悖论与数理逻辑的三大学派=论文

大学研究生学位课程论文论文题目：悖论与数理逻辑的三大学派

悖论与数理逻辑的三大学派

摘要：由于很多数学家和逻辑学家不愿因悖论的出现就轻易的放弃他们的研究成果，积极投身于悖论和数学基础的研究，为排除悖论，克服危机作了大量的工作。在数学基础的研究过程中，数学家和逻辑学家们对悖论的解决等一系列问题的分歧日渐加深，渐成营垒，形成了关于数理逻辑的三大学派。本文分别分析了这三大学派，以推进数理逻辑的进一步发展。

关键词：悖论；数理逻辑；学派

一悖论与逻辑主义学派

集合论悖论的出现，造成数学基础的危机，受影响最大的首当其冲是逻辑主义者，因为他们企图以集合论作为数学的“永恒的，可靠的基础”，并企图把数学归结为逻辑。集合论悖论的发现表明逻辑主义者企图用以作为数学基础的逻辑本身就是不可靠的。这样，逻辑主义的代表人物罗素就亲手酿造了一个苦果，不仅把弗雷格置于对自己事业万分失望的尴尬境地，而且自己也不得不苦咽下去。所以从1902年开始，逻辑主义的研究进入一个新时期，他们不仅研究如何由逻辑出发去开展全部数学问题，而且必须防止悖论的出现。

首先，罗素对悖论进行了仔细的研究，寻求合适的解悖方案。最初，他在《数学的原理》(1903)中提出区别类和类的元素的类型，这也是类型论的最初构想，本质上是简单类型论，但没有进行深入的研究。简单类型论的基本思想是：区分个体、谓词或集合的不同类型。要直观的理解简单类型论对涉及集合的悖论的作用，需要用集合的语言阐述类型和级的概念。任何集合都可划分到特定的类型:：

类型0，这一层的元素为个体

类型1，个体的集合

类型2，个体的集合的集合

类型3，个体的集合的集合的集合

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在定义中没有涉及某些集合的总体性质的集合是第0级的，在定义中涉及“第n级的所有集合”的总体性质的集合则属于n+l级。在这样的划分下，依照原则规定：类型n中的集合只能以类型n-1中的对象为元素，每一类型各级的集合的界定不能依赖该级的整体或更高的级中的集合。违反规定的表达式是无意义的，这样就避免了“元素”和“元素的集合”的混淆，排除了集合论悖论。但是对数和命题的处理遇到了困难，而且有一些悖论，尤其是语义悖论不能解决。对于这一点，罗素感到失望，没有再继续深入下去，而是是另辟蹊径。

1905年，罗素在另一篇论文《关十超穷数和超穷序型理论中的一些困难》中提出了另外三种解悖方法：量性限制理论、曲折论和无类论。同时，受彭加勒的悖论与非直谓定义有关的思想影响，他乐观的认为一切悖论都有一个共同的根源，就是它们都违反了一个原则：“恶性循环原则”。基于这一原则和无类论的思想，罗素又对类型论进行了扩充，引进命题函项的概念，做出严格的类和级的划分，沿着非集合的道路发展出了一个形式的悖论解决方案一一分支类型论。

分支类型论比简单类型论更加具体，它的基本思想不仅包括“任一性质，都要归属于一定的类型”而且“对任一性质，还要更具体的归属于确定类型论中的一定的级”。于是，罗素想以命题函数为出发点，建立一套以阶论为中心的类型论的形式化体系，对各种悖论作统一处理。

首先，罗素要对命题函数进行分层处理：

第一层：零阶函数，函数是个体，a，b，c……表示个体常元；x, y ,z……表示个体变元；

第二层：一阶函数，比个体高一层次的函数，以个体为变元，例如（X）(X,Y)，(Y) (X)Y(x，y，z)

第三层：二阶函数，以一阶函数为变元，例如，（β）F(β!x, z),(Y)f(Y!z，β!z) ……

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一般地，如果一个函数中变元(或约束变兀)的最高阶是n（n≥0），则称这一函数是n+l阶的。

其次，因为悖论的出现与“非直谓定义”有关，为了遵循恶性循环原则，避免悖论，罗素把命题函数分为直谓的和非直谓的，并对直谓函数作了严格的定义。他是这样定义的：“对一元命题而言，当函数的阶恰比它的自变元的阶高1时，称为直谓的；对于有K (K≥1)个自变元的K元命题函数，若K个子变元中最高的阶是n，而函数的阶是n+l，则称该K元函数是直谓的。由此可知，一阶函数都是直谓函数，而二阶和二阶以上的函数则分为直谓的和非直谓的两种。如果函数本身的阶不是比函数中自变元的阶高1，就是非直谓函数。这样，各个函数阶层径渭分明，互不交叉，每个函数都是有限阶的，并目在函数阶层中有唯一确定的位置，把涉及命题总体的命题(非直谓命题)和不涉及命题总体的命题(直谓命题)区分开来，从而避免了一些著名的悖论。罗素又引入了可归化公理，该公理断言：“对任何命题函数，必存在一个与它形式等价的直谓函数。”借助这一公理，就可以把一个命题函数决定的类，定义为与它形式等价的直谓函数所决定的类，从而一切类都可看作是由直谓函数决定的。因为直谓函数的阶比它的自变元的阶高1,所以个体的集合的阶总比个体的阶高1。这样，正如上面所表述的，在类的理论中，个体、个体的集合、个体的集合的集合…形成一个递增的层次，和这一层次相对应的事个体、个体的直谓函数、个体的直谓函数的直谓函数…这样一个递增的函数层次。这个以阶论为中心发展起来的逻辑体系便是罗素的分支类型论。后来罗素就是按照分支类型论的原则由集合论出发开展全部数学理论的研究。为实现这一目标，罗素和怀特海经过艰苦的劳动，完成了著名的《数学原理》。

罗素的类型论在数理逻辑发展史上有重要的地位，因为利用它可避免一些著名悖论(康托悖论，布拉里一一福蒂悖论，罗素悖论及一些语义悖论)，不能不说是一大成就。但是罗素的类型论也有严重的缺陷：首先，类型论要求过于严格，虽排除了一些悖论，但同时也排出了许多合理的东西，尤其是一些重要的定理不能证明，某些无害的数学概念宣布为非法，结果是得不偿失。但如果放宽原则的话，谁能保证不会出现别种类型的悖论呢?其次，罗素提出了可归化公理实质上降低了分支类型论将函数划分为不同阶层要求，遭到了强烈的批判，并且，罗素的类型论系统本身也过于繁琐，引起不少的麻烦。

从数理逻辑的发展历史看，虽然逻辑主义想把数学全部归结于逻辑的意图是不可能实现的，但逻辑主义还是有很大的贡献：首先，逻辑主义者以集合论为基础进行数学研究，为了避免悖论，他们必须做使逻辑严格化的工作，这就直接促进了逻辑的数学化。所以，《数学原理》是用数学方法研究逻辑取得的高度成就，正是在这个意义上，它常被说成是数理逻辑成熟的标志。其次，罗素的理论对后来研究者产生重大影响，公理化集合论就是沿着他的方向发展起来的。罗素的分层思想对后来的数理逻辑学家也有极大的启示:塔尔斯基就是沿着罗素开辟的道路对语言进行分层处理，对数理逻辑的发展做出重大贡献。

二悖论与直觉主义学派

与此同时，在数学基础这一研究领域中，出现了一种与逻辑主义完全对立的数学思想：把直觉当作数学最根本的基础，全然否认数学构造中有逻辑的作用，认为所有的数学对象和定理都是从原始直觉出发能行地构造出来的，这就是数学基础问题上的另一主要流派一一直觉主义。直觉主义者倾向于欢迎悖论的到来，因为悖论似乎使他们乐于去证明非直觉主义数学的虚弱。

第一个对数学采取自觉的直觉主义的是德国数学家克隆尼克，但他并没有对此进行系统的阐述，