最小二乘法课件
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8.2一元线性回归模型参数的最小二乘估计(第二课时)课件-人教A版选择性必修第三册
我们将 y
式，其图形称为经验回归直线. 这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法.
2. 什么是最小二乘估计?
经验回归方程中的参数计算公式为：
n
( xi x )( yi y )
bˆ i 1 n
2
(
x
x
)
i
i 1
aˆ y bx
n
x y
i 1
n
i
i
nx y
注意点：在含有一元线性回归模型中，决定系数R2=r2．在线性回归模型中有0≤R2≤1，
因此R2和r都能刻画用线性回归模型拟合数据的效果．
|r|越大，R2就越大，线性回归模型拟合数据的效果就越好．
编
号
1
2
3
4
5
6
7
8
t
1896
1912
1921
1930
1936
1956
1960
1968
0.591
-0.284
，
8.
两个经验回归方程的残差(精确到0.001)如下表所示.
编
号
1
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t
1896
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1921
1930
1936
1956
1960
1968
0.591
-0.284
-0.301
-0.218
-0.196
0.111
0.092
0.205
-0.001
0.007
-0.012
0.015
-0.018
式，其图形称为经验回归直线. 这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法.
2. 什么是最小二乘估计?
经验回归方程中的参数计算公式为：
n
( xi x )( yi y )
bˆ i 1 n
2
(
x
x
)
i
i 1
aˆ y bx
n
x y
i 1
n
i
i
nx y
注意点：在含有一元线性回归模型中，决定系数R2=r2．在线性回归模型中有0≤R2≤1，
因此R2和r都能刻画用线性回归模型拟合数据的效果．
|r|越大，R2就越大，线性回归模型拟合数据的效果就越好．
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0.591
-0.284
，
8.
两个经验回归方程的残差(精确到0.001)如下表所示.
编
号
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1896
1912
1921
1930
1936
1956
1960
1968
0.591
-0.284
-0.301
-0.218
-0.196
0.111
0.092
0.205
-0.001
0.007
-0.012
0.015
-0.018
一元线性回归模型及参数的最小二乘估计课件-高二数学人教A版(2019)选择性必修第三册
2.方法归纳：数形结合、转化化归. 3.常见误区：不判断变量间是否具有线性相关关系，盲目求解经验回归方程 致误.
§8.2 一元线性回归模型及其应用 第1课时 一元线性回归模型及参数的最小二乘估计
1 一元线性回归模型 2 最小二乘法和
经验回归方程
3 利用经验回归方程
进行预测
01 一元线性回归模型
知识梳理
一元线性回归模型：我们称
Y＝bx＋a＋e， Ee＝0，De＝σ2
为Y关于x的_一__元__线__性__回__归_
8
∑i＝1xiyi－8 x b^ ＝ 8
∑i＝1x2i －8 x
y
2
＝132245－6－8×8×52×25982＝14，
所以a^ ＝ y －b^ x ＝98－14×52＝12，故经验回归方程为y^＝14x＋12.
(2)若该次考试数学平均分为120分，物理平均分为91.5分，试由(1)的结 论预测数学成绩为128分的同学的物理成绩.
n
(xi－ x )2
n
x2i －n x 2
i＝1
i＝1
由题意可得 x ＝15×(1＋1.5＋2＋2.5＋3)＝2， y ＝15×(0.9＋0.7＋0.5＋0.3＋0.2)＝0.52.
5
(xi－ x )(yi－ y )＝－1×0.38－0.5×0.18＋0.5×(－0.22)＋1×(－0.32)
i＝1
(1)(2)(3)(4)(5)回归模型，(6)(7)函数模型.
练1习1 若某地财政收入x与支出y满足一元线性回归模型y＝bx＋a＋e(单
位：亿元)，其中b＝0.7，a＝3，|e|≤0.5，如果今年该地区财政收入10亿
元，年支出预计不会超过
A.9亿元 C.10亿元
§8.2 一元线性回归模型及其应用 第1课时 一元线性回归模型及参数的最小二乘估计
1 一元线性回归模型 2 最小二乘法和
经验回归方程
3 利用经验回归方程
进行预测
01 一元线性回归模型
知识梳理
一元线性回归模型：我们称
Y＝bx＋a＋e， Ee＝0，De＝σ2
为Y关于x的_一__元__线__性__回__归_
8
∑i＝1xiyi－8 x b^ ＝ 8
∑i＝1x2i －8 x
y
2
＝132245－6－8×8×52×25982＝14，
所以a^ ＝ y －b^ x ＝98－14×52＝12，故经验回归方程为y^＝14x＋12.
(2)若该次考试数学平均分为120分，物理平均分为91.5分，试由(1)的结 论预测数学成绩为128分的同学的物理成绩.
n
(xi－ x )2
n
x2i －n x 2
i＝1
i＝1
由题意可得 x ＝15×(1＋1.5＋2＋2.5＋3)＝2， y ＝15×(0.9＋0.7＋0.5＋0.3＋0.2)＝0.52.
5
(xi－ x )(yi－ y )＝－1×0.38－0.5×0.18＋0.5×(－0.22)＋1×(－0.32)
i＝1
(1)(2)(3)(4)(5)回归模型，(6)(7)函数模型.
练1习1 若某地财政收入x与支出y满足一元线性回归模型y＝bx＋a＋e(单
位：亿元)，其中b＝0.7，a＝3，|e|≤0.5，如果今年该地区财政收入10亿
元，年支出预计不会超过
A.9亿元 C.10亿元
北师大版必修3高中数学1.7、8相关性最小二乘估计课件
(2)利用最小二乘法估计时，要先作出数据的 散点图．如果散点图呈现一定的规律性，我 最小二乘法 们再根据这个规律进行拟合．如果散点图呈 现出线性关系，我们可以用___________估 计出线性回归方程；如果散点图呈现出其他 的曲线关系，我们就要利用其他的曲线进行 拟合．
1．下列两个变量之间的关系是相关关系的是 ( ) A．正方体的棱长和体积 B．单位圆中角的度数和所对弧长 C．单产为常数时，土地面积和总产量 D．日照时间与水稻的亩产量 [答案] D [解析] 函数关系是一个变量与另一个变量之 间有确定性的关系，选项A、B、C均为函数 关系，日照时间与水稻的产量带有一定的随
最小二乘法 ． 如 果 用 x 表 示 求 的 直 线 ， 这 种 方 法 称 为 _____________
x1＋x2＋„＋xn y1＋y2＋„＋yn ，用 y 表示 ，则可以求得 b＝ n n x1－ x y1－ y ＋x2－ x y2－ y ＋„＋xn－ x yn－ y x1－ x 2＋x2－ x 2＋„＋xn－ x 2
2．最小二乘估计 (1)如果有n个点：(x1，y1)，(x2，y2)，„， (xn，yn)，可以用下面的表达式来刻画这些点 与直线y＝a＋bx的接近程度： [y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋„＋[yn－ (a＋bxn)]2.
最小值 使得上式达到___________ 的直线 y＝a＋bx 就是我们所要
2．对于给定的两个变量的统计数据，下列说 法正确的是( ) A．都可以分析两个变量的关系 B．都可以用一条直线近似地表示两者的关 系 C．都可以作出散点图 D．都可以用确定的表达式表示两者之间的 关系 [答案] C [解析] 两个变量可能是无关的，A、D错误； 两者可能不是线性相关的，此时不能用直线
第3章曲线拟合的最小二乘法计算方法
最小二乘拟合,特别是多项式拟合,是最流行的数据处理 方法之一.它常用于把实验数据(离散的数据)归纳总结为经 验公式(连续的函数),以利于进一步的推演分析或应用.
1
结束
§3.2 线性拟合和二次拟合函数
1. 线性拟合
计 已知数据点为 ( xi , yi ), i 1,2,..., n
算 用直线 p( x) a bx作为近似曲线,均方误差为
计
i xi yi xi yi xi2 xi2yi xi3
xi4
0 3 5 15 9 45 27
81
算
1 5 2 10 25 50 125 625
方
2 6 1 6 36 36 216 1296
法
3 8 2 16 64 128 512 4096
课
4 10 4 40 100 400 1000 10000
件
Y ln y, A ln a Y A bx
8
i
xi
0
1
yi
Yi
15.3
2.7279
xi2
xiYi
1
2.7279
1
2
20.5
3.0204
4
6.0408
计
2
3
27.4
3.3105
9
9.9315
算
3
4
36.6
3.6000
16
14.4000
方
4
5
49.1
3.8939
25
19.4695
法
5
6
65.6
4
例1 设5组数据如下表,用一多项式对其进行拟合。
x 3 5 6 8 10
计
最新-数值计算方法课件CH3插值法与最小二乘法—37数据拟合的最小二乘法-PPT文档资料
转化
(a0,a1, 取,an 极)小值
a0*,的a1*问,题,an*
由多元函数取极值的必要条件
得：
(a0,a1,,an) 0
ak
k0,1,,n
ak
m
n
i[2( ajj(xi)yi)k(xi)] 0
i0
j0
移项整理得：
mn
m
i ajj(xi)k(xi) iyik(xi)
i0 j0
i0
交换求和号顺序得：
n[ mij(xi)k(xi)a ]j miyik(xi) (k0,1, ,n) (7)
j0i0
i0
即
m
m
m
a0 i0(xi)k(xi)a1 i1(xi)k(xi) an in(xi)k(xi)
m
Байду номын сангаас
m
((jj,, kk)) ij(xi)k(xi) ik(xi)j(xi)(k,j) (8)
i0
i0
m
(f,k) iyik(xi)
(9)
i0
方程组(7)便可化为:
n
n
(j,k)aj (k,j)aj (f,k)(k0,1, ,n) (10)
一、最小二乘法的基本概念
根据上述实例图中测试点的分布情况,可以画出很多条靠 近这些点的直线,其方程都可表示为：
S(t)atb
(1)
其中: a, b 待定.要从形如(1)式的所有直线中,找出一条用某种 度量标准来衡量最靠近所有数据点 (ti , si ) (的i直0,1线,....m ,)
若 a, b 给定,计算值 S(ti) 与测量数据 si 之差为:
数值分析3-4(最小二乘法)ppt课件
i0
j0
f (xi )]k (xi )
展开
n
m
m
a j ( xi ) j ( xi )k ( xi ) ( xi ) f ( xi )k ( xi )
j0 i0
i0
法方程
解方程组
有唯一解ak ak (k 0,1,..., n)
则S ( x) a00 ( x) a11( x) ... ann ( x)
本例经过计算可得
max i
|
(1) i
|
0.568
103
, max i
|
(2) i
|
0.277
103
而均方误差为
m
m
(
(1) i
)2
1.19 103 ,
(
( i
2)
)
2
0.34 103
i 1
i 1
由此可知第二个模型较好。
结论：
选择拟合曲线的数学模型，并不一定开始 就能选好，往往需要通过分析若干模型后， 经过实际计算才能选到较好的模型，如本 例的指数模型就比双曲线模型好得多。
三、求解步骤
确定拟合曲线的形式
最困难！
确定变量对应的数据
确定法方程
求解法方程
四、举例
例1. 已知一组实验数据如下，求它的拟合曲线.
xi
1
2
3
4
5
fi
4 4.5 6
8 8.5
ωi
21311
解 根据所给数据，在坐标纸上标出，从图 中看到各点在一条直线附近，故可选择 线性函数作拟合曲线，即令
S1( x) a0 a1 x
最小二乘估计课件(43张)
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30
2．已知变量 x，y 有如下对应数据：
x
1
2
3
4
y
1
3
4
5
(1)作出散点图；
(2)用最小二乘法求关于 x，y 的回归直线方程．
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[解] (1)散点图如下图所示．
31
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(2) x ＝1＋2＋4 3＋4＝52， y ＝1＋3＋4 4＋5＝143，
4
i∑＝1xiyi＝1＋6＋12＋20＝39， i∑＝41x2i ＝1＋4＋9＋16＝30， b＝393－0－4×4×52×521243＝1130，
(1)判断它们是否有相关关系，若有相关关系，请作一条拟合直 线；
(2)用最小二乘法求出年龄关于脂肪的线性回归方程．
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25
[思路探究] (1)作出散点图，通过散点图判断它们是否具有相关 关系，并作出拟合直线；
(2)利用公式求出线性回归方程的系数 a，b 即可．
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26
[解] (1)以 x 轴表示年龄，y 轴表示脂肪含量(百分比)，画出散 点图，如下图．
32
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a＝143－1130×52＝0， 故所求回归直线方程为 y＝1130x.
33
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34
1．求回归直线的方程时应注意的问题 (1)知道 x 与 y 呈线性相关关系，无需进行相关性检验，否则应首先进 行相关性检验．如果两个变量之间本身不具有相关关系，或者说，它们之
间的相关关系不显著，即使求出回归方程也是毫无意义的，而且用其估计
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8
2．下表是 x 与 y 之间的一组数据，则 y 关于 x 的线性回归方程 y
＝bx＋a 必过( )
x
30
2．已知变量 x，y 有如下对应数据：
x
1
2
3
4
y
1
3
4
5
(1)作出散点图；
(2)用最小二乘法求关于 x，y 的回归直线方程．
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[解] (1)散点图如下图所示．
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(2) x ＝1＋2＋4 3＋4＝52， y ＝1＋3＋4 4＋5＝143，
4
i∑＝1xiyi＝1＋6＋12＋20＝39， i∑＝41x2i ＝1＋4＋9＋16＝30， b＝393－0－4×4×52×521243＝1130，
(1)判断它们是否有相关关系，若有相关关系，请作一条拟合直 线；
(2)用最小二乘法求出年龄关于脂肪的线性回归方程．
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[思路探究] (1)作出散点图，通过散点图判断它们是否具有相关 关系，并作出拟合直线；
(2)利用公式求出线性回归方程的系数 a，b 即可．
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[解] (1)以 x 轴表示年龄，y 轴表示脂肪含量(百分比)，画出散 点图，如下图．
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a＝143－1130×52＝0， 故所求回归直线方程为 y＝1130x.
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1．求回归直线的方程时应注意的问题 (1)知道 x 与 y 呈线性相关关系，无需进行相关性检验，否则应首先进 行相关性检验．如果两个变量之间本身不具有相关关系，或者说，它们之
间的相关关系不显著，即使求出回归方程也是毫无意义的，而且用其估计
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8
2．下表是 x 与 y 之间的一组数据，则 y 关于 x 的线性回归方程 y
＝bx＋a 必过( )
x
最小二乘估计(最新课件ppt)
（1）根据这些数据画出散点图并作出直线y′=78+4.2x,计
10
算 yi yi 2; i1
（2）根据这些数据用最小二乘法求线性回归方程 yˆ =a+bx，
10
并由此计算 yi yˆi 2 ; i1
（3）比较（1）和（2）中两个计算结果的大小.
【审题指导】解答本题的关键是明确yi,y′i的意义,代入公式 求解. 【规范解答】(1)散点图与直线y′=78+4.2x如图所示.当x 分别取1,3,4,4,6,8,10,10,11,13时，y′的值分别为 82.2,90.6,94.8,94.8, 103.2,111.6,120,120,124.2,132.6,
a=y-bx=3.5-0.7×4.5=0.35.
故线性回归方程为y=0.7x+0.35.
(2)当x=10(年)时, 维修费用是0.7×10+0.35=7.35(万元)， 所以根据回归方程的预测，使用年限为10年时,维修费用是 7.35(万元).
【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：
1.下列命题：
3.若施化肥量x kg与水稻产量y kg在一定范围内线性相关， 若回归方程为y＝5x＋250.当施化肥量为80 kg时，预计水 稻的产量为_____. 【解析】当x＝80时，y＝5×80＋250＝650(kg). 答案:650 kg
4.某饮料店的日销售收入y(单位：百元)与当天平均气温 x(单位：℃)之间有下列数据：
【典例】（2011·包头高二检测)假设关于某设备的使用年 限x和所支出的维修费用y（万元）有如表格所示的统计数 据，由资料显示y对x呈线性相关关系.
(1)请根据上表数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归 方程. (2)试根据（1）求出的线性回归方程，预测使用年限为10 年时, 维修费用是多少?
10
算 yi yi 2; i1
（2）根据这些数据用最小二乘法求线性回归方程 yˆ =a+bx，
10
并由此计算 yi yˆi 2 ; i1
（3）比较（1）和（2）中两个计算结果的大小.
【审题指导】解答本题的关键是明确yi,y′i的意义,代入公式 求解. 【规范解答】(1)散点图与直线y′=78+4.2x如图所示.当x 分别取1,3,4,4,6,8,10,10,11,13时，y′的值分别为 82.2,90.6,94.8,94.8, 103.2,111.6,120,120,124.2,132.6,
a=y-bx=3.5-0.7×4.5=0.35.
故线性回归方程为y=0.7x+0.35.
(2)当x=10(年)时, 维修费用是0.7×10+0.35=7.35(万元)， 所以根据回归方程的预测，使用年限为10年时,维修费用是 7.35(万元).
【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：
1.下列命题：
3.若施化肥量x kg与水稻产量y kg在一定范围内线性相关， 若回归方程为y＝5x＋250.当施化肥量为80 kg时，预计水 稻的产量为_____. 【解析】当x＝80时，y＝5×80＋250＝650(kg). 答案:650 kg
4.某饮料店的日销售收入y(单位：百元)与当天平均气温 x(单位：℃)之间有下列数据：
【典例】（2011·包头高二检测)假设关于某设备的使用年 限x和所支出的维修费用y（万元）有如表格所示的统计数 据，由资料显示y对x呈线性相关关系.
(1)请根据上表数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归 方程. (2)试根据（1）求出的线性回归方程，预测使用年限为10 年时, 维修费用是多少?
回归分析基本方法最小二乘法课件
解方程组可以得到最佳参数值，使得预测值与实际观测值之 间的误差平方和最小化。
03
CHAPTER
最小二乘法的实现步骤
数据准备
01
02
03
数据收集
收集相关数据，确保数据 来源可靠，覆盖面广，能 够反映研究对象的特征和 规律。
数据清洗
对数据进行预处理，如缺 失值填充、异常值处理、 数据类型转换等，以提高 数据质量。
在生物统计学中，最小二乘法可以通过对生物学数据进行分析，研究生物变量之间的关系和变化规律 ，从而为生物学研究和医学应用提供支持。这种方法在遗传学、流行病学、药理学等领域有广泛应用 。
06
CHAPTER
总结与展望
总结
最小二乘法的原理
最小二乘法是一种数学优化技术，通过最小化误差的平方 和来找到最佳函数匹配。在回归分析中，它用于估计两个 或多个变量之间的关系。
题的分析方法。
03
扩展到大数据和机器学习领域
随着大数据时代的到来，如何在大规模数据集上应用最小二乘法是一个
值得研究的方向。此外，机器学习算法中的一些优化技术也可以借鉴到
最小二乘法中，以加速计算和提高精度。
THANKS
谢谢
在所有线性无偏估计中，最小二乘法 的估计误差的方差最小，即它的估计 精度最高。
适合多种分布数据
最小二乘法对数据的分布类型要求不 高，可以用于正态分布和非正态分布 的数据。
缺点
对异常值敏感
假设限制多
最小二乘法对数据中的异常值非常敏感， 异常值可能会对回归线的拟合产生显著影 响。
最小二乘法要求误差项具有零均值、同方 差和无序列相关等假设，这些假设在现实 中往往难以完全满足。
最小二乘法的应用
高中数学-1.8-最小二乘估计课件-北师大必修3
2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)对于线性回归方程y=2.75x+9,当x=4时,y的估计值是 __________. (2)散点图中n个点的中心是__________.
【解析】(1)将x=4代入y=2.75x+9得y的估计值为20.
答案:20
(2)因为 x x1 x2 xn ,
如表
i
xi
yi
x
2 i
xiyi
1
3
2
9
6
2
5
3
25
15
3
6
3
36
18
4
7
4
49
28
5
9
5
81
45
合计
30
17
200
112
进而可求得b=112 5 6 3.4 10 1 .
200 5 6 6 20 2
a=3.4- 1 ×6=0.4,
2
所以利润额y对销售额x的线性回归方程为:y=0.5x+0.4.
估计它们之间的联,
n
用 y 表示 y1 y2 yn ,
n
由最小二乘法可以求得
x1y1 x2y2 xn yn n x y
b=_____x_12 __x_22_____x__2n __n_x_2_____,a=__y__b__x__,这样得到的直线 方程y=a+bx称为线性回归方程,a,b是线性回归方程的_系__数__.
(2)当销售额为4千万元时,利润额为:
y=0.5×4+0.4=2.4(百万元).
【误区警示】求线性回归方程的关键是计算直线的斜率和截距 的估计值,往往因计算不准导致错误.
8.2.2一元线性回归模型的最小二乘估计课件(人教版)
ෝ =0.839x +28.957，令
ෝ=x，则
通过经验回归方程
x=179.733，即当父亲身高为179.733cm时，儿子的平均身
高与父亲的身高一样.
对于响应变量Y , 通过视察得到的数据称为观测值 , 通
ෝ为预测值. 视察值减去预测值称为
过经验回归方程得到的
残差.
残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可判
叫做b，a的最小二乘估计．
求得的，ෝ
ഥ); 与相关系数
易得: 经验回归直线必过样本中心(ഥ
,
r符号相同.
对于上表中的数据，利
用我们学过的公式可以计算出
=0.839
，ෝ
=28.957，求出儿
子身高Y关于父亲身高x的经验
回归方程为
ŷ 0.839 x 28.957
相应的经验回归直线如图所示.
n i =1
n i =1
n
n
Q(a,b ) = ( yi - bxi - a ) = [ yi - bxi - ( y - bx ) + ( y - bx ) - a ]
2
i =1
n
2
i =1
= [( yi y ) b( xi - x ) + ( y - bx ) - a ]
2
i =1
i =1
综上，当a)( y y )
i
i
i =1
.
n
( x - x)
2
i
i =1
ˆ
ˆ
a
=
y
bx
时， Q到达最小.
ˆ aˆ 称为Y 关于x 的经验回归方程，也称
ෝ=x，则
通过经验回归方程
x=179.733，即当父亲身高为179.733cm时，儿子的平均身
高与父亲的身高一样.
对于响应变量Y , 通过视察得到的数据称为观测值 , 通
ෝ为预测值. 视察值减去预测值称为
过经验回归方程得到的
残差.
残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可判
叫做b，a的最小二乘估计．
求得的，ෝ
ഥ); 与相关系数
易得: 经验回归直线必过样本中心(ഥ
,
r符号相同.
对于上表中的数据，利
用我们学过的公式可以计算出
=0.839
，ෝ
=28.957，求出儿
子身高Y关于父亲身高x的经验
回归方程为
ŷ 0.839 x 28.957
相应的经验回归直线如图所示.
n i =1
n i =1
n
n
Q(a,b ) = ( yi - bxi - a ) = [ yi - bxi - ( y - bx ) + ( y - bx ) - a ]
2
i =1
n
2
i =1
= [( yi y ) b( xi - x ) + ( y - bx ) - a ]
2
i =1
i =1
综上，当a)( y y )
i
i
i =1
.
n
( x - x)
2
i
i =1
ˆ
ˆ
a
=
y
bx
时， Q到达最小.
ˆ aˆ 称为Y 关于x 的经验回归方程，也称
最小二乘法与曲线拟合公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
N
2 aikait
i 1
(k,t 1,2,, n)
故
N
ai21
i 1 N
M
2
i
1
ai1ai 2
N
i 1
ai1ain
N
ai1ai2
i 1
N
ai22
i 1
N
ai2ain
i 1
N
ai1ai3
i 1
N
ai2ai3
i 1
N
ai3ain
i 1
N
ai1ain
i 1 N
i 1
ai 2 ain
令
n
i aij x j bi
(i 1,2,, N )
称 i为偏差。 j1
工程实际中旳许多问题都能够归结为矛盾方程组，
实际中需要谋求矛盾方程组旳一组解，以使得偏差旳 N
绝对值之和 尽i 量地小。为了便于分析
i 1
计算和应用，常采用使偏差旳平方和
Q
N
2 i
N
n
2 aij x j bi
这组数据。“最佳”旳原则是：使得(x)在xi旳
偏差
i (xi ) yi (i 1,2,, N )
旳平方和
N
N
Q
2 i
(xi ) yi 2
i 1
i 1
到达最小。
因为拟合曲线y=(x)不一定过点(xi,yi)，所以，把 点(xi,yi)带入y=(x) ，便得到以a0,a1,…,am为未知
引理2：设非齐次线性方程组 Ax
旳b 系数矩阵
A=(aij)N×n，若rankA=n，则
((12))矩n阶阵线AT性A是方对程称组正AT 定Ax矩 阵有AT；唯b 一旳解。
工具变量与两阶段最小二乘法课件
异方差性和自相关性检验
对模型进行异方差性和自相关性检验，以确 保模型设定和估计的准确性。
04
CHAPTER
工具变量与两阶段最小二乘 法的应用实例
实证应用案例
案例名称
研究企业资本结构与经营绩效 关系
案例描述
利用工具变量和两阶段最小二 乘法，控制内生性问题，探讨 企业资本结构对经营绩效的影 响。
数据来源
跨学科合作
不同领域的学者合作，共同探讨工具变量与两阶段最小二乘法的理 论和应用问题。
计算机模拟和实验研究
利用计算机模拟和实验方法，模拟不同情境下工具变量与两阶段最 小二乘法的表现。
未来研究方向与展望
01
工具变量的识别与选择
未来研究将进一步探索如何更有效地识别和选择工具变量，以提高估计
的准确性和稳健性。
假设条件
在使用工具变量和两阶段最小二乘法时，需要满足一些假设条件，如工具变量 的外生性、与内生解释变量的相关性等。这些假设条件是保证估计结果有效性 和一致性的基础。
02
CHAPTER
工具变量的选择与检验
工具变量的定义与特性
工具变量的定义
工具变量是一种用于估计参数的中间 变量，它与内生解释变量相关，但与 误差项无关。
上市公司财务数据
分析结果
资本结构与企业经营绩效之间 存在负相关关系，融资约束对
企业经营绩效有显著影响。
模拟实验案例
案例名称：模拟市场供需关系对价格的影响 数据来源：模拟数据
案例描述：利用工具变量和两阶段最小二乘法，模拟市 场供需关系对价格的影响，并检验模型的有效性。
分析结果：供需关系对价格具有显著影响，两阶段最小 二乘法能够有效地估计模型参数。
工具变量与两阶段最小二乘 法概述
对模型进行异方差性和自相关性检验，以确 保模型设定和估计的准确性。
04
CHAPTER
工具变量与两阶段最小二乘 法的应用实例
实证应用案例
案例名称
研究企业资本结构与经营绩效 关系
案例描述
利用工具变量和两阶段最小二 乘法，控制内生性问题，探讨 企业资本结构对经营绩效的影 响。
数据来源
跨学科合作
不同领域的学者合作，共同探讨工具变量与两阶段最小二乘法的理 论和应用问题。
计算机模拟和实验研究
利用计算机模拟和实验方法，模拟不同情境下工具变量与两阶段最 小二乘法的表现。
未来研究方向与展望
01
工具变量的识别与选择
未来研究将进一步探索如何更有效地识别和选择工具变量，以提高估计
的准确性和稳健性。
假设条件
在使用工具变量和两阶段最小二乘法时，需要满足一些假设条件，如工具变量 的外生性、与内生解释变量的相关性等。这些假设条件是保证估计结果有效性 和一致性的基础。
02
CHAPTER
工具变量的选择与检验
工具变量的定义与特性
工具变量的定义
工具变量是一种用于估计参数的中间 变量，它与内生解释变量相关，但与 误差项无关。
上市公司财务数据
分析结果
资本结构与企业经营绩效之间 存在负相关关系，融资约束对
企业经营绩效有显著影响。
模拟实验案例
案例名称：模拟市场供需关系对价格的影响 数据来源：模拟数据
案例描述：利用工具变量和两阶段最小二乘法，模拟市 场供需关系对价格的影响，并检验模型的有效性。
分析结果：供需关系对价格具有显著影响，两阶段最小 二乘法能够有效地估计模型参数。
工具变量与两阶段最小二乘 法概述
参数估计PPT课件
参数估计
目录
• 参数估计简介 • 最小二乘法 • 最大似然估计法 • 贝叶斯估计法 • 参数估计的评估与选择
01 参数估计简介
参数估计的基本概念
参数估计是一种统计学方法，用于估计未知参数的值。通过使用样本数据和适当的统计模型，我们可 以估计出未知参数的合理范围或具体值。
参数估计的基本概念包括总体参数、样本参数、点估计和区间估计等。总体参数描述了总体特征，而 样本参数则描述了样本特征。点估计是使用单一数值来表示未知参数的估计值，而区间估计则是给出 未知参数的可能范围。
到样本数据的可能性。
最大似然估计法的原理是寻找 使似然函数最大的参数值，该 值即为所求的参数估计值。
最大似然估计法的计算过程
确定似然函数的表达式
根据数据分布和模型假设，写出似然函数的表达式。
对似然函数求导
对似然函数关于参数求导，得到导数表达式。
解导数方程
求解导数方程，找到使似然函数最大的参数值。
确定参数估计值
04
似然函数描述了样本数据与参数之间的关系，即给定参数值下观察到 样本数据的概率。
贝叶斯估计法的计算过程
首先，根据先验信息确定参数的先验分布。 然后，利用样本信息和似然函数计算参数的后验分布。 最后，根据后验分布进行参数估计，常见的估计方法包括最大后验估计（MAP）和贝叶斯线性回归等。
贝叶斯估计法的优缺点
参数估计的常见方法
最小二乘法
最小二乘法是一种常用的线性回归分析方法，通过最小化误差的平方和来估计未知参数。这种方法适用于线性回归模 型，并能够给出参数的点估计和区间估计。
极大似然法
极大似然法是一种基于概率模型的参数估计方法，通过最大化样本数据的似然函数来估计未知参数。这种方法适用于 各种概率模型，并能够给出参数的点估计和区间估计。
目录
• 参数估计简介 • 最小二乘法 • 最大似然估计法 • 贝叶斯估计法 • 参数估计的评估与选择
01 参数估计简介
参数估计的基本概念
参数估计是一种统计学方法，用于估计未知参数的值。通过使用样本数据和适当的统计模型，我们可 以估计出未知参数的合理范围或具体值。
参数估计的基本概念包括总体参数、样本参数、点估计和区间估计等。总体参数描述了总体特征，而 样本参数则描述了样本特征。点估计是使用单一数值来表示未知参数的估计值，而区间估计则是给出 未知参数的可能范围。
到样本数据的可能性。
最大似然估计法的原理是寻找 使似然函数最大的参数值，该 值即为所求的参数估计值。
最大似然估计法的计算过程
确定似然函数的表达式
根据数据分布和模型假设，写出似然函数的表达式。
对似然函数求导
对似然函数关于参数求导，得到导数表达式。
解导数方程
求解导数方程，找到使似然函数最大的参数值。
确定参数估计值
04
似然函数描述了样本数据与参数之间的关系，即给定参数值下观察到 样本数据的概率。
贝叶斯估计法的计算过程
首先，根据先验信息确定参数的先验分布。 然后，利用样本信息和似然函数计算参数的后验分布。 最后，根据后验分布进行参数估计，常见的估计方法包括最大后验估计（MAP）和贝叶斯线性回归等。
贝叶斯估计法的优缺点
参数估计的常见方法
最小二乘法
最小二乘法是一种常用的线性回归分析方法，通过最小化误差的平方和来估计未知参数。这种方法适用于线性回归模 型，并能够给出参数的点估计和区间估计。
极大似然法
极大似然法是一种基于概率模型的参数估计方法，通过最大化样本数据的似然函数来估计未知参数。这种方法适用于 各种概率模型，并能够给出参数的点估计和区间估计。
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7
i
28, 208.5,
t
i 0 7 i 0
7
2 i
140, 717.0
y
i
yt
i i
代入方程组（1）得
140a 28b 717 , 28a 8b 208.5.
解此方程组，得到 a 0.3036, b 27.125. 这样便得到所求经验公式为
2
因此可以考虑选取常数 a , b ，使得
M yi (ati b)
i 0
最小来保证每个偏差的绝对值都很小． 定义 这种根据偏差的平方和为最小的条件来选 择常数 a , b 的方法叫做最小二乘法． 这种确定常数的方法是通常所采用的.
把 M 看成自变量 a 和 b 的一个二元函数， 那么问题就可归结为求函数 M M (a , b) 在那 些点处取得最小值.
o
1 2 3 4 5 6 7 8
t
因为这些点本来不在一条直线上，我们只 能要求选取这样的 a , b ，使得 f ( t ) at b 在 t0 , t1 ,, t7 处的函数值与实验数据 y0 , y1 , y7 相 差都很小．
就是要使偏差
yi f ( t i )
7
(i 0,1,2,,7) 都很小.
最小二乘法
最小二乘法
例1 为了测定刀具的磨损速度，我们做这样的 实验：经过一定时间(如每隔一小时)，测量一 次刀具的厚度,得到一组试验数据如下：
0 1 2 3 4 5 6 7 顺序编号i 0 1 2 3 4 5 6 7 时间t i (小时) 刀具厚度 y i (毫米) 27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.3
将括号内各项进行整理合并，并把未知数 a 和 b 分离出来，便得
a t 2 b t y t , i i i i i 0 i 0 i 0 7 7 a t i 8b y i . i 0 i 0
7 7 7
(1)
计算得
t
i 0 7 i 0
f (ti )
偏差
偏差的平方和 M 0.108165 ， 它的平方根 M 0.329 ． 我们把 M 称为均方误差，它的大小在一定 程度上反映了用经验公式来近似表达原来函数关 系的近似程i b )t i 0, a i 0 令 7 M 2 yi (ati b ) 0; b i 0
即
7 y (at b )t 0, i i i i 0 7 yi (at i b ) 0. i 0
y f ( t ) 0.3036 t 27.125.
( 2)
由（2）式算出的函数值 f ( t i ) 与实测 yi 的有 一定的偏差.现列表比较如下：
ti
实测
0 27.0
1 26.8
2 26.5
3 26.3
4 26.1
5 25.7
6 25.3
7 24.3
yi
算得
27.125 26.821 26.518 26.214 25.911 25.607 25.303 25.000 -0.125 -0.021 -0.018 -0.086 0.189 0.093 -0.003 -0.200
试根据上面的试验数据建立 y 和 t 之间的经验公 式 y f ( t ).
解 首先确定 f ( t ) 的类型. y 如图，在坐标纸上画出 这些点，观察可以认为
27
y f (t ) 是 线 性 函 数 ,
并设 f ( t ) at b, 其中 a 和b 是待定常数.
26 25
24