苏汝铿高等量子力学讲义共102页文档
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量子力学讲义1
量⼦⼒学讲义1第⼀章绪论前⾔⼀、量⼦⼒学的研究对象量⼦⼒学是现代物理学的理论基础之⼀，是研究微观粒⼦运动规律的科学。
量⼦⼒学的建⽴使⼈们对物质世界的认识从宏观层次跨进了微观层次。
综观量⼦⼒学发展史可谓是群星璀璨、光彩纷呈。
它不仅极⼤地推动了原⼦物理、原⼦核物理、光学、固体材料、化学等科学理论的发展，还引发了⼈们在哲学意义上的思考。
⼆、量⼦⼒学在物理学中的地位按照研究对象的尺⼨，物理学可分为宏观物理、微观物理和介观物理三⼤领域。
量⼦理论不仅可以正确解释微观、介观领域的物理现象，⽽且也可以正确解释宏观领域的物理现象，因为经典物理是量⼦理论在宏观下的近似。
因此，量⼦理论揭⽰了各种尺度下物理世界的运动规律。
三、量⼦⼒学产⽣的基础旧量⼦论诞⽣于1900年，量⼦⼒学诞⽣于1925年。
1．经典理论⼗九世纪末、⼆⼗世纪初，经典物理学已经发展到了相当完善的阶段，但在⼀些问题上经典物理学遇到了许多克服不了的困难，如⿊体辐射等。
2．旧量⼦论旧量⼦论= 经典理论+ 特殊假设（与经典理论⽭盾）旧量⼦论没有摆脱经典的束缚，⽆法从本质上揭露微观世界的规律，有很⼤局限性。
但旧量⼦论为量⼦⼒学理论的建⽴提供了线索，促进了量⼦⼒学的快速诞⽣。
四、量⼦⼒学的研究内容1．三个重要概念：波函数，算符，薛定格⽅程。
2．五个基本假设：波函数假设，算符假设，展开假定，薛定格⽅程，全同性原理。
五、量⼦⼒学的特征1．抛弃了经典的决定论思想，引⼊了概率波。
⼒学量可以不连续地取值，且不确定。
2．只有改变观念，才能真正认识到量⼦⼒学的本质。
它是⼈们的认识从决定论到概率论的⼀次巨⼤的飞跃。
六、量⼦⼒学的应⽤前景1．深⼊到诸多领域：本世纪的三⼤热门科学（⽣命科学、信息科学和材料科学）的深⼊发展都离不开它。
2．派⽣出了许多新的学科：量⼦场论、量⼦电动⼒学、量⼦电⼦学、量⼦光学、量⼦通信、量⼦化学等。
3．前沿应⽤：研制量⼦计算机已成为科学⼯作者的⽬标之⼀，⼈们期望它可以实现⼤规模的并⾏计算，并具有经典计算机⽆法⽐拟的处理信息的功能。
苏汝铿高等量子力学讲义(英文版)Chapter3 Relat汇总
E p ,1 c 2 p 2 m2c 4
E p ,1 c 2 p 2 m 2c 4
§3.3 solutions of the free particle
Oved
§3.3 solutions of the free particle
1) They must follow the relation
E 2 c2 p2 m2c4
2) Operator H must be Hermitian 3) Lorentz invariance
§3.2 Dirac equation
§3.2 Dirac equation
§3.2 Dirac equation
3 † † i i c k k mc 2 t x i 1
3 † † i i c k k mc 2 t i 1 x
3 † † i i c k k mc 2 t i 1 x
§3.2 Dirac equation
4 anti-commute matrices α and β 4×4 matrices
§3.2 Dirac equation
§3.2 Dirac equation
Conservation law of the probability flux
§3.2 Dirac equation
i ' imc imc * ' [ ' ( ') ' ( ')] 2 2mc t t '* ' *
2 2
§3.1 Klein – Gordon equation
【高考】物理竞赛量子力学部分课程小结ppt课件
课程总结
EPR佯谬：
粒子 II
粒子 I
粒子 II
粒子 I
课程总结
EPR佯谬： 对(I)作不同的测量，对(II)有不同的预言 • 无相互作用的分开(I)和(II) • Ψ(x1,x2)=ΣΨn(x2)un(x1) (0<t<T) • Ψ(x1,x2)=ΣΦs(x2)vs(x1) • 对(I)测A：{un(x1)}得ak，(II)的态必为Ψk(x2) • 对(I)测B：{vs(x1)}得bs，(II)的态必为Φs(x2)
课程总结
Von Neumann定理：(d>1) • 若<1>=1；<cA>=c<A>；若A非负，则
<A>≥0；<A+B+C+…>=<A>+<B>+<C>+… 则必存在<ΔD^2>≠0的可观测量D
课程总结
Gleason修正：(d>2，A,B,C对易算符) 天地人靈，難道是，隂陽互補兩昇騰？枉費暸，先賢門半世心，依舊是，白濛濛一天霧！
课程总结
课程总结
课程总结
课程总结
➢量子力学近年来的发展 • 更多的应用 • 量子纠缠和量子信息 • 量子计算 •…
课程总结
Gleason修正：(d>2，A,B,C对易算符) 定域隐变数理论及Bell不等式
欲知后事如何，且聽高等量子力学分解 Ψ(x1,x2)=ΣΦs(x2)vs(x1)
Ψ(x1,x2)=ΣΦs(x2)vs(x1) 算它“完備”又如何？想“測準”，終難定！ |Ψ>给出任何观测量的测量结果和几率分布 <A+B+C+…>=<A>+<B>+<C>+… 互补原理是个最普遍的原理 单粒子行为还是单粒子“系综”的行为？ Ψ(x1,x2)=ΣΦs(x2)vs(x1) 欲知后事如何，且聽高等量子力学分解 枉費暸，意懸懸半世心； 定域隐变数理论及Bell不等式 好一似，蕩悠悠三更夢。 生前心已碎，死后性空靈。 对(I)测B：{vs(x1)} 得bs，(II)的态必为Φs(x2)
量子力学讲义6-2(最新版)
r
x y z
ψ n lm (r , θ , ϕ ) —ψ 011 ,ψ 01−1 ,ψ 010
r
也可取为
ψ n n n —ψ 100 ,ψ 010 ,ψ 001
x y z
可以证明 ⎡ψ 011 ⎤ ⎡ −1/ 2 ⎢ψ ⎥ = ⎢1/ 2 ⎢ 01−1 ⎥ ⎢ ⎢ψ 010 ⎥ ⎢0 ⎣ ⎦ ⎢
⎣
l = N − 2nr = N , N − 2, N − 4, ,1( N 奇)或0( N 偶)
nr = 0,
1,
2,
N −1 N 或 , 2 2
(17) (18)
E 由此可证明， N 能级的简并度为
例如，N=偶数情况，(对N=奇数,证明类似)
1 f N = ∑ (2l + 1) = ( N + 1)( N + 2) 2 l = 0,2, , N
x y z x y z
1 1 1 Enx ny nz = (nx + ) ω + (n y + ) ω + (nz + ) ω 2 2 2 = ( N + 3 / 2) ω，
(21) 与(14)式相同。类似可求出能级简并度，因为 对于给定N，有 nx = 0, 1, 2, , N − 1, N , n y + nz = N , N − 1, N − 2, , 1, 0,
Rnr l (r ) ∼ r e
l −α 2 r 2 / 2
F (−nr , l + 3 / 2, α 2 r 2 ),
经归一化后，表为
Rnr l (r ) = α
l + 2 − nr 3/ 2
⎡2 (2l + 2nr + 1)!!⎤ ⎢ 2 ⎥ ⎣ π nr ![(2l + 1)!!] ⎦
x y z
ψ n lm (r , θ , ϕ ) —ψ 011 ,ψ 01−1 ,ψ 010
r
也可取为
ψ n n n —ψ 100 ,ψ 010 ,ψ 001
x y z
可以证明 ⎡ψ 011 ⎤ ⎡ −1/ 2 ⎢ψ ⎥ = ⎢1/ 2 ⎢ 01−1 ⎥ ⎢ ⎢ψ 010 ⎥ ⎢0 ⎣ ⎦ ⎢
⎣
l = N − 2nr = N , N − 2, N − 4, ,1( N 奇)或0( N 偶)
nr = 0,
1,
2,
N −1 N 或 , 2 2
(17) (18)
E 由此可证明， N 能级的简并度为
例如，N=偶数情况，(对N=奇数,证明类似)
1 f N = ∑ (2l + 1) = ( N + 1)( N + 2) 2 l = 0,2, , N
x y z x y z
1 1 1 Enx ny nz = (nx + ) ω + (n y + ) ω + (nz + ) ω 2 2 2 = ( N + 3 / 2) ω，
(21) 与(14)式相同。类似可求出能级简并度，因为 对于给定N，有 nx = 0, 1, 2, , N − 1, N , n y + nz = N , N − 1, N − 2, , 1, 0,
Rnr l (r ) ∼ r e
l −α 2 r 2 / 2
F (−nr , l + 3 / 2, α 2 r 2 ),
经归一化后，表为
Rnr l (r ) = α
l + 2 − nr 3/ 2
⎡2 (2l + 2nr + 1)!!⎤ ⎢ 2 ⎥ ⎣ π nr ![(2l + 1)!!] ⎦
量子力学答案(第二版)苏汝铿第五章课后答案5.4-5#3
(0) 2
b2 (0) E1(0) E2
b2 a (0) E2 E1(0)
(3) '
（ii）严格求解法： 这就是根据表象理论，分立表象中，本征方程可以书写成矩阵方程式形式，并可以求得本征 值和本征矢（用单列矩阵表示） 。 我们设算符 H（1）具有本征矢
C1 ，本征值是 ，列矩阵方程式： C2
E1(0) 解 : （i）取 H 0 0 0
'
0 E1(0) 0
0 0 (0) E2
（ 3）
0 a 0 0 b 则有： H H H 0 0 * * 0 b a
本题的微扰矩阵（3）是简并的波函数（零级）计算得来的，若像无简并微扰论那样计算二 级能量修正是可能的，但近似程度差，从（3）看出一级能量修正为零，准确到二级修正量 的能量本征值是：
1
, f n ,代入(1)式中,得
到与 En 相应的零级波函数的系数.从而给出零级波函数和能量本征值的一级修正,
0 0 n a n
En En En
0 1
考虑 的系数,讨论第 n 个能级.
2
当 m n 时,得到能级的二级修正 E
(5)
C1 C2 1
2
2
(6)
（5）式有 C1C2 非平凡解的条件是：
E1( 0) a b E
( 0) 2
b a
0
(0) ( E1( 0) a )( E 2 a ) b2 0 ( 0) (0) E ( 0) E 2 ( E1( 0) E 2 ) a 1 b2 2 2 2
0 0 1 2
b2 (0) E1(0) E2
b2 a (0) E2 E1(0)
(3) '
（ii）严格求解法： 这就是根据表象理论，分立表象中，本征方程可以书写成矩阵方程式形式，并可以求得本征 值和本征矢（用单列矩阵表示） 。 我们设算符 H（1）具有本征矢
C1 ，本征值是 ，列矩阵方程式： C2
E1(0) 解 : （i）取 H 0 0 0
'
0 E1(0) 0
0 0 (0) E2
（ 3）
0 a 0 0 b 则有： H H H 0 0 * * 0 b a
本题的微扰矩阵（3）是简并的波函数（零级）计算得来的，若像无简并微扰论那样计算二 级能量修正是可能的，但近似程度差，从（3）看出一级能量修正为零，准确到二级修正量 的能量本征值是：
1
, f n ,代入(1)式中,得
到与 En 相应的零级波函数的系数.从而给出零级波函数和能量本征值的一级修正,
0 0 n a n
En En En
0 1
考虑 的系数,讨论第 n 个能级.
2
当 m n 时,得到能级的二级修正 E
(5)
C1 C2 1
2
2
(6)
（5）式有 C1C2 非平凡解的条件是：
E1( 0) a b E
( 0) 2
b a
0
(0) ( E1( 0) a )( E 2 a ) b2 0 ( 0) (0) E ( 0) E 2 ( E1( 0) E 2 ) a 1 b2 2 2 2
0 0 1 2
苏汝铿高等量子力学讲义
§2.1 Second quantization
§2.1 Second quantization
§2.1 Second quantization
§2.1 Second quantization
Discussions The wave function is already symmetric nk is the particle number operator of k state
§2.4 Landau phase transition theory
§2.4 Landau phase transition theory
§2.4 Landau phase transition theory
§2.5 Superfluidity theory
Landau superfluidity theory New idea: elementary excitation
§2.4 Landau phase transition theory
§2.4 Landau phase transition theory
Landau theory Introducing “order parameter ”
p , T ,
§2.4 Landau phase transition theory
§2.4 Landau phase transition theory
Van Laue criticism Can 2nd order phase transition exist?
§2.4 Landau phase transition theory
§2.4 Landau phase transition theory
量子力学
辐射出射度
M (T ) M ( , T )d
0
吸收比 反射比
对于非透明物体
吸收能量 ( , T ) 入射总能量 反射能量 ( , T ) 入射总能量
( , T ) ( , T ) 1
基尔霍夫定律：
在热平衡下，任何物体的单色辐出度 与吸收比之比，是个普适函数。
学习网站
/netclass/course/vi ew1.php?id=6 /4-resources-1.htm /jpkc/lzlx
本章内容
§1.1 量子力学发展简史 §1.2 经典物理学的困难 §1.3 光的量子性小结 §1.4 玻尔的量子论 §1.5 微观粒子的波粒二象性
的概念，并解释了光电效应。 同年创立了狭义相对论。
1911年 1913年
E.Rutherfold 确定了原子核式结构 N.Bohr 提出了原子结构的量子化 理论（旧量子论）
1923年
pton散射证实了光子的基本 公式
E hp h/的正确性，并证实在微观碰撞过程 中能量守恒、动量守恒成立。 1924年 。 L.de Brö glie 提出了“物质波”思想
1 2 mV0 eK eU a 2
3.光电效应的瞬时性
光电子逸出的弛豫时间<10-9s
2. 经典理论的困难：
* 初动能 经典：认为光强越大，饱和电流应该越大，光电子的 初动能也越大。 实验：光电子的初动能仅与频率有关而与光强无关。 *截止频率（红限频率） 经典：任何频率的光均可产生光电效应 实验：只要频率高于红限，既使光强很弱也有光电流； 频率低于红限时，无论光强再大也没有光电流。 * 瞬时性 经典：认为光能量分布在波面上，吸收 能量要时间，即需能量的积累过程。
苏汝铿量子力学讲义 第三章 矩阵力学基础
不同力学量同时有确定值的条件
若[F, G] = 0 必有共同本征函数系 • 充要条件 • 有简并时可重新组合
§3.5 量子力学中力学量的测量值
• 注意： 如果F和G不对易，必无共同本征函数系，但不 排除在某些特殊态中测量时有确定值，例如
Lx和Ly不对易，但在 得到零 中测量Lx,Ly均
§3.5 量子力学中力学量的测量值
§3.3 厄米算符的本征值和本征函数
§3.3 厄米算符的本征值和本征函数
厄米算符的性质 • 厄米算符的平均值是实数(充分性)
§3.3 厄米算符的本征值和本征函数
• 厄米算符的平均值是实数(必要性)
§3.3 厄米算符的本征值和本征函数
• 厄米算符的平均值是实数(必要性)
§3.3 厄米算符的本征值和本征函数
§3.4 连续谱本征函数
线性厄米算符的本征函数示例
§3.4 连续谱本征函数
§3.4 连续谱本征函数
§3.4 连续谱本征函数
连续谱本征函数归一化 • 无穷空间：归delta函数，连续谱 • 箱归一化：引入周期性边界条件，分立谱
§3.4 连续谱本征函数
• 周期性边界条件
§3.4 连续谱本征函数
§3.6 不确定性原理
§3.6 不确定性原理
讨论： • 不确定性原理是波粒二象性的反映，与是否 测量无关 • 单缝衍射实验 • 零点能
§3.6 不确定性原理
§3.6 不确定性原理
§3.6 不确定性原理
§3.6 不确定性原理
• 角动量算符
§3.6 不确定性原理
• 互补原理及其哲学探讨
§3.7 力学量随时间的变化、守恒量 和运动积分
宇称算符P
• 直角坐标 x-x, y-y, z-z • 球坐标 r不变, θπ-θ, φ-φ • 宇称算符既是厄米的，又是么正的
若[F, G] = 0 必有共同本征函数系 • 充要条件 • 有简并时可重新组合
§3.5 量子力学中力学量的测量值
• 注意： 如果F和G不对易，必无共同本征函数系，但不 排除在某些特殊态中测量时有确定值，例如
Lx和Ly不对易，但在 得到零 中测量Lx,Ly均
§3.5 量子力学中力学量的测量值
§3.3 厄米算符的本征值和本征函数
§3.3 厄米算符的本征值和本征函数
厄米算符的性质 • 厄米算符的平均值是实数(充分性)
§3.3 厄米算符的本征值和本征函数
• 厄米算符的平均值是实数(必要性)
§3.3 厄米算符的本征值和本征函数
• 厄米算符的平均值是实数(必要性)
§3.3 厄米算符的本征值和本征函数
§3.4 连续谱本征函数
线性厄米算符的本征函数示例
§3.4 连续谱本征函数
§3.4 连续谱本征函数
§3.4 连续谱本征函数
连续谱本征函数归一化 • 无穷空间：归delta函数，连续谱 • 箱归一化：引入周期性边界条件，分立谱
§3.4 连续谱本征函数
• 周期性边界条件
§3.4 连续谱本征函数
§3.6 不确定性原理
§3.6 不确定性原理
讨论： • 不确定性原理是波粒二象性的反映，与是否 测量无关 • 单缝衍射实验 • 零点能
§3.6 不确定性原理
§3.6 不确定性原理
§3.6 不确定性原理
§3.6 不确定性原理
• 角动量算符
§3.6 不确定性原理
• 互补原理及其哲学探讨
§3.7 力学量随时间的变化、守恒量 和运动积分
宇称算符P
• 直角坐标 x-x, y-y, z-z • 球坐标 r不变, θπ-θ, φ-φ • 宇称算符既是厄米的，又是么正的
苏汝铿量子力学课后习题及答案
Exercises for the Course of Quantum Mechanics, 2007
ALL RIGHTS RESERVED, BY SHAO-YU YIN, YI LI, JIA ZHOU NOT FOR DISTRIBUTION
Prof.
Ru-Keng Su
Shaoyu Yin Jia Zhou & Yi Li Department of Physics, Fudan University, Shanghai 200433, China
2ikA ˜ 2ik−V ˜A V ˜ 2ik−V
(13)
(14)
(15)
= = 3
ik A, ik−mV /¯ h2 2 mV /¯ h A. ik−mV /¯ h2
(16)
So the transmission ratio is
ALL RIGHTS RESERVED, BY SHAO-YU YIN, YI LI, JIA ZHOU NOT FOR DISTRIBUTION
T =
h ¯ω p2 C (p, t) C (p, t)dp = =− 2m 4
∗
h ¯ 2 d2 ψ (x, t) ψ (x, t)dx. 2m dx2
∗
Or using the Virial theorem (QM book of Su, Chapter 3.8, P117 ), T = 1 dU 1 h ¯ω x = U = E = . 2 dx 2 4 (9)
1/3
1.41 ∗ 10−12 eV.
(23)
2.4. (QM book of Su, Ex.2.14.) The state of electron in Hydrogen atom is ψ = √1 3 e−r/a0 , where a0 is the Bohr radius. Try to find: (i) The expectation value of r.
ALL RIGHTS RESERVED, BY SHAO-YU YIN, YI LI, JIA ZHOU NOT FOR DISTRIBUTION
Prof.
Ru-Keng Su
Shaoyu Yin Jia Zhou & Yi Li Department of Physics, Fudan University, Shanghai 200433, China
2ikA ˜ 2ik−V ˜A V ˜ 2ik−V
(13)
(14)
(15)
= = 3
ik A, ik−mV /¯ h2 2 mV /¯ h A. ik−mV /¯ h2
(16)
So the transmission ratio is
ALL RIGHTS RESERVED, BY SHAO-YU YIN, YI LI, JIA ZHOU NOT FOR DISTRIBUTION
T =
h ¯ω p2 C (p, t) C (p, t)dp = =− 2m 4
∗
h ¯ 2 d2 ψ (x, t) ψ (x, t)dx. 2m dx2
∗
Or using the Virial theorem (QM book of Su, Chapter 3.8, P117 ), T = 1 dU 1 h ¯ω x = U = E = . 2 dx 2 4 (9)
1/3
1.41 ∗ 10−12 eV.
(23)
2.4. (QM book of Su, Ex.2.14.) The state of electron in Hydrogen atom is ψ = √1 3 e−r/a0 , where a0 is the Bohr radius. Try to find: (i) The expectation value of r.
苏汝铿高等量子力学讲义(英文版)Chapter4 Path Integral
§4.2 Path integral
§4.2 Path integral
§4.2 Path integral
Normalization factor
§4.2 Path integral
§4.2 Path integral
§4.3 Gauss integration
A type of functional integration which can easily be calculated
Chapter 4 Path Integral
§4.1 Classical action and the amplitude in Quantum Mechanics
Introduction: how to quantize? Wave mechanics h Schrödinger equ. Matrix mechanics h commutator Classical Poisson bracket Q. P. B. Path integral h wave function
§4.5 The canonical form of the path integral
§4.5 The canonical form of the path integral
§4.5 The canonical form of the path integral
§4.5 The canonical form of the path integral
§4.5 The canonical form of the path integral
§4.5 The canonical form of the path integral
苏汝铿量子力学答案1-8章
D
1.3 1030 rad 0.9 1030 rad
a2 ( k k0 )2 4
L
1.7 一个德布罗意波在 k 空间的表示 C (k )
2
a (2 )
1 4
e
求：
（ⅰ） ( x, t ) 和 ( x, t ) ，在时刻 t 这是否是个高斯波包？ （ⅱ）波包的宽度 x(t ) ；
e
dk
积分上式可得
( x, t ) e
i ( k0 ) t
1 4
1 i t
2
exp[
( x vg t ) 2 2 2(1 i 2t ) exp[
]eik0 x
则
( x, t )
2
1 2
( x vg t ) 2 2 1 2 4t 2
1 ( x ) dx A 2 x 2 e 2x dx
2 0
1 2 A 4 3
∴ A 2 3 / 2
( x) 23 / 2 xe 2x
( x) 0
c ( p, t ) ( 1 2
( x 0) ( x 0)
1 2
1 i[ kx vg ( k k0 ) ( k k0 )2 ] 2
dk
（3）
当
C (k )
e
4
a2 ( k k0 )2 4
代入（3）式可得：
( x, t )
ei ( k0 )t ( )
1 2
a (2 )
1 4
e
a2 1 ( k k0 )2 i[ kx vg ( k k0 ) ( k k0 )2 ] 4 2
Entanglement, Information and Multiparticle Quantum Operations
I. INTRODUCl information-theoretic properties of quantum systems are attributable to the existence of entanglement. Entanglement is responsible for the nonlocal correlations which can exist between spatially separated quantum systems, as is revealed by the violation of Bell’s inequality [1]. It also lies at the heart of several intriguing applications of quantum information, such as quantum teleportation [2], quantum computational speed-ups [3,4] and certain quantum cryptographic protocols [5]. The central position of entanglement in quantum information theory, and its usefulness in applications, has led to considerable efforts being devoted to finding a suitable measure of how much entanglement a quantum system contains. This problem has been solved completely for bipartite pure states [6], and the accepted measure
量子力学答案(第二版)苏汝铿第4章课后答案4.1-4#13
（4）代入（3）得
2
（4）
(E
p
p
Em )x pm 2
2m
将 p 换成 n 即为题中所要求证明的结论 ：
(E
n
n
Em )xnm 2
2
2m
ˆ ˆ ˆ iB ˆ 1 (U ˆ U ˆ ) i (U U ) A ˆ U ˆ 2 2i 4.4 设 U 为么正算符。
1
)3 e
i p r
i
p r
（2）对于
Lx 2
( Lx2 ) pp (
d 2 i p r 1 3 i p r ( ) e ( y pz z p y ) 2 e d 2 i p r 1 3 i p r ( ) e ( y pz z p y )( y pz z p y )e d 2 1 3 i p r ipr ) e ( y pz z p y )(i )( pz py )e d 2 p y pz Lx 2 e (i )( pz
即
ei 0
ei l m 0 n k
l m 1 0 0 i n k 0 1 e l m nei i n k le
kei me i
2
1
)3 e
i p r
i
p r
i p r 1 3 i p r py ) ) e ( y p z z p y )e d p y pz 2
( pz ( pz
2 1 3 i ( p p ) r py ) ( ) e d p y pz 2 2 py ) ( p p) p y pz
ˆ U ˆ † U ˆ U ˆ ˆ )† U ˆ (A ( ) A 2 2
2
（4）
(E
p
p
Em )x pm 2
2m
将 p 换成 n 即为题中所要求证明的结论 ：
(E
n
n
Em )xnm 2
2
2m
ˆ ˆ ˆ iB ˆ 1 (U ˆ U ˆ ) i (U U ) A ˆ U ˆ 2 2i 4.4 设 U 为么正算符。
1
)3 e
i p r
i
p r
（2）对于
Lx 2
( Lx2 ) pp (
d 2 i p r 1 3 i p r ( ) e ( y pz z p y ) 2 e d 2 i p r 1 3 i p r ( ) e ( y pz z p y )( y pz z p y )e d 2 1 3 i p r ipr ) e ( y pz z p y )(i )( pz py )e d 2 p y pz Lx 2 e (i )( pz
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i p r 1 3 i p r py ) ) e ( y p z z p y )e d p y pz 2
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2 1 3 i ( p p ) r py ) ( ) e d p y pz 2 2 py ) ( p p) p y pz
ˆ U ˆ † U ˆ U ˆ ˆ )† U ˆ (A ( ) A 2 2
复旦量子力学讲义第五章近似方法
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§5.3 变分法
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§5.3 变分法
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§5.3 变分法
• 变分法只给出基态能量的上限 • 优点：计算简单
缺点：无法估计误差大小 • 对激发态可采用逐步正交法，使变分波函数
与前面所有波函数正交 • 变分法可采用多个变分参数，亦可采用多个
变分波函数 • 例1：氦原子基态能量
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§5.4 含时微扰
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§5.4 含时微扰
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§5.4 含时微扰
➢两种极端情况： • 突发性微扰
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§5.4 含时微扰
➢两种极端情况： • 绝热近似
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§5.5 跃迁概率 Fermi黄金规则
➢对象：讨论在含时微扰作用下，体系状态 • 分立谱分立谱 • 分立谱连续谱 ➢常微扰： • 分立谱分立谱
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§5.2 简并定态微扰
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§5.2 简并定态微扰
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§5.2 简并定态微扰
➢说明： • 使简并子空间中微扰的矩阵元对角化
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§5.2 简并定态微扰
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§5.2 简并定态微扰
➢说明： • 例：氢原子的一级Stark效应
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§5.1 非简并定态微扰论
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§5.1 非简并定态微扰论
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§5.1 非简并定态微扰论
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§5.1 非简并定态微扰论