积分法求梁的位移

D2
AD段：
EIw1
Fb 2l
x2
C1
EIw1
Fb 6l
x3
C1x
D1
DB段：
EIw2
Fb 2l
x2
Fx
2
a2
C2
EIw2
Fb 6l
x3
Fx
6
a3
C2x
D2
4）确定积分常数
位移边界条件： a) x 0 时，w1 0
D1 0
EIw1
Fb 6l
x3
C1x
AD段：
EIw1
Fb 2l
x2
C1
EIw1
Fb 6l
x3
C1x
DB段：
EIw2
Fb 2l
x2
Fx
2
a2
C2
EIw2
Fb 6l
x3
Fx
6
a3
C2x
D2
b) x l 时，w2 0
Fb 6l
l3
F l
6
a3
C2l
D2
0
AD段：
EIw1
Fb 2l
x2
C1
EIw1
Fb 6l
x3
C1x
DB段：
EIw2
Fb 2l
x2
Fx
2
a2
C2
EIw2
Fb 6l
x3
Fx
6
a3
C2x
D2
位移连续条件： a) x a 时，w1 w2
Fb 6l
a3
C1a
Fb 6l
a3
C2a
D2
C1a C2a D2
AD段：
EIw1
Fb 2l
x2
C1
EIw1
Fb 6l
x3
C1x
DB段：
EIw2
Fb 2l
x2
Fx
2
a2
C2
EIw2
Fb 6l
x3
Fx
M
y
M<0 w″<0
x
M
y
M>0 w″>0
M x w
EI
M x w
EI
EIw M x
EIw M xd x C EIw [ M xd x]d x Cx D
例：弯曲刚度为EI的悬臂梁如图，求梁的挠曲线方程
及其最大挠度wmax。
q
解： x截面处弯矩方程为：
0
A
x
l
y
Bx
M
x
1 2
q0
l
qmax
Fl 2 16 EI
wm a x
wC
Fl 3 48 EI
1. 关于分段的确定 原则：挠曲线微分方程发生了变化，均需分段。
2. 位移条件
边界条件：
w’=0，w=0
w=0
连续条件：
w1’= w2’ ， w1= w2
w=Δ w1=w2
混合条件：
w1’= w2’ w1=0 w2=0
w1’= w2’ w1= Δ w2= Δ
l2 b2
x
2
Fbx
w1 6lEI
l2 b2
x2
DB段：q2
w2
Fb 2lEI
l b
x
a2
1 3
l2 b2
x
2
w2
Fb 6lEI
l b
x
a
3
l2
b2
x
x
3
A y
l/2 Ⅰ
qA
x1 a
F
C
DⅡ
wC
wmax
qB
b
B x
当载荷作用在梁的中点，即a=b=l/2时，其最大转 角和挠度为：
EI 6
6
w 1 [ q0 l x4 q0l3 x q0l 4 ]
EI 24
6 24
当x=l时：
qmax
w'
xl
q0l 3 6EI
wmax
w'
xl
q0l 3 8EI
例：求图示弯曲刚度为EI的简支梁的挠曲线和转角
方程，并确定其最大挠度和最大转角。
x A
F
D
B
x
a
b
l y
解： 1）求弯矩方程
AD段：M1x
纯弯曲时：
1M
EI
1
x
w 1 w2
3 2
因为在小变形情况下： 1 w2 1
M x w
EI
x
M
y
M>0 w″<0
x
M
y
M<0 w″>0
M x w
EI
M x w
EI
M x w
EI
挠曲线的近似微分方程： EIw M x
1. 将纯弯曲的公式 1 M 推广至横力弯曲
EI
2. 取w’0
x
EIw M x
EIw M xd x C
EIw [ M xd x]d x Cx D
1. M(x)=0的区段，挠曲线为斜直线； 2. M(x)≠0的区段， 挠曲线为曲线； 3. M(x)>0的区段， 挠曲线为下凸； 4. M(x)<0的区段，挠曲线为上凸； 5. M(x)=0的截面，挠曲线出现反弯点；
6Fra Baidu bibliotek
a3
C2x
D2
b) x a 时，w1' w2 '
Fb 2l
a2
C1
Fb 2l
a2
C2
C1 C2
D1 0
Fb 6l
l3
F l
6
a3
C2l
D2
0
C1a C2a D2 C1 C2
求得：C1
C2
Fb 6l
l2
b2
D1 D2 0
AD段： q1 w1
Fb 2lEI
1 3
第5章 梁弯曲时的位移 (Displacement)
§5-1 梁的位移—挠度及转角
q (转角)
A
B
x
C1 w(挠度)
y 挠度(Deflection)： 向下为正
转角(Rotation) ：顺时针为正 挠曲线方程： w=f(x)
转角方程： q tanq w f x
§7-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
EIw' q0 l x3 C
6
EIw q0 l x4 Cx q0l 4
24
24
2）x
0
处
w 0
q0
l3
C
0
6
C q0l3
6
w' 1 [ q0 l x3 q0l3 ]
EI 6
6
w 1 [ q0 l x4 q0l3 x q0l 4 ]
EI 24
6 24
w' 1 [ q0 l x3 q0l3 ]
x
2
梁的挠曲线方程：EIw M x q0 l x2
2
EIw
q0 2
l
x2
d
x
q0 6
l
x3
C
EIw [ q0 (l x)3 C]dx q0 l x4 Cx D
6
24
EIw' q0 l x3 C
6
EIw q0 l x4 Cx D
24
利用位移条件确定积分常数：
边界条件： 1）x 0 处 w 0 q0 l 4 D 0 24 D q0l 4 24
Fb l
x
DB段：M2 x
Fb l
x
Fx
a
2）梁的挠曲线方程
AD段： EIw1
M1x
F
b l
x
DB段：EIw2
M 2 x
F
b l
x
Fx
a
3）积分
AD段：
EIw1
Fb 2l
x2
C1
EIw1
Fb 6l
x3
C1x
D1
DB段：
EIw2
Fb 2l
x2
F x a2
2
C2
EIw2
Fb 6l
x3
Fx
6
a3
C2x