专题二分式不等式的解法
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（一）分式不等式：
型如：
0)()(>x x f ϕ或0)
()
( 的不等式称为分式不等式。 （2）归纳分式不等式与整式不等式的等价转化： （1） 0)()(0)()(>⋅⇔>x x f x x f ϕϕ （3）0)()(0) ()(<⋅⇔ （2） ⎩⎨⎧≠≥⋅⇔≥0)(0)()(0)()(x x x f x x f ϕϕϕ （4）⎩⎨ ⎧≠≤⋅⇔≤0 )(0)()(0)() (x x x f x x f ϕϕϕ （3）小结分式不等式的解法步骤： （1）移项通分，不等式右侧化为“0”，左侧为一分式 （2）转化为等价的整式不等式 （3）因式分解，解整式不等式（注意因式分解后，一次项前系数为正） （1）分式不等式的解法： 解关于x 的不等式 02 31 >-+x x 方法一：等价转化为： 方法二：等价转化为： ⎩⎨ ⎧>->+02301x x 或⎩⎨⎧<-<+0230 1x x 0)23)(1(>-+x x 变式一： 02 31 ≥-+x x 等价转化为：⎩ ⎨ ⎧≠-≥-+0230 )23)(1(x x x 比较不等式 0231<-+x x 及02 31 ≤-+x x 的解集。 （不等式的变形，强调等价转化，分母不为零） 练一练：解关于x 的不等式 例1、 解关于x 的不等式： 23 2 ≥+-x x 解： 023 2 ≥-+-x x 即， 038 ≥+--x x 03 8 ≤++x x （保证因式分解后，保证一次项前的系数都为正） 等价变形为：⎩ ⎨ ⎧≠+≤++030 )3)(8(x x x ∴原不等式的解集为[)3,8-- 例2、解关于x 不等式 23 28 2 <+++x x x 方法一：322 ++x x 恒大于0，利用不等式的基本性质 方法二：移项、通分，利用两式同号、异号的充要条件，划归为一元一次或一元二次不等式。 例3、 解关于x 的不等式：1≥x a 解：移项 01≥-x a 通分 0≥-x x a 即，0≤-x a x 等价转化为，⎩ ⎨ ⎧≠≤-00 )(x a x x 当a>0时，原不等式的解集为],0(a 当a<0时，原不等式的解集为)0,[a 当a=0时，原不等式的解集为φ ⒈ 一元二次不等式与特殊的高次不等式解法 例1 解不等式0)1)(4(<-+x x . 分析一：利用前节的方法求解； 分析二：由乘法运算的符号法则可知，若原不等式成立，则左边两个因式必 须异号，∴原不等式的解集是下面两个不等式组：⎩⎨⎧<+>-0401x x 与⎩⎨⎧>+<-040 1x x 的解集 的并集，即{x|⎩⎨⎧<+>-0401x x }∪⎩⎨⎧>+<-040 1|{x x x }=φ∪{x|-4 按下列格式： 解二：∵(x-1)(x+4)<0⇔⎩⎨⎧<+>-0401x x 或⎩ ⎨⎧>+<-040 1x x ⇔x ∈φ或-4 小结：一元二次不等式)a ()c bx ax (c bx ax 00022≠<++>++或的代数解法： 设一元二次不等式)a (c bx ax 002≠>++相应的方程)a (c bx ax 002≠=++的两根为2121x x x x ≤且、，则00212>--⇔>++)x x )(x x (a c bx ax ； ①若⎩⎨ ⎧>>⎩⎨⎧<<⇒⎩⎨⎧>->-⎩⎨⎧<-<->.x x ,x x ,x x ,x x .x x ,x x ,x x ,x x ,a 2 121212100000或或则得 当21x x <时，得1x x <或2x x >；当21x x =时，得1x x ,R x ≠∈且. ②若⎩⎨ ⎧><⎩⎨⎧><⇒⎩⎨⎧>-<-⎩⎨⎧>-<-<. x x , x x ,x x ,x x .x x ,x x ,x x ,x x ,a 2121212100000或或则得 当21x x <时，得21x x x <<；当21x x =时，得∅∈x . 分析三：由于不等式的解与相应方程的根有关系，因此可求其根并由相应的函数值的符号表示出来即可求出不等式的解集. 解：①求根：令(x-1)(x+4)=0，解得x （从小到大排列）分别为-4，1，这两根将x 轴分为三部分：（-∞，-4）（-4，1）（1，+∞）； ②分析这三部分中原不等式左边各因式的符号 ③由上表可知，原不等式的解集是{x|-4 ②求得相应方程的根为：-2，1，3； ③列表如下： ④由上表可知，原不等式的解集为：{x|-2