解题技巧专题:利用一次函数解决实际问题

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解题技巧专题:利用一次函数解决实际问题

——明确不同类型的图象的端点、折点、交点等的意义

◆类型一费用类问题

一、建立一次函数模型解决问题

1.(2016·攀枝花中考)某市为了鼓励居民节约用水,决定实行两级收费制度.若每月用水量不超过14吨(含14吨),则每吨按政府补贴优惠价m元收费;若每月用水量超过14吨,则超过部分每吨按市场价n元收费.小明家3月份用水20吨,交水费49元;4月份用水18吨,交水费42元.

(1)求每吨水的政府补贴优惠价和市场价;

(2)设每月用水量为x吨,应交水费为y元,请写出y与x之间的函数解析式;

(3)小明家5月份用水26吨,则他家应交水费多少元?

二、分段函数问题

2.(2016·荆州中考)为更新果树品种,某果园计划新购进A,B两个品种的果树苗栽植培育,若计划购进这两种果树苗共45棵,其中A种树苗的单价为7元/棵,购买B种树苗所需费用y(元)与购买数量x(棵)之间存在如图所示的函数关系.

(1)求y与x的函数解析式;

(2)若在购买计划中,B种树苗的数量不超过35棵,但不少于A种树苗的数量,请设计购买方案,使总费用最低,并求出最低费用.

三、两个一次函数图象结合的问题

3.随着互联网的发展,互联网消费逐渐深入人们生活,如图是“滴滴顺风车”与“滴滴快车”的行驶里程x(公里)与计费y(元)之间的函数关系图象,下列说法:①“快车”行驶里程不超过5公里计费8元;②“顺风车”行驶里程超过2公里的部分,每公里计费1.2元;③A 点的坐标为(6.5,10.4);④从哈尔滨西站到会展中心的里程是15公里,则“顺风车”要比“快车”少用3.4元.其中正确的个数有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

四、分类讨论思想

4.(2017·天门中考)江汉平原享有“中国小龙虾之乡”的美称,甲、乙两家农贸商店,平时以同样的价格出售品质相同的小龙虾,“龙虾节”期间,甲、乙两家商店都让利酬宾,付款金额y甲,y乙(单位:元)与原价x(单位:元)之间的函数关系如图所示:

(1)直接写出y甲,y乙关于x的函数关系式;

(2)“龙虾节”期间,如何选择甲、乙两家商店购买小龙虾更省钱?

◆类型二路程类问题

一、两个一次函数图象结合的问题

5.(2017·青岛中考)A,B两地相距60km,甲、乙两人从两地出发相向而行,甲先出发,图中l1,l2表示两人离A地的距离s(km)与时间t(h)的关系,请结合图象解答下列问题:

(1)表示乙离A地的距离与时间关系的图象是________(填l1或l2);甲的速度是________km/h,乙的速度是________km/h;

(2)甲出发多长时间两人恰好相距5km?

二、分段函数问题

6.(2016·新疆中考)暑假期间,小刚一家乘车去离家380km的某景区旅游,他们离家的距离y(km)与汽车行驶的时间x(h)之间的函数图象如图所示.

(1)从小刚家到该景区乘车一共用了多少时间?

(2)求线段AB对应的函数解析式;

(3)小刚一家出发2.5h后离目的地有多远?

◆类型三工程类问题

一、两个一次函数图象结合的问题

7.甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道,所挖管道长度y(米)与挖掘时间x(天)之间的关系如图所示,则下列说法中:①甲队每天挖100米;②乙队开挖2天后,每天挖50米;③甲队比乙队提前3天完成任务;④当x=2或6时,甲、乙两队所挖管道长度都相差100米.正确的有________(填序号).

二、分段函数问题

8.(2016·绍兴中考)根据卫生防疫部门的要求,游泳池必须定期换水、清洗.某游泳池周五早上8:00打开排水孔开始排水,排水孔的排水速度保持不变,期间因清洗游泳池需要暂停排水,游泳池的水在11:30全部排完.游泳池内的水量Q(m3)和开始排水后的时间t(h)之间的函数图象如图所示,根据图象解答下列问题:

(1)暂停排水需要多少时间?排水孔的排水速度是多少?

(2)当2≤t≤3.5时,求Q关于t的函数解析式.

参考答案与解析

1.解:(1)设每吨水的政府补贴优惠价为m 元,市场价为n 元.由题意得

⎩⎪⎨⎪⎧14m +(20-14)n =49,14m +(18-14)n =42,解得⎩

⎪⎨⎪⎧m =2,n =3.5. 答:每吨水的政府补贴优惠价为2元,市场价为3.5元.

(2)当0≤x ≤14时,y =2x ;当x >14时,y =14×2+(x -14)×3.5=3.5x -21.综上所述,y

=⎩

⎪⎨⎪⎧2x (0≤x ≤14),3.5x -21(x >14). (3)∵26>14,∴小明家5月份水费为3.5×26-21=70(元). 答:小明家5月份应交水费70元.

2.解:(1)当0≤x ≤20时,设y 与x 的函数解析式为y =ax ,把(20,160)代入y =ax 中,得a =8.即y 与x 的函数解析式为y =8x ;当x >20时,设y 与x 的函数解析式为y =kx +b ,把

(20,160),(40,288)代入y =kx +b 中,得⎩⎪⎨⎪⎧20k +b =160,40k +b =288,解得⎩⎪⎨⎪⎧k =6.4,b =32,即y 与x 的函数解析式为y =6.4x +32.综上所述,y 与x 的函数解析式为y =⎩

⎪⎨⎪

⎧8x (0≤x ≤20),6.4x +32(x >20).

(2)∵B 种树苗的数量不超过35棵,但不少于A 种树苗的数量,∴⎩

⎪⎨

⎪⎧x ≤35,

x ≥45-x ,∴22.5≤x ≤35.设总费用为W 元,则W =6.4x +32+7(45-x )=-0.6x +347.∵k =-0.6<0,∴y

随x 的增大而减小,∴当x =35,45-x =10时,总费用最低,即购买B 种树苗35棵,A 种树苗10棵时,总费用最低,W 最低=-0.6×35+347=326(元).

3.D

4.解:(1)设y 甲=kx ,把(2000,1600)代入,得2000k =1600,解得k =0.8,所以y 甲=0.8x .当0<x <2000时,设y 乙=ax ,把(2000,2000)代入,得2000k =2000,解得k =1,所以y 乙

=x .当x ≥2000时,设y 乙=mx +n ,把(2000,2000),(4000,3400)代入,得⎩⎪⎨

⎪⎧2000m +n =2000,

4000m +n =3400,解得⎩⎪⎨⎪⎧m =0.7,n =600,所以y 乙=⎩

⎪⎨⎪⎧x (0

0.7x +600(x ≥2000).

(2)当0<x <2000时,0.8x <x ,到甲商店购买更省钱;当x ≥2000时,若到甲商店购买更省钱,则0.8x <0.7x +600,解得x <6000;若到乙商店购买更省钱,则0.8x >0.7x +600,解得x >6000;若到甲、乙两商店购买一样省钱,则0.8x =0.7x +600,解得x =6000;故当购买金额按原价小于6000元时,到甲商店购买更省钱;当购买金额按原价大于6000元时,到乙商店购买更省钱;当购买金额按原价等于6000元时,到甲、乙两商店购买花钱一样.

5.解:(1)l 2 30 20 解析:由题意可知,乙的函数图象是l 2,甲的速度是60

2

=30(km/h),

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