工程力学—第九章_扭转

2 2 T Ro d 2Ro 0 2
薄壁圆管扭转的切应力为：
T ＝ 2 2Ro
当 Ro /10 时，该公式足够精确。
第三节 切应力互等定理与剪切虎克定律
纯剪切与切应力互等定理： 切应力互等定理：在微体的两个相互垂直 的截面上，切应力总是同时存在，且大小 相等，方向则共同指向或共同背离两截面 的交线。
G－切变模量（剪切弹性模量）， 单位为Gpa，其值随材料而异， 由实验测定。
第四节 圆轴扭转横截面上的应力
平面假设：变形后，横截面仍保持为平面，其形状、 大小与间距均不变，而且，半径仍为直线。
最大扭转切应力 由式

T Ip
可知，在ρ ＝R 即圆截面
边缘各点处，切应力最大，其值为
max
由 此 得
PkW M N m 9549 nr min
若转速n的单位为r/s, 则 M 159 .2 PkW N m
nr s
所作之功 ，单位为kW（千瓦）； M—力偶矩，单位为N· m（牛顿· 米）； ω—相应角速度； {n}—轴的转速，单位为r/min（转／ 分），或r/s（也可表示为s-1）（转／ 秒）。
注意这个扭矩是假定为负的 CA段内：T2 M 2 M 3 9.56kN m (负) AD段内：T3 M 4 6.37 kN m
3. 作扭矩图
由扭矩图可见，传动轴的最大扭矩Tmax在CA段内，其
值为9.56 kN· m。
第二节 动力传递与扭矩
思考：如果将从动轮D与C的位置对调，试作该传 动轴的扭矩图。这样的布置是否合理？
4.78
6.37
15.9
4.78
第三节 切应力互等定理与剪切虎克定律
薄壁圆管的扭转应力
从圆管上切取一微体abcd，微体既无轴向正 应变，也无横向正应变，只是相邻横截面ab与cd 之间发生相对错动，即仅产生剪切变形；而且， 沿圆周方向所有微体的剪切变形均相同。
第三节 切应力互等定理与剪切虎克定律
max,1
16T1 d 4 1 D13 1 D 1
16T2 d 4 3 2 1 D2 D 2
T2=100N.m

16( 150N m ) 7 8 . 088 10 Pa 80.88MPa 4 0.018 0.0243 1 0 . 024
C
又 3
2
1
d 3 Wp 16 d13 T1 16
所以 同理
16T1 3 16 2819 d1 3 0.059m 59mm 6 3.14 70 10
d2 3 16T2

3
16 4238 0.068m 68mm 6 3.1470 10
－塑性材料
－脆性材料
扭转屈服应力：试样扭转屈服时横截面上的最大 切应力，称为扭转屈服应力。 扭转极限应力：扭转屈服应力与扭转强度极限统 称为扭转极限应力，并用τ u表示。
第五节 圆轴扭转破坏与强度条件
Mx ( )＝ I p
圆轴扭转时横截面上的最大切应力 当 ＝ max 时， ＝ max
M2 B
d1
M 1 9550
M1
A
d2
M3
C
P 368 1 9550 7057 N m n 8.3 60
P2 147 9550 2819 N m n 8.3 60
M 2 9550
2
1
3
M 3 9550
P3 221 9550 4238 N m n 8.3 60
G空 G实 A空 A实
D2 d 2
4 2 d 实 4




89 2 84 2 532
865 0.308 2809
空心轴比实心轴省材料
例2 下图所示阶梯形圆截面轴，在横截面A、B与C处承受扭 力偶作用，试校核轴的强度。已知MA=150N.m，MB=50N.m， MC=100N.m，许用切应力［τ］＝90MPa。 解：（1）问题分析 绘制扭矩图，由图知AB与BC 段的扭矩分别为 T1=150N.m （2）强度校核
功率分别为：P2= 150 kW，P3= 150 kW，P4= 200
kW。试作轴的扭矩图。
解：1. 计算作用在各轮上的外力偶矩
500 M 1 (9.55 10 ) N m 15.9 10 3 N m 15.9 kN m 300
3
M 2 M 3 (9.55 10 3
T 1930 6 max 66.7 10 Pa 66.7 MPa 5 Wp 2.9 10 70MPa
满足强度条件
（3）确定实心轴直径，并比较其重量
T T max 3 WP 0.2d实
T 1930 d实 3 0.053m 53m m 6 0.2 max 0.2 66.7 10
T Wp
而
Wp
d 3
16
故
16 1.5 103 d 3 3 0.0535m 6 50 10 16T


取 d=54mm （注意取法）
(2)确定空心轴的内、外径
第二节 动力传递与扭矩
扭矩与扭矩图
扭转变形的内 力： —扭矩。 扭矩 ：即n－n 截面处的内力偶 矩。
第二节 动力传递与扭矩
扭矩的正负号规定：采用右手螺旋法则。
指向截 面内侧 为负 指向截 面外侧 为正
第二节
动力传递与扭矩
扭矩图 ：表示扭矩沿轴线变化情况 的图线 。
例题1 图示传动轴,转速n=500r/min，轮B 为主 动轮，输入功率PB=10kW ，轮A与轮C均为从动 轮，输出功率PA=4kW， PC=6kW 。试计算轴的 扭矩，并画扭矩图。
max=
Mx
Wp
Wp=
max
Ip
Wp 扭转截面系数
第五节 圆轴扭转破坏与强度条件
强度条件：
max
T W P max
对于等截面圆轴 ：
max
Tmax WP
第五节 圆轴扭转破坏与强度条件
对于实心圆截面
Ip＝ 32
d
解（1）扭力偶矩计算
PA 4 M A 9549 9549 76.4N m n 500 PB 10 M B 9549 9549 191N m n 500 P 6 M C 9549 C 9549 114.6N m n 500
（2）扭矩计算 设AB与BC段的扭矩为正，并分别用T1和T2表示，则
(2)求扭矩
T1 M 2 2819N m
T2 M 3 4238N m
T1 M 2 2819N m
T2 M 3 4238N m
max
T W P max
(3)按强度条件求直径 ：
M2 B
d1
M1
A
d2
M3
解：（1）计算抗扭截面系数
d D 2 89 2 2.5 0.944 D D 89
WP 0.2D 1
3 4 3

4
0.2 89 1 0.944
3 4 5 3
2.9 10 mm 2.9 10 m （注意单位）
（2）强度校核
第一节
引
言
轴：凡以扭转为主要变形的直杆称为轴。
第一节
引
言
扭转角：轴的变形以横截面间绕轴线的相 对角位移称扭转角。
第二节 动力传递与扭矩
功率、转速与扭力偶矩之间的关系
功率P=Mω，又 1W=1N· m/s 于是上式变为 式中： P*103=M*2πn/60 P=Mω—功率，即力偶在单位时间内
16( 100N m ) 7 8 . 67 10 Pa 86.7 MPa 4 0.018 0.0223 1 0 . 022
max,2

Τmax,1与τmax,2均小于许用切应力，说明轴满足强度条件。
例3 某传动轴，轴内的最大扭矩T=1.5kN.m，若许用切应力［τ］ ＝50MPa，试按下列两种方案确定轴的横截面尺寸，并比较其 重量。 （1）实心圆截面轴； （2）空心圆截面轴，其内、外径的比值di/d0=0.9。 解： （1）确定实心轴的直径 根据强度条件
3
150 ) N m 4.78 10 3 N m 4.78 kN m 300
200 M 4 (9.55 10 ) N m 6.37 10 3 N m 6.37 kN m 300
2. 计算各段的扭矩 BC段内： T1 M 2 4.78 kN m
4
Wp=
对于圆环截面
d 3
16
D ( 1- 4 ) Ip＝
4
32
Wp=
D 3
16
( 1- 4 )
=d / D
例1 已知传动轴的转速n=8.3s-1，主动轮输入功率 P1=368kW，从动轮2、3分别输出功率为 P2=147kW，P3=221kW， [τ]=70MPa， [θ]=10/m，G=80GPa。试按强度条件求AB段的直 径d1；BC段的直径d2；若两段采用同一直径d，试确 定d的大小。 解 (1)求外力偶矩
由此可见，在圆管横截面的各点处，仅存 在垂直于半径方向的切应力，如图示，它 们沿圆周大小不变，而且由于管壁很薄， 沿壁厚也可近似认为均匀分布 。
第三节 切应力互等定理与剪切虎克定律
薄壁圆管的扭转应力 设圆管的平均半径为Ro，壁厚为δ ，微剪力对轴 线O的力矩为Ro․τδRodθ 。
横截面的扭矩T即为：
T1 M A 76.4N m
T2 -MC -114.6N m
（3）画扭矩图 根据上述分析，画扭矩图，扭矩的最大绝对值为
T max T2 114.6N m
T
76.4N· m
114.6N· m
x
例题
一传动轴如图，转速 n 300 r ； min
主动轮输入的功率P1= 500 kW，三个从动轮输出的
若两段采用同一直径，则取
d 68 mm
例题 已知解放牌汽车主传动轴传递的最 大扭矩T=1930Nm，传动轴用外径 D=89mm、壁厚=2.5mm的钢管做成。 材料为20钢，其许用切应力[]=70MPa。 校核此轴的强度。若在同样强度条件下，将 空心轴改成实心轴，试确定其直径，并比较 二者的重量。
在微体的左、右两个侧面上，力偶之矩为 τδdydx。 顶面与底面的两个力所构成 的力偶之矩为τ’δdxdy。 微体平衡，则 τ = τ’。 纯剪切：如上述微体的四个侧面上，仅 存在切应力而无正应力的应力状态。
第三节 切应力互等定理与剪切虎克定律
剪切虎克定律 ： τ ＝G γ
在切应力作用下，微体发生切应变。 薄壁圆管的扭转试验表明：当切应力不超过材 料的剪切比例极限τ p时，切应力与切应变成正比， 即 τ γ 。引入比例系数 G， 则τ ＝G γ 。
TR T T I p Wp Ip R
式中Wp为抗扭截面 系数，Wp=Ip/R单位 为m3或mm3。
可见，最大扭转切应力与扭矩成正比，与抗 扭截面系数成反比。
第五节 圆轴扭转破坏与强度条件
扭转失效与扭转极限应力 扭转试验表明： 塑性材料试样受扭时，先发生屈服，在试样表面 的横向与纵向出现滑移线，如果再继续增大扭力 偶矩，试样最后沿横截面被剪断； 脆性材料试样受扭时，变形始终很小，最后在与 轴线成450倾角的螺旋面发生断裂。 上述实验结果说明，圆轴受扭时，其破坏的标志 仍然是塑性屈服与脆性断裂。
第7 章
扭Baidu Nhomakorabea
转
基本概念 动力传递与扭矩 切应力互等定理与剪切虎克定律 圆轴扭转横截面上的应力 圆轴扭转破坏与强度条件 圆轴扭转变形与刚度条件
第一节
引
言
扭转：以横截面绕轴线作相对转动为主要 特征的变形形式，称为扭转。
第一节
引
言
扭力偶：使杆产生扭转变形的外力偶。
扭力偶矩：使杆产 生扭转变形的外力 偶之矩。