最小二乘法课件

7
i
28, 208.5,
t
i 0 7 i 0
7
2 i
140, 717.0
ห้องสมุดไป่ตู้
y
i
yt
i i
代入方程组（1）得
140a 28b 717 , 28a 8b 208.5.
解此方程组，得到 a 0.3036, b 27.125. 这样便得到所求经验公式为
将括号内各项进行整理合并，并把未知数 a 和 b 分离出来，便得
a t 2 b t y t , i i i i i 0 i 0 i 0 7 7 a t i 8b y i . i 0 i 0
7 7 7
(1)
计算得
t
i 0 7 i 0
f (ti )
偏差
偏差的平方和 M 0.108165 ， 它的平方根 M 0.329 ． 我们把 M 称为均方误差，它的大小在一定 程度上反映了用经验公式来近似表达原来函数关 系的近似程度的好坏．
o
1 2 3 4 5 6 7 8
t
因为这些点本来不在一条直线上，我们只 能要求选取这样的 a , b ，使得 f ( t ) at b 在 t0 , t1 ,, t7 处的函数值与实验数据 y0 , y1 , y7 相 差都很小．
就是要使偏差
yi f ( t i )
7
(i 0,1,2,,7) 都很小.
7 M 2 yi (ati b )t i 0, a i 0 令 7 M 2 yi (ati b ) 0; b i 0
即
7 y (at b )t 0, i i i i 0 7 yi (at i b ) 0. i 0
y f ( t ) 0.3036 t 27.125.
( 2)
由（2）式算出的函数值 f ( t i ) 与实测 yi 的有 一定的偏差.现列表比较如下：
ti
实测
0 27.0
1 26.8
2 26.5
3 26.3
4 26.1
5 25.7
6 25.3
7 24.3
yi
算得
27.125 26.821 26.518 26.214 25.911 25.607 25.303 25.000 -0.125 -0.021 -0.018 -0.086 0.189 0.093 -0.003 -0.200
试根据上面的试验数据建立 y 和 t 之间的经验公 式 y f ( t ).
解 首先确定 f ( t ) 的类型. y 如图，在坐标纸上画出 这些点，观察可以认为
27
y f (t ) 是 线 性 函 数 ,
并设 f ( t ) at b, 其中 a 和b 是待定常数.
26 25
24
2
因此可以考虑选取常数 a , b ，使得
M yi (ati b)
i 0
最小来保证每个偏差的绝对值都很小． 定义 这种根据偏差的平方和为最小的条件来选 择常数 a , b 的方法叫做最小二乘法． 这种确定常数的方法是通常所采用的.
把 M 看成自变量 a 和 b 的一个二元函数， 那么问题就可归结为求函数 M M (a , b) 在那 些点处取得最小值.
最小二乘法
最小二乘法
例1 为了测定刀具的磨损速度，我们做这样的 实验：经过一定时间(如每隔一小时)，测量一 次刀具的厚度,得到一组试验数据如下：
0 1 2 3 4 5 6 7 顺序编号i 0 1 2 3 4 5 6 7 时间t i (小时) 刀具厚度 y i (毫米) 27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.3