《电磁场与电磁波》复习纲要(含答案)

S
第二类边值问题（纽曼问题） 已知场域边界面上的位函数的法向导数值，即 第三类边值问题（混合边值问题） 知位函数的法向导数值，即
|S f 2 ( S ) n
已知场域一部分边界面上的位函数值，而其余边界面上则已
|S1 f1 ( S1 )、 | f (S ) S 2 2 n 2
线处有无限长的线电流 I，圆柱外是空气（µ0 ），试求圆柱内 外的 B 、 H 和 M 的分布。 解：应用安培环路定理，得 H C dl 2 H I I H e 0 磁场强度 2π I e 0 a 2 π 磁感应强度 B I e 0 a 2 π 0 I B e 2π M H 磁化强度 0 0 0

C
F dl F dS
S
5、无旋场和无散场概念。 旋度表示场中各点的场量与旋涡源的关系。 矢量场所在空间里的场量的旋度处处等于零，称该场为无旋场（或保守场） 散度表示场中各点的场量与通量源的关系。 矢量场所在空间里的场量的散度处处等于零，称该场为无散场（或管形场） 。 6、理解格林定理和亥姆霍兹定理的物理意义 格林定理反映了两种标量场 （区域 V 中的场与边界 S 上的场之间的关系） 之间满足的关系。 因此，如果已知其中一种场的分布，即可利用格林定理求解另一种场的分布 在无界空间，矢量场由其散度及旋度唯一确定 在有界空间，矢量场由其散度、旋度及其边界条件唯一确定。 第二章 电磁现象的普遍规律 1、 电流连续性方程的微分形式。
D H J t B E t B 0 D
D ) dS C H dl S ( J t B E dl dS S t C SB dS 0 D dS ρdV V S
第一章 矢量分析 1、方向导数和梯度的概念； 方向导数和梯度的关系； 直角坐标系中方向导数和梯度的表达式。 梯度是一个矢量。标量场 u 在某点梯度的模等于该点的最大方向 导数，方向为该点具有最大方向导数的方向。记为 gradu 方向导数：标量场 u 自某点沿某一方向上的变化率 标量场 u 在给定点沿某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。
4、场论的两个重要定理：高斯散度定理和斯托克斯定理。 散度定理（高斯定理）
矢量场在空间任意闭合曲面S的通量等于该闭合曲面S所包含体积V中 矢量场的散度的体积分，即

斯托克斯定理
S
F dS
FdV
V
矢量场 F 沿任意闭合曲线的环流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即
对于体分布电流，则有
Wm
1 J AdV 2 V
磁场能量密度：
1 wm B H 2
7、静态场的边值问题；边值问题的类型；唯一性定理的表述。
第三章 静态电磁场及其边值问题
3.4.1
边值问题的类型
V
第一类边值问题（狄里赫利问题） 已知场域边界面上的位函数值，即
|S f1 ( S )
J t
2、 磁通连续性原理的微分形式、积分形式。

S
B(r ) dS 0
磁通连续性原理（积分形式）
B(r ) 0
恒定磁场的散度（微分形式）
3、 介质中高斯定理的微分形式和积分形式。用高斯定理求场强方法与实例。 其积分形式为
D dS dV
1、电位梯度和电场强度的关系。
E
2、求导体的电容的方法与实例。
第三章 静态电磁场及其边值问题
例3.1.5 同轴线内导体半径为a ，外导体半径为b ，内外导体 间填充的介电常数为 的均匀介质，求同轴线单位长度的电容。 解 设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为 l 和 l ， 应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为
en (D1 D2 ) 0 en (B1 B2 ) 0 e ( E n 1 E2 ) 0 e ( H H n 1 2) 0
第三章 静态电磁场及其边值问题
en D S en B 0 en E 0 en H J S
以上各个场矢量都应满足麦克斯韦方程，将以上得到的 H 和 D
ex H x Hx D Dx ex t t
ex Em sin(t kz )
由
D H t
k 2 2
9、 电磁场的边界条件。 1.两种理想介质分界面上的边界条件 理想导体表面上的边界条件
惟一性定理的表述 在场域 V 的边界面 S 上给定 一值。
或
第三章 静态电磁场及其边值问题
3.1.4
静电场的能量
We 1 q 2
1. 静电场的能量
电量为 q 的带电体具有的电场能量We
对于电荷体密度为ρ的体分布电荷，体积元dV中的电荷ρdV 具有的电场能量为
dWe
1 dV 2 We 1 dV 2 V 1 We SdS 2 S 1 We ldl 2 c
计算公式：
梯度的表达式： 直角坐标系
u u u u e x ey ez x y z
F Fy Fz F x x y z
2、通量的表达式；散度的计算式。
F dS F en dS
S S
3、旋度的计算式；旋度的两个重要性质。 性质 1：旋度的散度恒等于 0 性质 2：标量的梯度的旋度恒等于 0
r
0
a
r
E
r E 0 er （r < a） 3 0
a
r
4、 磁介质中的安培环路定律的积分形式微分形式。用安培环路定律计算磁感应强度。
H dl J dS I
C S
H J
第二章 电磁场的基本规律
例4
有一磁导率为 µ ，半径为a 的无限长导磁圆柱，其轴


kEm B ey cos(t kz )

第二章 电磁场的基本规律
B = H
kEm H ey cos(t kz )

D E
代入式
D ex Em cos(t kz)
ey y Hy ez H y k 2 Em ex ex sin(t kz ) z z Hz
E ( ) e
内外导体间的电位差
l 2π

b
b U E ( ) e d l a 2π

1
a
d
b
a
l ln(b / a) 2π

同轴线
故得同轴线单位长度的电容为 C1
l
U

2π ln(b / a)
(F/m)
3、静电场的能量分布与计算公式，和能量密度的表达式。
5、 媒质的本构关系。 各向同性线性媒质的本构关系为(电磁场的辅助方程)



a
a
D E B H
J E
6、 感应电场的特点（有旋无源场） 。 感应电场是有旋场，变化的磁场是电场的旋度源，因此，产生电场的源有两种：电荷（散度 源）和时变磁场（旋度源） 。 7、 位移电流密度的求解。
故体分布电荷的电场能量为 对于面分布电荷，电场能量为 对于线分布电荷，电场能量为
•
1 电场能量密度：we D E 2
4、恒定电场的概念。静电比拟法的应用。 由 J＝E 可知，导体中若存在恒定电流，则必有维持该电流的电场，虽然导体中产生电场 的电荷作定向运动，但导体中的电荷分布是一种不随时间变化的恒定分布，这种恒定分布电 荷产生的电场称为恒定电场。 如果两种场，在一定条件下，场方程有相同的形式，边界形状相同，边界条件等效，则其解 也必有相同的形式，求解这两种场分布必然是同一个数学问题。只需求出一种场的解，就可 以用对应的物理量作替换而得到另一种场的解。这种求解场的方法称为比拟法。 5、矢量磁位和磁感应强度的关系式。 D Jd t第二章 电磁场的基本规律
例 1
海水的电导率为4S/m，相对介电常数为81，求频率为
1MHz时，位移电流振幅与传导电流振幅的比值。 解：设电场随时间作正弦变化，表示为
E ex Em cos t
则位移电流密度为 其振幅值为
J dm
D Jd ex 0 r Em sin(t ) t 0 r Em 4.5 103 Em
传导电流的振幅值为 故
J cm Em 4 Em
J dm 1.125 103 J cm
8、 麦克斯韦方程组的积分形式、微分形式；这些方程的物理意义。利用麦克斯韦方程组进 行计算。 麦克斯韦方程组的微分形式与麦克斯韦方程组的积分形式 麦克斯韦第一方程，表明传导电流和变化的电场都能产生磁场 麦克斯韦第二方程，表明变化的磁场产生电场 麦克斯韦第三方程表明磁场是无散场，磁感线总是闭合曲线 麦克斯韦第四方程，表明电荷产生电场
第二章 电磁场的基本规律
例 2
在无源 ( J 0、 0) 的电介质 ( 0) 中，若已知电场强
度矢量 E ex Em cos(t kz) V/m ，式中的E0为振幅、ω为角频率、


k为相位常数。试确定k与ω 之间所满足的关系，并求出与 E 相应
的其他场矢量。
解： E 是电磁场的场矢量，应满足麦克斯韦方程组。因此，利 用麦克斯韦方程组可以确定 k 与ω 之间所满足的关系，以及与 E 相应的其他场矢量。 B E (ex ey ez ) ex E x t x y z E ey x ey Em cos(t kz ) ey kEm sin(t kz ) z z 对时间 t 积分，得
S V
D
第二章 电磁场的基本规律
例2： 求真空中均匀带电球体的场强分布。已知球体半径为 a ，电 荷密度为 0 。 解：（1）球外某点的场强 q 1 4 3 E d S π a 0 S 0 0 3 0 a 3 E er ( r ≥ a ) 3 0 r 2 （2）求球体内一点的场强 1 E S dS 0 V 0dV 1 q 4 4 r 2 E π r3 3 0 4π a 3 3
B A
6、恒定磁场的能量分布与计算公式，能量密度的表达式。
第三章 静态电磁场及其边值问题
3.3.4 恒定磁场的能量 1. 磁场能量
电流为 I 的载流回路具有的磁场能量Wm
1 1 1 I I A dl LI 2 2 2 C 2 1 N 1 N 对于N 个载流回路，则有 Wm I j j I j A j dl j 2 j 1 2 j 1 C j Wm
Fz Fy Fx Fz Fy Fx F ex y z e y z x ez x y ex e y ez x y z Fx Fy Fz