傅里叶变换和拉普拉斯变换

傅里叶变换和拉普拉斯变换的意义 一傅里叶变换在应用上的局限性 在第三章中，已经介绍了一个时间函数()t f 满足狄里赫利条件并且绝对可积时，即存在一对傅里叶变

换。即

()()dt

e t

f j F t j ωω-∞

∞-⎰∞= (正变换) (5.1)

()()ω

ωπ

ωd e j F t f t j ⎰

∞

∞

-=

21 (反变换) (5.2)

但工程实际中常有一些信号并不满足绝对可积的条件，例如阶跃信号()t U ，斜变信号()t tU ，单边

正弦信号()t tU

ωsin 等，从而对这些信号就难以从傅里叶变换式求得它们的傅里叶变换。

还有一些信号，例如单边增长的指数信号()t U e at

()0>a 等，则根本就不存在傅里叶变换。

另外，在求傅里叶反变换时，需要求ω从∞-到∞区间的广义积分。求这个积分往往是十分困难的，甚至是不可能的，有时则需要引入一些特殊函数。

利用傅里叶变换法只能求系统的零状态响应，而不能求系统的零输入响应。在需要求零输入响应时，还得利用别的方法，例如时域经典法。

由于上述几个原因，从而使傅里叶变换在工程应用上受到了一定的限制。所以，当今在研究线性系统问题时，拉普拉斯变换仍是主要工具之一。

实际上，信号

()t f 总是在某一确定的时刻接入系统的。若把信号()t f 接入系统的时刻作为0=t 的

时刻(称为起始时刻)，那么，在t ＜0的时间内即有()t f =0。我们把具有起始时刻的信号称为因果信号。这

样，式(5-1)即可改写为

()()dt

e t

f j F t j ωω-∞

⎰-=0

(5-3)

式(5-3)中的积分下限取为-

0，是考虑到在0=t

的时刻()t f 中有可能包含有冲激函数()t δ。但要注

意，式(5-2)中积分的上下限仍然不变(因积分变量是ω)，不过此时要在公式后面标以t ＞0，意即只有在t ＞0时

()t f 才有定义，即

()()ω

ωπ

ωd e j F t f t j ⎰

∞

∞

-=

21 t ＞0 (5-4a)

或用单位阶跃函数()t U

加以限制而写成下式，即

()()()t U d e j F t f t

j ⎥⎦⎤⎢

⎣⎡=⎰∞

∞-ωωπ

ω21 (5-4b)

二、从傅里叶变换到拉普拉斯变换

当函数

()t f 不满足绝对可积条件时，可采取给()t f 乘以因子t e σ-（σ

为任意实常数)的办法，这样

即得到一个新的时间函数

()t e t f σ-。今若能根据函数()t f 的具体性质，恰当地选取σ

的值，从而使当

∞→t 时，函数()0→-t

e t

f σ，即满足条件

()0

lim =-∞→t t e t f σ

则函数

()t e t f σ-即满足绝对可积条件了，因而它的傅里叶变换一定存在。可见因子t e σ-起着使函数

()t f 收敛的作用，故称t e σ-为收敛因子。

设函数()

t

e t

f σ-满足狄里赫利条件且绝对可积(这可通过恰当地选取σ的值来达到)，则根据式(5-3)有

()()()()dt

e t

f dt e

e t

f j F t j t

j t

ωσωσω+-∞

--∞

⎰⎰--==0

在上式中，

ωj 是以()ωσj +的形式出现的。令ωσj s +=，s 为一复数变量，称为复频率。σ

的单

位为s 1

，ω的单位为s rad /。这样，上式即变为

()()dt

e t

f j F st -∞

⎰-=0

ω

由于上式中的积分变量为t ，故积分结果必为复变量s 的函数，故应将()ωj F 改写为()s F ，

即

()()dt

e t

f s F st -∞

⎰-=0

(5-5)

复变量函数()

s F 称为时间函数()t f 的单边拉普拉斯变换。()s F 称为()t f 的像函数，()t f 称为()s F 的

原函数。一般记为

()()[]t f L s F

=

符号

[]∙-1

L 为一算子，表示对括号内的时间函数()t f 进行拉普拉斯变换。 利用式(5-4)可推导出求()s F

反变换的公式，即

()()ω

π

ωσd e s F e t f t j t ⎰

∞

∞

--=

21

对上式等号两边同乘以t e σ，并考虑到t

e σ不是ω的函数而可置于积分号内。于是得

()()()()()ω

π

ωπ

ωπ

ωσωσd e s F d e s F d e e s F t f st t j t j t ⎰

⎰

⎰

∞

∞

-∞

∞

-+∞

∞

-=

=

=

212121 (5-6)

由于式(5-6)中被积函数是()

s F ，而积分变量却是实变量ω。所以欲进行积分，必须进行变量代换。因

ωσj s

+=

故()ωωσjd d ds =+=(因σ

为任意实常数)故

ds j d 1=

ω 且当-∞=ω时，∞-=j s σ；当∞=ω时，∞+=j s σ。将以上这些关系代入式(5-6)即得

()()ds

e s F j

t f st j j ⎰∞+∞

-=

σσ

π21

0>t (5-7a)

写成

()()()t U ds e s F j t f st

j j ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰∞+∞

-σσπ21 (5-7b)

式(5-7b)称为拉普拉斯反变换，可从已知的像函数

()s F 求与之对应的原函数()t f 。一般记为

()()[]s F L t f 1-=符号[]∙-1L 也为一算子，表示对括号内的像函数()s F 进行拉普拉斯反变换。

式(5-5)与式(5-7)构成了拉普拉斯变换对，一般记为

()()s F t f ⇔或()()t f s F ⇔

若

()t f 不是因果信号，则拉普拉斯变换式(5-5)的积分下限应改写为(∞-)，即

()()dt

e t

f s F st ⎰∞

∞-= (5-8)

式(5-8)称为双边拉普拉斯变换。因为一般常用信号均为因果信号(即有始信号)，故本书主要讨论和应用单