§412 拉普拉斯变换与傅氏变换的关系.

n
kn ( n )
F (s) |s j kn ( n )
n
X
多重极点
如果F(s)具有j 轴上的多重极点, 对应的傅氏变换
还可能出现冲激函数的各阶导数项，例如
F
(s)
Fa
s
s
K0
j0
k
式中 Fa 的s极点位于s 左半平面，虚轴上有 k重0的极
点，K0为由系此数，。可求得
F j
F s
0
衰减函数，傅氏变换是存在的。
只要令 s j,就可以由Fs求出F j
F s 1 ， F ( ) 1 。
s
j
收敛坐标: 0 收敛轴: 收敛域:
因为收敛域包含 j 轴，所以 s 变化范围可以在 0
的轴上,因而F 一定存在。
X
三．当 0 0时,收敛边界位于虚轴
F s 是存在的，傅立叶变换也可以存在，F 与F s 之间不再是
当 0 0时,收敛边界落于s左半平面
当 0 0时,收敛边界位于虚轴
X
一．当 0 0时,收敛边界落于 s 右半平面
f (t) etu(t) ( 0) ，
lim f (t)e t 0 ，要求 0( )
t
其拉氏变换 : Fs 1
s
j
收敛域
o
s平面
收敛坐标: 0 ，收敛轴: , 收敛域 :
由Fs出发 ，将其展开成部分分式：
则
L[ f (t)] F(s)
n
s
kn
j
n
,
(
j
n为极点)
F[ f (t)] F(s) |s j kn ( n ) （4-162）
Fs中以 j 代 s
一系列冲 激之和：
每个一阶极点位于s jn 处,
每个冲激函数与每个极 点相对应,
而冲激函数之强度为 k.
信号与系统
§4.12 拉普拉斯变换与傅氏变换 的关系
X
引言
我们在引出拉氏变换 时, 是针对 f t 不满足绝对
可积条件, 对其乘以一个衰减因子 et , 作傅氏变换, 演变为拉氏变换
L f (t) F f (t) e t u(t) Fs s j
由此可以得到傅氏变换与拉氏变换的关系
当 0 0时,收敛边界落于 s 右半平面
简单的置换关系,因为傅氏变换中包括奇异函数项 。
例如：f t ut
F s 1 ， F ( ) ( ) 1
s
j
当初求阶跃函数的傅氏变换，不是用经典法(定义
式)，而是用取极限的方法（矩形脉冲的周期为无穷
大），引入了冲激函数而得到的。
那么如何由Fs求F ?
X
那么如何由Fs求F ?
对于只有一阶极点的情况，极点位于虚轴
0 0,收敛轴位于s平面的右半平面,则F 不存在
0 0,收敛轴位于虚轴
则F F s s j kn n
n
X
Hale Waihona Puke Baidu
X
证明 根据变换的唯一性 F(s) f (t) F( j)
F(s)
n
kn
s j n
f (t)
n
kne jnt u(t )
F
j
F
kne jnt u(t )
n
线性，卷积定理
n
kn
1
2
F
e jnt
Fu(t)
kn
n
1
2
2 (
n ) ( )
1
j
n
kn
1
j( n )
从F s式看, 为F s的极点, 极点以右为收敛域. 一般t 0
存在的单边信号,其收敛域在收敛轴以右 .
显然, F()不存在,不能由F(s)求F().
X
二．当 0 0时,收敛边界落于s左半平面
f t et u(t) ( 0)
j
lim f (t)e t 0,
t
收敛域
( ) 0,
s j
K 0
k
j k
1
1
!
k1
0
（4-163）
k1 0 为求k 1阶导数
X
四．结论
对于有起因信号，求单边拉氏变换中，一般是t>0的 信号，所以收敛域在收敛轴右边。对F(s)分解因式，找 出极点。收敛域中不应有极点，最右边的极点为收敛坐 标。
Fs和F( j)的关系: 0 0,收敛轴位于s平面的左半平面,则F F s s j