多重共线性(练习题参考解答)

第四章练习题参考解答
练习题
4.1 假设在模型i i i i u X X Y +++=33221βββ中，32X X 与之间的相关系数为零，于是有人建议你进行如下回归：
i
i i i i i u X Y u X Y 23311221++=++=γγαα
(1)是否存在3
322ˆˆˆˆβγβα==且？为什么？ (2)吗？或两者的某个线性组合或会等于111
ˆˆˆγαβ (3)是否有()()()
()33
22ˆvar ˆvar ˆvar ˆvar γβαβ==且？ 4.2在决定一个回归模型的“最优”解释变量集时人们常用逐步回归的方法。

不我待在
逐步回归中既可采取每次引进一个解释变量的程序(逐步向前回归)，也可以先把所有可能的解释变量都放在一个多元回归中，然后逐一地将它们剔除(逐步向后回归)。

加进或剔除一个变量，通常是根据F 检验看其对ESS 的贡献而作出决定的。

根据你现在对多重共线性的认识，你赞成任何一种逐步回归的程序吗？为什么？
4.3
资料来源：《中国统计年鉴》，中国统计出版社2008年。

请考虑下列模型：i t t t u CPI GDP Y ++=ln ln ln 321βββ＋ (1)利用表中数据估计此模型的参数。

(2)你认为数据中有多重共线性吗？ (3)进行以下回归：
i
t t i t t i t t v CPI C C GDP v CPI B B Y v GDP A A Y 321221121ln ln ln ln ln ln ++=+=+=＋＋
根据这些回归你能对数据中多重共线性的性质说些什么？
(4)假设数据有多重共线性，但3
2ˆˆββ和在5%水平上个别地显著，并且总的F 检验也是显著的。

对这样的情形，我们是否应考虑共线性的问题？
4.4 自己找一个经济问题来建立多元线性回归模型，怎样选择变量和构造解释变量数据
矩阵X 才可能避免多重共线性的出现？
4.5 克莱因与戈德伯格曾用1921-1950年(1942-1944年战争期间略去)美国国内消费Y 和工资收入X1、非工资—非农业收入X2、农业收入X3的时间序列资料，利用OLSE 估计得出了下列回归方程：
37
.107 95.0 (1.09) (0.66) (0.17) (8.92) 3121.02452.01059.1133.8ˆ2==+++=F R X X X Y (括号中的数据为相应参数估计量的标准误)。

试对上述模型进行评析，指出其中存在的问题。

4.6 理论上认为影响能源消费需求总量的因素主要有经济发展水平、收入水平、产业发展、人民生活水平提高、能源转换技术等因素。

为此，收集了中国能源消费总量Y (万吨标准煤)、国内生产总值(亿元)X1(代表经济发展水平)、国民总收入(亿元)X2(代表收入水平)、工业增加值(亿元)X3、建筑业增加值(亿元)X4、交通运输邮电业增加值(亿元)X5(代表产业发展水平及产业结构)、人均生活电力消费
(千瓦小时)X6(代表人民生活水平提高)、能源加工转换效率(%)X7(代表能源转换技术)等在1985-2007年期间的统计数据，具体如下：
资料来源：《中国统计年鉴2008》，中国统计出版社。

要求：
(1)建立对数线性多元回归模型
(2)如果决定用表中全部变量作为解释变量，你预料会遇到多重共线性的问题吗？为什么？
(3)如果有多重共线性，你准备怎样解决这个问题？明确你的假设并说明全部计算。

4.7 在本章开始的“引子”提出的“农业和建筑业的发展会减少财政收入吗？”的例子中，如果所采用的数据如下表所示
资料来源：《中国统计年鉴2008》，中国统计出版社。

试分析：为什么会出现本章开始时所得到的异常结果？怎样解决所出现的问题？
练习题参考解答
练习题4.1参考解答：
(1) 存在3
322ˆˆˆˆβγβα==且。

因为()()()()
()()()
2
3223223232322
ˆ∑∑∑∑∑∑∑--=
i
i
i
i
i i
i
i i
i
i x x x x x x
x y x x y β
当32X X 与之间的相关系数为零时，离差形式的
032=∑i
i x x
有()()()()222223222322
ˆˆα
β==
=∑∑∑∑∑∑i
i
i
i
i
i
i
i x
x y x x x x y
同理有：33ˆˆβγ=：2322233
222
2323ˆ()
i i
i
i i
i i i
i
i i
y x x y x x x x x x x β-=
-∑∑∑∑∑∑∑
=()()()()2322223i i i i
i
y x x x x ∑∑∑∑=
323i i i
y x x
∑∑=3ˆγ
(2)会的。

1
ˆβ=2233ˆˆY X X ββ-- (1ˆα=22ˆY X α- ，1ˆγ=33Y X γ-) =2233ˆˆY X X α
γ-- =2233ˆˆY X Y X Y α
γ-+-- =11ˆˆY α
γ-++ (3) 存在()()()
()3322ˆvar ˆvar ˆvar ˆvar γβαβ==且。

因为()
()
∑-=2
23
222
2
1ˆvar r x i σβ
当023=r 时，()
()()2222
223
2
22
2
ˆvar 1ˆvar α
σσβ==
-=∑∑i
i
x
r x 同理，有()
()33
ˆvar ˆvar γβ=： ()()()22
3
32223323
ˆˆvar var 1i
i
x
x r σσβγ===-∑∑
练习题4.2（略）
练习题4.3参考解答： (1)参数估计结果如下：
22ln() 3.649 1.796ln() 1.208ln()
(-11.32) (9.93) (-3.41)0.990 0.988 F 770.602
GDP CPI R R =-+-===进口 (2)数据中有多重共线性，居民消费价格指数的回归系数的符号不能进行合理的经济意义解
释，且其简单相关系数呈现正向变动。

(3)分别拟合的回归模型如下：
22ln Y 3.7451.187ln () (-9.14) (30.66)
0.982 0.981 939.999GDP R R F =-+===
22ln Y 3.39 2.254ln (PI) (-4.06) (14.63)
0.926 0.922 213.934
C R R F =-+===
22ln()0.1441.927ln (PI) (0.33) (24.21)
0.972 0.970 586.337
GDP C R R F =+===
单方程拟合效果都很好，回归系数显著，判定系数较高，GDP 和CPI 对进口的显著的单一影响，在这两个变量同时引入模型时影响方向发生了改变，这只有通过相关系数的分析才能发现。

(4)如果仅仅是作预测，可以不在意这种多重共线性，但如果是进行结构分析，还是应该引起注意的。

练习4.4（略）
练习题4.5参考解答：
从模型拟合结果可知，样本观测个数为27，消费模型的判定系数95.02
=R ，F 统计量为107.37，在0.05置信水平下查分子自由度为3，分母自由度为23的F 临界值为3.028，计算的F 值远大于临界值，表明回归方程是显著的。

模型整体拟合程度较高。

依据参数估计量及其标准误，可计算出各回归系数估计量的t 统计量值：
11.009
.1121
.0,69.066.0452.0,10.617.0059.1,91.092.8133.83210========
t t t t 除1t 外，其余的j t 值都很小。

工资收入X1的系数的t 检验值虽然显著，但该系数的估计值过大，该值为工资收入对消费边际效应，因为它为1.059，意味着工资收入每增加一美元，
消费支出的增长平均将超过一美元，这与经济理论和常识不符。

另外，理论上非工资—非农业收入与农业收入也是消费行为的重要解释变量，但两者的t 检验都没有通过。

这些迹象表明，模型中存在严重的多重共线性，不同收入部分之间的相互关系，掩盖了各个部分对解释消费行为的单独影响。

练习题4.6（略） 练习题4.7参考解答
根据样本数据得到各解释变量的样本相关系数矩阵如下(见表4.3)： 表4.3 样本相关系数矩阵
解释变量之间相关系数较高，特别是农业增加值、工业增加值、建筑业增加值、最终消费之间，相关系数都在0.9以上。

这显然与第三章对模型的无多重共线性假定不符合。