之外， 还有其它生成元吗？ 还有其它生成元吗？ 解 没有。否则， 如果 a i 也是一个生成元，(i 1) 于是必有 解 没有。否则， 如果也是一个生成元，于是必 1 有 a (a ) a ij 1. i . i Z . g . 2 求整数加群 Z 的所有生成元 和元素的阶。 思考2思考 求整数加群 Z的所有生成元 和元素的阶。 解 有且仅有两个元1和-1可以作为整数加群Z的 解 , 有且仅有两个元 1 和-1 可以作为整数加群 Z 的生成元, 生成元 且在Z中除零元外 ,每个元的阶都是无限 且在 Z 中除零元外,每个元的阶都是无限的。 的。

生成元，但除了 a 外, a 其实也是 G 的生成元。即无限循环群 G
中只有两个不同的生成元 a 和 a 1 。
) 3 , (a 1 ) 2 , (a 1 ) 1 , e, a 1 , a 2 , a 3 ,} {, a 3 , a 2 , a 1 , e, a, a 2 , a 3 ,} (a)

1．循环群的概念
设是一个 乘法()乘法 群,) 而中有一个元素，使中每个元 设G ( 是一个 群,而 G 中有一个元素 a ，使 G 中每个元素 素都的乘方 .G 即 .a那么称为循环群 .叫做的生成 m 都 a 的乘方 . 即 . a 叫做 G { | m Z} . 那么称 G 为循环群 元，习惯上记为. 也就是说，是由生成元生成 的生成元，习惯上记为 G (a) . 也就是说， G 是由生成元 a 生成 的。
例2 模 n 剩余类加群 Z n {[0],[1],[2],, [n 1]}中的运算是
“钟表加法” ，易知 Z n 中每个元素 [ m ] 都是 [1] 的倍数:
[m] [1] [1] [1] m [1]
m

上述两例都表明了同一个问题：群中有一个特殊的元素， 使群中每个元素都是这个特殊元素的倍数。（因为是加法 群，所以用倍数 . 如果是乘法群，则应是方幂）。于是， 下面有了循环群的定义（下面通常用乘法群为例）。
以 | a i || a | ； 反之，若 | a i || a | ，而 G (a) {a 0 , a1 , a 2 ,, a n1} ，
当 G (a) {a 0 , a1 , a 2 ,, a n1} 时 ， 有 a i 是 ( a ) 的 生 成 元
(a i ) n G (a), n N ，即有 (a i ) G (a) ，但由 | a i || a | 知，不
也易知, 2 是双射 . 而且
1 (a i a j ) 1 (a i j ) i j 1 (a i ) 2 (a j )
2 (ai a j ) 2 (ai j ) [i j] [i] [ j] 2 (ai ) 2 (a j )
i j ij
G (a) {, a 3 , a 2 , a 1 , e, a, a 2 , a 3 ,}
（2）有限循环群的生成元
当时，有是的生成元。 | a i || a | 。 证明 若是的生成元，则，而，所以；反之，若， 而，，即有，但由知，不同的恰有 n个，所以。 | (a) || a | ，所 证明 若 a i 是 ( a ) 的生成元，则 | (a) || a i | ，而