西北工业大学计算方法第六章作业答案

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计算方法习题及答案

第一章绪论一.填空题1.*x 为精确值x 的近似值；()**x f y=为一元函数()x f y =1的近似值；()**,*y x f y =为二元函数()y x f y ,2=的近似值，请写出下面的公式：**e x x =-：***rx x e x -=()()()*'1**y f x x εε≈⋅ ()()()()'***1**r r x f x y x f x εε≈⋅ ()()()()()**,**,*2**f x y f x y y x y x yεεε∂∂≈⋅+⋅∂∂()()()()()****,***,**222r f x y e x f x y e y y x y y y ε∂∂≈⋅+⋅∂∂2、计算方法实际计算时，对数据只能取有限位表示，这时所产生的误差叫舍入误差。

3、分别用2.718281，2.718282作数e的近似值，则其有效数字分别有 6 位和 7 位；又取1.73≈（三位有效数字），则-211.73 10 2≤⨯。

4、设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x 的相对误差限为 0.0055 。

5、设121.216, 3.654x x ==均具有3位有效数字，则12x x +的误差限为 0.01 。

6、已知近似值 2.4560A x =是由真值T x 经四舍五入得到,则相对误差限为 0.000021 .7、递推公式,⎧⎪⎨⎪⎩0n n-1y =y =10y -1,n =1,2,如果取0 1.41y ≈作计算,则计算到10y 时,误差为8110 2⨯;这个计算公式数值稳定不稳定不稳定 .8、精确值 14159265.3*=π，则近似值141.3*1=π和1415.3*2=π分别有 3 位和 4 位有效数字。

9、若*2.71828x e x =≈=,则x 有 6 位有效数字，其绝对误差限为1/2*10-5。

10、设x*的相对误差为2％，求(x*)n 的相对误差0.02n 二、计算题1. 有一个长方形水池,由测量知长为(50±0.01)米,宽为(25±0.01)米,深为(20±0.01)米,试按所给数据求出该水池的容积,并分析所得近似值的绝对误差和相对误差公式,并求出绝对误差限和相对误差限. 解：设长方形水池的长为L ，宽为W,深为H ，则该水池的面积为V=LWH当L=50,W=25,H=20时，有 V=50*25*20=25000(米3) 此时，该近似值的绝对误差可估计为()()()()()()()=V V VV L W H L W HWH L HL W LW H ∂∂∂∆≈∆+∆+∆∂∂∂∆+∆+∆ 相对误差可估计为：()()r V V V∆∆=而已知该水池的长、宽和高的数据的绝对误差满足()()()0.01,0.01,0.01L W H ∆≤∆≤∆≤故求得该水池容积的绝对误差限和相对误差限分别为()()()()()()325*20*0.0150*20*0.0150*25*0.0127.5027.501.1*1025000r V WH L HL W LW H V V V -∆≤∆+∆+∆≤++=∆∆=≤=2.已知测量某长方形场地的长a=110米,宽b=80米.若()()**0.1 0.1a a b b -≤-≤米，米试求其面积的绝对误差限和相对误差限. 解：设长方形的面积为s=ab当a=110,b=80时，有 s==110*80=8800(米2) 此时，该近似值的绝对误差可估计为()()()()()=b s ss a b a ba ab ∂∂∆≈∆+∆∂∂∆+∆ 相对误差可估计为：()()r s s s∆∆=而已知长方形长、宽的数据的绝对误差满足()()0.1,0.1a b ∆≤∆≤故求得该长方形的绝对误差限和相对误差限分别为()()()()() 80*0.1110*0.119.019.00.0021598800r s b a a b s s s ∆≤∆+∆≤+=∆∆=≤= 绝对误差限为19.0；相对误差限为0.002159。

西工大计算方法作业答案

参考答案第一章1 *1x =1.7； *2x =1.73； *3x =1.732 。

2．3．（1） ≤++)(*3*2*1x x x e r 0.00050；（注意：应该用相对误差的定义去求）（2） ≤)(*3*2*1x x x e r 0.50517；（3） ≤)/(*4*2x x e r 0.50002。

4．设6有n 位有效数字，由6≈2.4494……，知6的第一位有效数字1a =2。

令3)1()1(1*1021102211021)(-----⨯≤⨯⨯=⨯=n n r a x ε 可求得满足上述不等式的最小正整数n =4，即至少取四位有效数字，故满足精度要求可取6≈2.449。

5. 答：（1）*x (0>x )的相对误差约是*x 的相对误差的1/2倍；（2）nx )(* 的相对误差约是*x 的相对误差的n 倍。

6．根据********************sin 21)(cos 21sin 21)(sin 21sin 21)(sin 21)(c b a c e c b a c b a b e c a c b a a e c b S e r ++≤=******)()()(tgcc e b b e a a e ++ 注意当20*π<<c 时，0**>>c tgc ，即1*1*)()(--<c tgc 。

则有)()()()(****c e b e a e S e r r r r ++<7．设20=y ，41.1*0=y ，δ=⨯≤--2*001021y y 由 δ1*001*111010--≤-=-y y y y ，δ2*111*221010--≤-=-y y y yMδ10*991*10101010--≤-=-y y y y即当0y 有初始误差δ时，10y 的绝对误差的绝对值将减小1010-倍。

而11010<<-δ，故计算过程稳定。

计算方法的课后答案解析

《计算方法》习题答案第一章数值计算中的误差1．什么是计算方法？（狭义解释）答：计算方法就是将所求的的数学问题简化为一系列的算术运算和逻辑运算，以便在计算机上编程上机，求出问题的数值解，并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算。

2．一个实际问题利用计算机解决所采取的五个步骤是什么？答：一个实际问题当利用计算机来解决时，应采取以下五个步骤：实际问题→建立数学模型→构造数值算法→编程上机→获得近似结果4．利用秦九韶算法计算多项式4)(53-+-=x x x x P 在3-=x 处的值，并编程获得解。

解：400)(2345-+⋅+-⋅+=x x x x x x P ，从而所以，多项式4)(53-+-=x x x x P 在3-=x 处的值223)3(-=-P 。

5．叙述误差的种类及来源。

答：误差的种类及来源有如下四个方面：（1）模型误差：数学模型是对实际问题进行抽象，忽略一些次要因素简化得到的，它是原始问题的近似，即使数学模型能求出准确解，也与实际问题的真解不同，我们把数学模型与实际问题之间存在的误差称为模型误差。

（2）观测误差：在建模和具体运算过程中所用的一些原始数据往往都是通过观测、实验得来的，由于仪器的精密性，实验手段的局限性，周围环境的变化以及人们的工作态度和能力等因素，而使数据必然带有误差，这种误差称为观测误差。

（3）截断误差：理论上的精确值往往要求用无限次的运算才能得到，而实际运算时只能用有限次运算的结果来近似，这样引起的误差称为截断误差（或方法误差）。

（4）舍入误差：在数值计算过程中还会用到一些无穷小数，而计算机受机器字长的限制，它所能表示的数据只能是一定的有限数位，需要把数据按四舍五入成一定位数的近似的有理数来代替。

这样引起的误差称为舍入误差。

6．掌握绝对误差（限）和相对误差（限）的定义公式。

答：设*x 是某个量的精确值，x 是其近似值，则称差x x e -=*为近似值x 的绝对误差（简称误差）。

西北工业大学计算方法作业集答案及试题

答：（1）
2 则有 er ( S ) < er ( a * ) + er (b * ) + er (c * )
*
注意当 0 < c <
*
π
时， tgc * > c * > 0 ，即 (tgc * )
−1
< (c * ) 。
−1
7．设 y0 = 由
1 * * 2 ， y0 = 1.41 ， y0 − y0 ≤ × 10 − 2 = δ 2 * −1 * −1 y1 − y1 = 10 y0 − y0 ≤ 10 δ ，
η ∈ [ a, b]
1 f ′(η )(b − a ) 2 2
（2）右矩形公式将 f(x)在 b 处展开，并积分，得（3）中矩形公式将 f(x)在 a + b 处展开，得
2
∫
b
a
f ( x)dx = (b − a ) f (b) −
x * ( x > 0 )的相对误差约是 x * 的相对误差的 1/2 倍； * * n （2） ( x ) 的相对误差约是 x 的相对误差的 n 倍。 1 * * 1 * 1 * b sin c *e(a * ) a sin c *e(b* ) a b cos c *e(c * ) * 2 2 2 6．根据 er ( S ) ≤ + + 1 * * 1 * * 1 * * a b sin c * a b sin c * a b sin c * 2 2 2 * * * e(a ) e(b ) e(c ) = + * + a* b tgc *
I = 5.6308e −2.8882t
3.1781 4 3.1781 3.6092

西北工业大学计算方法试题

x ( k +1)
=
x(k)
−
ω

A(
x
(
k
+1
)
+ 2
x(k)
)
−
b
ω >0 , k = 0,1,2,⋯
对任意初始向量 x (0) ， x (k+1) 是否收敛到方程组 Ax = b 的解？为什么？
西北工业大学考试试题（卷）-计算方法二
1 填空 1）. 近似数 x* = 0.0142 关于真值 x = 0.0139 有__为有效数字。
0
试求满足插值条件的四次多项式 p(x).
6 设有如下的常微分方程初值问题

dy dx
=
x ,1 < y
x ≤ 1.4
y(1) = 1
1）写出每步用欧拉法预估，用梯形法进行一次校正的计算格式。 2）取步长 0.2 用上述格式求解。
∫ 7 设有积分 I = 0.6 e x2 dx 0
1）取 7 个等距节点（包括端点），列出被积函数在这些点出的值（保留到小数点后 4 位） 2）用复化 simpson 公式求该积分的近似值。
（4）取 3 ≈ 1.732 ，迭代过程 yn+1 = yn + 0.1 3 是否稳定？______（是或否）；
∫ （5）求积公式 3 f ( x)dx ≈ 2 f (2) 有______次代数精度。 1
2．取初值 x0 = 1.6 ，用牛顿迭代法求 3.1 的近似值 xn+1 ，要求先论证收敛性，当
xn+1 − xn ≤ 10−5 时停止迭代。
3．用最小二乘法确定 y = a 1 + bx 2 中的常数 a 和 b ，使该函数曲线拟合 x

计算方法课后习题答案

解：因为第一列中10最大,因此把10作为列主元素
得到方程组
3。举例说明一个非奇异矩阵不一定存在LU分解。
例如：设
与题设相矛盾，所以一个非奇异矩阵不一定存在LU分解。
4。下列矩阵能否分解为LU（其中L为单位下三角矩阵，U为上三角矩阵）？若能分解，那么分解是否唯一？
解：
设 B可以进行LU分解，则B=
计算得
其中。。
解：(1)由题意，可设，由Lagrange插值余项公式得
(2)由(1)式可知，
15．给定数据表：
1
0
2
3
构造出函数的差商表，并写出它的三次插值多项式.
解：利用Newton插值公式：
先作出差商表
一阶差商
二阶差商
三阶差商
0
1
3
1
3/2
13/4
1/2
2
0
3
1/6
1/3
3
2
5/3
-2/3
-5/3
证明：据题4可知，
令，则有。注意到
（证明见王能超数值简明教程145页题6）
令即有。
9.已知，求差商和。
解：根据差商与微商的关系，有
10.已知互异，求。其中。（此题有误。）（见王能超《教程》P149－题2）
解：因为，则
由差商性质可知，
11.设首项系数为1的n次式有n个互异的零点，证明
解：1）用梯形公式有：
事实上，
2）Simpson公式
事实上，
3）由Cotes公式有：
事实上，
2．证明Simpson公式具有三次代数精度。
证明：
而当时
左侧：
右侧：

西北工业大学机械原理课后答案第6章-1

第六章机械的平衡题6-5 图示为一钢制圆盘，盘厚b=50mm ，位置Ⅰ处有一直径φ=50mm 的通孔，位置Ⅱ处是一质量m 2=0.5kg 的重块。

为了使圆盘平衡，你在圆盘上r=200mm 处制一通孔。

试求此孔德直径与位置。

（钢的密度γ=7.8g/cm 3）解：解法一：先确定圆盘的各偏心质量大小kg b m 7648.08.75454221-=⨯⨯⨯-=-=πγφπ kg m 5.02=设平衡孔质量γπb d m b 42-= 根据静平衡条件 02211=++b b r m r m r mmm kg r m r m r m b b b ⋅=︒-︒-=52.32210cos 135cos cos 2211θmm kg r m r m r m b b b ⋅=︒-︒-=08.104210sin 135sin sin 2211θmm kg r m r m r m b b b b b b b b ⋅=+=04.109)cos ()sin (22θθ由mm r b 200= kg m b 54.0=∴ mm b m d b2.424==γπ 在位置b θ相反方向挖一通孔︒=︒+︒=︒+⎪⎪⎭⎫⎝⎛=︒+-66.28218066.72180cos sin 1801b b b bb b b r m r m tg θθθ解法二：由质径积矢量方程式，取 mmmmkg W ⋅=2μ 作质径积矢量多边形如图6-5（b ）平衡孔质量 kg r W m bbW b 54.0==μ 量得 ︒=6.72b θ题6-7在图示的转子中，已知各偏心质量m 1=10kg ，m 2=15kg ，m 3=20kg ，m 4=10kg ，它们的回转半径分别为r 1=40cm ，r 2=r 4=30cm ，r 3=20cm ，又知各偏心质量所在的回转平面的距离为l 12=l 23=l 34=30cm ，各偏心质量的方位角如图。

若置于平衡基面Ⅰ及Ⅱ中的平衡质量m b Ⅰ及m b Ⅱ的回转半径均为50cm ，试求m b Ⅰ及m b Ⅱ的大小和方位。

西工大计算方法精彩试题06-10(含问题详解)

一、考试内容线性方程组和非线性方程（组）的求解、矩阵特征值和特征向量的计算、微积分的计算、微分方程定解问题的求解等，都是工程、科技、统计等实际问题中大量碰到的数学问题，这些问题的精确解很难求出。

而《计算方法》则是一门适合于计算机计算求解的数值方法，它简单可行，能有效求出上述数学问题的近似解。

通过本课程的学习，要求学生能掌握利用计算机求解基本数学问题常用的数值计算方法，学会构造基本的计算格式，并能作一定的误差分析，使学生具备基本的科学计算能力。

主要有：1.了解计算方法的认务和特点；2.熟练掌握方程的的近似解法，包括二分法、迭代法、牛顿迭代法和弦割法3.熟练掌握线性代数方程组的解法，直接解法中的高斯消去法、矩阵的直接三角分解法，平方根分解法，解三对角方程组的追赶法；解线性方程组的迭代法，简单迭代法，雅可比迭代法，赛德尔迭代法，SOR方法及其收敛性4.熟练掌握矩特征值和特征向量的计算，乘幂法与反幂法，古典雅可比方法，雅可比过关法5.熟练掌握插值法，拉格朗日插值法，牛顿插值法，等距节点插值法，埃尔米特插值法，三次样条插值法6.熟练掌握最小二乘法与曲线拟合，掌握矛盾方程组与最小二乘法，数据的多项式拟合，可化为线性拟合模型的曲线拟合7.熟练掌握数值积分与数值微分，包括牛顿-柯特斯求积公式、复化求积公式、龙贝格求积算法、高斯型求积公式和数值微分；8. 熟练掌握常微分方程初值问题数值解法，包括欧拉法与梯形法、泰勒展开法与龙格-库塔法、线性多步法2006-2007第一学期一. 填空1）近似数253.1*=x 关于真值249.1=x 有____位有效数字；2）设有插值公式)()(111k nk k x f A dx x f ⎰∑-=≈，则∑=nk kA1=______；（只算系数）3）设近似数0235.0*1=x ，5160.2*2=x 都是有效数，则相对误差≤)(*2*1x x e r ____；4）求方程x x cos =的根的牛顿迭代格式为______；5）矛盾方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+=-=+1211212121x x x x x x 与⎪⎩⎪⎨⎧-=+=-=+121222212121x x x x x x 得最小二乘解是否相同______。

计算方法西北工业大学第一章答案

故arctan(x 1) arctan(x) arctan 1 1 xx1
（4）
1 cos x sin x
2sin2 x 2
2sin x cos x 22
2sin x 2
2cos x 2
（5） sin x 的 Taylor 展开为：
2sin x cos x 22
2cos x cos x 22
x3 x5 sin x x
≈
12��∗��∗ �� ∗��(��∗) 12��∗��∗ �� ∗
+
12��∗��∗ �� ∗��(��∗) 12��∗��∗ �� ∗
�� (��2∗ )
=
��(��2∗) |��2∗|
=
1 2
× 10−3 0.002
=
0.25
�� (��3∗ )
=
��(��3∗) |��3∗|
=
1 2
× 10−3 0.200
=
0.25
×
10−2
≈
|12
1 √��2∗
��2∗ ��2∗
�� (��2∗ )|
≤
1 2
�� (��2∗ )

西工大20年10月机考《计算方法》作业参考答案非免费

西工大20年10月机考计算方法作业试卷总分:100 得分:96要答an：网叫福到（这四个字的拼音）一、单选题 (共 30 道试题,共 60 分)1.舍入误差是( )产生的误差。

A.只取有限位数B.模型准确值与用数值方法求得的准确值C.观察与测量D.数学模型准确值与实际值正确答案:2. {A.2B.3C.4D.5正确答案:3.用 1+x近似表示ex所产生的误差是( )误差。

A.模型B.观测C.截断D.舍入正确答案:4.解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是( )。

A.控制舍入误差B.减小方法误差C.防止计算时溢出D.简化计算正确答案:5.舍入误差是(?? ?)产生的误差。

A.只取有限位数B.模型准确值与用数值方法求得的准确值C.观察与测量D.数学模型准确值与实际值正确答案:6. {A.{<img ">B.{<img g">C.0D.1正确答案:7.( )是解方程组Ax=b的迭代格式x(k+1)=Mx(k)+f收敛的一个充分条件；A.{<img ">B.{<img ">C.{<img ">D.{<img >正确答案:8.-324.7500是舍入得到的近似值，它有( )位有效数字。

A.5B.6C.7D.8正确答案:9. {A.舍入B.观测C.模型D.截断正确答案:10. {A.-1B.1C.{<img ">D.0正确答案:11. {A.{<img ">B.{<img >C.{<img >D.0正确答案:12. {A.1B.2C.4D.3正确答案:13. {A.A的各阶顺序主子式不为零B.{<img ">C.{<img ">D.{<img pg">正确答案:14. {A.0B.1C.2D.{<img ">正确答案:15. {A.0B.{<img ">C.2D.1正确答案:16. {A.0B.1C.{<img s>D.{<img s>正确答案:17. 三点的高斯型求积公式的代数精度为()。

(完整word版)西工大计算方法试题参考(完整版)

2002-2003第一学期一．计算及推导（5*8）1．已知* 3.141,x x π==，试确定*x 近似x 的有效数字位数。

2．有效数***1233.105,0.001,0.100x x x =-==，试确定***123x x x ++的相对误差限。

3．已知3()0.50.12f x x x =++，试计算差商[]0,1,2,3f 4．给出拟合三点(0,1),(1,0)A B ==和(1,1)C =的直线方程。

5．推导中矩形求积公式''31()()()()()224b aa b f x dx b a f f b a η+=-+-⎰ 6．试证明插值型求积公式()()nbi i ai f x dx A f x =≈∑⎰的代数精确度至少是n 次。

7．已知非线性方程()x f x =在区间[],a b内有一实根，试写出该实根的牛顿迭代公式。

8．用三角分解法求解线性方程组123121022331302x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦要用二次插值多项式计算(0.63891)f 的近似值，试选择合适的插值节点进行计算，并说明所选用节点依据。

（保留5位有效数字）（12分）三．已知方程ln 0x x +=在(0,1)内有一实根α（1）给出求该实根的一个迭代公式，试之对任意的初始近似0(0,1)x ∈迭代法都收敛，并证明其收敛性。

（2）00.5x =试用构造的迭代公式计算α的近似值n x ，要求3110n n x x ---≤。

四．设有方程组112233131232a x b a x b a x b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦当参数a 满足什么条件时，雅可比方法对任意的初始向量都收敛。

写出与雅可比方法对应的高斯赛德尔迭代公式。

（12分）五．用欧拉预估校正法求解初值问题 '2 (00.2)(0)1x y y x y y ⎧=-≤≤⎪⎨⎪=⎩ 取h=0.1，小数点后保留5位。

计算方法各章习题及答案

第二章数值分析2.1 已知多项式432()1p x x x x x =-+-+通过下列点：试构造一多项式()q x 通过下列点：答案：54313()()()3122q x p x r x x x x x =-=-++-+． 2.2 观测得到二次多项式2()p x 的值：表中2()p x 的某一个函数值有错误，试找出并校正它．答案：函数值表中2(1)p -错误，应有2(1)0p -=．2.3 利用差分的性质证明22212(1)(21)/6n n n n +++=++．2.4 当用等距节点的分段二次插值多项式在区间[1,1]-近似函数xe 时，使用多少个节点能够保证误差不超过61102-⨯．答案：需要143个插值节点．2.5 设被插值函数4()[,]f x C a b ∈，()3()h H x 是()f x 关于等距节点01n a x x x b =<<<=的分段三次艾尔米特插值多项式，步长b ah n-=．试估计()3||()()||h f x H x ∞-．答案：()443||()()||384h M f x H x h ∞-≤．第三章函数逼近3.1 求()sin ,[0,0.1]f x x x =∈在空间2{1,,}span x x Φ=上最佳平方逼近多项式，并给出平方误差．答案：()sin f x x =的二次最佳平方逼近多项式为-522sin ()0.832 440 710 1.000 999 10.024 985 1x p x x x ≈=-⨯+-，二次最佳平方逼近的平方误差为0.122-1220(sin )())0.989 310 710x p x dx δ=-=⨯⎰．3.2 确定参数,a b c 和，使得积分2121(,,)[I a b c ax bx c -=++-⎰取最小值．答案：810, 0, 33a b c ππ=-==3.3 求多项式432()251f x x x x =+++在[1,1]-上的３次最佳一致逼近多项式()p x ．答案：()f x 的最佳一致逼近多项式为323()74p x x x =++． 3.4 用幂级数缩合方法，求() (11)xf x e x =-≤≤上的３次近似多项式6,3()p x ，并估计6,3||()()||f x p x ∞-．答案：236,3()0.994 574 650.997 395 830.542 968 750.177 083 33p x x x x =+++，6,3||()()||0.006 572 327 7f x p x ∞-≤3.5 求() (11)xf x e x =-≤≤上的关于权函数()x ρ=的三次最佳平方逼近多项式3()S x ，并估计误差32||()()||f x S x -和3||()()||f x S x ∞-．答案：233()0.994 5710.997 3080.542 9910.177 347S x x x x =+++，32||()()||0.006 894 83f x S x -=，3||()()||0.006 442 575f x S x ∞-≤．第四章数值积分与数值微分4.1 用梯形公式、辛浦生公式和柯特斯公式分别计算积分1(1,2,3,4)n x dx n =⎰，并与精确值比较．答案：计算结果如下表所示4.2 确定下列求积公式中的待定参数，使得求积公式的代数精度尽量高，并指明所确定的求积公式具有的代数精度．（１）101()()(0)()hhf x dx A f h A f A f h --≈-++⎰（２）11211()[(1)2()3()]3f x dx f f x f x -≈-++⎰ （３）20()[(0)()][(0)()]2h h f x dx f f h h f f h α''≈++-⎰答案：（１）具有三次代数精确度（２）具有二次代数精确度（３）具有三次代数精确度．4.3 设10h x x =-，确定求积公式12300101()()[()()][()()][]x x x x f x dx h Af x Bf x h Cf x Df x R f ''-=++++⎰中的待定参数,,,A B C D ，使得该求积公式的代数精确度尽量高，并给出余项表达式．答案：3711,,,20203020A B C D ====-，(4)6()[]1440f R f h η=，其中01(,)x x η∈．4.4 设2()P x 是以0,,2h h 为插值点的()f x 的二次插值多项式，用2()P x 导出计算积分30()hI f x dx =⎰的数值积分公式h I ，并用台劳展开法证明：453(0)()8h I I h f O h '''-=+．答案：3203()[(0)3(2)]4h h I p x dx h f f h ==+⎰．4.5 给定积分10sin xI dx x =⎰（１）运用复化梯形公式计算上述积分值，使其截断误差不超过31102-⨯．（２）取同样的求积节点，改用复化辛浦生公式计算时，截断误差是多少？（３）要求的截断误差不超过610-，若用复化辛浦生公式，应取多少个节点处的函数值？答案：（１）只需7.5n ≥，取９个节点，0.946I ≈（２）4(4)46111|[]||()|()0.271102880288045n b a R f h f η--=-≤=⨯ （３）取７个节点处的函数值．4.6 用变步长的复化梯形公式和变步长的复化辛浦生公式计算积分10sin xI dx x =⎰．要求用事后误差估计法时，截断误不超过31102-⨯和61102-⨯．答案：使用复化梯形公式时，80.946I T ≈=满足精度要求；使用复化辛浦生公式时，40.946 083I s ≈=满足精度要求．4.7（１）利用埃尔米特插值公式推导带有导数值的求积公式2()()[()()][()()][]212ba b a b a f x dx f a f b f b f a R f --''=+--+⎰，其中余项为 5(4)()[](), (,)4!30b a R f f a b ηη-=∈．（２）利用上述公式推导带修正项的复化梯形求积公式020()[()()]12Nx N N x h f x dx T f x f x ''≈--⎰，其中 0121[()2()2()2()()]2N N N hT f x f x f x f x f x -=+++++，而 00, (0,1,2,,), i N x x ih i N Nh x x =+==-．4.8 用龙贝格方法计算椭圆2214x y +=的周长，使结果具有五位有效数字．答案：49.6884l I =≈．4.9确定高斯型求积公式00110()()()x dx A f x A f x ≈+⎰的节点0x ，1x 及系数0A ，1A ．答案：00.289 949x =，10.821 162x =，00.277 556A =，10.389 111A =．4.10 验证高斯型求积公式00110()()()x e f x dx A f x A f x +∞-≈+⎰的系数及节点分别为0001 2 2A A x x ===-=+第五章解线性方程组的直接法5.1 用按列选主元的高斯-若当消去法求矩阵A 的逆矩阵，其中111210110A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭．答案： 1110331203321133A -⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪⎪-- ⎪⎝⎭5.2 用矩阵的直接三角分解法解方程组1234102050101312431701037x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 答案： 42x =，32x =，21x =，11x =．5.3 用平方根法(Cholesky 分解法)求解方程组12341161 4.25 2.750.51 2.75 3.5 1.25x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭答案： 12x =，21x =，31x =-．5.4 用追赶法求解三对角方程组123421113121112210x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 答案：42x =，31x =-，21x =，10x =．第六章解线性代数方程组的迭代法６.１对方程1212123879897x x x x x x x -+=⎧⎪-+=⎨⎪--=⎩作简单调整，使得用高斯－赛得尔迭代法求解时对任意初始向量都收敛，并取初始向量(0)[0 0 0]T x=，用该方法求近似解(1)k x +，使(1)()3||||10k k x x +-∞-≤．答案：近似解为(4)[1.0000 1.0000 1.0000]Tx =．６.２讨论松弛因子 1.25ω=时，用SOR 方法求解方程组121232343163420412x x x x x x x +=⎧⎪+-=⎨⎪-+=-⎩ 的收敛性．若收敛，则取(0)[0 0 0]T x=迭代求解，使(1)()41||||102k k x x +-∞-<⨯．答案：方程组的近似解为*1 1.50001x =，*2 3.33333x =，*3 2.16667x =-．６.３给定线性方程组Ax b =，其中111221112211122A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，证明用雅可比迭代法解此方程组发散，而高斯－赛得尔迭代法收敛．６.４设有方程组112233302021212x b x b x b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，讨论用雅可比方法和高斯－赛得尔方法解此方程组的收敛性．如果收敛，比较哪种方法收敛较快．答案：雅可比方法收敛，高斯－赛得尔方法收敛,且较快．６.５设矩阵A 非奇异．求证：方程组Ax b =的解总能通过高斯－赛得尔方法得到．６.６设()ij n nA a ⨯=为对称正定矩阵，对角阵1122(,,,)nn D diag a a a =．求证：高斯－赛得尔方法求解方程组1122D AD x b --=时对任意初始向量都收敛．第七章非线性方程求根例７.４对方程230xx e -=确定迭代函数()x ϕ及区间[,]a b ，使对0[,]x a b ∀∈，迭代过程1(), 0,1,2,k x x k ϕ+==均收敛，并求解．要求51||10k k x x -+-<．答案：若取2()x x e ϕ=，则在[1,0]-中满足收敛性条件，因此迭代法121, 0,1,2,k x k x ek +==在(1,0)-中有惟一解．取00.5x =-，*70.458960903x x ≈=-．取2()x x eϕ=，在[0,1]上满足收敛性条件，迭代序列121, 0,1,2,k x k x e k +==在[0,1]中有惟一解．取00.5x =，*140.910001967x x ≈=-在[3,4]上，将原方程改写为23x e x =，取对数得2ln(3)()x x x ϕ==．满足收敛性条件，则迭代序列21ln(3), 0,1,2,k k x x k +==在[3,4]中有惟一解．取0 3.5x =， *16 3.733067511x x ≈=．例７.６对于迭代函数2()(3)x x c x ϕ=+-，试讨论：（１）当c 为何值时，1()k k x x ϕ+=产生的序列{}k x；（２）c 取何值时收敛最快？（３）取1,2c =-()x ϕ，要求51||10k k x x -+-<．答案：（１）(c ∈时迭代收敛．（２）c =时收敛最快．（３）分别取1, 2c =--，并取0 1.5x =，计算结果如下表７.７所示表７.７例７.13 设不动点迭代1()k x x ϕ+=的迭代函数()x ϕ具有二阶连续导数，*x 是()x ϕ的不动点，且*()1x ϕ'≠，证明Steffensen 迭代式21(), (), 0,1,2,()2k k k k k k k k k k k y x z x k y x x x z y xϕϕ+==⎧⎪=-⎨=-⎪-+⎩二阶收敛于*x ．例7.15 设2()()()()()x x p x f x q x f x ϕ=--，试确定函数()p x 和()q x ，使求解()0f x =且以()x ϕ为迭代函数的迭代法至少三阶收敛．答案：1()()p x f x ='，31()()2[()]f x q x f x ''=' 例７.19 设()f x 在[,]a b 上有高阶导数，*(,)x a b ∈是()0f x =的(2)m m ≥重根，且牛顿法收敛，证明牛顿迭代序列{}k x 有下列极限关系：111lim2k kk k k k x x m x x x -→∞-+-=-+．第八章矩阵特征值8.1 用乘幂法求矩阵A 的按模最大的特征值与对应的特征向量，已知5500 5.51031A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，要求(1)()611||10k k λλ+--<，这里()1k λ表示1λ的第k 次近似值．答案：15λ≈，对应的特征向量为[5,0,0]T-；25λ≈-，对应的特征向量为[5,10,5]T --．8.2 用反幂法求矩阵110242012A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭的按模最小的特征值．知A 的按模较大的特征值的近似值为15λ=，用5p =的原点平移法计算1λ及其对应的特征向量．答案：(1) A 的按模最小的特征值为30.2384428λ≈(2) 1 5.1248854λ≈，对应的特征向量为(8)[0.242 4310, 1 ,0.320 011 7]T U =--．8.3 设方阵A 的特征值都是实数，且满足121, ||||n n λλλλλ>≥≥>，为求1λ而作原点平移，试证：当平移量21()2n p λλ=+时，幂法收敛最快． 8.4 用二分法求三对角对称方阵1221221221A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭的最小特征值，使它至少具有２位有效数字．答案：取5 2.234375λ≈-即有２位有效数字．8.5 用平面旋转变换和反射变换将向量[2 3 0 5]Tx =变为与1[1 0 0 0]T e =平行的向量．答案：23/053/20000101015/013/T ⎛⎫⎪- ⎪=⎪--⎝0.324 442 8400.486 664 26200.811 107 1040.486 664 2620.812 176 04800.298 039 92200100.811 107 1040.298 039 92200.530 266 798H --⎛⎫⎪-- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭8.6 若532644445A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，试把A 化为相似的上Hessenberg 阵，然后用QR 方法求A 的全部特征值．第九章微分方程初值问题的数值解法9.1 用反复迭代（反复校正）的欧拉预估－校正法求解初值问题0, 0<0.2(0)1y y x y '+=≤⎧⎨=⎩，要求取步长0.1h =，每步迭代误差不超过510-．答案： [4]11(0.1)0.904 762y y y ≈==，[4]22(0.2)0.818 594y y y ≈== 9.2 用二阶中点格式和二阶休恩格式求初值问题2, 0<0.4(0)1dy x y x dx y ⎧=+≤⎪⎨⎪=⎩的数值解(取步长0.2h =，运算过程中保留五位小数)．答案：用二阶中点格式，取初值01y =计算得0n =时，1211.000 00, 1.200 00, (0.2)=1.240 00K K y y ==≈ 1n =时，1221.737 60, 2.298 72, (0.4)=1.699 74K K y y ==≈用二阶休恩格式，取初值01y =计算得0n =时，1211.000 00, 1.266 67, (0.2)=1.240 00K K y y ==≈ 1n =时，1221.737 60, 2.499 18, (0.4)=1.701 76K K y y ==≈9.3 用如下四步四阶阿达姆斯显格式1123(5559379)/24n n n n n n y y h f f f f +---=+-+-求初值问题, (0)1y x y y '=+=在[0,0.5]上的数值解．取步长0.1h =，小数点后保留８位．答案：4(0.4)0.583 640 216y y ≈=，5(0.5) 1.797 421 984y y ≈=． 9.4 为使二阶中点公式1(,(,))22n n n n n n h hy y hf x y f x y +=+++，求解初值问题 , (0)y y y a λλ'=-⎧⎨=⎩为实常数绝对稳定，试求步长h 的大小应受到的限制条件．答案：2h λ≤．9.5 用如下反复迭代的欧拉预估－校正格式(0)1(1)()111(,)[(,)(,)]2 0,1,2,; 0,1,2,nn n n k k n n n n n n y y hf x y h y y f x y f x y k n +++++⎧=+⎪⎪=++⎨⎪⎪==⎩，求解初值问题sin(), 01(0)1x y e xy x y '⎧=<≤⎨=⎩时，如何选择步长h ，使上述格式关于k 的迭代收敛．答案：2h e<时上述格式关于k 的迭代是收敛的．9.6 求系数,,,a b c d ，使求解初值问题0(,), ()y f x y y x a '==的如下隐式二步法221()n n n n n y ay h bf cf df +++=+++的误差阶尽可能高，并指出其阶数．答案：系数为142,,33a b d c ====，此时方法的局部截断误差阶最高，为五阶5()O h ．9.7 试用欧拉预估－校正法求解初值问题, (0)=1, 0<0.2()/, (0)2dyxy z y dxx dz x y z z dx⎧=-⎪⎪≤⎨⎪=+=⎪⎩，取步长0.1h =，小数点后至少保留六位．答案：由初值00(0)1, (0)2y y z z ====可计算得110.800 000z 2.050 000y =⎧⎨=⎩ ， 11(0.1)0.801 500(0.1) 2.046 951y y z z ≈=⎧⎨≈=⎩ 220.604 820z 2.090 992y =⎧⎨=⎩ ， 22(0.2)0.604 659(0.2) 2.088 216y y z z ≈=⎧⎨≈=⎩。

计算方法习题解答

《计算方法》习题参考答案习题一1．0.0020485⎪⎪⎪⎭⎝-⎪⎪⎪⎭ ⎝--100056151005620910001510T T )114,115,115,114(,)114,154,31,41(---=----=x y5．单位圆、过)0,1(),1,0(),1,0(),0,1(--的正方形、过)1,1(),1,1(),1,1(),1,1(----的正方形。

1．计算1,2,1,104321====A A A A ，所以A 是正定矩阵。

分解矩阵⎪⎪⎪⎫⎛=0148.00017.00001L习题四1．用Jacobi 法计算结果如下（1）0.99999，1.99999，2.99998 （2）3.00000，1.99999,0.99999 用Seidel 法计算结果如下（1）0.99999，2.00000，3.00000 （2）3.00000，2.00000，1.000002．解得： 3.00000，4.00000，5.000003．（1）1)(1=B ρ，Jacobi 迭代法发散；A 为正定矩阵，Gauss-Seidel 法收敛。

（2）25)(1=B ρ，Jacobi 迭代法发散；21)(2=B ρ，Gauss-Seidel 法收敛。

4．交换前，A 严格对角占优，Jacobi 迭代法收敛；交换后，2)(1=B ρ，Jacobi 迭代法发6．1365518373419)(234++-+-=x x x x x N 。

7．124)(23+-+-=x x x x N 。

8．32)1(5)1(26)1(4115)(+-+++-=x x x x N9．432)2(81)2(1211)2(2445)2(12251)(+-+++-++=x x x x x N习题七1．可以2．可以3．]2,1[,27288)(];1,0[,51614)(22∈+-=∈++-=x x x x s x x x x s]36767.275.02645.22831.225.08803.0-+-+--+x x习题九1．积分表示直线b x a x ==,以及)2(ba f y +=和x 轴所围区域的面积。

西北工业大学_计算方法作业_答案

西工大计算方法作业答案参考答案第一章1 *1x =1.7； *2x =1.73； *3x =1.732 。

2．3．（1） ≤++)(*3*2*1x x x e r 0.00050；（注意：应该用相对误差的定义去求）（2） ≤)(*3*2*1x x x e r 0.50517；（3） ≤)/(*4*2x x e r 0.50002。

4．设6有n 位有效数字，由6≈2.4494……，知6的第一位有效数字1a =2。

令3)1()1(1*1021102211021)(-----⨯≤⨯⨯=⨯=n n r a x ε 可求得满足上述不等式的最小正整数n =4，即至少取四位有效数字，故满足精度要求可取6≈2.449。

5. 答：（1）*x (0>x )的相对误差约是*x 的相对误差的1/2倍；（2）n x )(* 的相对误差约是*x 的相对误差的n 倍。

6．根据********************sin 21)(cos 21sin 21)(sin 21sin 21)(sin 21)(c b a c e c b a c b a b e c a c b a a e c b S e r ++≤ =******)()()(tgcc e b b e a a e ++ 注意当20*π<<c 时，0**>>c tgc ，即1*1*)()(--<c tgc 。

则有)()()()(****c e b e a e S e r r r r ++<7．设20=y ，41.1*0=y ，δ=⨯≤--2*001021y y由 δ1*001*111010--≤-=-y y y y ，δ2*111*221010--≤-=-y y y yδ10*991*10101010--≤-=-y y y y即当0y 有初始误差δ时，10y 的绝对误差的绝对值将减小1010-倍。

而11010<<-δ，故计算过程稳定。

西北工业大学数值分析(附答案)

西北工业大学数值分析习题集第一章绪论1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差.2. 设x 的相对误差为2％,求nx 的相对误差.3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====⨯4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限:********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数.5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少?6. 设028,Y =按递推公式1n n Y Y -= ( n=1,2,…)计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差?7. 求方程25610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字≈27.982).8. 当N 充分大时,怎样求211Ndx x +∞+⎰?9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2?10. 设212S gt =假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小.11. 序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗?12. 计算61)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?3--13.()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式ln(ln(x x =-计算,求对数时误差有多大?14. 试用消元法解方程组{101012121010;2.x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠?15. 已知三角形面积1sin ,2s ab c =其中c 为弧度,02c π<<,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ∆∆∆证明面积的误差s ∆满足.s a b c s a b c ∆∆∆∆≤++第二章插值法1. 根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令2000011211121()(,,,,)11n n n n n n n n n x x x V x V x x x x x x x xxx ----==证明()n V x 是n 次多项式,它的根是01,,n x x -,且 101101()(,,,)()()n n n n V x V x x x x x x x ---=--.2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的二次插值多项式.3.4. 给出cos x ,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界.5. 设0k x x kh =+,k =0,1,2,3,求032max ()x x x l x ≤≤.6. 设jx 为互异节点(j =0,1,…,n ),求证:i) 0()(0,1,,);nk kj jj x l x x k n =≡=∑ii) 0()()1,2,,).nk jj j xx l x k n =-≡0(=∑1. 设[]2(),f x C a b ∈且()()0f a f b ==,求证21()()().8max max a x ba xb f x b a f x ≤≤≤≤≤-"2. 在44x -≤≤上给出()xf x e =的等距节点函数表,若用二次插值求xe 的近似值,要使截断误差不超过610-,问使用函数表的步长h 应取多少? 3. 若2nn y =,求4n y ∆及4n y δ. 4. 如果()f x 是m 次多项式,记()()()f x f x h f x ∆=+-,证明()f x 的k 阶差分()(0)k f x k m ∆≤≤是m k -次多项式,并且()0(m l f x l +∆=为正整数).5. 证明1()k k k k k k f g f g g f +∆=∆+∆.6. 证明110010.n n kkn n k k k k f gf g f g g f --+==∆=--∆∑∑7. 证明1200.n j n j y y y -=∆=∆-∆∑8. 若1011()n n n n f x a a x a x a x --=++++有n 个不同实根12,,,n x x x ,证明{10,02;, 1.1()n k njk n a k n j jx f x -≤≤-=-=='∑9. 证明n 阶均差有下列性质: i)若()()F x cf x =,则[][]0101,,,,,,n n F x x x cf x x x =;ii) 若()()()F x f x g x =+,则[][][]010101,,,,,,,,,n n n F x x x f x x x g x x x =+.10. 74()31f x x x x =+++,求0172,2,,2f ⎡⎤⎣⎦及0182,2,,2f ⎡⎤⎣⎦.11. 证明两点三次埃尔米特插值余项是(4)22311()()()()/4!,(,)k k k k R x f x x x x x x ++=ξ--ξ∈并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.12. 求一个次数不高于4次的多项式()P x ,使它满足(0)(1)P P k =-+并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 13. 试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式()P x ,以便使它能够满足以下边界条件(0)(0)0P P ='=,(1)(1)1P P ='=,(2)1P =.14. 设[](),f x C a b ∈,把[],a b 分为n 等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数()n x ϕ并证明当n →∞时,()n x ϕ在[],a b 上一致收敛到()f x .15. 设2()1/(1)f x x =+,在55x -≤≤上取10n =,按等距节点求分段线性插值函数()h I x ,计算各节点间中点处的()h I x 与()f x 的值,并估计误差. 16. 求2()f x x =在[],a b 上的分段线性插值函数()h I x ,并估计误差. 17. 求4()f x x =在[],a b 上的分段埃尔米特插值,并估计误差.试求三次样条插值并满足条件i) (0.25) 1.0000,(0.53)0.6868;S S '='= ii)(0.25)(0.53)0.S S "="=19. 若[]2(),f x C a b ∈,()S x 是三次样条函数,证明 i)[][][][]222()()()()2()()()bbbbaaaaf x dx S x dx f x S x dx S x f x S x dx"-"="-"+""-"⎰⎰⎰⎰;ii) 若()()(0,1,,)i i f x S x i n ==,式中i x 为插值节点,且01n a x x x b =<<<=,则[][][]()()()()()()()()()baS x f x S x dx S b f b S b S a f a S a ""-"="'-'-"'-'⎰.20. 编出计算三次样条函数()S x 系数及其在插值节点中点的值的程序框图(()S x 可用(8.7)式的表达式).第三章函数逼近与计算1. (a)利用区间变换推出区间为[],a b 的伯恩斯坦多项式.(b)对()sin f x x =在[]0,/2π上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做比较. 2. 求证:(a)当()m f x M ≤≤时,(,)n m B f x M ≤≤. (b)当()f x x =时,(,)n B f x x =.3. 在次数不超过6的多项式中,求()sin 4f x x =在[]0,2π的最佳一致逼近多项式.4. 假设()f x 在[],a b 上连续,求()f x 的零次最佳一致逼近多项式.5. 选取常数a ,使301max x x ax≤≤-达到极小,又问这个解是否唯一?6. 求()sin f x x =在[]0,/2π上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.7. 求()x f x e =在[]0,1上的最佳一次逼近多项式.8. 如何选取r ,使2()p x x r =+在[]1,1-上与零偏差最小?r 是否唯一? 9. 设43()31f x x x =+-,在[]0,1上求三次最佳逼近多项式.10. 令[]()(21),0,1n n T x T x x =-∈,求***0123(),(),(),()T x T x T x T x .11. 试证{}*()nTx 是在[]0,1上带权ρ=的正交多项式.12. 在[]1,1-上利用插值极小化求11()f x tg x -=的三次近似最佳逼近多项式. 13. 设()xf x e =在[]1,1-上的插值极小化近似最佳逼近多项式为()n L x ,若n f L ∞-有界,证明对任何1n ≥,存在常数n α、n β,使11()()()()(11).n n n n n T x f x L x T x x ++α≤-≤β-≤≤14. 设在[]1,1-上234511315165()128243843840x x x x x x ϕ=-----,试将()x ϕ降低到3次多项式并估计误差.15. 在[]1,1-上利用幂级数项数求()sin f x x =的3次逼近多项式,使误差不超过0.005.16. ()f x 是[],a a -上的连续奇(偶)函数,证明不管n 是奇数或偶数,()f x 的最佳逼近多项式*()n n F x H ∈也是奇(偶)函数.17. 求a 、b 使[]220sin ax b x dx π+-⎰为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较.18. ()f x 、[]1(),g x C a b ∈,定义()(,)()();()(,)()()()();b baaa f g f x g x dxb f g f x g x dx f a g a =''=''+⎰⎰问它们是否构成内积?19. 用许瓦兹不等式(4.5)估计6101x dx x +⎰的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,并比较其结果.20. 选择a ,使下列积分取得最小值:1122211(),x ax dx x ax dx----⎰⎰.21. 设空间{}{}10010121,,,span x span x x 1ϕ=ϕ=,分别在1ϕ、2ϕ上求出一个元素,使得其为[]20,1x C ∈的最佳平方逼近,并比较其结果.22.()f x x =在[]1,1-上,求在{}2411,,span x x ϕ=上的最佳平方逼近.23.sin (1)arccos ()n n x u x +=是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系()()()112n n n u x xu x u x +-=-.24. 将1()sin2f x x=在[]1,1-上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼近多项式并画出误差图形,再计算均方误差.25. 把()arccos f x x =在[]1,1-上展成切比雪夫级数.26.2y a bx =+.27.用最小二乘拟合求.29. 编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图. 30. 编出改进FFT 算法的程序框图. 31. 现给出一张记录{}{}4,3,2,1,0,1,2,3k x =,试用改进FFT 算法求出序列{}k x 的离散频谱{}k C (0,1,,7).k =第四章数值积分与数值微分1. 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度:(1)101()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰; (2)21012()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰;(3)[]1121()(1)2()3()/3f x dx f f x f x -≈-++⎰;(4)[][]20()(0)()/1(0)()hf x dx h f f h ah f f h ≈++'-'⎰.2. 分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:(1)120,84xdx n x =+⎰; (2)1210(1),10x e dx n x --=⎰;(3)1,4n =⎰;(4),6n =.3. 直接验证柯特斯公式(2.4)具有5次代数精度.4. 用辛普森公式求积分10xedx-⎰并计算误差.5. 推导下列三种矩形求积公式:(1)2()()()()()2ba f f x dxb a f a b a 'η=-+-⎰; (2)2()()()()()2ba f f x dxb a f b b a 'η=---⎰;(3)3()()()()()224baa b f f x dx b a f b a +"η=-+-⎰. 6. 证明梯形公式(2.9)和辛普森公式(2.11)当n →∞时收敛到积分()baf x dx⎰.7. 用复化梯形公式求积分()baf x dx⎰,问要将积分区间[],a b 分成多少等分,才能保证误差不超过ε(设不计舍入误差)?8.1x e dx-,要求误差不超过510-.9. 卫星轨道是一个椭圆,椭圆周长的计算公式是S a =θ,这里a 是椭圆的半长轴,c 是地球中心与轨道中心(椭圆中心)的距离,记h 为近地点距离,H 为远地点距离,6371R =公里为地球半径,则(2)/2,()/2a R H h c H h =++=-.我国第一颗人造卫星近地点距离439h =公里,远地点距离2384H =公里,试求卫星轨道的周长. 10. 证明等式3524sin3!5!n nn n ππππ=-+-试依据sin(/)(3,6,12)n n n π=的值,用外推算法求π的近似值.11. 用下列方法计算积分31dyy ⎰并比较结果.(1) 龙贝格方法;(2) 三点及五点高斯公式;(3) 将积分区间分为四等分,用复化两点高斯公式.1. 用三点公式和五点公式分别求21()(1)f x x =+在x =1.0,1.1和1.2处的导数值,并估计误()f x第五章常微分方程数值解法1. 就初值问题0)0(,=+='y b ax y 分别导出尤拉方法和改进的尤拉方法的近似解的表达式，并与准确解bx ax y +=221相比较。

西北工业大学机械原理课后答案第6章

第6章课后习题参考答案6—1什么是静平衡?什么是动平衡?各至少需要几个平衡平面?静平衡、动平衡的力学条件各是什么?6—2动平衡的构件一定是静平衡的，反之亦然，对吗?为什么?在图示（a）（b）两根曲轴中，设各曲拐的偏心质径积均相等，且各曲拐均在同一轴平面上。

试说明两者各处于何种平衡状态?答：动平衡的构件一定是静平衡的，反之不一定。

因各偏心质量产生的合惯性力为零时，合惯性力偶不一定为零。

（a）图处于动平衡状态，（b）图处于静平衡状态。

6一3既然动平衡的构件一定是静平衡的，为什么一些制造精度不高的构件在作动平衡之前需先作静平衡?6—4为什么作往复运动的构件和作平面复合运动的构件不能在构件本身内获得平衡，而必须在基座上平衡?机构在基座上平衡的实质是什么?答由于机构中作往复运动的构件不论其质量如何分布，质心和加速度瞬心总是随着机械的运动周期各沿一条封闭曲线循环变化的，因此不可能在一个构件的内部通过调整其质量分布而达到平衡，但就整个机构而言．各构件产生的惯性力可合成为通过机构质心的的总惯性力和总惯性力偶矩，这个总惯性力和总惯性力偶矩全部由机座承受，所以必须在机座上平衡。

机构在基座上平衡的实质是平衡机构质心的总惯性力，同时平衡作用在基座上的总惯性力偶矩、驱动力矩和阻力矩。

6—5图示为一钢制圆盘，盘厚b=50 mm。

位置I处有一直径φ=50 inm的通孔，位置Ⅱ处有一质量m2=0.5 kg的重块。

为了使圆盘平衡，拟在圆盘上r=200 mm处制一通孔，试求此孔的直径与位置。

(钢的密度ρ=7.8 g／em3。

)解根据静平衡条件有:m1r I+m2rⅡ+m b r b=0m2rⅡ=0.5×20=10 kg.cmm1r1=ρ×(π/4) ×φ2×b×r1=7.8 ×10-3×(π/4)×52×5 ×l0=7.66 kg.cm 取μW=4(kg.cm)／cm，作质径积矢量多边形如图所示，所添质量为: m b=μw w b／r=4×2.7／20=0.54 kg，θb=72º，可在相反方向挖一通孔其直径为：6—6图示为一风扇叶轮。

计算方法第六章作业答案

第六章作业答案（习题六P141）4. 解：（1）设()()()()0sin cos 411cos sin 41>--='+-=x x x f x x x x f ，故()x f 为增函数。

又因()14410=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πf f ，，所以()x f 的零点，即()0=x f 的根属于区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡40π，。

因对⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∀4,0πx ()()421cos sin 4101πϕ<≤+=≤x x x ，又()()121sin cos 41'1<≤-=x x x ϕ，因此迭代格式收敛。

故可用迭代法求解所给方程。

（2）设()()02ln 2124>+='+-=x x x f x x f ，，故()x f 为增函数。

又因()()2211=-=f f ，，所以()x f 的零点，即()0=x f 的根属于区间[]21，。

因()xx 242-=ϕ，则对[]21，∈∀x 有 ()12ln 22ln 2'2>≥-=x x ϕ，因此迭代格式不收敛。

故不能用迭代法求解所给方程。

当[]21，∈x 时，原方程与方程 ()2ln 4ln x x -=等价。

令 ()()2ln 4ln x x -=ϕ 则[]21，∈x 时，()()22ln 3ln 2ln 4ln 1<≤-=≤x x ϕ，且 ()()12ln 212ln 41<≤--='x x ϕ 因此迭代格式收敛。

此形式能用迭代法求解。

5. 解：（1）()()32211xx x x -='+=ϕϕ，，当[]6.1,4.1∈x 时，()14.123<≤'x ϕ 令729.04.123≈=L ，则对[]6.1,4.1,∈∀y x ，有 ()()y x L y x -≤-ϕϕ所以此迭代法收敛。

（2）()321x x +=ϕ()()()1518.06.124.11312131322322<≈⨯⨯+⨯≤⋅+='--x x x ϕ对[]6.1,4.1,∈∀y x ，有()()1518.0<-≤-y x y x ϕϕ所以此迭代法收敛。