第七章-梁的位移-转角、挠度
工程力学---材料力学第七章-梁弯曲时位移计算与刚度设计经典例题及详解
P
B C
l 2 l 2
A
x
P 解：AC段：M ( x ) x 2 y P EIy x 2 A P 2 EIy x C x 4 l 2 P 3 EIy x Cx D 12
P
B C
l 2
x
由边界条件： x 0时，y 0
l 由对称条件： x 时，y 0 2
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
最大转角和最大挠度分别为：
11qa max A 1 x1 0 6 EI 19qa 4 ymax y2 x2 2 a 8EI
3
例5：图示变截面梁悬臂梁，试用积分法
求A端的挠度 P
I
2I
l
fA 解： AC段 0 x l
B
P 3 2 EIy x C2 x D2 6
由边界条件： x l时,y=0, =0
得：
C2
1 1 Pl 2 , D2 Pl 3 2 3
l x 时,yC左 =yC右 , C左 = C右 由连续条件： 2
5 3 2 C1 Pl , D1 Pl 3 16 16
由连续条件： x1 x2 a时, y1 y2 , y1 y2
由边界条件： x1 0时, y1 0
0 x 2 a 时 , y 由对称条件： 2 2
得 D1 0
C1 C2 得 D1 D2
11 3 得 C2 qa 6
qa 1 (11a 2 3 x12 ) 0 x1 a 6 EI q 2 [3ax2 2 ( x2 a)3 11a 3 a x2 2a 6 EI qa y1 (11a 2 x1 x13 ) 0 x1 a 6 EI q y2 [4ax23 ( x2 a) 4 44a 3 x2 ] a x2 2a 24 EI
工程力学---材料力学(第七章- 梁弯曲时位移计算与刚度设计)经典例题及详解
得： D 0
Pl 2 得： C 16
AC段梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
P 2 2 (4 x l ) 16 EI Px y (4 x 2 3 l 2 ) 48 EI
y
P
B
A
x
l 2
C
l 2
x
最大转角和最大挠度分别为：
max A B
ymax y
q 7qa 8k 384 EI
3
q/2
B C
q/2
A B C
顺时针
q/2
例16：图示梁Ｂ处为弹性支座，弹簧刚 度
EI k 求C端挠度fC。 2a 3
q
A
EI k
B
C
2a
a
解：(1)梁不变形，仅弹簧变形引起的C点挠度为 4 3 qa 3qa B处反力=qa fC 1 2 k EI
q
B
x
l
由边界条件： x 0时，y 0
x l时，y 0
得：
ql 3 C , D0 24
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
y
q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI
q
x
A qx y (2lx 2 x 3 l 3 ) 24 EI
ql 3 24 EI
A a a
q
B C
a
qa 12 EI
顺时针
3 3
P=qa
A B
P=qa
m=qɑ²/2
qa qa C B 6 EI 4 EI
4
顺时针
B
q
C
qa 5qa fC B a 8EI 24 EI
材料力学(金忠谋)第六版答案解析第07章
习 题7-1 用积分法求图示各悬臂梁自由端的挠度和转角，梁的抗弯刚度EI 为常量。
7－1（a ） 0M()M x = ''0EJ M y ∴='0EJ M y x C =+ 201EJ M 2y x Cx D =++ 边界条件: 0x =时 0y = ；'0y = 代入上面方程可求得：C=D=0201M 2EJ y x ∴='01=M EJ y x θ= 01=M EJ B l θ 201=M 2EJ B y l（b ）222()1M()222q l x qx x ql qlx -==-+- 2''21EJ 22qx y ql qlx ∴=-+-3'2211EJ 226qx y ql x qlx C =-+-+422311EJ 4624qx y ql x qlx Cx D =-+-++边界条件：0x = 时 0y = ；'0y =代入上面方程可求得：C=D=04223111()EJ 4624qx y ql x qlx ∴=-+-'2231111=(-)EJ 226y ql x qlx qx θ=+-3-1=6EJ B ql θ 4-1=8EJB y ql（c ）()()()()()0303''04'050()1()()286EJ 6EJ 24EJ 120l xq x q lq l x M x q x l x l x l q y l x l q y l x Cl q y l x Cx Dl-=-⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭∴=-=--+=-++边界条件：0x = 时 0y = ；'0y = 代入上面方程可求得：4024q l C l -= 50120q l D l=()455000232230120EJ 24EJ 120EJ(10105)120EJq q l q l y l x x l l l q x l l lx x l ∴=---+-=-+- 3024EJ B q l θ=- 4030EJB q l y =-(d)'''223()EJ 1EJ 211EJ 26M x Pa Pxy Pa Pxy Pax Px C y Pax Px Cx D=-=-=-+=-++ 边界条件：0x = 时 0y = ；'0y =代入上面方程可求得：C=D=023'232321112611253262B C C B y Pax Px EJy Pax Px EJ Pa Pa Pay y a a EJ EJ EJPa EJθθθ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭⎛⎫==-⎪⎝⎭=+=+==(e)()()()21222''1'211231113()02()2223EJ 231EJ ()2231EJ ()46a M x q qax x a q M x a x a x a a y q qaxa y qa x x C a y qa x x C x D =-+≤≤=--≤≤=-+=-++=--+++ 边界条件：0x = 时 0y = ；'0y =代入上面方程可求得：C=D=0()()()22118492024EJ 12EJ qax qax y a x a x x a ∴=--=--≤≤''2223'222242232221EJ ((2)4)21EJ (42)2312EJ (2)2312y q a ax x x y q a x ax C x y q a x ax C x D =--+=--++=---+++边界条件：x a = 时 12y y = ；12θθ=代入上面方程可求得：2296a C = 4224qa D =-()()43223421612838464162384q y x ax a x a a a x a EJ-=-+-+≤≤43412476B B qa y EJqa EJθ=-=-(f)()()221222''212'231122341115()20225()2225251EJ 22251EJ 26511EJ 4324qa qx M x qax x a qa qa a M x qax x a x a a y q ax x a y q x ax x C a y q x ax x C x D =-+-≤≤⎛⎫=-+--≤≤ ⎪⎝⎭⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭⎛⎫=--+++ ⎪⎝⎭边界条件：0x = 时 0y = ；'0y =代入上面方程可求得：C 1=D 1=0''22'2222223222EJ (2)1EJ (2)21EJ ()6y q a ax y q a x ax C y q a x ax C x D =--=--+=---++ 边界条件：x a = 时 12y y = ； ''''12y y =3296a C =- 4224a D =-437124136B B qa y EJqa EJθ=-=-7-2 用积分法求图示各梁的挠曲线方程，端截面转角θA 和θB ，跨度中点的挠度和最大挠度，梁的抗弯刚度EI 为常量。
第七章 弯曲变形
w
B2
wC 2
(ql)l 3 48 EI
第六节 梁变形的叠加解法
ql 3 ql3 ql 3 11ql3 B B1 B 2 B3 24 EI 3EI 16 EI 48 EI
5ql 4 3ql 4 (ql)l 3 11ql 4 wC wC1 wC 2 wC 3 384 EI 48 EI 48 EI 384 EI
dy ＝ dx
第一节 弯曲变形的基本概念
约束对位移的影响
没有约束无法确定位移
第一节 弯曲变形的基本概念
连续光滑曲线；铰支座对位移的限制
第一节 弯曲变形的基本概念
连续光滑曲线；固定端对位移的限制
第二节 挠曲线近似微分方程
力学公式
1 M ( x) ( x) EI z
数学公式
以上两式消去
a Fa 3F 拐点 (-)
a
(+)
M 图
极值，在挠度最大处，截
面的转角不一定为零，在 弯矩最大处，挠度不一定
Fa
最大。
下凸
上凸
直线
第四节 梁的刚度校核
刚度条件：
y max [ y ],
max
[ ]
[y]——许用挠度，[]——许用转角
工程中， [y]常用梁的计算跨度l 的若干分之一表示，例如： l l ~ 对于桥式起重机梁： [ y] 500 750 对于一般用途的轴：
y f (x)
y (x )
y
水平方向位移：高阶微 量，忽略不计。
第一节 弯曲变形的基本概念
角位移：横截面相对于原
来位置转过的角度，以表
示。亦可以用该截面处的
y
梁的挠度和转角问题分析
梁的挠度和转角问题分析梁的挠度和转角问题分析【引言】梁是工程中常见的结构构件之一，广泛应用于桥梁、楼板、悬挑等结构中。
在梁的工作过程中，挠度和转角是重要的力学参数，在设计和分析中起着重要作用。
本文将从理论和实际应用两个方面，对梁的挠度和转角问题进行分析。
【理论分析】1. 梁的基本原理梁是一种受力的构件，根据受力原理，梁可以被看作是许多个点质量组成的杆件。
在梁受到外力作用时，会产生内力和应变，从而引起梁的变形。
梁的挠度和转角是反映梁变形程度的重要参数。
2. 梁的挠度计算方法梁的挠度通常通过数学方程的求解来计算。
根据不同的边界条件和受力情况，可以采用不同的方法进行计算，如弯曲理论、拉伸理论、弯剪耦合理论等。
其中，弯曲理论是工程设计中常用的方法，利用欧拉－伯努力学说和简化假设，将梁的弯曲变形转化为微分方程求解问题。
3. 梁的转角计算方法梁的转角是指梁在受到外力或自重荷载作用时所产生的旋转变形。
在计算转角时，通常使用梁的弯矩与切线刚度的关系，通过积分计算得到。
转角的计算对于解决梁的位移和变形问题具有重要意义。
【实际应用】1. 桥梁工程中的挠度问题在桥梁工程中，挠度是重要的考虑因素之一。
过大的挠度会影响桥梁的使用寿命和安全性。
因此，在桥梁设计中需要进行挠度计算和控制。
通过实际工程实例，我们可以分析不同型式桥梁的挠度问题，如悬索桥、拱桥和梁桥等。
2. 楼板设计中的转角问题楼板作为建筑结构中的重要组成部分，其转角问题也需要得到充分考虑。
在楼板设计中，不同荷载条件下的转角计算是确保结构安全和满足使用要求的关键。
本文将分析楼板转角对结构整体性能和使用功能的影响，并提供相应的设计建议。
【结论】梁的挠度和转角问题是工程设计和分析中不可忽视的重要内容。
通过理论分析和实际应用，我们可以更好地理解梁的变形行为，并对梁的设计和优化提供参考，以确保结构的安全性和可靠性。
工程实践中的案例表明，挠度和转角分析在工程中起到了重要的引导作用，对于提高结构的设计水平和工程质量具有重要意义综上所述，梁的转角计算对于解决梁的位移和变形问题具有重要意义。
第七章 弯曲——弯曲位移
EIy = − ∫ [ ∫ M ( x)dx]dx + Cx +D
式中C, D 由梁支座处的已知位移条件 即位移边界条件确定。 弯矩方程分n段时，积分常数个数为 2n 个 由边界条件确定的方程需要2n个 方法的局限性：外力复杂或多跨静定梁时计算量过大
EIy ′ = EI θ = − ∫ M ( x ) dx +C
第七章 弯曲--弯曲位移部分
(Displacements of Bending Beam)
§7-7 梁的位移─挠度及转角
在工程中，对某些受弯构件，除要 求具有足够的强度外，还要求变形不能 过大，即要求构件有足够的刚度，以保 证正常工作。
摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大， 就会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。
Fb ( l 2 − b 2 ) Fb 3 F ( x − a )3 y2 = − x− x + 6 EIl 6 EIl 6 EI
受任意荷载的简支梁，只 要挠曲线上没有拐点，均 可近似地将梁中点的挠度 作为最大挠度。
F
a A x C D b B
x
y
l
例4：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁
的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax和ymax。
挠曲线近似微分方程
1、挠曲线方程(deflection equation)
曲线 y = f (x) 的曲率为
y′′ κ=± 2 3/ 2 ′ (1 + y )
梁纯弯曲时中性层的曲率：
M ( x) 1 = ρ ( x) EI z
M ( x) 1 = ρ( x) EI z
1 y′′ κ= =± ≈ ± y′′ 2 3/ 2 (1 + y′ ) ρ( x)
梁的弯曲第七章答案
梁的弯曲第七章答案思考题1、什么是梁的纯弯曲?什么是梁的横力弯曲？当梁的横截面上仅有弯矩而无剪力，即仅有正应力而无切应力的情况，称为纯弯曲。
横截面上同时存在弯矩和剪力，即既有正应力又有切应力的情况，称为横力弯曲或剪切弯曲。
2、什么是纵向对称截面？什么是中性层和中性轴？中性轴的位置如何确定？梁的横截面一般至少有一个对称轴，因而由各横截面的对称轴组成了梁的一个纵向对称面。
梁弯曲时部分纤维伸长，部分纤维缩短，由伸长区到缩短区，其间必存在一长度不变的过渡层，称为中性层，中性层与横截面的交线称为中性轴。
3、画剪力图和弯矩图的一般步骤是什么？弯曲变形时，如何确定梁的危险截面？a．利用平衡方程求出梁上的全部约束反力；b．判断梁上各段Q、M图的形状；c．确定关键点的剪力和弯矩值，并作图。
d．在图中找到最大剪力和最大弯矩的值，从而确定危险截面。
等截面梁弯曲时，最大弯矩所在的截面为危险截面。
4、弯曲变形时，梁的正应力在横截面上如何分布？如何确定梁横截面的危险点？梁弯曲时，横截面上任一点处的正应力与该截面上的弯矩成正比，与惯性矩成反比，与该点到中心轴的距离y 成正比。
y 值相同的点，正应力相等；中性轴上各点的正应力为零。
在中性轴的上、下两侧，一侧受拉，一侧受压。
距中性轴越远，正应力越大。
梁横截面的危险点是到中心轴的距离最远的点。
5、什么是挠曲线？什么挠度？什么是转角？它们之间有何关系？直梁发生弯曲变形时，除个别受约束处以外，梁内各点都要移动，即都有线位移。
由于各个横截面形心的线位移不同，以致原为直线的形心轴变为平滑曲线，这个曲线称为挠曲线。
受弯曲变形的简支梁，在C 截面，梁横截面的形心变形后移到C ’截面，则梁横截面的形心沿y 轴方向的线位移称为该截面的挠度。
梁的横截面对其原有位置的角位移，称为该截面的转角。
关系：)('tan x f dxdy ==≈θθ。
习题7-1最大剪力值为7qa/4 。
最大弯矩值为7-2 （1）图略（2）MPa 9200max =σ。
第七章弯曲变形1
讨论：1、此梁的最大转角。
Fab ( L b) A ; 6 LEI
当 a ＞b 时——
Fb l
Fab ( L a) B 6 LEI
Fab ( L a) 6 LEI
max B
a
x1
ymax
y1
x x1
Fb ( L2 b 2 ) 3 9 3LEI
Fb l
a
x1
F C
b
Fa l ymax y1 0 x1
L2 b 2 a(a 2b) 3 3
A
B
x2
ymax
y1
x x1
Fb ( L2 b 2 ) 3 9 3LEI
当载荷接近于右支座，即b很小时，由上式可得：
右侧段（a≤x2≤L）：
Fa l
A
B
x2
d) 确定挠曲线和转角方程
Fbx1 2 2 2 L b x1 6 LEI Fb 2 1 y1 ( L2 b 2 ) 3 x1 6 LEI y1
Fb x2 F ( x 2 a ) L Fb 2 F ( x2 a ) 2 EIy2 x2 C2 2L 2 Fb 3 F ( x2 a ) 3 EIy2 x2 C2 x2 D2 6L 6 EIy2
Fb l
a
x1
F
C
b
Fa l
b)写出微分方程并积分
A
右侧段（a≤x2≤L）：
B
左侧段（0≤x1≤a）：
x2
Fb Fb EIy2 x2 F ( x 2 a ) EIy1 x1 L L Fb 2 F ( x2 a ) 2 Fb 2 EIy2 x2 C2 EIy1 x1 C1 2L 2 2L Fb 3 Fb 3 F ( x2 a ) 3 EIy1 x1 C1 x1 D1 EIy2 x2 C2 x2 D2 6L 6L 6 c) 应用位移边界条件和连续条件求积分常数
材料力学-梁的挠度 PPT
最大挠度及最大转角
max(a)
Pa2 2EI
a
P
L
x
fmax f(L)6PE2aI3La
f
[例3] 试用积分法求图示梁的挠曲线方程和转角方程，并
求C截面挠度和A截面转角。设梁的抗弯刚度EI为常数。
解：1．外力分析：求支座约束反力。 研究梁ABC，受力分析如图，列平衡方程：
m F yA R R A B R l B FF 1 .5 0 l0 R R B A 1 .0 5.F 5F
二、结构形式叠加（逐段刚化法）
2.位移边界条件
P
A
C
B
D
P
支点位移条件：
fA 0 fB 0
连续条件： fC fC
光滑条件： 讨论：
C
C
fD 0 D 0
或写 fC 左成 fC 右
或 写 C 左 成C 右
①适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。
②可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。
③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条
件）确定。
④优点：使用范围广，直接求出较精确；缺点：计算较繁。
[例1] 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。
解：
P L
建立坐标系并写出弯矩方程
x
x
M (x)P(xL)
f
写出微分方程并积分
应用位移边界条件求积分常数
E f I M (x ) P (L x ) EfI1 2P(Lx)2C1
大家有疑问的，可以询问和交
对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式：
EfI (x) M (x)
§7-3 积分法计算梁的位移
《2024年梁的挠度和转角问题分析》范文
《梁的挠度和转角问题分析》篇一一、引言在工程结构中，梁作为基本的结构构件，其承载能力和稳定性对于整个结构的性能至关重要。
梁在受到外部载荷作用时，会产生挠度和转角，这些变形对结构的整体性能和安全性有着重要影响。
因此，对梁的挠度和转角问题进行分析，对于保障工程结构的安全性和稳定性具有重要意义。
本文将针对梁的挠度和转角问题进行分析，探讨其产生原因、影响因素及解决方法。
二、梁的挠度和转角产生原因梁的挠度和转角是由于外部载荷作用在梁上，导致梁发生变形。
其中，挠度是指梁在受到外部载荷作用时，其垂直于轴线的位移；转角则是指梁在受到外部载荷作用时，其轴线方向的转动角度。
这些变形会影响梁的承载能力和稳定性，严重时可能导致结构失效。
三、影响梁的挠度和转角的因素1. 载荷大小：外部载荷越大，梁的挠度和转角越大。
2. 梁的跨度：梁的跨度越大，其抵抗变形的能力越弱，挠度和转角越大。
3. 梁的材料性质：梁的材料弹性模量、截面惯性矩等材料性质对梁的抗变形能力有重要影响。
4. 支座条件：支座的刚度和位置对梁的挠度和转角也有影响。
四、梁的挠度和转角问题分析针对梁的挠度和转角问题，需要进行以下分析：1. 理论分析：通过理论计算，分析梁在受到外部载荷作用时的挠度和转角，了解其变形规律和影响因素。
2. 实验研究：通过实验测试，验证理论分析的准确性，并了解实际工程中梁的挠度和转角情况。
3. 数值模拟：利用有限元等方法，对梁进行数值模拟分析，了解其在不同载荷和支座条件下的变形情况。
4. 问题诊断：针对实际工程中出现的梁的挠度和转角问题，进行诊断和分析，找出问题的原因和影响因素。
五、解决方法针对梁的挠度和转角问题，可以采取以下解决方法：1. 优化设计：通过优化梁的截面形状、跨度、支座条件等设计参数，减小其挠度和转角。
2. 选择合适的材料：选择具有较高弹性模量和较好力学性能的材料，提高梁的抗变形能力。
3. 加强支撑：在需要的地方增加支撑，提高梁的稳定性，减小其挠度和转角。
《梁的挠度及转角 》课件
载荷大小和方向不随时间变化，转角计算相对简 单。
动载荷
载荷大小和方向随时间变化，需要考虑时间因素 对转角的影响，计算较为复杂。
冲击载荷
载荷突然施加或卸载，可能导致梁发生大变形和 瞬时转角，需要特别考虑安全系数。
04
梁的挠度及转角实例分析
实际工程中的挠度及转角问题
总结词：实际应用
详细描述：梁的挠度和转角是实际工程中常见的问题，特别是在桥梁、建筑和机 械工程中。了解和掌握梁的挠度及转角对确保结构安全和性能至关重要。
设计思路
通过调整梁的截面尺寸、材料、支撑条件等，使挠度和转角在一个 合理的范围内，以保证梁的安全性和稳定性。
优化设计实例分析
1 2 3
案例一
某桥梁的横梁设计，通过优化截面尺寸和材料分 布，显著降低了挠度，提高了承载能力。
案二
某高层建筑的楼板设计，通过合理布置支撑和优 化梁的尺寸，有效控制了转角，增强了结构的稳 定性。
案例三
某机械设备的框架设计，综合考虑挠度和转角的 影响，优化了整体结构，实现了轻量化和高性能 。
THANKS
感谢观看
进行计算。
动载荷下的挠度
在动载荷作用下，梁的挠度值可能 较大，需要考虑动载荷对挠度的影 响，可以采用动力学模型进行计算 。
复合载荷下的挠度
在实际工程中，梁可能同时受到静 载荷和动载荷的作用，需要采用更 为复杂的模型进行计算。
03
梁的转角计算
转角的计算方法
公式法
根据梁的物理方程和边界条件， 通过数学公式计算转角。
实例分析一：简支梁的挠度及转角
总结词
简支梁分析
详细描述
简支梁是一种常见的梁类型，其挠度和转角可以通过理论公式进行计算。该实 例将介绍简支梁在不同载荷下的挠度和转角，以及如何通过优化设计来减小挠 度和转角。
建筑力学之材料力学第7章(华南理工)
例7-2 求图示梁的最大挠度和 B截面的转角。 1 ql 解: 取坐标系如图.
例7-2 求图示梁的最大挠度和 B截面的转角。 由于梁和梁上的荷载是 1 ql 对称的, 所以最大挠度发生 2 在跨中: q
5ql4 l 2l l l3 l = ymax = y x l = 24 EIz 2 2 2 384 EIz 2
M ( x) y= EIz
EIz =Flx 1 Fx2 2 1 Flx2 1 Fx3 EIz ) EIz 2 y = 1 1 Flx2 1 Fx3 (挠度方程) EIz 2 6
将x=l 代入上述二式, 即得自由端截面的转角和挠度:
D1 =D2 D2 =0 由条件(4)有: Fb a3 C1a D1 = Fb a3 +C2a +D2 6l 6l 由条件(1)得: D1 =0 由条件(2)得: F (l a )3 Fb l3 +C2l =0 6 6l Fb (l2 b2 ) C2 = 6l 2 2 =EIz1 = Fb x1 C1 EIz y2 = F ( x2 a )2 Fb x2 C2 EIz y1 2 2l 2l 3 3 EIz y1 = Fb x1 C1 x1 D1 EIz y2 = F ( x2 a )3 Fb x2 +C2 x2 +D2 6l 6 6l 边界条件: 变形连续条件: x1 =x2 =a , y1 =y2 (3) y= M ( x ) x1 =0, y1 =0 (1) EIz x1 =x2 =a , y1 =y2 (4) x2 =l , y2 =0 (2)
M ( x) y= EIz
例7-3 求图示梁C截面的挠度 和A截面的转角。 yC = Fab l 2 b2 a2 6lEIz
材料力学第7章
积分一次： Fb 2 EIw1 x C1 2l 积分二次： Fb 3 EIw1 x C1 x D1 6l
11
CB段（a x l）: 弯矩方程：
Fb M 2 x x F x a l
挠曲线近似微分方程：
Fb EIw2 x F x a l Fb 2 F 2 x x a C2 积分一次： EIw2 2l 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 1 x 0
Fab l b , B 2 6lEI
Fab l a B = 6lEI
Fl 3 Fl 3 Fl 3 2 EI 6 EI 3EI
7
wmax w x l
例题7.2：图示弯曲刚度为EI的简支梁，受集度为q的均布 荷载作用，试求梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最 大挠度和最大转角。 解：由平衡方程得支座反力 ql FA FB 2 建立坐标系，得梁的弯矩方程为 1 1 2 M x qlx qx 2 2 梁挠曲线近似微分方程
1 3 C ql ， D 0 24
9
梁的转角方程
q w (4 x3 6lx 2 l 3 ) 24 EI
梁的挠曲线方程
(5)
qx w ( x3 2lx 2 l 3 ) 24 EI
最大转角
(6)
max
ql 3 A B 24 EI
2
最大挠度
M ( x) F l x
1
挠曲线近似微分方程
EIw M x F l x 2 两次积分，得 1 2 EIw Flx Fx C 2 1 1 3 2 EIw Flx Fx Cx D 2 6
材料力学第七章 梁的变形
EIy1=－Fx13/9＋ 5Fa2x1/9 EIy2=－Fx23/9＋F(x2－a )3/6＋ 5Fa2x2/9
（0≤x1 ≤a）
（ a ≤x2 ≤3a ）
7. 求ymax , θmax
x 0,
max
A
5Fa2 9EI
（）
x 1.367a,
ymax
0.4838 Fa3 EI
21
F
A
C
在如图所示的座标系下，顺时针转为正，反之为负。
转角方程 θ = θ（x）
平行于轴线方向的线位移忽略
7
挠度与转角的关系：
θ θ’
y
x y
小变形
θ =θ ′
tgθ ′ ≈ θ ′ = y′
y dy
dx
x
8
§7-2 直梁挠曲线近似微分方程
一、挠曲线近似微分方程
纯弯曲 k 1 M
EIz
(x)
F C yCF
42
例题4
怎样用叠加法确定C 和 yC ?
q
A
B
C
yC
l
l
C
2
2
43
A
B
l 2
q
C
yC
l
C
2
A
l 2
A
l 2
q
B
l 2
q
B
l 2
A
q
l
B
l
2
2
44
简单静不定梁（超静定梁）
一、静定梁
F Fl
A
B
C
l
l
2
2
qa
A
B
C
a
a
45
第七章 梁的位移及简单超静定粱
a
Ⅰ C
F
b
Ⅱ B
x
Fa l
x x l
FB =
l Fb 2 EI ω1′ ( x ) = − x + C1 2l
(1)
EI ω1 ( x ) = −
Fb 3 x + C1 x + C2 6l
(2)
CB(Ⅱ)段 ( a ≤ x ≤ l) Ⅱ段
(以x左边为分离体，F(x-a)不展开 以 左边为分离体 左边为分离体， 不展开) 不展开
）
怎样求ωmax？
ω ′ ( x0 ) = 0 时 ω 有极值
Fab Fab 3) ⇒ θC = ( (b − a ) < 0 当a>b 时， A = ＝ θ ( l + b ) > 0 ; 当x＝a 时， 3EIl 6 EIl l 2 − b2 (5) 所以，x0位于AC段，由(3)式 ⇒ x0 = 所以， 位于 段 式 3
M = （中 ρ EI
1
§7.2 挠曲线近似微分方程及其积分
ρ M ( x) 1 横力弯曲时，梁的内力有剪力和弯矩， 横力弯曲时，梁的内力有剪力和弯矩，细长 = ρ ( x) EI 梁不计剪力对位移的影响。但注意M和 均为 均为x的 梁不计剪力对位移的影响。但注意 和ρ均为 的 函数。 函数。将上式改写为 ω ′′ ( x ) 1 2 在高等数学中， 在高等数学中， ( x ) = ± 小变形时 1 + ω ′ ( x ) ≈ 1 3 ρ 1 + ω ′ ( x )2 2
Fb Fb ′′ ( x ) = − M 2 ( x) = x − F ( x − a ) ⇒ EI ω2 x + F ( x − a) l l 以(x-a)为积 为积 Fb 2 1 2 ′ EI ω2 ( x ) = − x + F ( x − a ) + D1 (1)′ 分变量 2l 2 Fb 3 1 3 (2)′ EI ω2 ( x ) = − x + F ( x − a ) + D1 x + Dx 6l 6
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第七章 梁的弯曲变形
例 7-4 试用叠加原理求图示弯曲刚度为EIz的简支梁的跨
中截面挠度ωc和梁端截面的转角θA，θB.
Fq
B 解 yc yqcyFc
A
C EI z
l2
l2
yqc
5qL4 384EI z
yFc
FL3 48EI z
q
B
yc
5qL4 384EIz
FL3 48EIz
A
C EI z
l2
axL
L
AC段
E EzIyzI''11 M 2F1 Lbxx2CF 1Lb x
CB段
E E zy'I z'2 I 2 M 2 F 2 L x x b 2 1 2 F F L x xb a F 2 x C a 2
E zy 2 I 6 F L x 3 b 1 6F x a 3 C 2 x D 2
A
AA A A A
A
~
~
~
~~
A
AA
~
~
yA 0
yA 0
A 0
yALyAR
ALAR
10
第七章 梁的弯曲变形
例7-1 求图所示悬臂梁A端的挠度与转角。
F
x
A
yA
A
l
M xFx
B
x
d d EE Ix zy zId dFx y 2x 2M E (CF IZ x1)x dd x C x C11
i 1
由于梁的边界条件不变，因此
n
y y i
i1
重要结论：
n
i ,
i1
梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等
于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。 这就是计算弯曲变形的叠加原理。
18
第七章 梁的弯曲变形
叠加法计算位移的条件：
1、梁在荷载作用下产生的变形是微小的； 2、材料在线弹性范围内工作，梁的位移与荷载呈线 性关系；
第七章 梁的弯曲变形
第七章 梁的位移-转角、挠度
7.1 工程中梁的变形 转角 挠度 7.2 梁挠曲线的近似微分方程 7.3 利用积分法求梁的位移 7.4 利用叠加法求梁的位移 7.5 梁的刚度条件与校核 7.6 简单超静定梁的计算 7.7 提高抗弯刚度的措施
1
随 着 课 堂 程改 革的深 入，义 务教育 阶段的 化学新 教材已 经用于 课堂教 学。在 新 教 材 实 施 过程中 ，教师 们普遍 认为： 这套教 材体系 全新、 图文并 茂，体 现了教 材 的开放 性，鼓 励教师 实施个 性化教 学，有 利于培 养学生 的综合 素质和 科学素 养。 但 在 教 学 中 也面临 着许多 疑难和 困惑， 主要表 现在以 下方面 。 1.新 教 材 改 变
y
边界条件
x L B 0 x L yB 0
x 0
A
FL 2 2 EI z
C1 C
FL2
2
2 EI FL 3
z
3 EI z
yA
FL 3 3EI z
EEzIIyzyFF262xx3dxC C11xx C C22
Fx2 FL2
2EIz 2EIz
y Fx3 FL 2 x FL 3 6EIz 2EIz 3EIz
等 是氧化 物，可 以让学 生去领 悟什么 样的物 质是氧 化物。 但教学 起来确 实有困 难， 因 为学生 不知道 单质， 化合物 的概念 。 2.教材 中知识 阐述太 简略。 纵观全 书，
课 文 中 的 知 识阐述 简略。 作为教 师在教 学过程 中，应 根据《 课程标 准》的 要求， 需 要拓展 的地方 不少， 如化学 式的书 写方法 ，新教 材中没 有讲单 质化学 式如何 写？ 含 原 子 团 的 化学式 书写方 法，读 法等应 适当补 充，不 然，学 生进一 步学习 化学就 感 到 处 处 有 困难。 新 的 《 九 年级化 学课程 标准》 为化学 教学树 立了新 理念，
力靠近哪个支座，哪边的转角最大。
EzIC2 F La b 2FL 6 b 2 L b2
C
Faabb
3L
2 FLb x02Fb L 62L b2 0
x0
L2 b2 3
一般认为梁的最大挠度就发生在跨中
转角为零的点在AC段
b 1L 2
b0
x0
1 2
L
x0
3 L 0.57L714 3
第七章 梁的弯曲变形
§7-4 用叠加法求梁的变形
讨论 叠加法求变形有什么优缺点？
24
第七章 梁的弯曲变形
§7-5 梁的刚度条件
1.刚度条件
y max [y ], max [ ]
ym ax l
y l
建筑钢梁的许可挠度： 混凝土梁的许可挠度：
l~ l 250 1000
l 300
25
7-5
第七章 梁的弯曲变形
例7-7 悬臂梁承受荷载如图示。已知均布荷载集度q=15kN/m，梁的长
7
d2y dx2
M ( x) EIZ
A
第七章 梁的弯曲变形
C
Bx
y
d y
dx
M(x)d EI Z
xC1
C B
tan dy
dx
在小变形情况下，任一截面的转角等于挠曲线 在该截面处的切线斜率。
y M E (Z x I )d• xdx C 1xC 2
8
第七章 梁的弯曲变形
通过积分求弯曲位移的特征：
度L=2a=2m，材料的弹性模量E=210GPa，许用正应力[σ]=160MPa，梁
的许可挠度[y/L]=1/500。试选择工字钢的型号。
q
1.按强度选择
A
C
L 2a
Байду номын сангаас
L 2a
B
W
M max
3 qa
2
2
14.06cm3
查表：选16号工字钢
2.按刚度选择
q
A L 2a C
q
L 2a
A C
q
Iz 11 c4 3 m , 0W z 1c 43 m 1
EIdd2xy2 EIy'' M(x)
若梁上只有第i个载荷单独作用，截面上弯矩
为
Mi ( x) ，转角为
，挠度为
i
yi
，则有：
EIiy''Mi(x)
n
由弯矩的叠加原理知：Mi (x) M(x) i1
n
n
所以， E I y''i E(Iyi)''M(x)
i1
i1
17
7-4
第七章 梁的弯曲变形
n
故
y' ' ( yi )' '
查表
5q0L4 384 EI Z
C
1 5q0L4 2 384EIZ
5q0 L4 768 EI Z
21
第七章 梁的弯曲变形
§7-4 用叠加法求梁的变形
A
B
L 2a
q
L 2a
例7-6 已知：悬臂梁受力如图
示，q、l、EI均为已知。求C 截面的挠度yC和转角C
C 解 1）首先，将梁上的载荷
变成有表可查的情形
l2
A qAFA
F
B
qA
qL3 24 EI z
FA
FL2
16 EI z
A
C EI z
l2
l2
A
qL3 24EIz
FL2 16EIz
B
20
第七章 梁的弯曲变形
例7-5 AB梁的EI为已知,试用叠加法,求梁中间C截面挠度.
q0
A
q0L 6
B
C
l q0L 3
将三角形分布荷载看成载荷集度为q0的均布载荷的一半
了 传 统 的 编 排模式 。在以 往的化 学教材 中，每 个概念 的出现 是循序 渐进的 ，让学 生 了 解 概 念 的内涵 和外延 ，而新 教材有 的概念 是先让 学生感 知，再 逐步掌 握。如 氧 化 物 这 个 词在单 质，化 合物之 前出现 了，并 没有下 定义如 P2O5、 AL2O3、 SO2
结论:在简支梁中, 不论它受什么荷载作 用, 只要挠曲线上无 拐点, 其最大挠度值都 可用梁跨中点处的挠度值来代替, 其精确度 是能满足工程要求的.
15
第七章 梁的弯曲变形
讨论 积分法求变形有什么优缺点？
16
第七章 梁的弯曲变形
§7-4 用叠加法求梁的变形
设梁上有n 个载荷同时作用，任意截面上的弯矩为 M(x)，转角为 ，挠度为y，则有：
A
C 面的挠度和转角。
L 2a B
L 2a
ql 4 yC1 8EI ,
C1
ql 3 6 EI
yC 2
yB2
B2
l 2
C2
ql3 48EI
A
B
C
ql4
ql3 l
,
q
128EI 48EI 2
3）将结果叠加
2
41ql4
yC i1 yCi 384EI
C
2
Ci
i1
7ql3 48EI
23
第七章 梁的弯曲变形
求图示简支梁在集中荷载F的作用下（F力在右半跨）的最大挠度。
a A
Fb L
x
F b
C
l
B
x EzI12 F Lx b 2FL b 6 2 L b2
Ezy I 1F 6Lx b 3FL 6 b 2 L b2x
Fa
L
E z2 I 2 F L x 2 b 1 2 F x a 2 F L 6 2 L b b 2