叠加法求梁的位移

+
B C F
F a (2) a 2a (3)
Fa 3 Fa 2 F ( 2a ) 3 11Fa 3 wB1 = wB 2 + wB 3 = a + = 3EI 2 EI 3EI 6 EI 3 11Fa wC = wB1 = 6 EI
F A a a C a
F B a a
F
F B
→
C
→
B C
+
B C F
P a (1)
2 2
a (2)
a
2
2a (3)
Fa F ( 2a ) 3Fa θ B1 = θ B 2 + θ B 3 = = 2 EI 2 EI 2 EI 3Fa θ B = θ B1 = 2 EI
2
对称问题
只要是简支梁、梁上的载荷对称， 只要是简支梁、梁上的载荷对称，就能采用上 述方法求解。 述方法求解。
F A l C EI l F F D l B
解：
(1)
A C
D
B
＋
F
(2)
A
C
D
B
叠加法的基本思想
F
(1) A
D
曲线
B
对于图(1)： 对于图 ：
θC1 × 2l θB1
wC1 wB1
wC1 C
θ C1
直线
Fl 2 θ B1 = θ C1 = 顺时针） （顺时针） 2 EI
4 Fl 3 Fl 2 Fl wB1 = wC1 + θ C1× 2l = × 2l = 向下） （向下） + 3EI 3EI 2 EI
截面的挠度和转角。 求C截面的挠度和转角。 截面的挠度和转角
F A l C EI l F D l B
弯矩方程 挠度和转角←挠曲函数←{ 挠曲函数 位移条件
(3) A l F C F Fl
2 F × l 2 Fl × l 2 Fl 2 = + θC = θC3 = EI 2 EI EI 3 2 3 7 Fl Fl × l 2F × l = + wC = wC 3 = 6 EI 2 EI 3EI
梁的EI已知 已知， 例 梁的 已知，求wC、 wD和θB
F A a D a C B F a a F
→
A a
D a (1)
C
F ( 2a ) Fa wD = wD1 = = wC = wC1 = 0 48EI 6 EI 2 2 F ( 2a ) Fa 反对称问题 θ B = θ C1 = [ ]= 16 EI 4 EI
切断＋ 切断＋简化
由叠加原理求图示弯曲刚度为EI的外伸梁 的外伸梁C截面 例 ： 由叠加原理求图示弯曲刚度为 的外伸梁 截面 的挠度和转角以及D截面的挠度 截面的挠度。 的挠度和转角以及 截面的挠度。
A a EI F=qa D a F=qa A a (a) EI D a B qa qa2/2 B a C
§7-3 用叠加法求梁的位移
叠加法适用的条件： 叠加法适用的条件： 1）线弹性范围工作; ）线弹性范围工作 2）小变形。 ）小变形。 简单载荷下梁的挠度和转角见表7-1。 简单载荷下梁的挠度和转角见表 。
利用叠加原理求图示弯曲刚度为EI的悬臂梁自由 例 ： 利用叠加原理求图示弯曲刚度为 的悬臂梁自由 截面的挠度和转角。 端B截面的挠度和转角。 截面的挠度和转角
3 2
向下） （向下）
F
(1)
A
C
D
B
＋
F
(2)
A
C
D
B
4 Fl 3 14 Fl 3 6 Fl 3 = + wB = wB1 + wB 2 = 向下） （向下） EI 3EI 3EI 2 2 2 5 Fl Fl 2 Fl = + θ B = θ B1 + θ B 2 = 顺时针） （顺时针） 2 EI 2 EI EI
3
2
qa qa(2a ) qa qa = + = 16 EI 3EI 4 EI 6 EI
3 3
4 2
qa(2a ) qa 3 qa 3 qa wC = wCb + θ Ba × a = + [ + ]×a = 16 EI 3EI 6 EI 8 EI
F=qa A a (a) EI D a
qa Bபைடு நூலகம்
qa2/2
+
B a (b)
C
wD = wDa = wDaF + wDaM
qa 4 = 24 EI
qa × (2a ) 3 qa 2 / 2 × (2a ) 2 + = 16 EI 48 EI
例
梁的EI已知， 梁的 已知，求wC和θB 已知
F F C a a a B a a (1) a F F B C
A
→
→
B C
三角形分布载荷（适用于简支梁） 三角形分布载荷（适用于简支梁）
总
一、对载荷分组叠加
结
二、继承与发扬 在前一点位移的基础上叠加新的位移。 在前一点位移的基础上叠加新的位移。 切断＋简化， 三、切断＋简化，将原来作用在悬臂部分上的载 荷向切口简化（适用于悬臂梁或外伸梁） 荷向切口简化（适用于悬臂梁或外伸梁） 对称问题（适用于简支梁） 四、对称问题（适用于简支梁） 将简支梁从跨中切断，将切口取为固定支座， 将简支梁从跨中切断，将切口取为固定支座， 将一简支端改为自由端； 将一简支端改为自由端；保留半跨上的载荷和简支 端的反力。 端的反力。 反对称问题（适用于简支梁，含跨中集中力偶） 五、反对称问题（适用于简支梁，含跨中集中力偶） 将简支梁从跨中切断，改为半跨的简支梁； 将简支梁从跨中切断，改为半跨的简支梁；保 留半跨上的载荷。 留半跨上的载荷。
解 ：
+
B a (b)
C
θ C = θ Cb + θ Ba (继承 继承) 继承
wC = wCb + θ Ba × a (继承和发扬 继承和发扬) 继承和发扬 wD = wDa
F=qa A a (a) EI D a
qa B
qa2/2
+
B a (b)
C
θ C = θ Cb + θ Ba = θ Cb + θ BaF + θ BaM
只要是简支梁、梁上的载荷反对称， 只要是简支梁、梁上的载荷反对称，就能采用上 述方法求解。 述方法求解。
3
3
例
A
梁的EI已知，求wC和θA 梁的 已知， 已知
M C l 2 l 2 B
M/2 C l 2 (1)
→
A
wC = wC1 = 0
( M / 2)(l / 2) Ml θ A = θ A1 = = 6 EI 24 EI
注意事项
一、不要漏项 二、叠加位移时注意每一项的符号 三、注意载荷的变化 简支梁在半跨均布载荷作用下， 减半； 简支梁在半跨均布载荷作用下，简化后集度q减半； 简支梁在跨中集中力偶作用下，简化后集中力偶M减半 减半。 简支梁在跨中集中力偶作用下，简化后集中力偶 减半。 四、注意计算长度的变化 公式中长度为l，题目中的计算长度可能是 、 、 公式中长度为 ，题目中的计算长度可能是l、a、 2l、2a、l/2或a/2。 、 、 或 。 五、简支梁在集中力偶作用下两个铰支端的转角不 等，此时的挠度公式计算的时跨中截面的挠度
3
变形的继承和发扬
对图(2)，可得 截面的挠度和转角为 截面的挠度和转角为： 对图 ，可得D截面的挠度和转角为：
F
(2)
B A C 曲线 D
直线
2
θD1
wD1
θD1 × BD
wB2
θB 2
θ B2
wB 2
2 Fl = θ D1 = 顺时针） （顺时针） EI
F × (2l ) F × (2l ) 14 Fl 3 = wD 2 + θ D 2 × l = + ×l = 3EI 2 EI 3EI