探索勾股定理(二)PPT
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鲁教版(五四制)七年级数学上册 《探索勾股定理(2)》参考课件2品质课件PPT
(3)勾股定理导致不可通约量的发现，引发第一次数学危机。
(4)勾股定理公式是第一个不定方程，为不定方程的解 题程序树立了一个范式。
长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。努力，终会有所收获，功夫不负有心人。以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。前进的路上 照自己的不足，学习更多东西，更进一步。穷则独善其身，达则兼济天下。现代社会，有很多人，钻进钱眼，不惜违法乱纪；做人，穷，也要穷的有骨气！古之立大 之才，亦必有坚忍不拔之志。想干成大事，除了勤于修炼才华和能力，更重要的是要能坚持下来。士不可以不弘毅，任重而道远。仁以为己任，不亦重乎?死而后已， 理想，脚下的路再远，也不会迷失方向。太上有立德，其次有立功，其次有立言，虽久不废，此谓不朽。任何事业，学业的基础，都要以自身品德的修炼为根基。饭 而枕之，乐亦在其中矣。不义而富且贵，于我如浮云。财富如浮云，生不带来，死不带去，真正留下的，是我们对这个世界的贡献。英雄者，胸怀大志，腹有良策， 吞吐天地之志者也英雄气概，威压八万里，体恤弱小，善德加身。老当益壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青云之志老去的只是身体，心灵可以永远保持丰盛。乐 其乐；忧民之忧者，民亦忧其忧。做领导，要能体恤下属，一味打压，尽失民心。勿以恶小而为之，勿以善小而不为。越是微小的事情，越见品质。学而不知道，与 行，与不知同。知行合一，方可成就事业。以家为家，以乡为乡，以国为国，以天下为天下。若是天下人都能互相体谅，纷扰世事可以停歇。志不强者智不达，言不 越高，所需要的能力越强，相应的，逼迫自己所学的，也就越多。臣心一片磁针石，不指南方不肯休。忠心，也是很多现代人缺乏的精神。吾日三省乎吾身。为人谋 交而不信乎?传不习乎?若人人皆每日反省自身，世间又会多出多少君子。人人好公，则天下太平；人人营私，则天下大乱。给世界和身边人，多一点宽容，多一份担 为生民立命，为往圣继绝学，为万世开太平。立千古大志，乃是圣人也。丹青不知老将至，贫贱于我如浮云。淡看世间事，心情如浮云天行健，君子以自强不息。地 载物。君子，生在世间，当靠自己拼搏奋斗。博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行之。进学之道，一步步逼近真相，逼近更高。百学须先立志。天下大事，不立 川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚做人，心胸要宽广。其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。身心端正，方可知行合一。子曰:“知者不惑，仁者不忧，勇者不惧 进者，不会把时间耗费在负性情绪上。好学近乎知，力行近乎仁，知耻近乎勇。力行善事，有羞耻之心，方可成君子。操千曲尔后晓声，观千剑尔后识器做学问和学 次的练习。第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力当眼泪流尽的时候，留下的应该是坚强。人总是珍惜未得到的，而遗忘了所拥有的。谁伤害过你，谁 要。重要的是谁让你重现笑容。幸运并非没有恐惧和烦恼；厄运并非没有安慰与希望。你不要一直不满人家，你应该一直检讨自己才对。不满人家，是苦了你自己。 久的一个人，而是心里没有了任何期望。要铭记在心；每一天都是一年中最完美的日子。只因幸福只是一个过往，沉溺在幸福中的人；一直不知道幸福却很短暂。一 看他贡献什么，而不应当看他取得什么。做个明媚的女子。不倾国，不倾城，只倾其所有过的生活。生活就是生下来，活下去。人生最美的是过程，最难的是相知， 幸福的是真爱，最后悔的是错过。两个人在一起能过就好好过！不能过就麻利点分开。当一个人真正觉悟的一刻，他放下追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世 若软弱就是自己最大的敌人。日出东海落西山，愁也一天，喜也一天。遇事不转牛角尖，人也舒坦，心也舒坦。乌云总会被驱散的，即使它笼罩了整个地球。心态便 明灯，可以照亮整个世界。生活不是单行线，一条路走不通，你可以转弯。给我一场车祸。要么失忆。要么死。有些人说：我爱你、又不是说我只爱你一个。生命太 了明天不一定能得到。删掉了关于你的一切，唯独删不掉关于你的回忆。任何事都是有可能的。所以别放弃，相信自己，你可以做到的。、相信自己，坚信自己的目 受不了的磨难与挫折，不断去努力、去奋斗，成功最终就会是你的！既然爱，为什么不说出口，有些东西失去了，就在也回不来了！对于人来说，问心无愧是最舒服 ，表明他人的成功，被人嫉妒，表明自己成功。在人之上，要把人当人；在人之下，要把自己当人。人不怕卑微，就怕失去希望，期待明天，期待阳光，人就会从卑 封存梦想去拥抱蓝天。成功需要成本，时间也是一种成本，对时间的珍惜就是对成本的节约。人只要不失去方向，就不会失去自己。过去的习惯，决定今天的你，所 决定你今天的一败涂地。让我记起容易，但让我忘记我怕我是做不到。不要跟一个人和他议论同一个圈子里的人，不管你认为他有多可靠。想象困难做出的反应，不 ，而是面对它们，同它们打交道，以一种进取的和明智的方式同它们奋斗。他不爱你，你为他挡一百颗子弹也没用。坐在电脑前，不知道做什么，却��
(4)勾股定理公式是第一个不定方程，为不定方程的解 题程序树立了一个范式。
长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。努力，终会有所收获，功夫不负有心人。以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。前进的路上 照自己的不足，学习更多东西，更进一步。穷则独善其身，达则兼济天下。现代社会，有很多人，钻进钱眼，不惜违法乱纪；做人，穷，也要穷的有骨气！古之立大 之才，亦必有坚忍不拔之志。想干成大事，除了勤于修炼才华和能力，更重要的是要能坚持下来。士不可以不弘毅，任重而道远。仁以为己任，不亦重乎?死而后已， 理想，脚下的路再远，也不会迷失方向。太上有立德，其次有立功，其次有立言，虽久不废，此谓不朽。任何事业，学业的基础，都要以自身品德的修炼为根基。饭 而枕之，乐亦在其中矣。不义而富且贵，于我如浮云。财富如浮云，生不带来，死不带去，真正留下的，是我们对这个世界的贡献。英雄者，胸怀大志，腹有良策， 吞吐天地之志者也英雄气概，威压八万里，体恤弱小，善德加身。老当益壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青云之志老去的只是身体，心灵可以永远保持丰盛。乐 其乐；忧民之忧者，民亦忧其忧。做领导，要能体恤下属，一味打压，尽失民心。勿以恶小而为之，勿以善小而不为。越是微小的事情，越见品质。学而不知道，与 行，与不知同。知行合一，方可成就事业。以家为家，以乡为乡，以国为国，以天下为天下。若是天下人都能互相体谅，纷扰世事可以停歇。志不强者智不达，言不 越高，所需要的能力越强，相应的，逼迫自己所学的，也就越多。臣心一片磁针石，不指南方不肯休。忠心，也是很多现代人缺乏的精神。吾日三省乎吾身。为人谋 交而不信乎?传不习乎?若人人皆每日反省自身，世间又会多出多少君子。人人好公，则天下太平；人人营私，则天下大乱。给世界和身边人，多一点宽容，多一份担 为生民立命，为往圣继绝学，为万世开太平。立千古大志，乃是圣人也。丹青不知老将至，贫贱于我如浮云。淡看世间事，心情如浮云天行健，君子以自强不息。地 载物。君子，生在世间，当靠自己拼搏奋斗。博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行之。进学之道，一步步逼近真相，逼近更高。百学须先立志。天下大事，不立 川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚做人，心胸要宽广。其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。身心端正，方可知行合一。子曰:“知者不惑，仁者不忧，勇者不惧 进者，不会把时间耗费在负性情绪上。好学近乎知，力行近乎仁，知耻近乎勇。力行善事，有羞耻之心，方可成君子。操千曲尔后晓声，观千剑尔后识器做学问和学 次的练习。第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力当眼泪流尽的时候，留下的应该是坚强。人总是珍惜未得到的，而遗忘了所拥有的。谁伤害过你，谁 要。重要的是谁让你重现笑容。幸运并非没有恐惧和烦恼；厄运并非没有安慰与希望。你不要一直不满人家，你应该一直检讨自己才对。不满人家，是苦了你自己。 久的一个人，而是心里没有了任何期望。要铭记在心；每一天都是一年中最完美的日子。只因幸福只是一个过往，沉溺在幸福中的人；一直不知道幸福却很短暂。一 看他贡献什么，而不应当看他取得什么。做个明媚的女子。不倾国，不倾城，只倾其所有过的生活。生活就是生下来，活下去。人生最美的是过程，最难的是相知， 幸福的是真爱，最后悔的是错过。两个人在一起能过就好好过！不能过就麻利点分开。当一个人真正觉悟的一刻，他放下追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世 若软弱就是自己最大的敌人。日出东海落西山，愁也一天，喜也一天。遇事不转牛角尖，人也舒坦，心也舒坦。乌云总会被驱散的，即使它笼罩了整个地球。心态便 明灯，可以照亮整个世界。生活不是单行线，一条路走不通，你可以转弯。给我一场车祸。要么失忆。要么死。有些人说：我爱你、又不是说我只爱你一个。生命太 了明天不一定能得到。删掉了关于你的一切，唯独删不掉关于你的回忆。任何事都是有可能的。所以别放弃，相信自己，你可以做到的。、相信自己，坚信自己的目 受不了的磨难与挫折，不断去努力、去奋斗，成功最终就会是你的！既然爱，为什么不说出口，有些东西失去了，就在也回不来了！对于人来说，问心无愧是最舒服 ，表明他人的成功，被人嫉妒，表明自己成功。在人之上，要把人当人；在人之下，要把自己当人。人不怕卑微，就怕失去希望，期待明天，期待阳光，人就会从卑 封存梦想去拥抱蓝天。成功需要成本，时间也是一种成本，对时间的珍惜就是对成本的节约。人只要不失去方向，就不会失去自己。过去的习惯，决定今天的你，所 决定你今天的一败涂地。让我记起容易，但让我忘记我怕我是做不到。不要跟一个人和他议论同一个圈子里的人，不管你认为他有多可靠。想象困难做出的反应，不 ，而是面对它们，同它们打交道，以一种进取的和明智的方式同它们奋斗。他不爱你，你为他挡一百颗子弹也没用。坐在电脑前，不知道做什么，却��
北师大版八年级数学上册《探索勾股定理》课件(24张PPT)
勾是6， 62=36, 勾是5，
股是8， 82=64, 股是12，
弦一定是10；
102=100
62+82=102
弦一定是13，
52=25, 122=144, 132=169 52+122=132 等等. 是不是所有的直角三角形都有这个性质呢？世界上许
多数学家，先后用不同方法证明了这个结论. 我国把它称 为勾股定理.
正方形C的面积是__1_8__ 个单位面积.
（图中每个小方格代表1个单位面积）
C A
B
S正方形C 4 1 33 2
=18个单位面积
把正方形C分割成若干 个直角边为整数的三角 形来求
（图中每个小方格代表1个单位面积）
C A
B
S正方形C
1 2
62
=18个单位面积
把正方形C看成边长为 6的正方形面积的一半
第一章 勾股定理
1 探索勾股定理
1.经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程，了解勾股 定理的探究方法及其内在联系. 2.掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些实际问题.
这是1955年希腊为纪念一个数学学派发行的邮票.
P
C
A
Q
R B
如图，小方格的边长为1.
正方形P 正方形Q 正方形R 的面积 的面积 的面积
2
通过本课时的学习，需要我们掌握： 勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即
a2 b2 c2
没有智慧的头脑，就像没有蜡烛的灯笼.
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二2022/4/122022/4/122022/4/12 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/122022/4/122022/4/124/12/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/122022/4/12April 12, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
《探索勾股定理》第二课时上课课件
于是这位中年人不再散步，立即回家， 潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反 复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理， 并给出了简洁的证明方法。 1876年4月1日，他在《新英格兰教育日 志》上发表了他对勾股定理的这一证法。 1881年，这位中年人—伽菲尔德就任美 国第二十任总统。后来，人们为了纪念他对 勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明， 就把这一证法称为“总统”证法。
6米
补充练习：
1、放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿着东 南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都 是40米/分，小红用15分钟到家，小颖用20分钟到家， 小红和小颖家的距离为 （ C ）
A、600米； B、800米； C、1000米； D、不能确定
2、直角三角形两直角边分别为5厘米、12厘米，那么 斜边上的高是 （ D ） A、6厘米； B、 8厘米； D、 60/13厘米； C、 80/13厘米；
国际调查组报告
勾股定理与第一次数学危机 • 约 公 元 前 500 年 ， 毕 达 哥 拉 斯 学 派 的 弟 子 希 帕 索 斯 (Hippasus)发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线的长度 是不可公度的.按照毕达哥拉斯定理(勾股定理)，若正方形边长是 1，则对角线的长不是一个有理数，它不能表示成两个整数之比， 这一事实不但与毕氏学派的哲学信念大相径庭，而且建立在任何 线段都可公度基础上的几何学面临被推翻的威胁，第一次数学危 机由此爆发。据说，毕达哥拉斯学派对希帕索斯的发现十分惶恐、 恼怒，为了保守秘密，最后将希帕索斯投入大海。 不能表示成两个整数之比的数，15世纪意大利著名画家达. 芬奇称之为“无理的数”，无理数的英文“irrational”原义就是 “不可比”。第一次数学危机一直持续到19世纪实数的基础建立 以后才圆满解决。
探索勾股定理ppt课件
A的面积 B的面积 C的面积
左图 4
9
A a cC b
B
C
A ac b
B
右图 16
9
25
（1）正方形A、B、C的面积间 有什么关系？
SA+SB=SC. a2+b2=c2
（2）正方形A、B、C与中间的 直角三角形有什么关系？
结论2 以直角三角形两直角 边为边长的小正方形的面积 的和，等于以斜边为边长的 正方形的面积.
自主探究 任务一：探索勾股定理的内容
(指向目标一)
1.观察右图：(时间2分钟)
填表（每个小正方形的面积为单位1）
A的面积 B的面积 C的面积
左图 9
9
18
右图 4
4
8
（1）正方形A、B、C的面积间 有什么关系？
SA+SB=SC.
（2）正方形A、B、C与中间的 等腰直角三角形有什么关系？
SA+SB=SC.
当高AD在△ABC外部时，如图②. 同理可得 BD＝16，CD＝9. ∴BC＝BD－CD＝7， ∴△ABC的周长为7＋20＋15＝42. 综上所述，△ABC的周长为42或60.
方法总结 题中未给出图形，作高构造直角三角形时， 易漏掉钝角三角形的情况．如在本例题中，易只考虑 高AD在△ABC内的情形，忽视高AD在△ABC外的情形．
弦 勾
股
我国古代把直角三角形中 的直角边称为 ， 的直角 边称为 ， 称为 ，“勾股 定理”因此而得名.
巩固训练（2分钟）
1.钢索的长度？
？
10m
8m
6m
评价标准：独立完成为优秀，同桌互助为及格。
评价标准：2题全对为优秀,1题全对为及格
合作促学 任务二：熟练运用勾股定理进
左图 4
9
A a cC b
B
C
A ac b
B
右图 16
9
25
（1）正方形A、B、C的面积间 有什么关系？
SA+SB=SC. a2+b2=c2
（2）正方形A、B、C与中间的 直角三角形有什么关系？
结论2 以直角三角形两直角 边为边长的小正方形的面积 的和，等于以斜边为边长的 正方形的面积.
自主探究 任务一：探索勾股定理的内容
(指向目标一)
1.观察右图：(时间2分钟)
填表（每个小正方形的面积为单位1）
A的面积 B的面积 C的面积
左图 9
9
18
右图 4
4
8
（1）正方形A、B、C的面积间 有什么关系？
SA+SB=SC.
（2）正方形A、B、C与中间的 等腰直角三角形有什么关系？
SA+SB=SC.
当高AD在△ABC外部时，如图②. 同理可得 BD＝16，CD＝9. ∴BC＝BD－CD＝7， ∴△ABC的周长为7＋20＋15＝42. 综上所述，△ABC的周长为42或60.
方法总结 题中未给出图形，作高构造直角三角形时， 易漏掉钝角三角形的情况．如在本例题中，易只考虑 高AD在△ABC内的情形，忽视高AD在△ABC外的情形．
弦 勾
股
我国古代把直角三角形中 的直角边称为 ， 的直角 边称为 ， 称为 ，“勾股 定理”因此而得名.
巩固训练（2分钟）
1.钢索的长度？
？
10m
8m
6m
评价标准：独立完成为优秀，同桌互助为及格。
评价标准：2题全对为优秀,1题全对为及格
合作促学 任务二：熟练运用勾股定理进
探索勾股定理课件(浙教版)(2)
如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形.
这是判定直角三角形的根据之一
结论正确的理由
如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形.
已知:如图(1),在△ABC中,AC2+BC2=AB2. 说明△ABC是直角三角形的理由.
1)
已知:如图(1),在△ABC中,AC2+BC2=AB2.B
C
C
D
D
A B 图1
45 A 3 B 图2
１.如图四边形ABCD中， ∠ACB=90，
AB=13，BC=5，AD=9，CD=15，回答下列问
题 (1).AC的长是多少？
A9 D
(2).△ABC， △ACD是直 13
角三角形吗？为什么？
15
(3).这个四边形的面积是 多少？
B 5C
２．已知:如图, △ABC中，CD是AB边上的 高，且CD2=AD.BD
说明 △ABC是直角三角形的理由。
C
解后反思：
本节课的结论，是另一种判
定直角三角形的方法，它仅
仅根据三边的长度之间的数 A D
B
量关系，就可以作出判断，
而不必计算角的大小。
1. 如果线段a,b,c能组成直角三角形, 则它们的 比可能是 ( B )
A. 3:4:7; B. 5:12:13; C. 1:2:4; D. 1:3:5.
想一想：上述结论中，如果已判断一个三角形 是直角三角形，那么哪条边所对的角是直角？
满足 a2 b2 c2 .的三个正整数，称为勾股数。
随堂练习
下列几组数是勾股数吗？
（1） 2， 3， 5； （2）0.3，0.4，0.5； （3）50，120，130； （4）3 4 5
这是判定直角三角形的根据之一
结论正确的理由
如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形.
已知:如图(1),在△ABC中,AC2+BC2=AB2. 说明△ABC是直角三角形的理由.
1)
已知:如图(1),在△ABC中,AC2+BC2=AB2.B
C
C
D
D
A B 图1
45 A 3 B 图2
１.如图四边形ABCD中， ∠ACB=90，
AB=13，BC=5，AD=9，CD=15，回答下列问
题 (1).AC的长是多少？
A9 D
(2).△ABC， △ACD是直 13
角三角形吗？为什么？
15
(3).这个四边形的面积是 多少？
B 5C
２．已知:如图, △ABC中，CD是AB边上的 高，且CD2=AD.BD
说明 △ABC是直角三角形的理由。
C
解后反思：
本节课的结论，是另一种判
定直角三角形的方法，它仅
仅根据三边的长度之间的数 A D
B
量关系，就可以作出判断，
而不必计算角的大小。
1. 如果线段a,b,c能组成直角三角形, 则它们的 比可能是 ( B )
A. 3:4:7; B. 5:12:13; C. 1:2:4; D. 1:3:5.
想一想：上述结论中，如果已判断一个三角形 是直角三角形，那么哪条边所对的角是直角？
满足 a2 b2 c2 .的三个正整数，称为勾股数。
随堂练习
下列几组数是勾股数吗？
（1） 2， 3， 5； （2）0.3，0.4，0.5； （3）50，120，130； （4）3 4 5
《探索勾股定理》勾股定理PPT(上课用)2
；
b
a
c
b
c
大正方形的面积可以表示为 也可以表示为 •÷( ) ∵ •÷ () a c a b a
；
c
b
∴
c
a
b
b
c
例 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到 一个男孩头顶正上方米处，过了秒，飞机距离 这个男孩米，飞机每小时飞行多少千米？
C B
4000
A
练习
课本习题，（要有过程）
你认为利用勾股定理可以解决什么数学 问题？
探索勾股定理
利用拼图来验证勾股定理： 、准备四个全等的直角三角形（设直角三 角形的两条直角边分别为，，斜边为）； 、你能用这四个直角三角形拼成一个正方 形吗？拼一拼试试看 、你拼的正方形中是否含有以斜边的正方 形？ 、你能否就你拼出的图说明？ c a b
大正方形的面积可以表示为 () 也可以表示为 •÷ b ∵ () •÷ a ∴ a b c c a
在直角三角形中，若已知任意边，就 可以运用勾股定理求出第三边
蚂蚁沿图中的折线从点爬到点，一共爬了多少厘米？ 只要求答案 （小方格的边长为厘米） A
B
C
D
议一议：用数格子的方法判断图中三角形的三 边长是否满足？
补充练习： 、放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿 着东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行 走的速度都是米分，小红用分钟到家，小颖用 分钟到家，小红和小颖家的距离为 （ ） 、米； 、米； 、米； 、不能确定 、直角三角形两直角边分别为厘米、厘米，那 么斜边上的高是 （ ）
求① △ABC的面积；
A D
②斜边AB的长；
③斜边AB上的• • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
八年级数学上册教学课件《探索勾股定理(第2课时)》
因为AB=5，AC=4, 所以BC2=52-42. 所以BC2=9,所以BC=3， 因为20s=1180h, 所以3÷1180=540km.
答：飞机每小时飞行540km.
探究新知
1.1 探索勾股定理
素养考点 2 利用勾股定理解答面积问题
例 等腰三角形底边上的高为8cm，周长为32cm， A
求这个三角形的面积.
cb a
=4×12ab+c2 =c2+2ab， 所以a2+b2+2ab=c2+2ab，
所以a2+b2=c2 .
探究新知
1.1 探索勾股定理
美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.
如图，图中的三个三角形都是直角三角形，
求证：a2+b2
a
=c2.
证明：因为 S梯形=12(a+b)(a+b)
b
c
=12(a2+b2+2ab)
拼图 验证
应用
思路 步骤
1.1 探索勾股定理 首先通过拼图找出面积之间的相等关系， 再由面积之间的相等关系结合图形进行 代数变形即可推导出勾股定理．
拼出图形 写出图形面积的表达式 找出相等关系 恒等变形 导出勾股定理
课后作业
作业 内容
1.1 探索勾股定理
教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习
A．
B．
C．
D．
课堂检测
基础巩固题
1.1 探索勾股定理
1．如图，一个长为2.5 m的梯子，一端放在离墙脚 1.5 m处，另一端靠墙，则梯子顶端距离墙脚( C ) A．0.2 m B．0.4 m C．2 m D．4 m
课堂检测
基础巩固题
答：飞机每小时飞行540km.
探究新知
1.1 探索勾股定理
素养考点 2 利用勾股定理解答面积问题
例 等腰三角形底边上的高为8cm，周长为32cm， A
求这个三角形的面积.
cb a
=4×12ab+c2 =c2+2ab， 所以a2+b2+2ab=c2+2ab，
所以a2+b2=c2 .
探究新知
1.1 探索勾股定理
美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.
如图，图中的三个三角形都是直角三角形，
求证：a2+b2
a
=c2.
证明：因为 S梯形=12(a+b)(a+b)
b
c
=12(a2+b2+2ab)
拼图 验证
应用
思路 步骤
1.1 探索勾股定理 首先通过拼图找出面积之间的相等关系， 再由面积之间的相等关系结合图形进行 代数变形即可推导出勾股定理．
拼出图形 写出图形面积的表达式 找出相等关系 恒等变形 导出勾股定理
课后作业
作业 内容
1.1 探索勾股定理
教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习
A．
B．
C．
D．
课堂检测
基础巩固题
1.1 探索勾股定理
1．如图，一个长为2.5 m的梯子，一端放在离墙脚 1.5 m处，另一端靠墙，则梯子顶端距离墙脚( C ) A．0.2 m B．0.4 m C．2 m D．4 m
课堂检测
基础巩固题
探索勾股定理(第二课时)(课件)-八年级数学上册(北师大版)
大正方形的面积可以表示为 (a+b)2 ;
1
也可以表示为 c2 +4×2 ab . ∵ (a+b)2 = c2 + 4×12 ab
a2+2ab+b2 = c2 +2ab
∴ a2+b2=c2
方法小结：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结 合起来，再进行整式运算，从理论上验证了勾股定理．
探究新知
解:∵在Rt△ABC中 ∠ACB=90°，
由勾股定理，得AB2=BC2+AC2， 即 5002=BC2+4002， 所以，BC=300. 敌方汽车10s行驶了300m,那么它1h行驶 的距离为300×6×60=108000（m） 即它行驶的速度为108km/h.
探究新知
例2：如图，在一条公路上有A、B两站相距25km，C、D为 两个小镇，已知DA⊥AB,CB ⊥AB, DA=15km,CB= 10km ，现在要在公路边上建设一个加油站E，使得它到两镇的距离 相等，请问E 站应建在距A站多远处?
随堂练习
解：作点B关于MN的对称 点B′，连接AB′，交A1B1于 P点，连BP. 则AP＋BP＝AP＋PB′＝AB′， 易知P点即为到点A，B距离之和最短的点． 过点A作AE⊥BB′于点E， 则AE＝A1B1＝8km，B′E＝AA1＋BB1＝2＋4＝6(km)． 由勾股定理，得B′A2＝AE2＋B′E2＝82＋62， ∴AB′＝10(km)．即AP＋BP＝AB′＝10km， 故出口P到A，B两村庄的最短距离和是10km.
解：在Rt△MNO中， 根据勾股定理,
∴OM²=MN²+NO² =300²+400² =5002
∴OM=500 km 同理，得 OQ=1300 km ∴沿江高速长为 OM+OQ=500 +1300=1800 km ∴该沿江高速的造价为 1800× 100=180000 万元 答：该沿江高速的造价预计是180000 万元
1
也可以表示为 c2 +4×2 ab . ∵ (a+b)2 = c2 + 4×12 ab
a2+2ab+b2 = c2 +2ab
∴ a2+b2=c2
方法小结：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结 合起来，再进行整式运算，从理论上验证了勾股定理．
探究新知
解:∵在Rt△ABC中 ∠ACB=90°，
由勾股定理，得AB2=BC2+AC2， 即 5002=BC2+4002， 所以，BC=300. 敌方汽车10s行驶了300m,那么它1h行驶 的距离为300×6×60=108000（m） 即它行驶的速度为108km/h.
探究新知
例2：如图，在一条公路上有A、B两站相距25km，C、D为 两个小镇，已知DA⊥AB,CB ⊥AB, DA=15km,CB= 10km ，现在要在公路边上建设一个加油站E，使得它到两镇的距离 相等，请问E 站应建在距A站多远处?
随堂练习
解：作点B关于MN的对称 点B′，连接AB′，交A1B1于 P点，连BP. 则AP＋BP＝AP＋PB′＝AB′， 易知P点即为到点A，B距离之和最短的点． 过点A作AE⊥BB′于点E， 则AE＝A1B1＝8km，B′E＝AA1＋BB1＝2＋4＝6(km)． 由勾股定理，得B′A2＝AE2＋B′E2＝82＋62， ∴AB′＝10(km)．即AP＋BP＝AB′＝10km， 故出口P到A，B两村庄的最短距离和是10km.
解：在Rt△MNO中， 根据勾股定理,
∴OM²=MN²+NO² =300²+400² =5002
∴OM=500 km 同理，得 OQ=1300 km ∴沿江高速长为 OM+OQ=500 +1300=1800 km ∴该沿江高速的造价为 1800× 100=180000 万元 答：该沿江高速的造价预计是180000 万元
探索勾股定理ppt课件
度的一般步
边还是斜边或两种均有可能；
骤
（3）利用勾股定理进行计算
续表
1.1 探索勾股定理
返回目录
归纳总结
考
点
利用勾股定理解决实际问题的关键是利用数形结合思想
清
单 将实际问题转化成数学问题，建立直角三角形模型，再利用
解
读 勾股定理来解决.
1.1 探索勾股定理
返回目录
对点典例剖析
考
点
典例3 如图是一个长方形的大门，小强拿着一根竹竿要
方
法
）
技 100 和 36，则以 AD 为直径的半圆的面积是 （
巧
A. 4π
B. 8π
点
拨
C. 12π
D. 16π
1.1 探索勾股定理
返回目录
方
［解析］ 因为在 Rt△ABD 中，∠ADB=90°，AB2=100，
法
技 BD2=36，所以 AD2=100-36=64，所以 AD=8，
巧
点
所以以 AD 为直径的半圆的面积是 π×( AD)2=8π.
行分类讨论.
1.1 探索勾股定理
返回目录
方 ■方法：利用勾股定理解决面积问题
法
如图，由直角三角形的三边向外作正方形、半圆或等边
技
巧 三角形，则有 S =S +S （S ，S ，S 分别代表三个图形的
1
2
3
1
2
3
点
拨 面积，其中 S1 代表以斜边为一边的图形的面积）.
1.1 探索勾股定理
返回目录
例 如图，正方形 ABGF 和正方形 CDBE 的面积分别是
1.1 探索勾股定理
● 考点清单解读
边还是斜边或两种均有可能；
骤
（3）利用勾股定理进行计算
续表
1.1 探索勾股定理
返回目录
归纳总结
考
点
利用勾股定理解决实际问题的关键是利用数形结合思想
清
单 将实际问题转化成数学问题，建立直角三角形模型，再利用
解
读 勾股定理来解决.
1.1 探索勾股定理
返回目录
对点典例剖析
考
点
典例3 如图是一个长方形的大门，小强拿着一根竹竿要
方
法
）
技 100 和 36，则以 AD 为直径的半圆的面积是 （
巧
A. 4π
B. 8π
点
拨
C. 12π
D. 16π
1.1 探索勾股定理
返回目录
方
［解析］ 因为在 Rt△ABD 中，∠ADB=90°，AB2=100，
法
技 BD2=36，所以 AD2=100-36=64，所以 AD=8，
巧
点
所以以 AD 为直径的半圆的面积是 π×( AD)2=8π.
行分类讨论.
1.1 探索勾股定理
返回目录
方 ■方法：利用勾股定理解决面积问题
法
如图，由直角三角形的三边向外作正方形、半圆或等边
技
巧 三角形，则有 S =S +S （S ，S ，S 分别代表三个图形的
1
2
3
1
2
3
点
拨 面积，其中 S1 代表以斜边为一边的图形的面积）.
1.1 探索勾股定理
返回目录
例 如图，正方形 ABGF 和正方形 CDBE 的面积分别是
1.1 探索勾股定理
● 考点清单解读
3.1 探索勾股定理课件2 (新人教版八年级下)
46厘米 58厘米
小结： 1、利用数格子的方法，探索了以直角三角形三边 为边长的正方形面积的关系（即两个小正方形的 面积之和等于大正方形的面积）
2、探索了直角三角形的三边关系，得到勾股定理： 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 平方
C
c b a A
B
A的面积+B的面积=C的面积
a2+b2=c2
∵ x2+52=132 ∴ x2=132-52 x2 =169-25 x2 =144 ∵x>0 ∴ x=12
想一想：
小明妈妈买了一部29 英寸（74厘米）的电视 机，小明量了电视机的 屏幕后，发现屏幕只有 58厘米长和46厘米宽， 他觉得一定是售货员搞 错了。你同意他的想法 吗？你能解释这是为什 么吗？
课前热身
如图由若干个面积 为1的小正方形围 成,你知道里面大正 方形的面积是多少 吗?与同伴交流.
32
• 我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三多年前， 周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角三 角形，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五。 即“勾三、股四、弦五”。它被记载于我国古代著名 的数学著作《周髀算经》中。在这本书中的另一处， 还记载了勾股定理的一般形式。 • 相传二千多年前，希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了 勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥 拉斯定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年希腊 曾经发行了一枚纪念邮票，你能看出邮票上的图案所 反映的内容吗？
弦 勾 a 股
b
c
练习：
1、求下列图中字母所表示的正方形的面积
A =625 225
81
B =144
400
225
49) （
625 576 37 37
人教版八年级数学下册《勾股定理(第2课时)》示范教学课件
世界上几个文明古国相继发现和研究过勾股定理，其证明方法有很多种，有兴趣的同学可以继续研究．
1876 年美国总统 Garfield 证明
刘徽证明
例1 作 8 个全等的直角三角形（2 条直角边长分别为 a，b， 斜边长为 c），再作 3 个边长分别为 a，b，c 的正方形，把它们拼成两个正方形（如图）．你能利用这两个图形验证勾股定理吗？写出你的验证过程．
勾股定理（第2课时）
人教版八年级数学下册
命题如果直角三角形两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么_________．
a2＋b2＝c2
如何证明呢？
右图是我国古代证明该命题的“赵爽弦图”．
赵爽指出：按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四．以勾股之差自相乘为中黄实．加差实，亦成弦实．
你是如何理解的？你会证明吗？
解：由图可知大正方形的边长为：a＋b，则面积为(a＋b)2，由左图可得 (a＋b)2＝a2＋b2＋4× ，由右图可得 (a＋b)2＝c2＋4× ．根据面积相等，所以 a2 ＋ b2＝c2．
用分割拼接法证明勾股定理，其依据是“分割拼接前后图形的各部分的面积之和不变”．
例2 某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图 1，点 B 是正方形 ACDE 的边 CD 上一点，连接 AB，得到 Rt△ACB，三边分别为 a，b，c，将 △ACB 裁剪拼接至 △AEF 位置，如图 2，该同学用图 1、图 2 的面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程．
解：如图2，连接 BF．在图1中，正方形 ACDE 的面积为 b2，在图2中，∠BAC＝∠EAF，则 ∠EAF＋∠BAE＝90°，故 △BAF为等腰直角三角形．四边形 ABDF 的面积为： c2＋ (b－a)(a＋b)＝ c2＋ (b2－a2)．
1876 年美国总统 Garfield 证明
刘徽证明
例1 作 8 个全等的直角三角形（2 条直角边长分别为 a，b， 斜边长为 c），再作 3 个边长分别为 a，b，c 的正方形，把它们拼成两个正方形（如图）．你能利用这两个图形验证勾股定理吗？写出你的验证过程．
勾股定理（第2课时）
人教版八年级数学下册
命题如果直角三角形两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么_________．
a2＋b2＝c2
如何证明呢？
右图是我国古代证明该命题的“赵爽弦图”．
赵爽指出：按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四．以勾股之差自相乘为中黄实．加差实，亦成弦实．
你是如何理解的？你会证明吗？
解：由图可知大正方形的边长为：a＋b，则面积为(a＋b)2，由左图可得 (a＋b)2＝a2＋b2＋4× ，由右图可得 (a＋b)2＝c2＋4× ．根据面积相等，所以 a2 ＋ b2＝c2．
用分割拼接法证明勾股定理，其依据是“分割拼接前后图形的各部分的面积之和不变”．
例2 某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图 1，点 B 是正方形 ACDE 的边 CD 上一点，连接 AB，得到 Rt△ACB，三边分别为 a，b，c，将 △ACB 裁剪拼接至 △AEF 位置，如图 2，该同学用图 1、图 2 的面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程．
解：如图2，连接 BF．在图1中，正方形 ACDE 的面积为 b2，在图2中，∠BAC＝∠EAF，则 ∠EAF＋∠BAE＝90°，故 △BAF为等腰直角三角形．四边形 ABDF 的面积为： c2＋ (b－a)(a＋b)＝ c2＋ (b2－a2)．
八年级数学下18.1勾股定理(2)课件
∴BE＝1.5－0.7＝0.8m≠0.4m
答；梯子底端B不是外移0.4m
练习:如图，一个3米长的梯子AB，斜着靠在 竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米．
①求梯子的底端B距墙角O多少米？ ②如果梯子的顶端A沿墙角下滑0.5米至C， 请同学们:
A C
猜一猜，底端也将滑动0.5米吗？ 算一算，底端滑动的距离近似值 是多少? （结果保留两位小数）
（1）如图，池塘边有两点A、B，点C是与BA方 向成直角的AC方向上的一点，测得CB= 60m，
AC= 20m ，你能求出A、B两点间的距离吗？
（结果保留整数）
例1：一个2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙 AC上，这时AC的距离为2.4m．如果梯子顶端A 沿墙下滑0.4m，那么梯子底端B也外移0。4m A 吗？
O
B
D
例2：如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两庄， DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km,CB=10km， 现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D 两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？
解：设AE= x km， 则 BE=（25-x）km
D
C
10
解：在Rt△ABC中， ∵∠ACB=90° ∴ AC2+ BC2＝AB2 2.42+ BC2＝2.52
C B
D
E
∴BC＝0.7m 由题意得：DE＝AB＝2.5m
DC＝AC－AD＝2.4－0.4＝2m
在Rt△DCE中， ∵∠DCE=90° ∴ DC2+ CE2＝DE2 22+ BC2＝2.52 ∴CE＝1.5m
C
S3
A
S2
B
S1 S2 S3
答；梯子底端B不是外移0.4m
练习:如图，一个3米长的梯子AB，斜着靠在 竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米．
①求梯子的底端B距墙角O多少米？ ②如果梯子的顶端A沿墙角下滑0.5米至C， 请同学们:
A C
猜一猜，底端也将滑动0.5米吗？ 算一算，底端滑动的距离近似值 是多少? （结果保留两位小数）
（1）如图，池塘边有两点A、B，点C是与BA方 向成直角的AC方向上的一点，测得CB= 60m，
AC= 20m ，你能求出A、B两点间的距离吗？
（结果保留整数）
例1：一个2.5m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙 AC上，这时AC的距离为2.4m．如果梯子顶端A 沿墙下滑0.4m，那么梯子底端B也外移0。4m A 吗？
O
B
D
例2：如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两庄， DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km,CB=10km， 现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D 两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？
解：设AE= x km， 则 BE=（25-x）km
D
C
10
解：在Rt△ABC中， ∵∠ACB=90° ∴ AC2+ BC2＝AB2 2.42+ BC2＝2.52
C B
D
E
∴BC＝0.7m 由题意得：DE＝AB＝2.5m
DC＝AC－AD＝2.4－0.4＝2m
在Rt△DCE中， ∵∠DCE=90° ∴ DC2+ CE2＝DE2 22+ BC2＝2.52 ∴CE＝1.5m
C
S3
A
S2
B
S1 S2 S3
1勾股定理(第2课时)教学PPT课件(华师大版)
C. a 1， 2a，a 1
D. a 1， 2a，a 1
当堂检测
5.若三角形ABC的三a,b,c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c. 试判断
△ABC的形状.
解：∵ a2+b2+c2+50=6a+8b+10c ∴ a2－6a+9+b2－8b+16+c2－10c+25=0. 即 (a－3)²+ (b－4)²+ (c－5)²=0. ∴ a=3, b=4, c=5 即 a2+b2+c2.
“直角三角形”为条件，数量关系a2+ b2= c2 数量关系a2+ b2= c2为条件，“直角三角形”
为结论. 是直角三角形的性质.
为结论. 是直角三角形的判定.
联系
都与直角三角形有关，都与三边数量关系a2 + b2 = c2有关
讲授新课
典例精析
【例1】下面以a、b、c为边长的三角形是不是直角三角形？若是，请指
∴△ABC直角三角形.
当堂检测
6.一艘在海上朝正北方向航行的轮船，在航行240海里时方位仪坏了，凭经
验，船长指挥船左传90°，继续航行70海里，则距出发地250海里，你能判
断船转弯后，是否沿正西方向航行？
解:由题意画出相应的图形AB=240海里,BC=70海里,AC=250 海里; 在△ABC中AC2-AB2=2502-2402 =4900=702 =BC2 即AB2+BC2=AC2 ∴△ABC是Rt△ 答:船转弯后,是沿正西方向航行的。
解：因为a2=c2-b2，所以a2+b2=c2，所以这个三角形是直角三角形.
探索勾股定理ppt课件
星人联系的信号.
欣赏下面一幅美丽的图案，仔细观察，你能发现这 幅图中的奥秘吗？带着疑问我们来一步认识
做一做 观察正方形瓷砖铺成的地面. （1）正方形P的面积是 1 平方厘米； （2）正方形Q的面积是 1 平方厘米；
AR P
CQ B
（3）正方形R的面积是 2 平方厘米.
左图 4
9
13
右图 16
9
25
分析表中数据，你发现了什么？
A的面积
左图
4
右图 16
B的面积 9 9
C的面积 13 25
结论 以直角三角形两直角边为边长的小 正方形的面积的和，等于以斜边为边长 的正方形的面积.
总结归纳
勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的 平方．
几何语言 ∵在Rt△ABC中 ，∠C=90°， ∴.AC2+BC2=AB2 （勾股定理）
五、分层作业 课后思考
基础训练：1、小明的妈妈买了一部29in的电 视机。小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只 有58cm长和46cm宽，他觉得一定是销售员搞错 了。你同意他的想法吗？你能解释这是为什么 吗？
2、求下列图中未知数x,y的值
提高训练：1.今有池方一丈，葭生其中央，出水一 尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？译： 有一个一丈大小的池子，中央长有芦苇，高出水面 一尺长.把芦苇拽向岸边，刚好与到岸.请问水有多 深，芦苇有多高？
小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角 三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“ 那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说道 ：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无 法解释了，心理很不是滋味。于是伽菲尔德不再散步，立即回 家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演 算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。 1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了 他对勾股定理的这一证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十 任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、 明了的证明，就把这一证法称为“总统。”证法。
欣赏下面一幅美丽的图案，仔细观察，你能发现这 幅图中的奥秘吗？带着疑问我们来一步认识
做一做 观察正方形瓷砖铺成的地面. （1）正方形P的面积是 1 平方厘米； （2）正方形Q的面积是 1 平方厘米；
AR P
CQ B
（3）正方形R的面积是 2 平方厘米.
左图 4
9
13
右图 16
9
25
分析表中数据，你发现了什么？
A的面积
左图
4
右图 16
B的面积 9 9
C的面积 13 25
结论 以直角三角形两直角边为边长的小 正方形的面积的和，等于以斜边为边长 的正方形的面积.
总结归纳
勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的 平方．
几何语言 ∵在Rt△ABC中 ，∠C=90°， ∴.AC2+BC2=AB2 （勾股定理）
五、分层作业 课后思考
基础训练：1、小明的妈妈买了一部29in的电 视机。小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只 有58cm长和46cm宽，他觉得一定是销售员搞错 了。你同意他的想法吗？你能解释这是为什么 吗？
2、求下列图中未知数x,y的值
提高训练：1.今有池方一丈，葭生其中央，出水一 尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？译： 有一个一丈大小的池子，中央长有芦苇，高出水面 一尺长.把芦苇拽向岸边，刚好与到岸.请问水有多 深，芦苇有多高？
小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角 三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“ 那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说道 ：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无 法解释了，心理很不是滋味。于是伽菲尔德不再散步，立即回 家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演 算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。 1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了 他对勾股定理的这一证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十 任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、 明了的证明，就把这一证法称为“总统。”证法。
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A C
O
B
D
生 活 中 勾 股 定 理 的 应 用
拓展练习
3.如图，受台风麦莎影响，一棵高18m 的大树断裂，树的顶部落在离树根底部6 米处，这棵树折断后有多高？
6米
通过本节课的学习
布置作业 y=0
（1） 习题1.2 1 ，2，3题。
（2） 上网或查阅有关书籍，搜集至少1种勾股定理的 其它证法，至少1个勾股定理的应用问题，一周后进行 展评。
国际调查组报告
勾股定理与第一次数学危机
• 约 公 元 前 500 年 ， 毕 达 哥 拉 斯 学 派 的 弟 子 希 帕 索 斯 (Hippasus)发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线的长度 是不可公度的.按照毕达哥拉斯定理(勾股定理)，若正方形边长是 1，则对角线的长不是一个有理数，它不能表示成两个整数之比， 这一事实不但与毕氏学派的哲学信念大相径庭，而且建立在任何 线段都可公度基础上的几何学面临被推翻的威胁，第一次数学危 机由此爆发。据说，毕达哥拉斯学派对希帕索斯的发现十分惶恐、 恼怒，为了保守秘密，最后将希帕索斯投入大海。 不能表示成两个整数之比的数，15世纪意大利著名画家达. 芬奇称之为“无理的数”，无理数的英文“irrational”原义就是 “不可比”。第一次数学危机一直持续到19世纪实数的基础建立 以后才圆满解决。我们将在下一章学习有关实数的知识 。
美国总统证法：
D c a
C
c b a B
b
A
生 活 中 勾 股 定 理 的 应 用
例题： 飞机在空中水平飞行，某一时刻 刚好飞到一个男孩子头顶上方4000米处， 过了20秒，飞机距离这个男孩子头顶5000 米，飞机每小时飞行多少千米？
20秒后
C
4Km
B
A
生 活 中 勾 股 定 理 的 应 用
拓展练习
于是这位中年人不再散步，立即回家， 潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过 反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的 道理，并给出了简洁的证明方法。 1876年4月1日，他在《新英格兰教育日 志》上发表了他对勾股定理的这一证法。 1881年，这位中年人—伽菲尔德就任美 国第二十任总统。后来，人们为了纪念他 对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证 明，就把这一证法称为“总统”证法。
1. 如图是某沿江地区交通平面图，为 了加快经济发展，该地区拟修建一条连 接 M,O,Q 三城市的沿江高速，已知沿江 高速的建设成本是 100 万元 / 千米，该沿 江高速的造价预计是多少？
M
30Km
N
40Km
O
50Km
P
120Km
Q
生 活 中 勾 股 定 理 的 应 用
拓展练习
2. 如图，一个 25m 长的梯子 AB ，斜靠 在一竖直的墙 AO 上，这时的 AO 距离为 24m ，如果梯子的顶端 A 沿墙下滑 4m ， 那么梯子底端B也外移4m吗？
验证方法一
b a
a
c c c
c
b
1 c ab 4 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ (a b) 2 2
2
∴ a² +b ² =c²
a
b a
图1 b
方法小结：我们利用拼图的方法，将形的 问题与数的问题结合起来，再进行整式运算， 从理论上验证了勾股定理.
你还能用图2进行验证吗？
验证方法二
c
1 ab 4 (b a) 2 c 2 2
∴ a² +b² =c²
图2
追溯历史
国内调查组报告
用图 2 验证勾股定理的方法，据 载最早是 三国时期数学家赵爽在为 《周髀算经》作注时给出的，我国 历史上将图 2 弦上的正方形称为弦 图。 2002 年 的 数 学 家 大 会 （ ICM2002 ）在北京召开，这届大会会标 的中央图案正是经过艺术处理的弦 图，这既标志着中国古代的数学成 就 ，又像一只转动的风车，欢迎来 自世界各地的数学家们！
(第2课时)
成都石室联合中学 李朋
1. 上 节 课 我 们 已 经 通 过 探 索 得 到 了 勾
股定理，请问勾股定理的内容是什么？
2.如何验证勾股定理呢 ？
据不完全统计，验证的方法有400 多种，你想得到自己的方法吗？
小组活动：请你利用自己准备的四
个全等的直角三角形拼出以斜边为边长 的正方形.
1 1
？
•
趣闻调查组报告
勾股定理的
在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华 盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄 昏的美景……他走着走着，突然发现附近的一 个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论 着什么，时而大声争论，时而小声探讨．由于 好奇心驱使他循声向两个小孩走去，想搞清楚 两个小孩到底在干什么．只见一个小男孩正俯 着身子用树枝在地上画着一个直角三角形……
有不同的拼法吗？
拼图展示
图1
图2
b
a
a
1.如图，你能表示大正方形的面 积吗？能用两种方法表示吗？
c c c
c
b
（1） (a b)
2
2
1 （2） c 4 ab a 图1 b 2 1 2 2 2. (a b) 与 c 4 ab有什么关系？为什么？ 2
你能验证勾股定理了吗？
b
a
O
B
D
生 活 中 勾 股 定 理 的 应 用
拓展练习
3.如图，受台风麦莎影响，一棵高18m 的大树断裂，树的顶部落在离树根底部6 米处，这棵树折断后有多高？
6米
通过本节课的学习
布置作业 y=0
（1） 习题1.2 1 ，2，3题。
（2） 上网或查阅有关书籍，搜集至少1种勾股定理的 其它证法，至少1个勾股定理的应用问题，一周后进行 展评。
国际调查组报告
勾股定理与第一次数学危机
• 约 公 元 前 500 年 ， 毕 达 哥 拉 斯 学 派 的 弟 子 希 帕 索 斯 (Hippasus)发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线的长度 是不可公度的.按照毕达哥拉斯定理(勾股定理)，若正方形边长是 1，则对角线的长不是一个有理数，它不能表示成两个整数之比， 这一事实不但与毕氏学派的哲学信念大相径庭，而且建立在任何 线段都可公度基础上的几何学面临被推翻的威胁，第一次数学危 机由此爆发。据说，毕达哥拉斯学派对希帕索斯的发现十分惶恐、 恼怒，为了保守秘密，最后将希帕索斯投入大海。 不能表示成两个整数之比的数，15世纪意大利著名画家达. 芬奇称之为“无理的数”，无理数的英文“irrational”原义就是 “不可比”。第一次数学危机一直持续到19世纪实数的基础建立 以后才圆满解决。我们将在下一章学习有关实数的知识 。
美国总统证法：
D c a
C
c b a B
b
A
生 活 中 勾 股 定 理 的 应 用
例题： 飞机在空中水平飞行，某一时刻 刚好飞到一个男孩子头顶上方4000米处， 过了20秒，飞机距离这个男孩子头顶5000 米，飞机每小时飞行多少千米？
20秒后
C
4Km
B
A
生 活 中 勾 股 定 理 的 应 用
拓展练习
于是这位中年人不再散步，立即回家， 潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过 反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的 道理，并给出了简洁的证明方法。 1876年4月1日，他在《新英格兰教育日 志》上发表了他对勾股定理的这一证法。 1881年，这位中年人—伽菲尔德就任美 国第二十任总统。后来，人们为了纪念他 对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证 明，就把这一证法称为“总统”证法。
1. 如图是某沿江地区交通平面图，为 了加快经济发展，该地区拟修建一条连 接 M,O,Q 三城市的沿江高速，已知沿江 高速的建设成本是 100 万元 / 千米，该沿 江高速的造价预计是多少？
M
30Km
N
40Km
O
50Km
P
120Km
Q
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2. 如图，一个 25m 长的梯子 AB ，斜靠 在一竖直的墙 AO 上，这时的 AO 距离为 24m ，如果梯子的顶端 A 沿墙下滑 4m ， 那么梯子底端B也外移4m吗？
验证方法一
b a
a
c c c
c
b
1 c ab 4 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ (a b) 2 2
2
∴ a² +b ² =c²
a
b a
图1 b
方法小结：我们利用拼图的方法，将形的 问题与数的问题结合起来，再进行整式运算， 从理论上验证了勾股定理.
你还能用图2进行验证吗？
验证方法二
c
1 ab 4 (b a) 2 c 2 2
∴ a² +b² =c²
图2
追溯历史
国内调查组报告
用图 2 验证勾股定理的方法，据 载最早是 三国时期数学家赵爽在为 《周髀算经》作注时给出的，我国 历史上将图 2 弦上的正方形称为弦 图。 2002 年 的 数 学 家 大 会 （ ICM2002 ）在北京召开，这届大会会标 的中央图案正是经过艺术处理的弦 图，这既标志着中国古代的数学成 就 ，又像一只转动的风车，欢迎来 自世界各地的数学家们！
(第2课时)
成都石室联合中学 李朋
1. 上 节 课 我 们 已 经 通 过 探 索 得 到 了 勾
股定理，请问勾股定理的内容是什么？
2.如何验证勾股定理呢 ？
据不完全统计，验证的方法有400 多种，你想得到自己的方法吗？
小组活动：请你利用自己准备的四
个全等的直角三角形拼出以斜边为边长 的正方形.
1 1
？
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趣闻调查组报告
勾股定理的
在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华 盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄 昏的美景……他走着走着，突然发现附近的一 个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论 着什么，时而大声争论，时而小声探讨．由于 好奇心驱使他循声向两个小孩走去，想搞清楚 两个小孩到底在干什么．只见一个小男孩正俯 着身子用树枝在地上画着一个直角三角形……
有不同的拼法吗？
拼图展示
图1
图2
b
a
a
1.如图，你能表示大正方形的面 积吗？能用两种方法表示吗？
c c c
c
b
（1） (a b)
2
2
1 （2） c 4 ab a 图1 b 2 1 2 2 2. (a b) 与 c 4 ab有什么关系？为什么？ 2
你能验证勾股定理了吗？
b
a