2017年考研数学二试题

2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选

项是符合题目要求的.

（1

）若函数10(),0x f x ax

b x ⎧->⎪

=⎨⎪≤⎩

在x=0连续，则 (A)12ab =

(B)1

2

ab =- (C)0ab = (D)2ab = （2）设二阶可到函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1f f f =-==-且 ()0f x ''>，则 (A) 1

1()0f x dx ->⎰

(B) 1

2()0f x dx -<⎰

(C)

1

1

0()()f x dx f x dx ->⎰

⎰ (D)

1

1

1

0()()f x dx f x dx -<⎰

⎰

（3）设数列{}n x 收敛，则

(A)当limsin 0n n x →∞

=时，lim 0n n x →∞= (B)

当lim (0n n n x x →∞

+

= 时，则lim 0n n x →∞

=

(C)当2

lim()0n n n x x →∞

+=, lim 0n →∞

= (D)当lim(sin )0n n n x x →∞

+=时，lim 0n n x →∞

=

（4）微分方程248(1cos 2)x

y y y e x '''-+=+ 的特解可设为k

y =

(A)22(cos 2sin 2)x

x Ae e B x C x ++ (B)22(cos 2sin 2)x x Axe e B x C x ++ (C)22(cos 2sin 2)x

x Ae

xe B x C x ++ (D)22(cos 2sin 2)x x Axe xe B x C x ++

（5）设()f x 具有一阶偏导数，且在任意的(,)x y ，都有

(,)(,)

0,f x y f x y x y

∂∂>∂∂则 (A)(0,0)(1,1)f f > (B)(0,0)(1,1)f f < (C)(0,1)(1,0)f f > (D)(0,1)(1,0)f f < （6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位:m ）处,图中，实线表示甲的速度曲线()1v v t = （单位:m/s ）虚线表示乙的速度曲线()2v v t =，三块阴影部分面积的数值依

次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位:s ）,则

（7）设A 为三阶矩阵，123(,,)P ααα=为可逆矩阵，使得 1

000010002P AP -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

，则

1

2

3

(,,)

A ααα= (A)12αα+ (B)232αα+ (C)23αα+ (D)122αα+

（8）已知矩阵200021001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，210020001B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，100020000C ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

，则 (A) A 与C 相似，B 与C 相似 (B) A 与C 相似，B 与C 不相似

(C) A 与C 不相似，B 与C 相似 (D) A 与C 不相似，B 与C 不相似

二、填空题：9~14题，每小题4分，共24分.

（9）曲线(

)

2

1arcsin y x x =+的斜渐近线方程为

（10）设函数()y y x =由参数方程sin t x t e y t

⎧=+⎨=⎩确定，则

20

2t d y

dx =

（11）

()

2

ln(1)

1x dx x +∞

++⎰

=

（12）设函数(),f

x y 具有一阶连续偏导数，且

()()(),1,0,00y y df x y ye dx x y e dy f =++=，则(),f x y =

（13）

1

1

tan y

x

dy dx x

=⎰

⎰

（14）设矩阵41212311A a ⎛⎫- ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭的一个特征向量为112⎛⎫

⎪

⎪ ⎪⎝⎭

，则a =

三、解答题：15~23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分10分）

求+

→0

lim x

t x dt

设函数(),f u v 具有2阶连续性偏导数，(

)

y ,x

f e cosx =,求

0dy

d x x

=,220

d y d x x

=

（17）（本题满分10分）

求21

lim ln 1n

n k k k n n →∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑

已知函数 由方程 确定，求 的极值 （19）（本题满分10分）

()f x 在[]0,1上具有2阶导数，0

()

(1)0,lim 0x f x f x

+

→><，证明 （1）方程()0f x =在区间(0,1)至少存在一个根

（2）方程[]2

()()()0f x f x f x '''++= 在区间(0,1)内至少存在两个不同的实根