线性代数第四章练习题

7．若矩阵 A, B, C 满足 A = BC ，则（ C ）.
l = __3__.
解 由题意知必有 A = 0 [否则，A 可逆，有 R(AB)=R(B)=2，与已知条件 R(AB)=1 矛盾]。
1
1 0 -1
因此， A = 2 l 1 = 2l - 6 = 0 ，得 l = 3 。
1 2 1
三、计算题
可得 R ( A) = 2 .故 R ( A2 + 2 A) = R ( A( A + E )) = R ( A) = 2 .
5、 n 阶方阵 A 中有一个 r 阶子式不等于零，且有一个 r + 1 阶子式等于零， 则有（ B ） 。 （A）R ( A) < r （B）R ( A) ³ r （C）R ( A) = r （D）R ( A) = r + 1
(以上变换是调整未知参数的位置) 对上面的矩阵继续作初等行变换，有
A
2 l æ 1 2 -3 ö ÷ r ç 0 8 8 5 l ( l + 3 ) ç ÷ ç 0 0 0 m - 1 / 2 l ( 2l + 1)(l - 1) / 2 ÷ è ø
ì x1 + x2 + x3 + x4 = 1 ïx + l x + x + x = 1 ï 1 2 3 4 6．设线性方程组为： í ，试讨论下列问题： ï x1 + x2 + l x3 + x4 = 1 ï î x1 + x2 + x3 + (l - 1) x4 = 2
11．设 n 阶矩阵 A 与 n 维列向量 a ，若 R ç
æ A T èa
aö ÷ = R( A) ，则线性方程 0ø
æ a 1 1 ö æ x1 ö æ 1 ö ç ÷ç ÷ ç ÷ 7．设方程组 1 a 1 x2 = 1 有无穷多个解，则 a = ç ÷ç ÷ ç ÷ ç 1 1 a ÷ ç x ÷ ç -2 ÷ è øè 3 ø è ø
é3 0 1 ù ê ú 2 6．设 A 是 3 阶矩阵，已知 A + 2 E = 0 1 0 ，则 R ( A + 2 A) = 2 ê ú ê ë1 0 3ú û
解 因为 A + 2 E = 8 ¹ 0 ，所以 A + 2 E 为可逆矩阵.又
é1 0 1 ù ú A = A + 2E - 2E = ê ê0 -1 0 ú ê ë1 0 1 ú û
4．设 n 阶矩阵 A 与 B 等价，则必有（ D ）. （A）当 A = a (a ¹ 0) 时， B = a （C）当 A ¹ 0 时， B = 0 （B）当 A = a (a ¹ 0) 时， B = - a （D）当 A = 0 时， B = 0
解 因为 A = 1 - a ，又 AB = 0 ，且 B ¹ 0 故 A = 0 即 a = 1 或 -1 ，在四个备选答案中只能选择 C 和 D 再考虑到 a = 1 时，显然 A ¹ 0 ，若 B ¹ 0 ，则 AB ¹ 0 ，所以 B = 0 ，故 选 C. 10． 若非齐次线性方程组 Ax = b 中方程个数少于未知数个数， 那么( B ). (A) Ax = b 必有无穷多解； (C) Ax = 0 仅有零解； (B) Ax = 0 必有非零解； (D) Ax = 0 一定无解.
é1 êa ê 5．设矩阵 A = ê a ê êM ê ëa
2 .
ìax1 + x2 + a 2 x3 = 0 ï 9． 方程组 í x1 + ax2 + x3 = 0 的系数矩阵记为 A ， 若存在 3 阶非零矩阵 B ， ï x + x + ax = 0 2 3 î 1
使 AB = 0 ，则( C ). (B) a = -2 且 B ¹ 0 (D) a = 1 且 B ¹ 0
பைடு நூலகம்
解
c « c2 æ l3 - 1 2 - 1 m ö 1 ç ÷ c «c 2 3 A = ç l2 - 3 2 1 - 1÷ ç ÷ c3 « c4 ç l 1 2 -3 2 ÷ è ø c4 « c5
æ 1 2 -3 2 l ö r1 « r3 ç 2÷ ç - 3 2 1 -1 l ÷ ç - 1 2 - 1 m l3 ÷ è ø
æ 0 1 0ö æ 0 1 0ö æ 0 1 0ö æ0 1 1ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ （A） 1 0 0 （B） 1 0 1 （C） 1 0 0 （D） 1 0 0 ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç1 0 1÷ ç0 0 1÷ ç0 1 1÷ ç0 0 1÷ è ø è ø è ø è ø
（A） a = b 或 a + 2b = 0 （C） a ¹ b 或 a + 2b = 0 （B） a = b 或 a + 2b ¹ 0 （D） a ¹ b 或 a + 2b ¹ 0
2．设 a = (1,0,-1,2)T ， b = (0,1,0,2)T ，矩阵 A = ab T ，则秩 r ( A) =
解 由 X = AX + B 得 ( E - A) X = B
mù ú -3 2 1 -1ú ，讨论 l 和m 的取值，确定 R ( A) 的值。 1 2 -3 2 ú û
-1 2 -1
æ - 1 2 - 1 m l3 ö ç ÷ ç - 3 2 1 - 1 l2 ÷ ç ÷ ç 1 2 -3 2 l ÷ è ø
æ1ö æ5ö ç ÷ ç ÷ 2 ç -6 ÷ ， 得基础解系 ç ÷ ξ1＝ç 0 ÷，ξ 2＝ç 0 ÷ ç ÷ ç ÷ ç1÷ ç0÷ ç0÷ ç1÷ è ø è ø
æ1 2 3ö ç ÷ -1 1. 设 A = 2 1 2 ，用初等变换法求 A 。 ç ÷ ç1 3 4÷ è ø é1 2 3 1 0 0 ù é1 0 0 -2 1 1 ù ê ú ê ú r 解 ( A E ) = 2 1 2 0 1 0 ¾¾ ê ú ® ê0 1 0 -6 1 4 ú ê ê ë1 3 4 0 0 1 ú û ë0 0 1 5 -1 -3ú û é -2 1 1 ù ê -1 故 A = -6 1 4ú ê ú ê ú 5 1 3 ë û é0 1 0ù é1 -1ù ê ú ê ú 2．设 X = AX + B ，求 X ，其中 A = -1 1 1 , B = 2 0 . ê ú ê ú ê ú ê ú 1 0 1 5 3 ë û ë û
8 ． A 是 m ´ n 矩 阵 ， 齐 次 线 性 方 程 组 Ax = 0 有 非 零 解 的 充 要 条 件 是
R ( A) < n
.
æ A T èa
a öæ xö æ A a öæ xö ÷ ç ÷ = 0 仅有零解 （D） ç T ÷ ç ÷ = 0 必有非零解. 0 øè yø 0 øè yø èa
-2
.
é1 ê0 6．设 A = ê ê2 ê ë4
(A) 必为 2
1
3 ù 1 1 -1 -1 ú ú ，则 A 的秩 R ( A) = ( D ) . 3 a+2 3 a+6ú ú 0 4 a + 7 a + 11û 2 2
(B) 必为 3 (D) 可能为 3，也可能为 4.
组（D ） （A） Ax = a 必有无穷多解 （C） ç （B） Ax = a 必有唯一解
é0 1 0 1 ù ê ú ① A1 = 0 0 1 1 ； ê ú ê ú 0 0 0 0 ë û é1 0 0 1ù ê ú ③ A3 = 0 1 0 1 ； ê ú ê ë0 1 1 1ú û
（A）①②； （B）①④；
é1 1 0 1ù ê ú ② A2 = 0 1 1 1 ； ê ú ê ú 0 0 0 0 ë û é1 1 0 1ù ê ú ④ A4 = 0 0 1 1 。 ê ú ê ë0 0 0 0ú û
(A) R ( A) = R ( B ) (C) R ( A) £ R ( B )
(B) R ( A) = R (C ) (D) R ( A) ³ max{R ( B ), R (C )}
二、填空题 1．设 A 为 5 阶方阵，且 R ( A) = 3 ，则 R ( A ) =
*
0
. 1 。
æa b bö ç ÷ 8．设 A = b a b ，若 R ( A* ) = 1 ，则必有（ C ）. ç ÷ çb b a÷ è ø
æ x1 ö æ1ö æ 5 ö æ -16 ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç x2 ÷ ç -2 ÷ ç -6 ÷ ç 23 ÷ 所求通解为 ç x ÷＝C ç 0 ÷ + C ç 0 ÷ + ç 0 ÷ (C ，C Î R) 3 1 2 1 2 ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ x 1 0 0 ç 4÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç0÷ ç1÷ ç 0 ÷ çx ÷ è ø è ø è ø è 5ø
第三章 矩阵的初等变换和线性方程组
一、选择题 1、若 n 阶矩阵 A 的第一行的 3 倍加到第二行后得矩阵 B , 则正确的是（A C D） （多选） (A) A 与 B 等价； (B) A 与 B 不等价；（C） A = B ； (D) R ( A) = R ( B ) 2．下列四个 3×4 阶矩阵中， （ B ）是行最简形矩阵。
2
-3 .
3．设 A 是三阶方阵，将 A 的第一列与第二列交换得到 B ，再把 B 的第二 列加到第三列得到 C ，则满足 AQ = C 的可逆矩阵 Q 为（ D ）
(A) a = -2 且 B = 0 (C) a = 1 且 B = 0
a a L aù 1 a L aú ú 1 . a 1 L a ú ，且 R ( A) = n - 1 ，则 a = a = 1- n ú M M Mú a a L 1ú û
é 1 0 0 9 -3 ù é 9 -3 ù ê0 1 0 8 -2 ú 所以 X = ( E - A) -1 B = ê8 -2 ú ê ú ê ú ê ú ê ú 0 0 1 7 3 7 3 ë û ë û ì x1 - x2 - x3 + x4 = 0 ï 3．求齐次线性方程组 í x1 - x2 + x3 - 3 x4 = 0 的通解. ï x - x - 2 x + 3x = 0 2 3 4 î 1
（1）当 l 取什么值时，线性方程组有唯一解？ （2）当 l 取什么值时，线性方程组无解？ （3）当 l 取什么值时，线性方程组有无穷多解？并在有无穷多解时求其解． 6、解：线性方程组的系数行列式为
é 1 -1 0 1 -1ù é1 0 -1 2 0 ù ú r ®ê0 -1 2 6 -4ú ¾¾ r ( E - A | B) = ê ê 1 0 -1 2 0 ú ¾¾ ê ú ® ê ê ë-1 0 2 5 -3ú û ë0 0 1 7 -3ú û
é1 ù é1 ù ê1 ú ê0 ú 令 x2 = t1 , x4 = t 2 ， 得 x = ê ú t1 + ê ú t2 , t1 , t 2 Î R ê0 ú ê2ú ê ú ê ú ë0 û ë1 û
él ê 4．设 A = êl 2 êl ë
3
ì x1 = x4 + 5 x5 æ x4 ö æ 1 ö æ 0 ö ï 在对应的齐次线性方程组 í x2 = -2 x4 - 6 x5 中，取 ç ÷ = ç ÷ 及 ç ÷ ， è x5 ø è 0 ø è 1 ø ïx = 0 î 3
(C) 可能为 2，也可能为 3
12． 设 A 为 m ´ n 矩阵，B 为 n ´ m 矩阵， 则线性方程组 ( AB ) x = 0（D ） . （A）当 n > m 时仅有零解 （C）当 m > n 时仅有零解 （B）当 n > m 时必有非零解 （D）当 m > n 时必有非零解
é1 0 -1ù ê ú 9．设 A = 2 l 1 , B 是秩等于 2 的三阶矩阵，若 R ( AB ) = 1 ，则 ê ú ê ú 1 2 1 ë û
（C）②③； （D）②④。
æ 1 0 2ö ç ÷ 3． 设 A 是 4 ´ 3 矩阵， 且 R ( A) = 2 ， 而B = 0 2 0 ， ç ÷ 则 R ( AB ) = ç -1 0 3 ÷ è ø æ 1 2 -2 ö ç ÷ 4．设 A = 4 t 3 ÷ ， B 为 3 阶非零矩阵，且 AB = 0 ，则 t = ç ç 3 -1 1 ÷ è ø