频域分析法经典
频域分析法(经典)
GB (jω ) = GB ( s ) s = jω
GB ( s ) =
A (ω ) =
G( s) 1 = 1 + G( s) s + 2 1
1 GB (jω ) = jω + 2
ω=2时， A ( ω ) = 0.35 ϕ ( ω ) = −45o 则系统稳态输出为： 则系统稳态输出为： y(t)=0.35*2sin(2t=0.7sin(2ty(t)=0.35*2sin(2t-45o ) =0.7sin(2t-45o)
= −20lg ω 2T 2 + 1 1
L(ω), ϕ(ω)
1 T −3dB
ω
近似曲线
ω T +1
2 2
− −
π
4
精确曲线
π
2
五、一阶微分环节
传递函数: 传递函数: G( s ) = 1 + τ s 频率特性: 频率特性: G(jω ) = 1 + jωτ
1. 幅频特性 A ( ω ) 及相频特性 ϕ ( ω )
第 5章
5-1 5-2 5-3 5-4 5-5
线性系统的频域分析法
频率特性 典型环节与开环系统的频率特性 频域稳定判据（奈氏判据） 频域稳定判据（奈氏判据） 频域稳定裕度 闭环系统的频域性能指标
基本思想： 基本思想：
通过开环频率特性的图形对系统进行分 析。 频率特性。 数学模型——频率特性。 频率特性 主要优点： 主要优点
Im
1 π A (ω ) = ,φ (ω ) = − 2ζ 2
0 ω =∞
−
1 (ω = ωn ) 1 2ζ
ω =0
Re
当ω=∞时，U(ω)=0,V(ω)=0。 时 。
自动控制原理第5章频域分析法
通过分析频率响应函数的极点和零点分布，以及系统的相位和幅值 特性，利用稳定性判据判断系统在不同频率下的稳定性。
注意事项
稳定性判据的选择应根据具体系统的特性和要求而定，同时应注意 不同判据之间的适用范围和限制条件。
04
频域分析法的应用实例
04
频域分析法的应用实例
控制系统性能分析
稳定性分析
极坐标或对数坐标表示。
绘制方法
通过频率响应函数的数值计算，将 结果绘制成曲线图，以便直观地了 解系统在不同频率下的性能表现。
注意事项
绘制曲线时应选择合适的坐标轴比 例和范围，以便更好地展示系统的 性能特点。
频率特性曲线的绘制
定义
频率特性曲线是频率响应函数在 不同频率下的表现形式，通常以
极坐标或对数坐标表示。
稳定裕度。
动态性能分析
02
研究系统在不同频率下的响应，分析系统的动态性能，如超调
和调节时间等。
静态误差分析
03
分析系统在稳态下的误差，确定系统的静态误差系数，评估系
统的静态性能。
系统优化设计
参数优化
通过调整系统参数，优化 系统的频率响应，提高系 统的性能指标。
结构优化
根据系统频率响应的特点， 对系统结构进行优化，改 善系统的整体性能。
05
总结与展望
05
总结与展望
频域分析法的优缺点
02
01
03
优点
频域分析法能够直观地揭示系统的频率特性，帮助理 解系统的稳定性和性能。
通过频率响应曲线，可以方便地比较不同系统或同一 系统不同参数下的性能。
频域分析法的优缺点
02
01
03
优点
频域分析法能够直观地揭示系统的频率特性，帮助理 解系统的稳定性和性能。
频域分析法
频域分析法频域分析法是一种探究信号的量化分析方法，广泛应用于工程领域，如电子、声学、机械、生物医学等，具有很高的科学研究价值。
频域分析法是用来提取信号特征和分析信号组成部分的，它可以用来分析信号的时频特性和频频特性。
频域分析法包括三个步骤：信号提取、频域变换和分析。
第一步需要从信号中提取想要测量的特征；第二步把信号变换到频域，以获取信号的频域特征；第三步是对提取的特征进行分析，以提取信号的有效信息。
频域分析的最基本的方法是傅里叶变换法，它能将时域信号变换到频域，这样就可以确定信号的频域特征。
傅里叶变换的基本原理是：将时域信号的抽样点拆分成一系列的正弦波，用这些正弦波的加和表示原信号。
当拆分正弦波的加和够多时，傅里叶变换可以很好地求出信号系数，也就是频谱，用它来表示原信号的特性，这就是傅里叶变换的本质。
除傅里叶变换法，还有基于图像技术的频域处理方法，如图像增强、图像降噪、图像复原和图像分割等。
图像技术在频域中的应用可以有效地提取信号的频率特性，从而给出清晰的信号图像。
另一种常用的频域分析法是统计分析法。
统计分析法可以帮助我们探究不同信号之间的关系，并对信号进行统计分析，以提取有效信息。
主要有数据描述统计、概率统计和数据建模统计。
数据描述统计可以统计信号的特征，包括均值、中位数、标准差、最大值、最小值等；概率统计可以分析信号的概率特征；数据建模统计可以将信号映射到复杂的模型中，以挖掘深层的信号信息。
频域分析法在各种工程领域中得到了广泛的应用，有助于深入地理解信号的特性。
在电子和声学领域，频域分析法可以用来分析信号的声音和数据特性，帮助我们快速发现隐藏的频率特征；机械领域可用来分析信号的空间位移和空间速度特性；生物医学领域用来分析人体心电图、脑电图、超声图像和医学影像信号等。
综上所述，频域分析法是一种量化分析信号的重要技术手段，主要包括信号提取、频域变换和分析三个部分。
它在工程领域中有着广泛的应用，可以有效地提取信号的特征，为研究信号提供极大的帮助。
频域分析
频域分析频域分析是信号处理中的一种重要方法，它用于研究信号在频率领域上的性质和特征。
频域分析是根据信号的频率分布情况来分析信号的变化规律，与时域分析相互补充，为我们深入理解信号提供了一个新的视角。
本文将从频域分析的基本概念、常用方法以及应用领域等方面进行介绍。
频域分析是通过对信号进行傅里叶变换来实现的。
傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的数学工具，可以将信号分解成不同频率的正弦和余弦波的叠加。
通过傅里叶变换，我们可以得到信号在频域上的频率成分和能量分布。
频域分析可以帮助我们更加直观地了解信号的周期性、频率特征以及频谱特性。
在频域分析中，最基本的方法是功率谱分析。
功率谱是指信号在频域中各个频率分量的能量大小。
通过功率谱，我们可以了解信号的主要频率成分及其能量分布情况。
功率谱分析是频域分析中最常用的方法之一，广泛应用于声音处理、图像处理、通信系统等领域。
除了功率谱分析，还有其他一些常用的频域分析方法。
例如，自相关函数是用于测量信号的周期性和相关性的方法。
自相关函数可以帮助我们确定信号中的周期性成分。
另外，互相关函数则用于分析信号之间的相关性，常用于信号检测和通信系统中。
频域滤波是频域分析的重要应用之一。
频域滤波可以通过对信号的频谱进行幅度和相位调整来实现对信号的滤波处理。
频域滤波可以有效地去除信号中的噪声和干扰，以及增强信号中所需的频率成分。
频域滤波在音频处理、图像处理以及通信系统中都有广泛的应用。
此外，频域分析还可以用于信号的特征提取和模式识别。
通过分析信号的频率成分和能量分布，我们可以提取出信号的特征，进而进行分类和识别。
频域特征提取在语音识别、图像识别等领域有很重要的应用。
除了上述应用，频域分析还被广泛应用于信号恢复、数据压缩、信号调制等领域。
通过对信号在频域上的分析，我们可以更加全面地了解信号的特性，并且能够更加灵活地对信号进行处理。
总之，频域分析是信号处理中的重要方法，它通过对信号进行傅里叶变换来实现对信号的频率特性的分析。
第5章频域分析法
自动控制原理
第五章 频域分析法－频率法
幅相曲线
伯德图
自动控制原理
第五章 频域分析法－频率法
二、积分环节
1 传递函数： G( s ) s
1 频率特性： G (j ) j
幅频特性： M ( ) G(j )
1
相频特性： ( ) G(j ) 90
对数幅频特性： 1 L( ) 20lg M ( ) 20lg 20lg
自动控制原理
第五章 频域分析法－频率法
对数相频曲线的纵坐标表示相频特性的函 数值，线性均匀分度，单位是度或弧度。
lg
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 0.301 0.477 0.6020.6990.7780.8450.9030.954 1
自动控制原理
第五章 频域分析法－频率法
采用对数坐标图的优点是：
自动控制原理
第五章 频域分析法－频率法
幅相曲线
伯德图
自动控制原理
第五章 频域分析法－频率法
四、惯性环节
1 传递函数： G ( s ) Ts 1 1 频率特性： G (j ) jT 1
幅相曲线
1
对数幅频特性：
L( ) 20 lg G (j ) 20 lg 20 lg1 20 lg
2
T
2
1
T 1 20 lg
T 1
2
对数相频特性： G(j ) arctan T
自动控制原理
第五章 频域分析法－频率法
近似对数幅频特性：
1 当 T
T 1，略去 (T )2 则得 时，
频域分析的经典案例
频域分析的经典案例
从时域看信号的局限性
将信号表示为时间的函数（时域函数）及波形，非常直观，是人们认知信号最直接、最自然的方法。
但其有问题吗？看一个例子。
从时域的角度看信号（c），很难将X。
（t）和X（t）区分开。
？
取样后的离散信号能恢复成原信号吗？
x(0x(02
-2651.91 3.82 5.737.6401.91 3.825.737.64
t/mst/ms
(a)(b)
Xe+b(), Te+(n)
-0 1.91 3.82 5.73 7.64--01.913.825.737.64
t/msn/ms
引入傅立叶级数和傅立叶变换这一数学工具后，我们可以从一个全新的角度（频域）去认识信号。
以上问题有了简单明确的答案。
有了频域分析的基础和启发，人们还发现了过多的其它变量域的分析信号的方法。
如连续时间信号的s域分析、离散时间信号的z域分析等变换域分析法（包括频域）。
不同的分析方法面向各自的信号对象或侧重于不同的问题。
5_频域分析法
应用频率特性研究线性系统的经典方法称为 频域分析法。 频域分析法。 频率特性具有明确的物理意义，它可以用实 频率特性具有明确的物理意义， 验的方法来确定， 验的方法来确定，这对于难以列写微分方程式的 元部件或系统来说，具有重要的实际意义。 元部件或系统来说，具有重要的实际意义。 频率响应法不仅适用于线性定常系统， 频率响应法不仅适用于线性定常系统，而 且还适用于传递函数不是有理函数的纯滞后系 统和部分非线性系统的分析。 统和部分非线性系统的分析。
10 0 -10 -20 -30 -180
-150
-120
-90
Open-Loop Phase (deg)
5.2 典型环节的频率特性
1. 比例(放大)环节 比例(放大) 2. 积分环节 积分环节 3. 惯性环节 4. 振荡环节 振荡环节 5. 微分环节 微分环节 1) 理想微分环节 理想微分环节 2) 一阶微分环节 一阶微分环节 3) 二阶微分环节 二阶微分环节 6. 延迟环节 延迟环节 7. 非最小相位环节 非最小相位环节 8. 典型环节的对数幅相曲线
0 -5 Magnitude (dB) -10 -15 -20 -25 0
L(ω )
ϕ (ω )
Bode Diagram of G(jw )=1/(jw T+1) T=0.1
互为倒数的传递函数，其 互为倒数的传递函数， 对数频率特性曲线将以 0dB或0°线镜象对称。 dB或 线镜象对称。
ω lgω lgω 1 0 2 3 4 5
lim G ( jω ) = 0∠ − 180 o
5.2 典型环节的频率特性
4. 振荡环节 振荡环节
ω=∞
ζ = 1 .0 ζ = 0.6
ω =0
交流电路的频域分析
交流电路的频域分析交流电路的频域分析是电路理论中的重要内容之一。
频域分析通过将电路中的变量表示为频率的函数，能够更清晰地解释电路中的各种现象和特性。
本文将介绍交流电路的频域分析方法及其应用。
一、频域分析方法在交流电路的频域分析中，我们常常使用复数形式进行计算和表示。
复数表示了电路中的幅值和相位信息，便于进行计算和分析。
下面介绍两种常见的频域分析方法：1. 直流极限法直流极限法是频域分析中最简单也是最常用的方法之一。
在这种方法中，我们将交流电路中的电源用直流电源替代，然后计算电路中的各个元件的直流值。
这样可以方便地观察电路中各个元件的电压和电流，并得到电路的幅频特性和相频特性。
2. 傅里叶变换法傅里叶变换法是一种更加一般化和强大的频域分析方法。
它通过将电路中的变量表示为频率的函数，利用傅里叶变换将时域信号转换为频域信号。
这样可以得到电路中各个频率分量的幅值和相位信息，进一步研究电路的频率响应和频率特性。
二、频域分析应用频域分析在交流电路的设计和故障分析中具有广泛的应用。
下面介绍两个常见的应用场景：1. 电路滤波器设计频域分析可以帮助我们设计各种类型的电路滤波器。
通过分析电路中各个频率分量的幅值和相位信息，我们可以设计出具有特定频率响应的低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器等。
这些滤波器能够满足特定的信号处理需求，广泛应用于通信、音频、视频等领域。
2. 故障分析与故障定位频域分析还可以用于交流电路的故障分析和故障定位。
通过观察电路中各个频率分量的幅值和相位信息的变化，我们可以判断电路中是否存在故障或失效的元件。
通过进一步分析不同频率分量的变化规律，可以定位和诊断具体的故障原因，以便进行维修和修复。
结语交流电路的频域分析是电路理论中的重要内容，能够帮助我们更好地理解电路中的各种现象和特性。
本文介绍了频域分析的方法和应用，并提到了频域分析在电路设计和故障分析中的重要性。
通过频域分析，我们可以更加准确地分析和设计交流电路，提高电路的性能和可靠性。
频域分析法
2018/10/24
6
例.己知一个典型的一阶环节传递函数:
5 G ( s) 3s 1
试绘制该环节的Nyquist图 num = 5; den=[3,1]; G=tf(num, den); nyquist(G); grid
2018/10/24
1 Kh A （g）
16
幅值稳定裕度的物理意义：稳定的开环 最小相位系统，如果开环放大系数增大 K h 倍，开环极坐标频率特性曲线恰好穿 过 (−1, j0)点，系统处于临界稳定状态。 若开环放大系数增大的倍数超过 K h ,系统 将变得不稳定。
2018/10/24
17
试分别绘制K=1,7.8,20时系统的极坐标图，并利用 Nyquist稳定判据判断闭环系统的稳定性。 k=100*[1,7.8,20]; z=[]; p=[0,-5,-10]; G=zpk(z,p,k(1));nyquist(G) hold on G=zpk(z,p,k(2));nyquist(G) G=zpk(z,p,k(3));nyquist(G) axis([-5,1,-5,1]) gtext('K=1');gtext('K=7.8');gtext('K=20');
602.4232 2.8453 329.9063 27.7092 329.9063 0.0015 1 602.4232 0.7588 690.5172 -6.7355 690.5172 0.0089 0
22
例.己知系统的开环传递函数为:
100( s 5) GH ( s) ( s-2)( s 8)( s 20)
频域分析方法
解为许多个周期性信号之和，然后分别求解，
最后求和（积分）。 在某频率点 ω ，实际（复）振幅是一个无穷
小量：
E&(ω) = lim 1 E( jω) = lim Ω E( jω) = E( jω) dω
T→∞ T
Ω→0 2π
2π
所以其响应为：
∴R& (ω) = H( jω)E&(ω) = H( jω)E( jω) dω 2π
4、系统的频率特性
H ( jω) 在特定 ω 点上的取值实际上表示了系统
对该频率点上的信号的幅度和相位的影响。由
H ( jω ) 可以引出系统的频域特性：
1） 频域特性定义：系统的频率特性是指系统对各 个频率的复正弦信号的影响：包括对复正弦信 号幅度和相位的影响。
2）频率特性曲线 系统的传输特性也可以用图形的方法表示。
如果要在理论上更加严格的话，还可以进一步证
明只有 R( jω ) ⋅ e jωt 可能是系统对 E( jω ) ⋅ e jωt 信
号的响应。
令系统的传输函数为：
H ( jω) = bm ( jω )m + bm−1( jω )m−1 + ... + b1( jω ) + b0
( jω )n + an−1( jω )n + ... + a1( jω ) + a0 它实际上可以将时域中的转移算子 H ( p) 中的算 子 p 用 jω 替代后得到。这里的 H 完全是一个代
E(
jω )
= H ( jω)E( jω)
非周期信号通过线性系统的 rzs 求解公式还 有第三种推导方法： 根据卷积积分公式，有：
r(t) = e(t) ⊗ h(t)
自动控制原理第五章频域分析法
振荡环节的幅相特性 振荡环节的对数幅频渐进特性
七、二阶微分环节
G(s)sn
2
2sn
1
G (j) j n 22 j n 1 1 n 2 2 j2 n
n0,01
2
G(j) (12)2422
n2
n2
G( j) arctg n 2
1
2 n
G(ju)
1
(1u2)242u2
G(j u)arc2tgu
1u2
若 u1 G (ju) arctg2u 90
1u2
振荡环节的幅相特性曲线（极坐标图）
u0
0.9
0.8
0.6
u 1
0.4
振荡环节的幅频、相频特性曲线
0.05
0.2 0.5 0.7
幅频特性的谐振峰值和谐振角频率：
G(ju)
G(
j)
1
j
e2
相频特性是一常值 2
积分环节的幅频/相频、幅相特性曲线
对数频率特性
三、微分环节
传递函数 G(s) s
j
幅相特性 G( j) e 2
相频特性是一常值 2
微分环节的幅频/相频、幅相、对数特性曲线
四、惯性环节（一阶系统）
传递函数 幅相特性
G(s) 1 Ts1
G(j) 1 1 ejta1nT Tj1 (T)21
1
(1u2)242u2
d G d (j) u u 0 ,u r 1 22 ( 1 /2 0 .7)0
rn12 2 ( 1/ 20 .7)0
幅频特性的谐振角频率和谐振峰值：
rn1 22, M r G (jr) 1 /21 2
频域分析法
111 第五章 频域分析法用时域分析法分析和研究系统的动态特性和稳态误差最为直观和准确，但是，用解析方法求解高阶系统的时域响应往往十分困难。
此外，由于高阶系统的结构和参数与系统动态性能之间没有明确的函数关系，因此不易看出系统参数变化对系统动态性能的影响。
当系统的动态性能不能满足生产上要求的性能指标时，很难提出改善系统性能的途径。
本章介绍的频域分析法是研究控制系统的一种经典方法，是在频域内应用图解分析法评价系统性能的一种工程方法。
频率特性可以由微分方程或传递函数求得，还可以用实验方法测定。
频域分析法不必直接求解系统的微分方程，而是间接地揭示系统的时域性能，它能方便的显示出系统参数对系统性能的影响，并可以进一步指明如何设计校正。
第一节 频率特性对于线性定常系统，若输入端作用一个正弦信号t U t u ωsin )(= (5—1)则系统的稳态输出y(t)也为正弦信号，且频率与输人信号的频率相同，即) t Y t y ϕω+=sin()( (5—2)u(t)和y(t)虽然频率相同，但幅值和相位不同，并且随着输入信号的角频率ω的改变，两者之间的振幅与相位关系也随之改变。
这种基于频率ω的系统输入和输出之间的关系称之为系统的频率特性。
不失一般性，设线性定常系统的传递函数G(s)可以写成如下形式)()()()()())(()()()()(121s A s B ps s B p s p s p s s B s U s Y s G n j j n =+=+++==∏= (5—3) 式中B(s)——传递函数G(s)的m 阶分子多项式，s 为复变量；A(s)——传递函数G(s)的n 阶分母多项式 (n ≥m)；n p p p ---,,,21 —传递函数G(s)的极点，这些极点可能是实数，也可能是复数，对稳定的系统采说，它们都应该有负的实部。
由式(5—1)，正弦输入信号u(t)的拉氏变换为(查拉氏变换表)))(()(22ωωωωωj s j s U s U s U -+=+= （5—4） 输出信号y(t)的拉氏变换为Y(s)＝U(s)G(s)将式(5—3)、式（5—4)代人上式得∏=+⨯-+=n j j ps s B j s j s U s Y 1)()())(()(ωωω 上式可改写成(利用部分分式法)nn p s b p s b p s b j s a j s a s Y +++++++-++= 221121)(ωω (5-5)112上式中 n b b b a a ,,,,,2121 —待定系数，它们均可用留数定理求出。
自动控制原理--第5章 频域分析法
L() 20lg | G( j) | 20lg 2T 2 1
arctanT
当=0时，L()=0dB， =0， 曲线起始于坐标原点；当=1/T时， L()=-3dB， =-45；
自动控制原理
30
5-4 频域稳定性判据
一、映射定理
闭环特征函数 F(s)=1+G(s)H(s)
T
如果τ>T，则∠G(j)>0°，极坐标曲线在第Ⅰ象限变化；如果τ<T， 则∠G(j)<0°，极坐标曲线在第Ⅳ象限变化，如图所示。
自动控制原理
16
5.3.2 对数坐标图
通过半对数坐标分别表示幅频特性和相频特性的图形， 称为对数坐称图或波德(Bode)图。
1.对数坐标 对数频率特性曲线由对数幅频特性和相频特性两部分
系统的传递函数为 C(s) G(s)
R(s)
假定输入信号r(t)为
r(t) Asint
R(s) L[ Asint] A
A
s 2 2 (s j)(s j)
自动控制原理
7
G(s)
K (s z1 )(s z2 )(s zm ) (s s1 )(s s2 )(s sn )
nm
2j
AG( j) sin(t )
B sin(t )
G( j ) G( j ) e jG( j) G( j) e j
即
G( j) G(s) s j
这里的结论同RC网络讨论的结果是一致的。
自动控制原理
10
5.3 频率特性的图示方法
频率特性的图示方法主要有三种，即极坐标图、对数坐 标图和对数幅相图，现分述如下。
所以K=10。因此，所求开环传递函数
频域分析法
频域分析法1、低频段通常指L(w)=20lg|G(jw)| 的渐近线在第一个转频率之前的频段，这一频段的特此哪个完全由积分环节和开环放大倍数决定。
低频段的斜率越小，位置越高，对应系统积分环节的数目越多（系统型号越高），开环放大倍数K越大，则在闭环系统稳定的条件下，其稳态误差越小，动态响应的跟踪精度越高2、中频段指开环对数幅频特性曲线在开环截止频率W C附近（0dB附近）的区段（±20dB），这一频段的特性集中反应了开环系统动态响应的平稳性和快速性。
3、反应中频段形状的参数主要有：开环截止频率W C、中频段斜率、中频段宽度。
W C的选择决定于系统暂态、响应速度的要求；中频段越长，相位裕量越大。
4、开环对数幅频特性中频段斜率最好为-20dB/dec，而且希望其长度尽可能长些，缓一些，以确保系统有足够的相角裕量。
当中频段斜率为-40dB/dec时，中频段占据的频率范围不宜过长，否则相角裕量会很小，若中频段斜率更小（如-60dB/dec），系统就很难稳定。
另外，截止频率W c越高，系统浮现信号能力越强，系统快速性也就越好。
5、高频段指开环对数幅频特性在中频段以后的频段，高频段的形状主要影响时域响应的起始阶段。
在进行分析时，可以将高频段进行近似处理，即用一个小惯性环节来等效地代替多个小惯性环节，等效的小惯性环节的时间常数等于被代替的多个小惯性环节的时间常数之和。
系统开环对数幅频特性在高频段的肤质，直接反应了系统对高频信号的抑制能力，高频部分的幅值越低，系统的抗干扰能力越强。
6、总之，为了系统满足一定的稳态和动态要求，对开环对数幅频特性的形状有如下要求：低频段要有一定的高度和斜率，中频段的斜率最好为-20dB/dec，且具有足够的宽度，高频段采用迅速衰减的特性，以抑制不必要的高频干扰。
7、对于自小相位系统，r>0 闭环系统稳定，当r<0 闭环系统不稳定8、PID调节：P控制只改变系统的增益而不影响相位，它对系统的影响主要反映在系统的稳态误差和稳定性上，增大比例系数可以提高系统的开环增益，减小系统的稳态误差，从而提高系统的控制精度，但这会降低系统的相对稳定性，甚至可能造成闭环系统的不稳定，因此，在系统校正和设计中，P一般不单独使用。
控制系统的频域分析法
(5-
53)
(554)
图5－9不稳定惯性环节的频率特性
图5-4 惯性环节的频率响应
不稳定环节的频率特性如图5-9。比较图5-4可知，它与惯性 环节的频率特性相比，是以平面的虚轴为对称的。
26
（八）滞后环节的传递函数
滞后环节的传递函数为: 其对应的频率特性是:
幅频特性和相频特性分别为:
如图5-10所示，滞后环节的 频率特性在平面上是一个顺 时针旋转的单位圆。
频率ω无关且平行于横轴的直线，其纵坐标为20lgK。
当有n个放大环节串联时，即:
(5-62)
幅值的总分贝数为:
(5-63)
放大环节的相频特性是:
(5-64)
如图5-11所示，它是一条与角频率ω无 关且与ω轴重合的直线。
34
（二）积分环节 积分环节的频率特性是: 其幅频特性为:
对数幅频特性是:
(5-65) (5-66)
(547) (548)
(549) (550)
24
二阶微分环节频率特性曲线如图5-8所示， 它是一个相位超前环节，最大超前相角为 。
图5-8 二阶微分环节频率特性
（七）不稳定图环节
不稳定环节的传递函数为:
不稳定环节有一个正实极点 ， 对应的频率特性是:
(551)
(5-
52)
25
幅频特性和相频特性分别为:
(5-67)
35
设
，则有:
可见，其对数幅频特性是一条
在ω=1（弧度/秒）处穿过零分贝 线（ω轴），且以每增加十倍频率
降低20分贝的速度（-20dB/dec） 变化的直线。
积分环节的相频特性是:
(5-69)
是一条与ω无关，值为-900 且平行于ω轴的直线。积分环
自动控制原理 第五章 控制系统的频域分析法
则
uos (t) = A ⋅ A(ω)sin[ω t + ϕ(ω)]
(5.2)
结论：
(1) 稳态解与输入信号为同一频率的正弦量；
(2) 当ω 从 0 向∞变化时，其幅值之比 A(ω) 和相位差ϕ(ω) 也将随之变化，其变化规
律由系统的固有参数 RC 决定； (3) 系统稳态解的幅值之比 A(ω) 是ω 的函数，其比值为
三角函数形式： G( jω) = A(ω)[cosϕ(ω) + jsinϕ(ω)] 。
式中 A(ω) = G( jω) 是幅值比，为ω 的函数，称为幅频特性；
ϕ(ω) = ∠G( jω) 是相位差，为ω 的函数，称为相频特性； U (ω) 是 G( jω) 的实部，为ω 的函数，称为实频特性； V (ω) 是 G( jω) 的虚部，为ω 的函数，称为虚频特性。
s + p1 s + p2
s + pn s + jω s − jω
∑n
=
Ci
+
B
+
D
i=1 s + pi s + jω s − jω
(5.4)
式中 Ci , B , D 均为待定系数。
将(5.4)式进行拉氏反变换，得系统的输出响应为
n
∑ c(t) = Cie− pi t + (Be− jω t + Dejω t ) = ct (t) + cs (t) i =1
C( jω) = G( jω)R( jω)
因而，得
G( jω) = C( jω) R( jω)
(5.11)
事实上，当ω 从 0 向∞变化时， G( jω) 将对不同的ω 作出反映，这种反映是由系统自
第4章 频域分析法
第4章 频域分析法
r1(t)＝Asin ω1t O t r2(t)＝Asin ω2t O t
c 1(t)＝M 1Asin( ω1t ＋ϕ1)
ϕ1 O
t c 2(t)＝M 2Asin( ω2t －ϕ2)
渐三线线
ϕ2
输输输输
输输输输
图4 - 1 线性系统的频率特性响应示意图
第4章 频域分析法
由图4-1可见，若r1(t)=A sinω1t,其输出为 c1(t)=A1 sin(ω1t+φ1)=M1A sin(ω1t+φ1)，即振幅增加了M1 倍， 相位超前了φ1角。 若改变频率ω， 使 r2(t)=A sinω2t， 则系统的输出变为 c2(t)=A2 sin(ω2t-φ2)=M2Ａ sin(ω2t-φ2)， 这时输出量的振 幅减少了(增加M2倍， 但M2<1), 相位滞后φ2角。 因此， 若以频率ω为自变量， 系统输出量振幅增长的倍数M 和相位的变化量φ为两个因变量， 这便是系统的频率 特性。
2 2
相频特性
− Tω /(T 2ω 2 + 1) ϕ (ω ) = arctan = arctan( −Tω ) 2 2 1 /(T ω + 1)
(4 - 14)
第4章 频域分析法
2) 图形表示方式 (1) 极坐标图（PolAr Plot）。 极坐标图又称奈奎 斯特图。 当ω从0→∞变化时， 根据频率特性的极坐标 表示式 G(jω)=|G(jω)|∠G(jω)=M(ω)∠φ(ω) 可以计算出每一个ω值下所对应的幅值M(ω)和相 角φ(ω)。 将它们画在极坐标平面上， 就得到了频率特 性的极坐标图。
第4章 频域分析法
Im U (ω2)
ω→ ∞
0 V (ω2)
系统的频域分析方法
0
C C
式中：C 为通带截止频率， t0 相位斜率（或群时延）。
这样的理想低通滤波器对激励信号低于 C 的频率分量
可以无失真传输（幅度均匀放大，时延），而高于 C
的频率分量则被全部抑制。
34
理想低通的单位冲激响应为
h t 1 C e jt0 e jtd
2 C
1
2
1
e jtt0
f t
1
f t 无失真传 yt
y t
输系统
k
0
t
0
t
t0
图2-30
21
设激励信号为 f t ，响应为 yt ，则系统无失真时， 输出信号应为
yt kf t t0
其中k 是系统的增益，t0 是延迟时间，k 与 t0 均为常数。 由上式得到理想传输系统的时域不失真条件
(1) 幅度乘以 k 倍； (2) 波形滞后 t0 。
(2) y1t、y2 t 有无失真？若有指出为何种失真。
25
H
2 1
4030
30
0
/2
26
解：由图2-31可知该系统的振幅、相位函数为
2
H
1
0
20 20 40
其它
/ 2 30
/ 60 30
/ 2 30
由振幅、相位函数可知只有输入信号在 0 20 或
求系统的频响函数。
解
H
j
5
1 j
1 j
e
j
2
5 1 e j2 j
例2-14 求图2-26零阶保持电路的频响函数。
f t
x t
1 t x d
T
y t
延时T
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( ) arctan( )
L ,
2. 对数频率特性
L 20 lg 2 2 1
ω≤ ， 1 L 0 ω≥ 1
2
0
1
dec B 20d
4
0
1
Im
L( ) 20lg
3. 幅相频率特性
二、频率特性的求取
已知系统的运动方程，输入正弦函数求其稳态解，取输出稳
态分量和输入正弦的复数比； 根椐传递函数来求取； 通过实验测得。
一般用这两种方法
系统模型间的关系
【例】某单位反馈控制系统的开环传递函数为 G(s)H(s)=1/(s+1),试求输入信号r(t)=2sin 2t时系统的稳态输 出y(t)。
Ar 1 2 1 2
d
0
r
n
2
0.707 0.5 0.3
0 0.707， 出现谐振
0.707 阶跃响应既快又稳，比较理想（也称为“二阶最佳”）
此时:
A 0.707
b n
3. 对数频率特性
L( ) 20lg 1 n
频率特性:
G j
1 jT 1
1 1 2 U V 2 2
1 1 T j U jV 2 2 j T 1 1 T 1 T
四、闭环频域性能指标
（1）零频振幅比A(0)指零
频 ( ω =0) 时，系统稳态输出与输 入的振幅比。A(0)与1之差的大小， 反映了系统的稳态精度.
A A0 0.707 A0
Ar
.
（2）谐振峰值 Ar是指幅频
特性A(ω )的最大值. 反映了系统 的平稳性。
0
0
Re
1
0 j
0
三、微分环节
传递函数:
G s s 频率特性:
A 及相频特性
G(j ) j e
π j 2
1. 幅频特性
A
L ,
( )
2
2
0
2. 对数频率特性
G( j ) C ( j ) R( j )
G(jω ) 称为幅相频率特性,简称频率特性。
A() G( j) () G( j)
幅频特性：输出与输入的幅值比 相频特性：输出与输入的相角差
Ar sin(t)
G( j)
Ar | G( j) | sin(t G( j))
1 2 n n G (j ) j U jV 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 n n n n
G j 1
j
n
2 1 20lg A 20lg 20n lg n j nπ ( ) 2
π 2
0 0.1
1
3.幅相频率特性
Im
1 G j j j 1
当ω >ω n时，幅值迅速衰减，且衰减的速度要高于一阶系统。
2. 幅频特性
A 及相频特性
A G j
1
2
• 相频特性
2
2 2 1 2 n n
A( ) 0.707 A(0) 4 (2) b 1 T ts 3T
2T 2 1
j Im[G(jω)] 0
Re[G(jω)]
1
频带越宽，调节时间越短。
3 b
0
L,
2. 对数频率特性 L( ) 20lg A( ) 20lg
（又称极坐标图Polar Plot 或奈氏图） 奈氏图 2）对数频率特性曲线（Bode图） L( ) ( ) L( ) 20lg A( ) ( ) 3）对数幅相特性（ L( ) ）
）
G(j ) Re jIm
尼科尔 斯图
Bode图
Im
( ) 0 2. 对数频率特性
K , j0
0 Re
L 20lg A 20lg K
( ) 0
3.幅相频率特性
G j K j0
0
L ,
0
20lg K
二、积分环节
传递函数:
1. 幅频特性
A 1
2
L
0
n
n
40dB dec
相频特性曲线:
L 40lg n
L 0
0 0.2
n
2
0.7
1
七、一阶不稳定环节（和一阶惯性环节比较）
传递函数: G s
1. 幅相频率特性
G j
2
1 Ts 1
0
0
90 0
1
Re
六、 振荡环节（二阶系统）
传递函数:
2 n 1 G( s ) 2 2 s 2n s n s n 2 2 s n 1
频率特性:
G (j )
1
j
2
n 2 j n 1
2
1. 幅相频率特性
G j j 0 j
0
Re
四、惯性环节（一阶系统）
传递函数:
1. 幅频特性
A
1 1 G (j ) 频率特性: G( s ) jT 1 Ts 1
A 及相频特性
1
( ) arctan T (1)当 1 时 T
2
r
b
b
（3）频带宽度ω b是指幅频特性A(ω )
从A(0)衰减到0.707A(0)时所对应的频率,也 称截止频率。反映了系统的快速性。
频域性能指标图示
（4）相频宽 ω bφ 是指指相频特性ψ (ω )=-π/2时所对应的频
率。反映了系统的快速性。
五、频率特性的图形表示方法 1)幅相频率特性曲线（ Re Im
求近似对数幅频特性曲线:
2
2 2 n
2
（首先令ζ =1，无谐振，0<ζ <0.707，有谐振，加修正）
L( ) 20lg 1 n
对数幅频特性曲线: 当ω /ω n≤1时， 当ω /ω n>1时，
频率特性定义：零初始条件时线性系统在正弦信号 作用下，输出响应的稳态分量与输入量之比。
更为广泛的定义：输出量的与输入量的傅立叶变换之比。
C ( j ) G ( j ) R( j ) | C ( j ) | | G ( j ) | | R( j ) |
G( j) G(s) |s j
2 n 1 2 arctan n 2 n G(j ) j 2 2 2 2 2 2 1 n 1 2 2 1 2 2 n n n n 2 n , 0 ~ 90o 2 n arctan 2 o n , 90 1 n o o n , 90 ~ 180
基本思想： 主要优点：
通过开环频率特性的图形对系统进行分析。 数学模型——频率特性。
（1）频率特性具有明确的物理意义，它可以用实验的方法来确定，具 有重要的实际意义。 （2）通过闭环系统中的开环频率特性的图形对系统进行分析，因而具 有形象直观和计算量少的特点。 （3）用频域法设计控制系统，可以兼顾动态、稳态和噪声抑制三方面 要求。 （4）频率响应法不仅适用于线性定常系统，而且还适用于传递函数不 是有理数的含滞后环节系统和部分非线性控制系统的分析。
（特征点——起始点、中间点、终止点） 当ω=0时，U(ω)=1,V(ω)=0.起始点在实轴上的（1，j0）处。
A 1, 0o
当ω=ωn时，U(ω)=0,V(ω)=-1/2ζ。
1 π A , 2 2
当ω=∞时，U(ω)=0,V(ω)=0。
Im
0
1 n 1 2
0
Re
大
A
A 0, π
由幅相特性曲线可得: n , 0 ~ 90o
小
n , 90o n , 90o ~ 180o
π 2
dec B d 20
L 20lg A 20lg
1
20lg A 20lg j n 20n lg n G j j nπ ( ) 2
Im
900
3.幅相频率特性
解：系统的频率特性
GB (j ) GB ( s) s j
GB ( s )
A
G( s) 1 1 G( s) s 2 1
1 GB (j ) j 2
2 22
atan( 2)
=2时， A 0.35 45o 则系统稳态输出为： y(t)=0.35*2sin(2t-45o ) =0.7sin(2t-45o)
5-2 典型环节与开环系统频率特性
比例环节 积分环节 微分环节 惯性环节（一阶系统） 一阶微分环节