法向量求法及应用方法

平面法向量的求法及其应用

平面的法向量

1、定义：如果a ，那么向量a 叫做平面的法向量。平面的法向量共有两大类

(从方向上分) ，无数条。

2、平面法向量的求法

方法一(内积法): 在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量n (x,y,1)[或n (x,1,z) ，或n (1,y,z)] ，在平面内任找两个不共线的向量a,b。由n ，得n a 0且n b 0 ，由此得到关于x, y的方程组，解此方程组即可得到n。

方法二：任何一个x, y, z的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是x, y,z

的一次方程。Ax By Cz D 0 (A,B,C不同时为 0) ，称为平面的一般方程。其法向量n (A, B,C) ;若平面与 3个坐标轴的交点为

P1(a,0,0),P2(0,b,0),P3(0,0,c),如图所示 , 则平面方程为 : x y z 1, 称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它abc

的法向量。

设a (x1,y1,z1),b (x2,y2,z2),则: a b

ab

(注： 1、二阶行列式 : M ad cb ；

cd

例1、已知，a (2,1,0),b ( 1,2,1) ，试求( 1)：a b;(2)：b a.

Key: (1) a b (1, 2,5); (2)b a y1

y

2

2、适合右手定

则。

图 1-1

C1 z1

z

2

)D1

方法三 (外积法 ): 设, 为空间中两个不平行的非零向量，其外积a b为一长

度等于 |a||b |sin ，(θ 为, 两者交角，且0 )，而与, 皆垂直的向量。通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由的方向转为的方大拇指所指的方向规定为a b 的方向

向时，

例 2、如图 1-1, 在棱长为 2 的正方体ABCD A1B1C1D1中，

mn

m,n arccos （图 2-2）;

|m| |n|

mn

m,n arccos

（ 图 2-3）

|m| |n|

两个平面的法向量方向选取合适 , 可使法向量夹角就等于二面角的平面角。约定，在图 中， m 的方向对平面 而言向外， n 的方向对平面 而言向内；在图 2-3 中， m 的方向对

平面 而言向内， n 的方向对平面 而言向内。我们只要用两个向量的向量积（简称“外 积”，满足“右手定则” ）使得两个半平面的法向量一个向内一个向外，则这两个半平面的法 向量的夹角即为二面角 l 的平面角。

图 2-1-2:

n AB

n,AB arccos . 2 2

|n| |AB| n AB arccos 2

|n| |AB| 2

sin |cos n,AB |

n,AB

（2） 、求面面角 : 设向量 m ，n 分别是平面 、 的法向量， 则二面角 l 的平面角为：

2-2 图 2-1-

图 2-

2、求空间距离

1）、异面直线之间距离

方法指导 ：如图 2-4, ①作直线 a 、 b 的方向向量 a 、 b

， 求 a 、 b 的法向量 n

，即此异面直线 a 、 b 的公垂线的方向向量； ②在直线 a 、b 上各取一点 A 、B ，作向量 AB ； ③求向量 AB 在 n

上的射影 d ，则异面直线 a 、b 间的距离为

A

d

|AB n|

, 其中 n a,n b,A a,B b |n|

（ 2）、点到平面的距离 : 方法指导 ：如图 2-5, 若点 B 为平面α外一点，点 A 为平面α内任一点，平面的法向量为 n

，则点 P 到 平面α的距离公式为 d

| AB n|

|n|

（ 3）、直线与平面间的距离 : 方法指导 ：如图 2-6, 直线 a

与平面 之间的距离： AB n d |n|

，其中 A ,B a

。 n

是平面 的法向量 4）、平面与平面间的距离 :

方法指导 ：如图 2-7, 两平行平面 ,

之间的距离： d |AB n|，其中 A ,B 。 n

是平面 、 的法向量。

|n|

3、 证明 图 2-8

1）、证明线面垂直： 在图 2-8 中, m

向是平面 的法向量， 直线 a 的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量共线（ m a ）。 2）、证明线面平行：在图 2-9 中, m

向是平面 的法向量， 的方向向量，证明平面的法向量与直线所在向量垂直（ m a

0 ）。

3）、证明面面垂直：在图 2-10 中， m 是平面 的法向量， n

是平面 a 是 的法向量，证明两平面的法向量垂直（ m n

） a 是直

线

（ 4）、证明面面平行：

在图 2-11 中, m 向是平面 的法向量， n 是平面 的法向量，

证明

两平面的法向量共线（

m n ）。

三、高考真题新解

1、（ 2005全国 I ， 18）（本大题满分 12 分） 已知如图 3-1, 四棱锥 P-ABCD 的底面为直角梯形， AB ∥DC ，

1

DAB 90 ,PA 底面 ABCD ，且 PA=AD=DC= AB=1，M 是

2

PB 的中点

（Ⅰ）证明：面 PAD ⊥面 PCD ； （Ⅱ）求 AC 与 PB 所成的角；

（Ⅲ）求面 AMC 与面 BMC 所成二面角的大小 解:以A 点为原点 ,以分别以 AD ， AB ，AP 为x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系 A-xyz 如图所示

m n 0， m n ，即平面 PAD 平面 PCD 。

(II ). AC (1,1,0) ， PB (0,2, 1)， AC,PB arccos

| AC| |PB|

(III ). CM ( 1,0,1

)，CA ( 1, 1,0) ，设平在 AMC 的法向量为 CA (1

2,

1

2,1).

11 又 CB ( 1,1,0),设平面 PCD 的法向量为 n CM CB ( 21, 1

2, 1).

mn

m,n arccos

|m| |n|

22 arccos( ). [或

arccos ]

33

2、（2006 年云南省第一次统测 19 题） （ 本题满分 12分）

如图 3-2 ，在长方体 ABCD － A 1B 1C 1D 1中， 已知 AB ＝AA 1＝ a ， B C ＝ 2a ，M 是 AD 的中点。

（ Ⅰ ） 求证： AD ∥平面 A 1BC ；

(I). AP (0,0,1)， AD (1,0,0) ，设平面 PAD 的法向量为 m AP AD (0, 1,0) 又 DC （0,1,0） ， DP （ 1,0,1） ，设平面 PCD 的法向量为

n DC DP

(1,0,1)

AC PB

10

arccos

5

m CM arccos( 2

).

图 3-1 C

图