最小二乘法简介ppt课件
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高中数学 第一章第九节《最小二乘估计》教学课件 北师大版必修3
C. y=2x+1
D. y=x-1
解析：因为x 1 2 3 4 2.5, y 3.5而回归直线必过点 4
（x, y）,所以把点2.5，3.5代入各个选项检验知. 14
小结：
1.如何求线性回归方程（公式法） 2.线性回归方程系数的含义 3.线性回归方程的应用
15
1.设一个回归方程为y=3-1.2x，则变量x增加一个单位时
( A)
A.y平均增加1.2个单位 B.y平均增加1.2个单位
C.y平均减少3个单位
D.y平均减少3个单位
2.在一次实验中，测得（x,y）的四组值为(1，2)，(2，3)，
4)，(4，5)，则y与x之间的回归直线方程为（ ）A
A.y=x+1 B. y=x+2
4 4.41 24.92
2.38 2.685 3.008 3.315 3.654 3.99 4.32 4.641 27.993
b
x1y1 xn yn nx y
x12
xn2
nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
x
a y bx
0.733333333 0.694166667
回归方程预测值
2.050833333
13
课堂练习：
高中数学必修３第一章第 九节《最小二乘估计》教
学课件
1
最小二乘估计
2
问题导入：
上一节课我们学习了人的身高与右手 一拃长之间近似存在着线性关系，这种 线性关系可以有多种方法来进行刻画， 那么用什么样的线性关系刻画会更好？ 这就是本节课我们要讨论的问题。
最小二乘估计
3
问题1：
用什么样的线性关系刻画会更 好一些？
想法：保证这条直线与所有点都近 （也就是距离最小）。
课件：最小二乘估计
最小二乘估计是一种数学统计方法，用于刻画两个变量之间的线性关系。其基本原理是，通过最小化误差的平方和来寻找数据的最佳函数匹配。在具体应用中，通常用于求解线性回归方程的系数。当数据点分布在一条直线附近时，最小二乘法可以提供一个最优的直线方程来拟合这些数据点。求解过程中，首先计算各数据点与直线之间的距离差（即残差），然后求这些残差的平方和。通过调整直线的斜率和截距，使得残差平方和最小，从而得到最佳拟合直线。文档中还详细推导了最小二乘法的求解公式，包括斜率和截距的计算方法，并给出了具体的应用实例。例如，在热饮销售与气温关系研究中，可以利用最小二乘法求出线性回归方程，进而预测不同气温下的热饮销售量。总之，最小二乘估计是一种重要的数学工具，在数据分析、预测和建模等领域具有广泛的应用价值。
最小二乘估计课件(43张)
栏目导航
30
2．已知变量 x，y 有如下对应数据：
x
1
2
3
4
y
1
3
4
5
(1)作出散点图；
(2)用最小二乘法求关于 x，y 的回归直线方程．
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[解] (1)散点图如下图所示．
31
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(2) x ＝1＋2＋4 3＋4＝52， y ＝1＋3＋4 4＋5＝143，
4
i∑＝1xiyi＝1＋6＋12＋20＝39， i∑＝41x2i ＝1＋4＋9＋16＝30， b＝393－0－4×4×52×521243＝1130，
(1)判断它们是否有相关关系，若有相关关系，请作一条拟合直 线；
(2)用最小二乘法求出年龄关于脂肪的线性回归方程．
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25
[思路探究] (1)作出散点图，通过散点图判断它们是否具有相关 关系，并作出拟合直线；
(2)利用公式求出线性回归方程的系数 a，b 即可．
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26
[解] (1)以 x 轴表示年龄，y 轴表示脂肪含量(百分比)，画出散 点图，如下图．
32
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a＝143－1130×52＝0， 故所求回归直线方程为 y＝1130x.
33
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34
1．求回归直线的方程时应注意的问题 (1)知道 x 与 y 呈线性相关关系，无需进行相关性检验，否则应首先进 行相关性检验．如果两个变量之间本身不具有相关关系，或者说，它们之
间的相关关系不显著，即使求出回归方程也是毫无意义的，而且用其估计
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8
2．下表是 x 与 y 之间的一组数据，则 y 关于 x 的线性回归方程 y
＝bx＋a 必过( )
x
30
2．已知变量 x，y 有如下对应数据：
x
1
2
3
4
y
1
3
4
5
(1)作出散点图；
(2)用最小二乘法求关于 x，y 的回归直线方程．
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[解] (1)散点图如下图所示．
31
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(2) x ＝1＋2＋4 3＋4＝52， y ＝1＋3＋4 4＋5＝143，
4
i∑＝1xiyi＝1＋6＋12＋20＝39， i∑＝41x2i ＝1＋4＋9＋16＝30， b＝393－0－4×4×52×521243＝1130，
(1)判断它们是否有相关关系，若有相关关系，请作一条拟合直 线；
(2)用最小二乘法求出年龄关于脂肪的线性回归方程．
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25
[思路探究] (1)作出散点图，通过散点图判断它们是否具有相关 关系，并作出拟合直线；
(2)利用公式求出线性回归方程的系数 a，b 即可．
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26
[解] (1)以 x 轴表示年龄，y 轴表示脂肪含量(百分比)，画出散 点图，如下图．
32
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a＝143－1130×52＝0， 故所求回归直线方程为 y＝1130x.
33
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34
1．求回归直线的方程时应注意的问题 (1)知道 x 与 y 呈线性相关关系，无需进行相关性检验，否则应首先进 行相关性检验．如果两个变量之间本身不具有相关关系，或者说，它们之
间的相关关系不显著，即使求出回归方程也是毫无意义的，而且用其估计
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8
2．下表是 x 与 y 之间的一组数据，则 y 关于 x 的线性回归方程 y
＝bx＋a 必过( )
x
最小二乘估计(最新课件ppt)
（1）根据这些数据画出散点图并作出直线y′=78+4.2x,计
10
算 yi yi 2; i1
（2）根据这些数据用最小二乘法求线性回归方程 yˆ =a+bx，
10
并由此计算 yi yˆi 2 ; i1
（3）比较（1）和（2）中两个计算结果的大小.
【审题指导】解答本题的关键是明确yi,y′i的意义,代入公式 求解. 【规范解答】(1)散点图与直线y′=78+4.2x如图所示.当x 分别取1,3,4,4,6,8,10,10,11,13时，y′的值分别为 82.2,90.6,94.8,94.8, 103.2,111.6,120,120,124.2,132.6,
a=y-bx=3.5-0.7×4.5=0.35.
故线性回归方程为y=0.7x+0.35.
(2)当x=10(年)时, 维修费用是0.7×10+0.35=7.35(万元)， 所以根据回归方程的预测，使用年限为10年时,维修费用是 7.35(万元).
【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：
1.下列命题：
3.若施化肥量x kg与水稻产量y kg在一定范围内线性相关， 若回归方程为y＝5x＋250.当施化肥量为80 kg时，预计水 稻的产量为_____. 【解析】当x＝80时，y＝5×80＋250＝650(kg). 答案:650 kg
4.某饮料店的日销售收入y(单位：百元)与当天平均气温 x(单位：℃)之间有下列数据：
【典例】（2011·包头高二检测)假设关于某设备的使用年 限x和所支出的维修费用y（万元）有如表格所示的统计数 据，由资料显示y对x呈线性相关关系.
(1)请根据上表数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归 方程. (2)试根据（1）求出的线性回归方程，预测使用年限为10 年时, 维修费用是多少?
10
算 yi yi 2; i1
（2）根据这些数据用最小二乘法求线性回归方程 yˆ =a+bx，
10
并由此计算 yi yˆi 2 ; i1
（3）比较（1）和（2）中两个计算结果的大小.
【审题指导】解答本题的关键是明确yi,y′i的意义,代入公式 求解. 【规范解答】(1)散点图与直线y′=78+4.2x如图所示.当x 分别取1,3,4,4,6,8,10,10,11,13时，y′的值分别为 82.2,90.6,94.8,94.8, 103.2,111.6,120,120,124.2,132.6,
a=y-bx=3.5-0.7×4.5=0.35.
故线性回归方程为y=0.7x+0.35.
(2)当x=10(年)时, 维修费用是0.7×10+0.35=7.35(万元)， 所以根据回归方程的预测，使用年限为10年时,维修费用是 7.35(万元).
【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：
1.下列命题：
3.若施化肥量x kg与水稻产量y kg在一定范围内线性相关， 若回归方程为y＝5x＋250.当施化肥量为80 kg时，预计水 稻的产量为_____. 【解析】当x＝80时，y＝5×80＋250＝650(kg). 答案:650 kg
4.某饮料店的日销售收入y(单位：百元)与当天平均气温 x(单位：℃)之间有下列数据：
【典例】（2011·包头高二检测)假设关于某设备的使用年 限x和所支出的维修费用y（万元）有如表格所示的统计数 据，由资料显示y对x呈线性相关关系.
(1)请根据上表数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归 方程. (2)试根据（1）求出的线性回归方程，预测使用年限为10 年时, 维修费用是多少?
回归分析基本方法最小二乘法课件
解方程组可以得到最佳参数值，使得预测值与实际观测值之 间的误差平方和最小化。
03
CHAPTER
最小二乘法的实现步骤
数据准备
01
02
03
数据收集
收集相关数据，确保数据 来源可靠，覆盖面广，能 够反映研究对象的特征和 规律。
数据清洗
对数据进行预处理，如缺 失值填充、异常值处理、 数据类型转换等，以提高 数据质量。
在生物统计学中，最小二乘法可以通过对生物学数据进行分析，研究生物变量之间的关系和变化规律 ，从而为生物学研究和医学应用提供支持。这种方法在遗传学、流行病学、药理学等领域有广泛应用 。
06
CHAPTER
总结与展望
总结
最小二乘法的原理
最小二乘法是一种数学优化技术，通过最小化误差的平方 和来找到最佳函数匹配。在回归分析中，它用于估计两个 或多个变量之间的关系。
题的分析方法。
03
扩展到大数据和机器学习领域
随着大数据时代的到来，如何在大规模数据集上应用最小二乘法是一个
值得研究的方向。此外，机器学习算法中的一些优化技术也可以借鉴到
最小二乘法中，以加速计算和提高精度。
THANKS
谢谢
在所有线性无偏估计中，最小二乘法 的估计误差的方差最小，即它的估计 精度最高。
适合多种分布数据
最小二乘法对数据的分布类型要求不 高，可以用于正态分布和非正态分布 的数据。
缺点
对异常值敏感
假设限制多
最小二乘法对数据中的异常值非常敏感， 异常值可能会对回归线的拟合产生显著影 响。
最小二乘法要求误差项具有零均值、同方 差和无序列相关等假设，这些假设在现实 中往往难以完全满足。
最小二乘法的应用
金融计量学课件PPT第2章最小二乘法和线性回归
变量取值范围内。
为了提高预测精度，可以对模型 进行优化和调整，例如添加或删 除自变量、使用交叉验证等技术
。
04
CATALOGUE
最小二乘法和线性回归在金融中的应用
股票价格预测
总结词
通过最小二乘法和线性回归，可以对股票价格进行预测，帮助投资者做出更明 智的投资决策。
详细描述
利用历史股票数据，通过最小二乘法和线性回归分析股票价格的时间序列数据 ，建立预测模型。根据模型预测结果，投资者可以判断未来股票价格的走势， 从而制定相应的投资策略。
金融计量学课件ppt 第2章最小二乘法和 线性回归
目录
• 引言 • 最小二乘法 • 线性回归 • 最小二乘法和线性回归ALOGUE
引言
课程背景
金融市场日益复杂
01
随着金融市场的日益复杂，投资者和决策者需要更精确的定量
分析工具来评估投资机会和风险。
金融数据的特点
缺点
对异常值敏感，容易受到离群点的影 响；假设数据符合线性关系，对于非 线性关系的数据表现不佳；无法处理 分类变量和交互项。
03
CATALOGUE
线性回归
线性回归的定义
线性回归是一种通过最小化预测误差 平方和来建立变量之间线性关系的统 计方法。
线性回归模型通常表示为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + ε，其中Y是因 变量，X1、X2等是自变量，β0、β1 等是回归系数，ε是误差项。
02
金融数据具有时序性和波动性，通过计量经济学方法可以对这
些数据进行有效的分析和预测。
最小二乘法和线性回归在金融领域的应用
03
最小二乘法和线性回归是金融计量学中常用的基础分析方法，
为了提高预测精度，可以对模型 进行优化和调整，例如添加或删 除自变量、使用交叉验证等技术
。
04
CATALOGUE
最小二乘法和线性回归在金融中的应用
股票价格预测
总结词
通过最小二乘法和线性回归，可以对股票价格进行预测，帮助投资者做出更明 智的投资决策。
详细描述
利用历史股票数据，通过最小二乘法和线性回归分析股票价格的时间序列数据 ，建立预测模型。根据模型预测结果，投资者可以判断未来股票价格的走势， 从而制定相应的投资策略。
金融计量学课件ppt 第2章最小二乘法和 线性回归
目录
• 引言 • 最小二乘法 • 线性回归 • 最小二乘法和线性回归ALOGUE
引言
课程背景
金融市场日益复杂
01
随着金融市场的日益复杂，投资者和决策者需要更精确的定量
分析工具来评估投资机会和风险。
金融数据的特点
缺点
对异常值敏感，容易受到离群点的影 响；假设数据符合线性关系，对于非 线性关系的数据表现不佳；无法处理 分类变量和交互项。
03
CATALOGUE
线性回归
线性回归的定义
线性回归是一种通过最小化预测误差 平方和来建立变量之间线性关系的统 计方法。
线性回归模型通常表示为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + ε，其中Y是因 变量，X1、X2等是自变量，β0、β1 等是回归系数，ε是误差项。
02
金融数据具有时序性和波动性，通过计量经济学方法可以对这
些数据进行有效的分析和预测。
最小二乘法和线性回归在金融领域的应用
03
最小二乘法和线性回归是金融计量学中常用的基础分析方法，
高中数学-1.8-最小二乘估计课件-北师大必修3
2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)对于线性回归方程y=2.75x+9,当x=4时,y的估计值是 __________. (2)散点图中n个点的中心是__________.
【解析】(1)将x=4代入y=2.75x+9得y的估计值为20.
答案:20
(2)因为 x x1 x2 xn ,
如表
i
xi
yi
x
2 i
xiyi
1
3
2
9
6
2
5
3
25
15
3
6
3
36
18
4
7
4
49
28
5
9
5
81
45
合计
30
17
200
112
进而可求得b=112 5 6 3.4 10 1 .
200 5 6 6 20 2
a=3.4- 1 ×6=0.4,
2
所以利润额y对销售额x的线性回归方程为:y=0.5x+0.4.
估计它们之间的联,
n
用 y 表示 y1 y2 yn ,
n
由最小二乘法可以求得
x1y1 x2y2 xn yn n x y
b=_____x_12 __x_22_____x__2n __n_x_2_____,a=__y__b__x__,这样得到的直线 方程y=a+bx称为线性回归方程,a,b是线性回归方程的_系__数__.
(2)当销售额为4千万元时,利润额为:
y=0.5×4+0.4=2.4(百万元).
【误区警示】求线性回归方程的关键是计算直线的斜率和截距 的估计值,往往因计算不准导致错误.
最小二乘法简介
一般而言，拟合函数φ(x)可以使不同的函数 类,由m个线性无关函数φ1(x),φ2(x),...,φm(x)的 线性组合而成，即
x a11 x a22 x… amm x (m n 1)
其中,a1,a2,...,am为待定系数，φ1(x),φ2(x),...,φm(x) 称为基函数。常用的基函数有： 多项式：1,x, x2,…,xm; 三角函数：sinx,sin2x,...,sinmx;
i1
(
yi
a
bห้องสมุดไป่ตู้i
)＝0
s
b
n
＝－2
i1
(
yi
a
bxi
)xi＝0
b＝
n
n
n
n xi yi－ xi yi
i 1
i 1 i 1
n
n
i 1
xi2－
n
i 1
xi
2
a＝
1 n
n
i 1
yi－
b n
n
i 1
xi
2、多元性拟合
n
s （i yi a bxi）2 i 1
令 s 0, s 0 a b
四、最小二乘法应用
利用实际试验采集到的数据，建立 回归模型，运用最小二乘估计进行趋势 分析及预测，比如经济趋势预测，工业 产量控制等等。
高斯
由寻找随机误差函数为突破，以独特的概率思想导出 了正态分布，详尽地阐述了最小二乘法的理论依据。
设一组数据(xi ,yi)(i=1,2,...,n),现用近似
曲线y=φ(xi)拟合这组数据,“拟合得最好”的标
准是所选择的φ(xi)在xi处的函数值
x a11 x a22 x… amm x (m n 1)
其中,a1,a2,...,am为待定系数，φ1(x),φ2(x),...,φm(x) 称为基函数。常用的基函数有： 多项式：1,x, x2,…,xm; 三角函数：sinx,sin2x,...,sinmx;
i1
(
yi
a
bห้องสมุดไป่ตู้i
)＝0
s
b
n
＝－2
i1
(
yi
a
bxi
)xi＝0
b＝
n
n
n
n xi yi－ xi yi
i 1
i 1 i 1
n
n
i 1
xi2－
n
i 1
xi
2
a＝
1 n
n
i 1
yi－
b n
n
i 1
xi
2、多元性拟合
n
s （i yi a bxi）2 i 1
令 s 0, s 0 a b
四、最小二乘法应用
利用实际试验采集到的数据，建立 回归模型，运用最小二乘估计进行趋势 分析及预测，比如经济趋势预测，工业 产量控制等等。
高斯
由寻找随机误差函数为突破，以独特的概率思想导出 了正态分布，详尽地阐述了最小二乘法的理论依据。
设一组数据(xi ,yi)(i=1,2,...,n),现用近似
曲线y=φ(xi)拟合这组数据,“拟合得最好”的标
准是所选择的φ(xi)在xi处的函数值
8.2.2一元线性回归模型的最小二乘估计课件(人教版)
ෝ =0.839x +28.957，令
ෝ=x，则
通过经验回归方程
x=179.733，即当父亲身高为179.733cm时，儿子的平均身
高与父亲的身高一样.
对于响应变量Y , 通过视察得到的数据称为观测值 , 通
ෝ为预测值. 视察值减去预测值称为
过经验回归方程得到的
残差.
残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可判
叫做b，a的最小二乘估计．
求得的，ෝ
ഥ); 与相关系数
易得: 经验回归直线必过样本中心(ഥ
,
r符号相同.
对于上表中的数据，利
用我们学过的公式可以计算出
=0.839
，ෝ
=28.957，求出儿
子身高Y关于父亲身高x的经验
回归方程为
ŷ 0.839 x 28.957
相应的经验回归直线如图所示.
n i =1
n i =1
n
n
Q(a,b ) = ( yi - bxi - a ) = [ yi - bxi - ( y - bx ) + ( y - bx ) - a ]
2
i =1
n
2
i =1
= [( yi y ) b( xi - x ) + ( y - bx ) - a ]
2
i =1
i =1
综上，当a)( y y )
i
i
i =1
.
n
( x - x)
2
i
i =1
ˆ
ˆ
a
=
y
bx
时， Q到达最小.
ˆ aˆ 称为Y 关于x 的经验回归方程，也称
ෝ=x，则
通过经验回归方程
x=179.733，即当父亲身高为179.733cm时，儿子的平均身
高与父亲的身高一样.
对于响应变量Y , 通过视察得到的数据称为观测值 , 通
ෝ为预测值. 视察值减去预测值称为
过经验回归方程得到的
残差.
残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可判
叫做b，a的最小二乘估计．
求得的，ෝ
ഥ); 与相关系数
易得: 经验回归直线必过样本中心(ഥ
,
r符号相同.
对于上表中的数据，利
用我们学过的公式可以计算出
=0.839
，ෝ
=28.957，求出儿
子身高Y关于父亲身高x的经验
回归方程为
ŷ 0.839 x 28.957
相应的经验回归直线如图所示.
n i =1
n i =1
n
n
Q(a,b ) = ( yi - bxi - a ) = [ yi - bxi - ( y - bx ) + ( y - bx ) - a ]
2
i =1
n
2
i =1
= [( yi y ) b( xi - x ) + ( y - bx ) - a ]
2
i =1
i =1
综上，当a)( y y )
i
i
i =1
.
n
( x - x)
2
i
i =1
ˆ
ˆ
a
=
y
bx
时， Q到达最小.
ˆ aˆ 称为Y 关于x 的经验回归方程，也称
《偏最小二乘方法》课件
建模步骤
首先对数据进行预处理和特征选择，然后利用偏最小二乘方法提取 主成分，最后建立预测模型并进行模型评估。
预测建模效果
通过偏最小二乘方法建立的预测模型具有较好的稳定性和泛化能力 ，能够为实际应用提供可靠的预测结果。
04
偏最小二乘方法在机器学习中的 应用
分类问题
偏最小二乘方法在分类问题中可以用于特征提取和模型训练。通过提取数据中的潜在特征，偏最小二 乘方法能够降低数据维度，同时保留分类信息，提高分类准确率。
提高可解释性 为了更好地理解模型的内在机制 ，未来研究可以进一步探索如何 提高偏最小二乘方法的结果可解 释性。
扩展应用领域
随着大数据和人工智能技术的不 断发展，偏最小二乘方法可以进 一步扩展到更多领域，如自然语 言处理、图像处理等。
结合其他算法
未来研究可以将偏最小二乘方法 与其他算法结合，如深度学习、 强化学习等，以获得更好的性能 和更广泛的应用。
金融数据分析
总结词
偏最小二乘方法在金融数据分析中广 泛应用于预测股票价格、评估投资组 合风险和回报等方面。
详细描述
通过分析历史股票数据和市场信息， 偏最小二乘方法能够建立有效的预测 模型，帮助投资者做出更明智的决策 。
市场细分分析
总结词
偏最小二乘方法在市场细分分析中用于识别不同消费者群体的特征和行为模式，从而制定更有针对性的营销策略 。
线性回归（Linear Regression）
PLS和线性回归都是预测模型，但PLS更适合处理具有复杂相关性和非线性的数据集， 而线性回归假设数据服从正态分布且变量独立。
支持向量机（SVM）
PLS和SVM都是监督学习算法，但PLS更适用于高维度和多因多果的问题，而SVM主要 应用于分类问题。
首先对数据进行预处理和特征选择，然后利用偏最小二乘方法提取 主成分，最后建立预测模型并进行模型评估。
预测建模效果
通过偏最小二乘方法建立的预测模型具有较好的稳定性和泛化能力 ，能够为实际应用提供可靠的预测结果。
04
偏最小二乘方法在机器学习中的 应用
分类问题
偏最小二乘方法在分类问题中可以用于特征提取和模型训练。通过提取数据中的潜在特征，偏最小二 乘方法能够降低数据维度，同时保留分类信息，提高分类准确率。
提高可解释性 为了更好地理解模型的内在机制 ，未来研究可以进一步探索如何 提高偏最小二乘方法的结果可解 释性。
扩展应用领域
随着大数据和人工智能技术的不 断发展，偏最小二乘方法可以进 一步扩展到更多领域，如自然语 言处理、图像处理等。
结合其他算法
未来研究可以将偏最小二乘方法 与其他算法结合，如深度学习、 强化学习等，以获得更好的性能 和更广泛的应用。
金融数据分析
总结词
偏最小二乘方法在金融数据分析中广 泛应用于预测股票价格、评估投资组 合风险和回报等方面。
详细描述
通过分析历史股票数据和市场信息， 偏最小二乘方法能够建立有效的预测 模型，帮助投资者做出更明智的决策 。
市场细分分析
总结词
偏最小二乘方法在市场细分分析中用于识别不同消费者群体的特征和行为模式，从而制定更有针对性的营销策略 。
线性回归（Linear Regression）
PLS和线性回归都是预测模型，但PLS更适合处理具有复杂相关性和非线性的数据集， 而线性回归假设数据服从正态分布且变量独立。
支持向量机（SVM）
PLS和SVM都是监督学习算法，但PLS更适用于高维度和多因多果的问题，而SVM主要 应用于分类问题。
最小二乘法讲解
1
历史简介
• 1801年，意大利天文学家朱赛普·皮亚齐发现了第一颗小行星谷神星。 经过40天的跟踪观测后，由于谷神星运行至太阳背后，使得皮亚齐失 去了谷神星的位置。随后全世界的科学家利用皮亚齐的观测数据开始 寻找谷神星，但是根据大多数人计算的结果来寻找谷神星都没有结果。 时年24岁的高斯也计算了谷神星的轨道。奥地利天文学家海因里 希·奥尔伯斯根据高斯计算出来的轨道重新发现了谷神星。
5
例题
6
例题
7
例题
8
例题
9
例题
10
例题
11
例题
12
例题
13
例题
14
例题
15
习题
假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y （万元）有如下统计资料：
x
2
3
4
5
6
y
2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
（1）求回归直线方程；
（2）估计使用10年 时，维修费用约是
多少？
16
习题
解：根据散点图知 x 与 y 成线性相关关系
（1）列表
xi
yi
xi 2
xi yi
2
2.2
4
4.4
3
3.8
9
11.4
4
5.5
16
22
5
6.5
25
32.5
6
7.0
36
42
合计 20
25
90 112.3
x4
y5
17
习题
112.3 5 4 5 b 90 5 42 1.23 a 5 1.23 4 0.08
2
历史简介
• 高斯使用的最小二乘法的方法发表于1809年他的著作《天体运动论》 中。
历史简介
• 1801年，意大利天文学家朱赛普·皮亚齐发现了第一颗小行星谷神星。 经过40天的跟踪观测后，由于谷神星运行至太阳背后，使得皮亚齐失 去了谷神星的位置。随后全世界的科学家利用皮亚齐的观测数据开始 寻找谷神星，但是根据大多数人计算的结果来寻找谷神星都没有结果。 时年24岁的高斯也计算了谷神星的轨道。奥地利天文学家海因里 希·奥尔伯斯根据高斯计算出来的轨道重新发现了谷神星。
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例题
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例题
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例题
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例题
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例题
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习题
假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y （万元）有如下统计资料：
x
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6
y
2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
（1）求回归直线方程；
（2）估计使用10年 时，维修费用约是
多少？
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习题
解：根据散点图知 x 与 y 成线性相关关系
（1）列表
xi
yi
xi 2
xi yi
2
2.2
4
4.4
3
3.8
9
11.4
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6.5
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32.5
6
7.0
36
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合计 20
25
90 112.3
x4
y5
17
习题
112.3 5 4 5 b 90 5 42 1.23 a 5 1.23 4 0.08
2
历史简介
• 高斯使用的最小二乘法的方法发表于1809年他的著作《天体运动论》 中。
插值法与最小二乘法
样条插值
样条插值是一种更复杂的插值方法，通过构造样条函数（如多项式样条、 立方样条等）来逼近数据点。
样条插值通过已知的多个点确定一个样条函数，然源自利用这个样条函数来 计算其他点的值。
样条插值的优点是精度高，适应性强，但计算速度较慢，且需要更多的数 据点。
05
最小二乘法的具体实现
普通最小二乘法
定义
插值法的优缺点
插值法简单易行，能够快速得到未知点的估计值。但是，插值法假设数据点之间存在线性关系，对于 非线性数据可能存在较大的误差。此外，插值法无法给出估计值的精度和不确定性。
最小二乘法案例分析
最小二乘法在回归分析中的应用
最小二乘法是一种常用的回归分析方法，通过最小化预测值与实际值之间的平方误差，来估计回归参数。例如， 在金融领域，可以使用最小二乘法对股票价格进行回归分析，预测未来的股票走势。
应用场景比较
插值法
插值法适用于已知数据点之间存在线性或非线性关系的情况，尤其适用于需要 快速估算未知数据点的情况。在科学计算、工程技术和金融领域都有广泛应用。
最小二乘法
最小二乘法适用于需要找到最佳函数匹配的情况，特别是当观测数据受到随机 误差影响时。在统计学、经济学、社会学等领域中，最小二乘法被广泛应用于 回归分析。
型的数据。
最小二乘法的缺点
最小二乘法对于存在多 重共线性的自变量较为 敏感，可能会导致模型 过拟合。此外，最小二 乘法假设误差项是随机 且相互独立的，这在某 些情况下可能不成立。
04
插值法的具体实现
线性插值
01
线性插值是最简单的插值方法，适用于数据点之间变化不大的 情况。
02
线性插值通过两点确定一条直线，然后利用这条直线的斜率和
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n
s （i yi a bxi）2 i 1
令 s 0, s 0 a b
.
四、最小二乘法应用
利用实际试验采集到的数据，建立 回归模型，运用最小二乘估计进行趋势 分析及预测，比如经济趋势预测，工业 产量控制等等。
.
.
最小，使偏差之和Σ[φ(xi)-yi]最小来保证每个偏 差都很小。但偏差有正有负,在求和的时候可能 相互抵消。为了避免这种情况，选择使“偏差 平方和Σ[φ(xi)-yi]2最小”的原则来保证每个偏差
的绝对值都很小,从而得到最佳拟合曲线y=φ(xi)。
.
三、最小二乘法拟合
一般而言，拟合函数φ(x)可以使不同的函数 类,由m个线性无关函数φ1(x),φ2(x),...,φm(x)的 线性组合而成，即
3、指数函数的拟合
得到一组数据(xi,yi)(i=1,...,n),还可以考虑用指数函数为基函数来拟合。
拟合函数y=aebx
lny=lna+bx
单击添Y加=lny b0=lna
.
Y=b0+ bx
4、对数函数的拟合
得到一组数据(xi,yi)(i=1,...,n),还可以考虑用对数函数为基函数来拟合。
＝
n
n
n
n
xi
y
－
i
xi
yi
i1
i1
i1
n
n
i1
x
2 i
－
n
i1
xi
2
1 n
n
y
－
i
i1
b n
n
xi
i1
2、多元性拟合
设变量y与n个变量x1,x2,…,xn(n≥1)内在联系是
线性的，即有y=a0+∑ajxj(j=1,...,n)。
m
n
s （yi a0 a j xij）2
i 1
高斯
由寻找随机误差函数为突破，以独特的概率思想导出 了正态分布，详尽地阐. 述了最小二乘法的理论依据。
设一组数据(xi ,yi)(i=1,2,...,n),现用近似曲 线y=φ(xi)拟合这组数据,“拟合得最好”的标准 是所选择的φ(xi)在xi处的函数值φ(xi)(i=1,2,...,n)
与实际值yi的偏差（也称残差)φ(xi)-yi(i=1,2,...,n)
j 1
令 s 0, s 0 a0 a j
s
a
0
m
2
i1 1
a
j xij
0
s a1
2
m
i1
yi
a0
n
a j xij
j 1
x
i1
0
L L L L L L L L L L L L L L L
s
a
n
2
m
i1
yi
a0
n
a
j 1
j xij
x
i
n
0
. a0,a1,,am的值
入一适当的权数ωi，以调整各项在平方
和中的作用。
.
5.2 权数的取定
为消除异方差的影响，使各项的地位相 同，观测值的权数取观测值误差项方差 的倒数，即 ωi=1/σi2
在实际问题中，σi2通常是未知的，当自 变量水平以系统的形式变化时，取 ωi=1/xi2
.
5.3 WLS模型
加权后的最小二乘估计模型为:
最小二乘法的思想方法及其应用
.
目的
最小二乘法在农、工、经济等领域都有 广泛使用。
本文旨在向大家介绍最小二乘法的原理 及其应用,使大家对最小二乘法有初步了解， 方便以后使用。
.
主要内容
一、最小二乘法简介 二、创立思想 三、最小二乘法拟合办法 四、最小二乘法的实际应用
.
一、最小二乘法简介
最小二乘法 ， 又称最小平方法，是一种数 学技术。它通过最小误差的平方和寻找数据函 数的最佳匹配。最小二乘法是提供“观测组合 ”的主要工具之一，它依据对某事件的大量观 测而获得“最佳”结果或“最可能”表现形式 。 最小二乘法之于数理统计学，有如微积分之于 数学，可以称为数理统计学之灵魂。
1、一元线性拟合
已知实测到的一组数据(xi ,yi)(i=1,2,...,n),设
线性关系式为y=a+bx,最小二乘法求出a,b。
n
s
（
yi
a
b
x
）2
i
i 1
令 s 0, s 0 a b
as ＝－2in1(yi a bxi )＝0 bs＝－2in1(yi a bxi )xi＝0
b
＝
.
a
利用得到的数据进行残差图检验，若 残差围绕e=0这条线波动，则满足基本假 设，否则，便是异方差现象。对于这种 问题的处理，我们引入加权最小二乘估 计。
.
5.1 加权原理
在等方差条件下，偏差平方和S中每一项 的地位是相同的；在异方差条件下，误 差项方差σi2大的在S中的作用偏大。
加权最小二乘估计（WLS,weighted least square）的方法是在平方和中加
.
二、创立思想
最小二乘法(OLSE)的思想就是要使得观测点和 估计点的距离平方和达到最小，在各方程的误差之间 建立一种平衡，从而防止某一极端误差，对决定参数 的估计值取得支配地位，有助于揭示系统的更接近真 实的状态。
在最小二乘法的创立过程中有两位科学家为它 的创立及发展作出了杰出的贡献。
勒让德
在先驱者解线性方程组的基础上，以整体的思想方法 创立了最小二乘法
拟合函数y=a+blnx
令X=lnx
y=单击a添+加bX
.
5、脱离一般假设的最小二乘估计
OLSE的一般假 设
解释变量xi为确 定型变量
等方差 不相关
样本容量大于 解释变量个数
.
在实际应用中，采集到的数据不一定 满足OLSE(ordinary least square estimation)的一般假设，即会出现异方 差问题。
x a 11 x a 22 x … a m m x (mn1)
其中,a1,a2,...,am为待定系数，φ1(x),φ2(x),...,φm(x) 称为基函数。常用的基函数有： 多项式：1,x, x2,…,xm; 三角函数：sinx,sin2x,...,sinmx;
指数函数：eλ1x,eλ2x,...,eλmx。 .
s （i yi a bxi）2 i 1
令 s 0, s 0 a b
.
四、最小二乘法应用
利用实际试验采集到的数据，建立 回归模型，运用最小二乘估计进行趋势 分析及预测，比如经济趋势预测，工业 产量控制等等。
.
.
最小，使偏差之和Σ[φ(xi)-yi]最小来保证每个偏 差都很小。但偏差有正有负,在求和的时候可能 相互抵消。为了避免这种情况，选择使“偏差 平方和Σ[φ(xi)-yi]2最小”的原则来保证每个偏差
的绝对值都很小,从而得到最佳拟合曲线y=φ(xi)。
.
三、最小二乘法拟合
一般而言，拟合函数φ(x)可以使不同的函数 类,由m个线性无关函数φ1(x),φ2(x),...,φm(x)的 线性组合而成，即
3、指数函数的拟合
得到一组数据(xi,yi)(i=1,...,n),还可以考虑用指数函数为基函数来拟合。
拟合函数y=aebx
lny=lna+bx
单击添Y加=lny b0=lna
.
Y=b0+ bx
4、对数函数的拟合
得到一组数据(xi,yi)(i=1,...,n),还可以考虑用对数函数为基函数来拟合。
＝
n
n
n
n
xi
y
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yi
i1
i1
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i1
2、多元性拟合
设变量y与n个变量x1,x2,…,xn(n≥1)内在联系是
线性的，即有y=a0+∑ajxj(j=1,...,n)。
m
n
s （yi a0 a j xij）2
i 1
高斯
由寻找随机误差函数为突破，以独特的概率思想导出 了正态分布，详尽地阐. 述了最小二乘法的理论依据。
设一组数据(xi ,yi)(i=1,2,...,n),现用近似曲 线y=φ(xi)拟合这组数据,“拟合得最好”的标准 是所选择的φ(xi)在xi处的函数值φ(xi)(i=1,2,...,n)
与实际值yi的偏差（也称残差)φ(xi)-yi(i=1,2,...,n)
j 1
令 s 0, s 0 a0 a j
s
a
0
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a
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j 1
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. a0,a1,,am的值
入一适当的权数ωi，以调整各项在平方
和中的作用。
.
5.2 权数的取定
为消除异方差的影响，使各项的地位相 同，观测值的权数取观测值误差项方差 的倒数，即 ωi=1/σi2
在实际问题中，σi2通常是未知的，当自 变量水平以系统的形式变化时，取 ωi=1/xi2
.
5.3 WLS模型
加权后的最小二乘估计模型为:
最小二乘法的思想方法及其应用
.
目的
最小二乘法在农、工、经济等领域都有 广泛使用。
本文旨在向大家介绍最小二乘法的原理 及其应用,使大家对最小二乘法有初步了解， 方便以后使用。
.
主要内容
一、最小二乘法简介 二、创立思想 三、最小二乘法拟合办法 四、最小二乘法的实际应用
.
一、最小二乘法简介
最小二乘法 ， 又称最小平方法，是一种数 学技术。它通过最小误差的平方和寻找数据函 数的最佳匹配。最小二乘法是提供“观测组合 ”的主要工具之一，它依据对某事件的大量观 测而获得“最佳”结果或“最可能”表现形式 。 最小二乘法之于数理统计学，有如微积分之于 数学，可以称为数理统计学之灵魂。
1、一元线性拟合
已知实测到的一组数据(xi ,yi)(i=1,2,...,n),设
线性关系式为y=a+bx,最小二乘法求出a,b。
n
s
（
yi
a
b
x
）2
i
i 1
令 s 0, s 0 a b
as ＝－2in1(yi a bxi )＝0 bs＝－2in1(yi a bxi )xi＝0
b
＝
.
a
利用得到的数据进行残差图检验，若 残差围绕e=0这条线波动，则满足基本假 设，否则，便是异方差现象。对于这种 问题的处理，我们引入加权最小二乘估 计。
.
5.1 加权原理
在等方差条件下，偏差平方和S中每一项 的地位是相同的；在异方差条件下，误 差项方差σi2大的在S中的作用偏大。
加权最小二乘估计（WLS,weighted least square）的方法是在平方和中加
.
二、创立思想
最小二乘法(OLSE)的思想就是要使得观测点和 估计点的距离平方和达到最小，在各方程的误差之间 建立一种平衡，从而防止某一极端误差，对决定参数 的估计值取得支配地位，有助于揭示系统的更接近真 实的状态。
在最小二乘法的创立过程中有两位科学家为它 的创立及发展作出了杰出的贡献。
勒让德
在先驱者解线性方程组的基础上，以整体的思想方法 创立了最小二乘法
拟合函数y=a+blnx
令X=lnx
y=单击a添+加bX
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5、脱离一般假设的最小二乘估计
OLSE的一般假 设
解释变量xi为确 定型变量
等方差 不相关
样本容量大于 解释变量个数
.
在实际应用中，采集到的数据不一定 满足OLSE(ordinary least square estimation)的一般假设，即会出现异方 差问题。
x a 11 x a 22 x … a m m x (mn1)
其中,a1,a2,...,am为待定系数，φ1(x),φ2(x),...,φm(x) 称为基函数。常用的基函数有： 多项式：1,x, x2,…,xm; 三角函数：sinx,sin2x,...,sinmx;
指数函数：eλ1x,eλ2x,...,eλmx。 .