数学分析、高等代数

数学与应用数学专业《数学分析》、《高等代数》考试大纲

专业性质：师范类

课程性质：专业课试卷包括数学分析和高等代数两个部分。数学分析是高等师范院校基础数学专业和应用数学专业的必修课。本课程是进一步学习许多后继课程，如复变函数论，常微分方程，数理方程，微分几何，概率论，实变函数论等课程的必要的基础知识。也为在更高层次上理解中学数学的相关内容打下必要的基础。高等代数是高等师范院校数学与应用数学专业的一门重要核心课程，也是理科各学科的一门重要基础课。它是中学代数的继续和提高，它的思想和方法已经渗透到数学的各个领域。高等代数的全部内容分两大部分，多项式理论和线性代数理论。其中线性代数理论显得十分重要，不仅在自然科学的各分支有着重要应用，而且在社会科学领域中也有着广泛的应用。

考核方式：专业课试卷数学分析部分占60%，高等代数部分占40%，采用闭卷考试。

考核内容:

《数学分析》部分

第一章函数

函数定义，函数的四则运算；四类特殊函数的概念；复合函数、反函数的概念。

第二章极限

定义证明一些数列极限；收敛数列的三个性质、四则运算和两边夹法则；Cauchy 收敛准则；两边夹定理的应用；函数极限定义；函数极限的三个性质，四则运算法则，两类重要极限；等价无穷小在计算极限中的应用。

第三章函数连续

函数连续概念；间断点的定义及分类；函数的左连续与右连续；连续函数的运算及其性质；初等函数的连续性；闭区间上连续函数三个性质。

第四章导数与微分

导数定义及几何意义；可导与连续的关系；求导法则及基本初等函数的求导公式，复合函数求导法则；隐函数与参数方程的求导方法；微分的定义；初等函数的高阶导数。

第五章微分学基本定理及其应用

Lagrange中值定理，Rolle中值定理，Lagrange中值定理及其应用；洛必达法则；Taylor公式及其应用；导数在研究函数上的应用。

第六章不定积分

不定积分的性质，不定积分公式表；分部积分法与换元积分法；有理

函数的不定积分法；简单无理函数与三角函数的不定积分。

第七章定积分

定积分的定义，可积准则；定积分的性质；定积分的分部积分法与换元积分法；定积分的应用（求面积旋转体体积）。

第八章级数

数值级数及其敛散性以及判别，收敛级数的性质，条件收敛与绝对收敛，绝对收敛级数的性质；函数级数，函数级数一致收敛的概念及其判别，函数级数一致收敛时和函数的分析性质，函数列的一致收敛及其性质；幂级数的收敛半径和收敛域，幂级数和函数的分析性质，泰勒级数及其基本初等函数的幂级数展开。

第九章多元函数微分学

多元函数的概念（包括平面点集及坐标平面的连续性）；二元函数的极限和连续；多元函数微分法；二元函数的泰勒公式。

第十章隐函数

一个方程所确定的隐函数的存在性，并简单介绍由方程组确定的隐函数的存在性条件；简单介绍函数行列式；条件极值的概念及应用。

第十一章广义积分与含参变量的积分

无穷积分收敛与发散的概念以及与级数的关系，无穷积分的性质，无穷积分的收敛性判别；瑕积分收敛与发散的概念以及收敛性判别；含参变量的有限积分及性质，含参变量积分及性质，两个重要的函数即伽马函数与β函数。

第十二章重积分

二重积分的概念、性质及累次积分与二重积分的关系，二重积分的计算；三重积分的概念、性质及计算。

第十三章曲线积分与曲面积分

第一型曲线积分及其计算，第二型曲线积分及其计算，Green公式；第一型曲面积分及其计算。

《高等代数》部分

第一章多项式

一元多项式的定义及运算、多项式的整除性、多项式的最大公因式、多项式的分解、重因式、多项式的根。

第二章行列式

线性方程组与行列、排列、n 阶行列式、子式和代数余子式、Cramer 规则。

第三章线性方程组

线性方程组的消元解法、矩阵的秩、有解的判别定理，线性方程组解的结构。

第四章矩阵

矩阵的运算、矩阵的行列式、矩阵的逆矩阵、矩阵的分块。

第五章向量空间

向量空间的概念、子空间及其运算、向量的线性相关性、基和维数、向量的坐标、向量空间的同构。

第六章线性变换

线性变换的定义、性质和运算、线性变换和矩阵的关系、本征值与本征向量、可以对角化的矩阵与线性变换。

第七章欧氏空间

欧氏空间、内积、度量矩阵、正交变换、对称变换、正交基、标准正交基。

第八章二次型

n 元二次齐次多项式（简称二次型）、二次型与对称矩阵的关系，复数域和实数域上的二次型、正定二次型、惯性定律。

题型结构：选择题，填空题，计算题，证明题。

参考书目：

1.刘玉琏,傅沛仁.数学分析讲义(第三版),北京：高等教育出版社,2003.

2. 张禾瑞，郝炳新.高等代数（第四版）.北京：高等教育出版社，1999.