2017届中考数学压轴题专项汇编专题9费马点
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2017届中考数学压轴题专项汇编专题9费马点
破解策略
费马点是指平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点,这个最小的距离叫做费马距离.
若三角形的内角均小于120°,那么三角形的费马点与各顶点的连线三等分费马点所在的周角;若三角形内有一个内角大于等于120°,则此钝角的顶点就是到三个顶点距离之和最小的点.
1.若三角形有一个内角大于等于120°,则此钝角的顶点即为该三角形的费马点
如图在△ABC中,∠BAC≥120°,求证:点A为△ABC的费马点
证明:
如图,在△ABC内有一点P延长BA至C,使得AC=AC,作∠CAP =∠CAP,并且使得AP=AP,连结PP
则△APC≌△APC,PC=PC
因为∠BAC≥120°
所以∠PAP=∠CAC≤60
所以在等腰△PAP中,AP≥PP
所以PA+PB+PC≥PP+PB+PC>BC=AB+AC
所以点A为△ABC的费马点
2.若三角形的内角均小于120°,则以三角形的任意两边向外作等边三角形,两个等边三角形外接圆在三角形内的交点即为该三角形的费马点.
如图,在△ABC中三个内角均小于120°,分别以AB、AC为边向外作等边三角形,两个等边三角形的外接圆在△ABC内的交点为O,求证:点O为△ABC的费马点
证明:在△ABC内部任意取一点O,;连接OA、OB、OC
将△AOC绕着点A逆时针旋转60°,得到△AO′D连接OO′则O′D=OC
所以△AOO′为等边三角形,OO′=AO
所以OA+OC+OB=OO′+OB+O′D
则当点B、O、O′、D四点共线时,OA+OB+OC最小
此时ABAC为边向外作等边三角形,两个等边三角形的外接圆在△ABC内的交点即为点O
如图,在△ABC中,若∠BAC、∠ABC、∠ACB均小于120°,O为费马点,则有∠AOB=∠B OC=∠COA=120°,所以三角形的费马点也叫三角形的等角中心
例1如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(-6,0),点B的坐标为(6,0),点C的坐标为(6,),延长AC至点D使得CD=AC,过点DE作DE//AB,交BC的延长线于点E,设G为y轴上的一点,点P从直线y=x+与y轴的交点M出发,先沿y轴到达点G,再沿GA到达点A,若点P在y轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度