人教A版高中数学必修五2.4.1等比数列 精讲优练课型

【解析】设所加的数为x， 则(a4+x)2=(a1+x)·(a5+x)， 因为公差d=
a3 a1 6 2 2， 所以a4=8，a52=10，2 所以(8+x)2=(2+x)·(10+x)，解得x=-11. 答案：-11
【补偿训练】(2015·南阳高二检测)在等比数列{an}
中，若an=2n，则a7与a9的等比中项为( )
A.a8
B.-a8
C.±a8
D.前3个选项都不对
【解析】选C.因为数列{an}是等比数列，且an=2n， 所以a82=a7a9=27×29=(28)2， 所以a7与a9的等比中项为±28，即±a8.
类型三 等比数列的判定 【典例】已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且 2an+1=Sn+2(n≥2). (1)求a2，a3的值. (2)求数列{an}的通项公式.
(2)定义中“每一项与它的前一项的比”这一运算要求 的含义也有两个：其一是作商的顺序，即后面的项比 前面的项；其二强调这两项必须相邻. (3)注意定义中要求“同一常数”，否则这个数列不是 等比数列.
2.等比数列定义的符号表示
在数列{an}中，若 an1 =q(n∈N*)，q为不为0的常数， 则数列{an}是等比数a列n .
【变式训练】 1.已知a-1，a+1，a+4三个数成等比数列，则公比 q=________. 【解析】由题意得(a+1)2=(a-1)(a+4)， 解得a=5，三个数依次为4，6，9， 公比q= 答案： 6 3 .
42 3 2
2.已知等差数列{an}满足：a1=2，a3=6.若将a1，a4，a5 都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则 所加的这个数为________.
2.已知数列{an}是递增的等比数列，且a1+a3=5，a1a3=4.
求数列{an}的通项公式.
【解析】由a1a3=4，a1+a3=5知，a1，a3是方程x25x+4=0
的两根.又因为an+1>an，所以a1=1，a3=4， 所以q2=a3 =4，所以q=2或q=-2(舍去)，
a1 故an=a1·qn-1=2n-1.
比数列，则p+q的值等于( )
A.6
B.7
C.8
D.9
2.(2015·广东高考)若三个正数a，b，c成等比数列，
其中a=5+2 ，c=5-2 ，则b=________.
6
6
【解题探究】 1.典例1中，如何确定a，b的符号？进一步如何找出关 于a，b的等量关系？ 提示：由a+b=p>0，ab=q>0知a>0，b>0. 2.典例2中，a，b，c满足的关系是什么？ 提示：b2=ac.
【A.解22析】选DB..因 为22 a5=a1qC4. ，2
所以
所以q=± .
q4 a5 12 4，
2
a1 3
D. 2
4.等比数列{an}的首项为2，公比为5，则数列{an}的 通项公式为________. 【解析】数列{an}通项公式为an=2×5n-1. 答案：an=2×5n-1
5.-1与-25的等比中项为________. 【解析】-1与-25的等比中项为
1 又因为an=1，所以322× =1，
所以
，所以n=6.(1 )n1 2
(1 )n1 (1)5 22
类型二 等比中项的应用
【典例】1.(2015·福建高考)若a，b是函数f(x)=x2-
px+q(p>0，q>0)的两个不同的零点，且a，b，-2这三
个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等
(2)设等比数列{bn}的公比为q，则b2=8，b3=16， 所以q=b3 =2，b1=4，bn=2n+1， b6=26+1b=2 128.由2(n+1)=128得n=63.
所以b6与数列{an}的第63项相等.
【延伸探究】若将典例2的条件“等差”改为“等比” “a1+a2=10，a4-a3=2”改为“a3+a1=5，a5-a1=15”， 求数列{an}的通项公式.
【解析】1.选D.由题意可得 a b p 0， 所以a>0，b>0，不妨设a>ba，b 所q以 0等. 比数列为a，-2， b或b，-2，a，从而得到ab=4=q，等差数列为a，b， -2或-2，b，a，从而得到2b=a-2，两式联立解出 a=4，b=1，所以p=a+b=5，所以p+q=5+4=9.
ab
【即时小测】 1.判断 (1)等比数列的公比可以为任意实数.( ) (2)若b2=ac，则a，b，c成等比数列.( ) (3)若一个数列从第2项开始每一项与前一项的比是常 数，则这个数列是等比数列.( ) (4)常数列既是等差数列又是等比数列.( )
【解析】(1)错误.等比数列的公比不能为零. (2)错误.如02=3×0，但是3，0，0不成等比数列. (3)错误.这里未强调每一项与前一项的比是同一常数， 不符合等比数列的定义，因而是错误的. (4)错误.非零常数列既是等差数列又是等比数列. 答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
2.下列各数列成等比数列的是( )
①1，-2，-4，-8；
②1， 1，1，1 ；
③-1，3 19，2-71，1；
④
(a为常数且a≠0).
A.②1，③1 ④，1 ，1B.①③④ C.①②④ a a2 a3 a4
D.①②③
【解析】选A. ①因为 －2 －所4以，1，-2，-4，-8不
是等比数列；
1 －2
【解题探究】 1.典例1中，关键是计算哪个量？ 提示：关键是计算公比.
2.典例2中，(1)关键是计算哪些量？计算的顺序是什 么？ (2)如何求等比数列{bn}的通项公式？判断b6与数列{an} 的第几项相等的本质是计算什么？
提示：(1)关键是计算首项、公差.根据题目条件应先计 算公差，再计算首项. (2)先计算b2，b3，再计算公比，最后求等比数列{bn} 的通项公式.本质是依据b6=an计算n的值.
【解析】设等比数列{an}的公比为q，
由 由已②知÷①得得qaa112qq-241=aa即113，155，所. 以aaq11=qq±24 211.
5，① 15.②
代入①得a1=1，所以数列{an}的通项公式为
an=2n-1或an=(-2)n-1.
【方法技巧】等比数列通项公式的求法 (1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1， q后再求an，这是常规方法. (2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1， 最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算.
2
【题型探究】
类型一 等比数列通项公式的应用
【典例】1.(2015·承德高一检测)在等比数列{an}中，
a1= ，a3+a5=4，an=3，则n=(
A.5 1
B.6
C.4
3
) D.3
2.(2015·北京高考)已知等差数列{an}满足a1+a2=10， a4-a3=2. (1)求数列{an}的通项公式. (2)设等比数列{bn}满足b2=a3，b3=a7.问：b6与数列{an} 的第几项相等？
答案：1±525 5.
【知识探究】 知识点1 等比数列的概念 观察图形，回答下列问题：
问题1：图中的细胞分裂组成的数列1，2，4，8， 16，…是等比数列吗？ 问题2：等比数列中相邻项之间有什么关系？
【总结提升】 1.从三个方面剖析等比数列的概念 (1)定义中“从第2项起”这一前提条件有两层含义： 其一，第1项前面没有项，无法与后续条件中的“与它 的前一项的比”相吻合； 其二，定义包括首项这一基本量，且必须从第2项起保 证数列中各项均与其前面一项作商.
知识点3 等比数列的通项公式 观察如图所示内容，回答下列问题：
问题1：等比数列的通项公式与指数函数有什么关系？ 问题2：由等比数列的定义如何推导等比数列的通项公 式？
【总结提升】 1.推导等比数列通项公式的常见方法 (1)迭代法： 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，由等比数列的 定义得，an=an-1q=an-2q2=an-3q3=…=a2qn-2=a1qn-1.
②1，1，1，是1 首项为1，公比为 的1 等比数列； ③-1，3 19 ，27-1，1是首项为-1，公3 比为-1的等比数列；
④
(a为常数且a≠0)是首项为 ，公比为 的
等比1a，数a12 列，a13，，a14
1
1
a
a
综上可知②③④是等比数列.
3.已知{an}是一个等比数列，若a1=3，a5=12，则公比 q=( )
2.因为三个正数a，b，c成等比数列，
所以b2=ac=(5+2 )(5-2 )=1，
6
6
因为b>0，所以b=1.
答案：1
【方法技巧】应用等比中项解题的两个注意点 (1)要证三数a，G，b成等比数列，只需证明G2=ab，其 中a，b，G均不为零. (2)已知等比数列中的相邻三项an-1，an，an+1，则an是 an-1与an+1的等比中项，即an2=an-1an+1，运用等比中项 解决问题，会大大减少运算过程.
【解析】1.选A.设等比数列{an}的公比为q， 因为a1=1 ，a3+a5=4， 所以 q23+ q4=4，即q4+q2-12=0，
11 解得q32=3或3 q2=-4(舍)，
所以|q|>1，所以等比数列{an}各项的绝对值是逐项递 增的.又因为a5=a1q4= ×32=3，所以n=5.
1 3
2.(1)设等差数列{an}的公差为d， 则d=a4-a3=2，a1+a2=2a1+2=10， 所以a1=4.因此，an=4+(n-1)×2=2(n+1).
知识点2 等比中项 观察如图所示内容，回答下列问题：
问题1：任意两个实数都有等比中项吗？ 问题2：两个正数的等比中项是唯一的吗？
【总结提升】对等比中项的三点认识 (1)在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数 列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项.
(2)“a，G，b成等比数列”等价于“G2=ab”(a，b均 不为0)，要特别注意限定的条件，否则是不等价的.可 以用它来判断或证明三个数成等比数列.同时还要注意 到“a，G，b成等比数列”与“G=± ”是不等价的. (3)同号的两个实数才有等比中项. ab
【拓展延伸】用函数的观点看等比数列的通项
等比数列{an}的通项公式an=a1qn-1，可以改写为an=
·qn.当q>0，且q≠1时，y=qx是一个指数函数，而
a1 yq= ·qx是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等
比数aq1 列{an}的图象是函数y= ·qx的图象上的一群孤立
的点.
a1
q
例如，当a1=1，q=2时，an= 1·2n，表示这个数列各项 的点就都在函数y= 1·2x的图2象上，如图所示：
【误区警示】解答本题容易忽视数列{an}是递增的等 比数列，导致增解.
【补偿训练】在等比数列{an}中，已知a2+a5=18，
a3+a6=9，an=1，求n.
【解析】因为 a2 a5 a1q a1q4 18，① 所以由①除以②a得3 qa=6 a，1q从2 而a1qa51=93，2②.
【变式训练】1.(2015·成都高一检测)已知等比数列
{an}满足a1=3，a1+a3+a5=21，则a3+a7=( )
A.18
B.24
C.百度文库0
D.42
【解析】选C.设等比数列{an}的公比为q，由题意得 3+3q2+3q4=21，即q4+q2-6=0，解得q2=2或q2=-3(舍)，
所以a3+a7=3q2+3q6=3×2+3×23=30.
2.4 等比数列 第1课时 等比数列
【知识提炼】 1.等比数列的定义及通项公式
2
它的前一项 比
常数 q(q≠0)
a1qn-1(a1≠0)(q≠0)
2.等比中项
(1)前提：三个数________组成等比数列. a，G，b
(2)结论：__叫做_____的等比中项. G a和b
(3)满足的关系式：G=_____.
(2)归纳法：
a2=a1q，a3=a2q=a1q2，a4=a3q=a1q3，…， an=an-1q=a1qn-1. (3)累乘法：
=q·q·q·…·q，即 =qn-1，故an=a1qn-1.
a2 a3 a4 an
an
a1 a2 a3 an1
a1
2.理解等比数列通项公式应注意的三点 (1)由等比数列的首项和公比可以写出其通项公式. (2)根据等比数列的通项公式，已知四个量a1，n，q， an中的三个，就可以求出第四个. (3)由等比数列的通项公式可验证某数是否为等比数列 的项.