平面法向量的求法

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(1)方程法 第一步(设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z). 第二步(列):根据n· = 0且n· = 0可列出方程组 a b
x1 x y1 y z1 z 0 x2 x y2 y z2 z 0 第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y. 第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特殊越好), 便得到平面法向量n的坐标.
1 1 1 n 则面ABC 的一个法向量为 ( a , b , c .)
[应用训练]
1:（2010浙江理数）如图,在矩形ABCD中,点
2 E,F分别在线段AB,AD上， EB AF FD 4 AE 3 ' '
（Ⅰ）求二面角A’-FD-C的余弦值；
沿直线EF将 AEF 翻成 A EF ,使平面 A EF 平面BEF .
又 面A' EF 面AEF 于EF , A' H 面ABCD , A' (2,2,2 2 ), FA' (2,2,2 2 ), FD (6,0,0), DC (0,8,0)
设n ( x , y , z )为面A' FD的法向量，则
n (0, 1) n A' F n (0, 2 ,1) 0 令z 1， n FD 0
(3)矢量积公式法：
已 知 平 面 的 两 个 非 零 不 共 向 ( x1, y1, z1 ), b ( x2 , y2 , z2 ), a 量
则面 的一个法向量n ( y1z2 y2 z1 , z1 x2 z2 x1 , x1 y2 x2 y1 ),
数学专题二
平面法向量的求法
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练习：已知平面的两个向量为 a=(1,3,4),b=(2,5,9),
求此平面的一个法向量. 解：设m=(x,y,z)为平面的法向量，则有
a m 0 x 3 y 4 z 0 x 7 z , 即 , 解得： b m 0 2 x 5 y 9 z 0 y z . 令z 1, m (7,1,1)
mn mn
m (0,0,1)为面FDC的法向量，
则 cos m, n
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3 3 , 设 二 面 角 的 大 小 为, 则 cos . 3 3
如图，已知正三棱柱ABC A1B1C1 的棱长均为4， E是BC 的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与 点C重合。设二面角C AF E的大小为， 求 tan 的最小值。 .
解 :以A为坐标原点，以 , AB所在直线分别为 y轴，建系如图： AD x, 2 AE EB AF FD 4 A(0,0,0), F (4,0,0), D(10,0,0), C (10,8,0) 3 取EF 中 点H， 连 接 ' H， AE AF A' H EF , A
(2)含0速算法
例2、 )已知平面的两个向量a (1,3,0), b (0,2,7), (1
则平面的一个法向量为 .
(2)已知平面的两个向量 a (1,3,0), b (3,2,7), 则平面的一个法向量为 .
【探究】
已知A(a,0,0), B(0, b,0), C (0,0, c),