高中竞赛数学中的不等式真题

(a 1) 2 a 1 2 a 1 2 0 ) a 11．解：原不等式可化为 (cosx ，∵ 1 cos x 1 ， a 0 ， 2 2 4
∴当 cos x 1 时，函数 y (cos x
a 1 2 (a 1) 2 a 1 2 a 1 2 ) 有最大值 (1 ) ，从而有 (1 ) a2 ，整理得 2 2 2 4
∴ g ( x) g ( x 5) g ( x 4) g ( x 2) g ( x 1) g ( x) 数，又 g (1) 1 ，故 g (2002 ) 1 ∴ g ( x 1) g ( x) ， 即 g ( x) 是周期为 1 的周期函
x 2 y 0 x 2 | y | 0 10．解： x 2 y 0 ，由对称性只考虑 y 0 ，因为 x 0 ，所以只须求 x y 的 2 2 x 4 y 4 ( x 2 y )( x 2 y ) 4
3 8． 1 , 2 , 2
9．解：由 g ( x) f ( x) 1 x ，得 f ( x) g ( x) x 1 ，所以 g ( x 5) ( x 5) 1 g ( x) ( x 1) 5
g ( x 1) ( x 1) 1 g ( x) ( x 1) 1 ，即 g ( x 5) g ( x) ， g ( x 1) g ( x)
f ( x 1) f ( x) 1
10．若 log 4 ( x 2 y) log 4 ( x 2 y) 1 ，则 | x | | y | 的最小值是 一试）
． （2000 年全国高中数学联赛
2 2 11．使不等式 sin x a cos x a 1 cos x 对一切 x R 恒成立的负数 a 的取值范围是
0 t 1 。即 0 log2 x 1 1, 2 x 4 。
2． 3, 故选 C。

5 1 5 1 2 2 ,3 . 提示： 原不等式可以化为: | x | 3 x | x | 1 0 2
a 2 a 2 0 ，∴ a 1 或 a 2 ，又 a 0 ，∴ a 2
12．13. 若对一切 x［0，1］ ，恒有 f(x)= x cos x(1 x) (1 x) sin 0 ，则 cosθ=f(1)>0,
2 2
sinθ=f(0)>0.
(1)
最小值．令 x y u 公代入 x 2 4 y 2 4 ，有 3 y 2 2uy (4 u 2 ) 0 ．这是一个关于 y 的二次方程显然有 实根，故 16(u 2 3) 0 ，∴ u 3 ，当 x
3 4 3 ，y 时， u 3 ．故 | x | | y | 的最小值为 3 3 3
3 x 5, 证明不等式 2
2 x 1
2x 3 1 5 x3 2 （ 1 2003 9 . 年全国高中数学联赛(一试)
） （2001 年全国高中数
5．如果满足∠ABC=60° ，AC=12，BC=k 的△ ABC 恰有一个，那么 k 的取值范围是（ 学联赛） （A）k= 8 3 （B）0<k≤12 （C） k≥12（D） 0<k≤12 或 k= 8 3
1 3 2 的解集为 log 1 x 2
2
． （2001 年全国高中数学联赛）
8．函数 y x
x 2 3x 2 的值域为
（2001 年全国高中数学联赛）
9．已知 f ( x) 是定义在 R 上的函数， f (1) 1 且对任意 x R 都有 f ( x 5) f ( x) 5 若 g ( x) f ( x) 1 x ，则 g (2002 ) ． （2000 年全国高中数学联赛一试）
取 x (0 ， 1) ， 由 于
f x 2x1 x sin cos x1 x ， 所 以 ， f x 0 恒 成 立 ， 当 且 仅 当
2 sin cos 1 0
又由（2）得 sin2θ>
(2 ) 先在［0,2π］中解(1)与(2)：由 cosθ>0,sinθ>0，可得 0<θ< 注意到 0<2θ<π，故有
2 2
是
。 （2005 年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛）
2 18．3.设 a b 0 , 那么 a
1 的最小值是（ ） （2005 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛） b( a b)
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
答案
3 3 1 3 2 1 t t 0 log 2 x 1 log 2 x 0 1．解：原不等式等价于 ，设 log 2 x 1 t , 则有 2 解 得 2 2 2 2 t 0 log 2 x 1 0
1)时 ， f(x)≥ 2 cosθ >0,sinθ >0， 可 得 0<θ < sin2θ > ,注 意 到 2kπ +
0<2θ <π ， 故 有 <θ <2kπ +
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.因 此 ， 原 题 中 θ 的
取值范围是
13．解：设 sin cos x ，则 cos(

4
)
2 x, sin 2 x 2 1, x 1, 2 ,从而原不等式可化为： 2
范围。 （首届中国东南地区数学奥林匹克） 15．若 0 a b ，且 a b 1 ，则下列各式中最大的是（ C ） （2004 四年全国高中数学竞赛（天津初赛） ）
1
（A） 1 （C） log2 b
（B） log2 a log2 b 1 （D） log2 (a 3 a 2 b ab2 b 3 )
(2a 3) x
6 6 2 2 2( x 2 1) 3a 6 ,即 2 x 2 2ax 3x 3a 4 0, 2 x( x a) 3( x a) 0 ， x x x x
2 (2 x 3) x a 0 x
5 5 <2θ< , 所以， <θ< . 6 12 6 12 5 因此，原题中 θ 的取值范围是 2kπ+ <θ<2kπ+ ,kZ.或解：若 对 一 切 x ∈ ［ 0 ， 1 ］ ，恒有 12 12
1 2
3
. 2
f(x)=x cosθ -x(1-x)+(1-x) sinθ >0， 则 cosθ =f(1)>0,sinθ =f(0)>0.
2
2
(1)
取 x0= +2 + >0
∈ ( 0 ， 1 ) ，则 x(1-x)， 所 以 ， 0<f(x0)=2 (2)
．由 于 x0(1-x0) ． 故 -
反之， 当 (1)， (2)成 立 时 ， f(0)=sinθ >0， f(1)=cosθ >0， 且 x∈ (0， x(1-x)>0． 先 在 ［ 0,2π ］ 中 解 (1)与 (2)： 由 .又 + <2θ < ,k∈ Z >0, ,所 以 ， <θ < > , sin2θ > ,
．
（2000 年全国高中数学联赛一试） 12．已知当 x[0,1]时，不等式 x cos x(1 x) (1 x) sin 0 恒成立，试求的取值范围． （1999 年全国高中
2 2
数学竞赛） 13．已知不等式 2(2a 3) cos(

4
)
6 2sin 2 3a 6 对于 0, 恒成立，求 a 的取值 sin cos 2
3. 已知
2 A x x 4 x3 0 , x RB , x 21 x a 0, x 2 2 a 7 x 5 0, x R . 若 A B ，则实




数 a 的取值范围是_____________.（2003 年全国高中数学联赛(一试) 4． 设
14．已知不等式 m2＋(cos2θ－5)m＋4sin2θ≥0 恒成立，则实数 m 的取值范围是（A） （2004 年全国高中数学联赛四 川省初赛） A.0≤m≤4 B.1≤m≤4 C.m≥4 或 x≤0 D.m≥1 或 m≤0
15．不等式|x2－2|≤2x＋1 的解集为__________________.{x| 2－1≤x≤3}（2004 年全国高中数学联赛四川省初赛） 3(3＋ 3) 1 1 1 16．若 0＜a、b、c＜1 满足条件 ab＋bc＋ca＝1，则 ＋ ＋ 的最小值是____. （2004 年全国高 2 1－a 1－b 1－c 中数学联赛四川省初赛） 17 ．设命题 P: c c 和命题 Q: 对任何 x R ， x 4cx 1 0 有且仅有一个成立，则实数 c 的取值范围
6．已知 6 枝玫瑰与 3 枝康乃馨的价格之和大于 24 元，而 4 枝玫瑰与 5 枝康乃馨的价格之和小于 22 元，则 2 枝 玫瑰的价格和 3 枝康乃馨的价格比较结果是（ ） （2001 年全国高中数学联赛） （A）2 枝玫瑰价格高 （B）3 枝康乃馨价格高 （C）价格相同 （D）不确定．
7. 不等式


1 x 2 3． 4 a 1 。提示： A 1 , 3 ,令 f x 2 a , g x x 2a 7x 5 ,则只需 f x , g x 在（1，
f 1 0 f 3 0 3）上的图象均在 x 轴的下方，其充要条件是 ,由此推出 4 a 1 ; g 1 0 g 3 0
4．证明：由 (a b c d ) a b c d 2ab bc cd da ac bd 可得
2 2 2 2 2
a b c d 2 a 2 b 2 c 2 d 2 , 当且仅当 a=b=c=d 时取等号
则 2 x 1 2x 3 15 3x 2
高中竞赛数学中的不等式真题
1、不等式 log2 x 1 A．[2，3]
3
1 log 1 x 3 2 >0 的解集是 ( 2 2
C。[2，4]
)（2011 全国高中数学竞赛）
B。 （2，3）
D。 （2，4）
2 2．不等式 x 2 x 4 x 3 0 的解集是______________（2003 年全国高中数学联赛(一试)
不等式恒成立等价于 x
（1） x 1 , x 1, 2 (1) 原不等式等价于不等式
2 0） , x2 3 （1
2 2 a 0 x 1, 2 恒成立。从而只要 a ( x ) max ( x 1, 2 ) 。又容易知道 x x 2 上递减， ( x 2 ) max 3 ( x 1, 2 ) 。所以 a 3 。 f ( x) x 在 1, 2 x x 1 1 17. 解 命题 P 成立 可得 0 c 1 ；命题 Q 成立 可得 c 。因此，要使命题 P 和命题 Q 有且仅有 2 2
x 1 x 1 2x 3 15 3x
2 x 14 2 19
因 为
x 1 , 2x 3 ,
15 3x 不能同时相等，所以 2 x 1 2x 3 15 3x 2 19
2
5．D 6．A
2 7． 0,1 1, 2 7 4 ,