8-3用积分法求梁的挠度和转角

设弯矩刚度EI为常数。
§8-3 用积分法求梁的挠度和转角
解：1、绘制挠曲线的基本依据
1 y M (x)
(x)
EI z
根据弯矩的正、负、零值点或零值区，确定挠曲线的凹、
凸、拐点或直线区。
在梁的被约束处，应满足位移边界条件；在分段处，则 应满足位移连续条件。
2、画挠曲线的大致形状图
AD段的弯矩为正，DC段的弯矩为负，横截面D的弯矩为零，其横坐标 为XD=8a/5。
ql x3 q x4 ql3 x 12 24 24
y qx (l3 2lx2 x3) 24EI
EIy ql x2 q x3 ql3 4 6 24
q (l3 6lx2 4x3)
24EI
最大转角和最大挠度分别为：
5ql 4
ymax
y
x l 2
384EI
max
A
B
ql3 24 EI
此梁的转角方程和挠度方程，并确定最大转角和最大挠度。
解：
FRA
FRB
ql 2
M(x) ql x q x2
22
EIy ql x q x2 22
EIy ql x2 q x3 C 46
EIy ql x3 q x4 Cx D 12 24
由边界条件：
x 0，yA 0 ; D 0
xl,
§8-3 用积分法求梁的挠度和转角 梁的挠曲线近似微分方程：
d 2 y M (x) dx2 EI
EI
d2y dx2
M
(x)
积分一次得转角方程为：
EIy M (x)
dy dx
M (x) EI
dx
C
再积分一次得挠度方程为：
y
M (x) EI
dx
dx
Cx
D
§8-3 用积分法求梁的挠度和转角
梁截面的已知位移条件或位移约束条件，称为梁位移的边界条件。 积分常数C、D 由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。
位移边界条件
~
AA
~~
~
~
A
A
A A AA
A AA A
~
~
yA 0
yA 0
A 0
~ ~~ ~~
A
A AAA
光滑连续条件
A
A AA
A
A AA A
~ ~~
~ ~ ~
~
~
yA yAL yAR
－弹簧变形 AL AR
yAL yAR
§8-3 用积分法求梁的挠度和转角 外伸梁，承受集中载荷作用，试绘制挠曲线的大致形状图。
3、确定转角方程和挠度方程
F (lx x2 ) y F (lx2 x3 )
EI 2
EI 2 6
4、确定最大转角和最大挠度
x l,
max
Fl2 2EI
,
ymax
Fl3 3EI
§8-3 用积分法求梁的挠度和转角
例8-2 一简支梁如图8-9所示，在全梁上受集度为q的均布载荷作用。试求
d2y EI dx2 M (x) F(l x)
积分一次
dy F (lx x2 ) C
dx EI 2
再积分一次
y
F
Байду номын сангаас
lx 2 (
x3 ) Cx D
EI 2 6
§8-3 用积分法求梁的挠度和转角
2、由位移边界条件确定积分常数
x 0, A 0
x 0, yA 0
代入求解
C 0, D 0
yB 0 ;
C ql3 24
§8-3 用积分法求梁的挠度和转角
例8-2 一简支梁如图8-9所示，在全梁上受集度为q的均布载荷作用。试求 此梁的转角方程和挠度方程，并确定最大转角和最大挠度。
x 0，yA 0 ; D 0
xl,
yB 0 ;
C ql3 24
EIy ql x3 q x4 Cx D 12 24
§8-3 用积分法求梁的挠度和转角 AD段为凹曲线，DC段为凸曲线，D截面存在拐点。
在支座A、B处挠度为零。在梁的交界面与截面D处，挠 曲线满足连续、光滑的条件。
§8-3 用积分法求梁的挠度和转角
§8-3 用积分法求梁的挠度和转角
解：1、写出x截面的弯矩方程
M (x) F(l x)
列挠曲线近似微分方程并积分