高等数学定积分重点难点复习大纲例题讲解

第五章定积分

一、基本要求：

1.理解定积分的概念、几何意义、物理意义及定积分的性质.

2.理解积分上限的函数，并掌握其求导法则.

3.掌握牛顿——莱布尼兹公式.

4.掌握定积分的换元法和分布积分法.

5.理解反常积分(广义积分)的概念，会计算反常积分，了解反常

积分的审敛法.

6.了解定积分的近似计算方法.

二、主要内容

Ⅰ.定积分概念：

1. 定积分定义：设()f x 在区间[,]a b 上有界，在[,]a b 中任意插入若干个分点0121n n a x x x x x b -=<<<

<<=.把[,]a b 分成n 个小区间

1[,],(1,2,

,)i i x x i n -=，小区间的长度记为1,(1,2,

,)i i i x x x i n -∆=-=，

在1[,]i i x x -上任意取一点i ξ，作1

()n

i i i f x ξ=∆∑，若0

1

lim ()n

i i i f x λξ→=⋅∆∑ 1(max{})i i n

x λ≤≤=∆存在. 就称该极限为()f x 在[,]a b 上的定积分.记为

1

()lim ()n

b

i i a

i f x dx f x λξ→==⋅∆∑⎰

当上述极限存在时，称()f x 在[,]a b 上可积. 2. 若()f x 在[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上可积。

3. 若()f x 在[,]a b 上有界，且只有有限个间断点，则()f x 在[,]a b 上可积. Ⅱ.定积分的几何意义

定积分()b

a f x dx ⎰在几何上表示：由曲线()y f x =，直线x a =和x

b =以及x 轴所围图形面积的代数和 (x 轴上方的面积取正，x 轴下方的面积取负)

Ⅲ.定积分的性质

1. 补充规定：(1)当a b =时，()0b

a f x dx =⎰

(2)当a b >时,

()()b

a

a

b

f x dx f x dx =-⎰

⎰

2. 性质： (1) [()()]()()b

b b

a a

a

f x

g x dx f x dx g x dx -

-+=+⎰

⎰⎰

(2) ()(),()b

b

a a

kf x dx k f x dx k =⎰

⎰为常数

(3)

()()()b

c b

a

a

c

f x dx f x dx f x dx =+⎰

⎰⎰

(4)b

a dx

b a =-⎰

(5) 若在[,]a b 上，()0f x ≥，则()0,()b

a f x dx a

b ≥<⎰

推论1：若在[,]a b 上，()()f x g x ≤，则()(),()b b

a a f x dx g x dx a

b ≤<⎰⎰. 推论2：()(),()b b

a a f x dx f x dx a

b ≤<⎰⎰.

(6 ) 若在[,]a b 上，()m f x M ≤≤,则()()(),()b

a m

b a f x dx M b a a b -≤≤-<⎰ (7) (定积分中值定理)：若()f x 在[,]a b 上连续，则在[,]a b 上至少存在ξ，使()()(),()b

a f x dx f

b a a b ξξ=-≤≤⎰. 3. 连续函数()f x 在[,]a b 上的平均值，1()b

a y f x dx

b a

-

=-⎰ Ⅳ. 积分上限函数及其导数

1. 若对任意[,]x a b ∈，()x

a f t dt ⎰存在，则称()()x

a x f t dt Φ=⎰为积分上限的函数.

2. 若()f x 在[,]a b 上可积，则()f x 在[,]a b 上有界. 且积分上限函数

()()x

a x f t dt Φ=⎰在[,]a

b 上连续.

3. 设()f x 在[,]a b 上连续，则()()x

a x f t dt Φ=⎰在[,]a

b 上可导，且

'()()(),()x

a d x f t dt f x a x

b dx

Φ=

=≤≤⎰.

4. 设()f x 连续，()x φ可导，则()

'

'()()[()]()x a d x f t dt f x x dx

φφφΦ==⎰.

5. 设()f x 连续，()x φ，()x ϕ可导，则 ()'''

()()()[()]()[()]()x x d x f t dt f x x f x x dx

φϕφφϕϕΦ=

=-⎰. Ⅴ. 牛顿——莱布尼兹公式.(微积分基本定理)

设()f x 在[,]a b 上连续，()F x 为()f x 在[,]a b 上的一个原函数，则

()()()b

a

f x dx F b F a =-⎰

.

Ⅵ. 定积分的换元法

设()f x 在[,]a b 上连续，()x t φ=满足： (1) (),()a b φαφβ==.

(2)()t φ在[,]αβ(或[,]βα)上具有连续导数，且()x t φ=的值域不越出

[,]a b 的范围，则有'()[()]()b

a f x dx f t t dt β

α

φφ=⎰⎰.

注：当()t φ的值域[,]R A B φ=越出[,]a b 的范围，但满足其余条件时，只要()f x 在[,]A B 上连续，则换元法的结论仍然成立. Ⅶ. 定积分的分部积分法

设()u x 与()v x 在[,]a b 上具有连续导数，则有

()()()()()()b

b

b

a a

a

u x dv x u x v x v x du x =-⎰

⎰

Ⅷ. 几类特殊的积分公式

1. 设()f x 在[,]a a -上连续，则有0()[()()]a

a

a f x dx f x f x dx -=+-⎰⎰.

2()()[,]()()[,]a a

a

f x dx

f x a a f x dx f x a a -⎧-⎪=⎨⎪-⎩⎰⎰

当为上连续的偶函数时0

当为上连续的奇函数时

2. 设()f x 是以l 为周期的连续函数，则对任意实数a ， 有0()()a l

l

a f x dx f x dx +=⎰⎰. 3. 设()f x 在[0,1]上连续，则