傅里叶变换和拉普拉斯变换

傅里叶变换和拉普拉斯变换的意义 一傅里叶变换在应用上的局限性 在第三章中，已经介绍了一个时间函数()t f 满足狄里赫利条件并且绝对可积时，即存在一对傅里叶变换。

即()()dte tf j F t j ωω-∞∞-⎰∞= (正变换) (5.1)()()ωωπωd e j F t f t j ⎰∞∞-=21 (反变换) (5.2)但工程实际中常有一些信号并不满足绝对可积的条件，例如阶跃信号()t U ，斜变信号()t tU ，单边正弦信号()t tUωsin 等，从而对这些信号就难以从傅里叶变换式求得它们的傅里叶变换。

还有一些信号，例如单边增长的指数信号()t U e at()0>a 等，则根本就不存在傅里叶变换。

另外，在求傅里叶反变换时，需要求ω从∞-到∞区间的广义积分。

求这个积分往往是十分困难的，甚至是不可能的，有时则需要引入一些特殊函数。

利用傅里叶变换法只能求系统的零状态响应，而不能求系统的零输入响应。

在需要求零输入响应时，还得利用别的方法，例如时域经典法。

由于上述几个原因，从而使傅里叶变换在工程应用上受到了一定的限制。

所以，当今在研究线性系统问题时，拉普拉斯变换仍是主要工具之一。

实际上，信号()t f 总是在某一确定的时刻接入系统的。

若把信号()t f 接入系统的时刻作为0=t 的时刻(称为起始时刻)，那么，在t ＜0的时间内即有()t f =0。

我们把具有起始时刻的信号称为因果信号。

这样，式(5-1)即可改写为()()dte tf j F t j ωω-∞⎰-=0(5-3)式(5-3)中的积分下限取为-0，是考虑到在0=t的时刻()t f 中有可能包含有冲激函数()t δ。

但要注意，式(5-2)中积分的上下限仍然不变(因积分变量是ω)，不过此时要在公式后面标以t ＞0，意即只有在t ＞0时()t f 才有定义，即()()ωωπωd e j F t f t j ⎰∞∞-=21 t ＞0 (5-4a)或用单位阶跃函数()t U加以限制而写成下式，即()()()t U d e j F t f tj ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰∞∞-ωωπω21 (5-4b)二、从傅里叶变换到拉普拉斯变换当函数()t f 不满足绝对可积条件时，可采取给()t f 乘以因子t e σ-（σ为任意实常数)的办法，这样即得到一个新的时间函数()t e t f σ-。

今若能根据函数()t f 的具体性质，恰当地选取σ的值，从而使当∞→t 时，函数()0→-te tf σ，即满足条件()0lim =-∞→t t e t f σ则函数()t e t f σ-即满足绝对可积条件了，因而它的傅里叶变换一定存在。

可见因子t e σ-起着使函数()t f 收敛的作用，故称t e σ-为收敛因子。

设函数()te tf σ-满足狄里赫利条件且绝对可积(这可通过恰当地选取σ的值来达到)，则根据式(5-3)有()()()()dte tf dt ee tf j F t j tj tωσωσω+-∞--∞⎰⎰--==0在上式中，ωj 是以()ωσj +的形式出现的。

令ωσj s +=，s 为一复数变量，称为复频率。

σ的单位为s 1，ω的单位为s rad /。

这样，上式即变为()()dte tf j F st -∞⎰-=0ω由于上式中的积分变量为t ，故积分结果必为复变量s 的函数，故应将()ωj F 改写为()s F ，即()()dte tf s F st -∞⎰-=0(5-5)复变量函数()s F 称为时间函数()t f 的单边拉普拉斯变换。

()s F 称为()t f 的像函数，()t f 称为()s F 的原函数。

一般记为()()[]t f L s F=符号[]∙-1L 为一算子，表示对括号内的时间函数()t f 进行拉普拉斯变换。

利用式(5-4)可推导出求()s F反变换的公式，即()()ωπωσd e s F e t f t j t ⎰∞∞--=21对上式等号两边同乘以t e σ，并考虑到te σ不是ω的函数而可置于积分号内。

于是得()()()()()ωπωπωπωσωσd e s F d e s F d e e s F t f st t j t j t ⎰⎰⎰∞∞-∞∞-+∞∞-===212121 (5-6)由于式(5-6)中被积函数是()s F ，而积分变量却是实变量ω。

所以欲进行积分，必须进行变量代换。

因ωσj s+=故()ωωσjd d ds =+=(因σ为任意实常数)故ds j d 1=ω 且当-∞=ω时，∞-=j s σ；当∞=ω时，∞+=j s σ。

将以上这些关系代入式(5-6)即得()()dse s F jt f st j j ⎰∞+∞-=σσπ210>t (5-7a)写成()()()t U ds e s F j t f stj j ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰∞+∞-σσπ21 (5-7b)式(5-7b)称为拉普拉斯反变换，可从已知的像函数()s F 求与之对应的原函数()t f 。

一般记为()()[]s F L t f 1-=符号[]∙-1L 也为一算子，表示对括号内的像函数()s F 进行拉普拉斯反变换。

式(5-5)与式(5-7)构成了拉普拉斯变换对，一般记为()()s F t f ⇔或()()t f s F ⇔若()t f 不是因果信号，则拉普拉斯变换式(5-5)的积分下限应改写为(∞-)，即()()dte tf s F st ⎰∞∞-= (5-8)式(5-8)称为双边拉普拉斯变换。

因为一般常用信号均为因果信号(即有始信号)，故本书主要讨论和应用单边拉普拉斯变换。

以后提到拉普拉斯变换，均指单边拉普拉斯变换而言。

由以上所述可见，傅里叶变换是建立了信号的时域与频域之间的关系，即()()ωj F t f ⇔而拉普拉斯变换则是建立了信号的时域与复频域之间的关系，即()()s F t f ⇔.三、复频率平面 以复频率ωσj s+=的实部σ和虚部ωj 为相互垂直的坐标轴而构成的平面，称为复频率平面，简称s 平面，如图5-1所示。

复频率平面(即s 平面)上有三个区域：ωj 轴以左的区域为左半开平面；ωj 轴以右的区域为右半开平面；ωj 轴本身也是一个区域，它是左半开平面与右半开平面的分界轴。

将s 平面划分为这样三个区域，对以后研究问题将有很大方便。

四、拉普拉斯变换存在的条件与收敛域上面已经指出，当函数()t f 乘以收敛因子t e σ-后，所得新的时间函数()t e t f σ-便有可能满足绝对可积条件。

但是否一定满足，则还要视()t f 的性质与σ值的相对关系而定。

下面就来说明这个问题。

因()()()dte e tf dt e t f s F t j t stωσ--∞-∞⎰⎰--==0由此式可见，欲使()s F 存在，则必须使()te tf σ-满足条件()0l i m =-∞→t t e t f σ0σσ>σωj 平面s 0收敛域收敛坐标图 5-2式(5-9)中的0σ值指出了函数()t e t f σ-的收敛条件。

0σ的值由函数()t f 的性质确定。

根据0σ的值，可将s 平面(复频率平面)分为两个区域，如图5-2所示。

通过0σ点的垂直于σ轴的直线是两个区域的分界线，称为收敛轴，0σ称为收敛坐标。

收敛轴以右的区域(不包括收敛轴在内)即为收敛域，收敛轴以左的区域(包括收敛轴在内)则为非收敛域。

可见()t f 或()s F 的收敛域就是在s 平面上能使式(5-9)满足的σ的取值范围，意即σ只有在收敛域内取值，()t f 的拉普拉斯变换()s F 才能存在，且一定存在。

五、拉普拉斯变换的基本性质由于拉普拉斯变换是傅里叶变换在复频域(即s 域)中的推广，因而也具有与傅里叶变换的性质相应的一些性质。

这些性质揭示了信号的时域特性与复频域特性之间的关系，利用这些性质可使求取拉普拉斯正、反变换来得简便。

关于拉普拉斯变换的基本性质在表5-1中列出。

对于这些性质，由于读者在工程数学课中已学习过了，所以不再进行证明，读者可复习有关的工程数学书籍。

表5-1 拉普拉斯变换的基本性质序号性质名称()()t U t f ()s FsRe =σsj j Im =ω左半开平面右半开平面图 5-11 唯一性 ()t f ()s F2 齐次性 ()t Af()s AF3 叠加性 ()()t f t f 21+ ()()s F s F 21+4 线 性 ()()t f A t f A 2211+()()s F A s F A 2211+5尺度性)(at f ，0>a⎪⎭⎫ ⎝⎛a s F a 16 时移性 ()()00t t U t t f --，00>t()s t e s F 0-7 时域微分 ()at e t f -()a s F + 8复频微积分()t f '()()--0f s sF()t f '' ()()()--'--002f sf s F s()()t f n()()()()---------0001'21n n n n f f s f s s F s9复频移性()t tf ()()dss dF 11-()t tf n )(()()n n nds s F d 1-10 时域积分 ()⎰-td f 0ττ()s s F11 复频域积分 ()t t f()⎰∞ss F12 时域卷积 ()()t f t f 21* ()()s F s F 2113 复频域卷积 ()()t f t f 21 ()()s F s F 2121*π14初值定理()t t f 0cos ω ()[])(2100ωωj s F j s F -++ ()t t f 0sin ω()[])(2100ωωj s F j s F +--15 终值定理 ()()()s sF t f f t t ∞→→+==+lim lim 0016 调制定理()()()s sF t f f t t 0lim lim →∞→==∞利用式(5-5)和拉普拉斯变换的性质，可以求出和导出一些常用时间常数()()t U t f 的拉普拉斯变换式，如表5-2中所列。

利用此表可以方便地查出待求的像函数()s F 或原函数()t f表5-2 拉普拉斯变换表序号()()t U t f ()s F1 ()t σ 12 ()t n σn s3 ()t Us 14 t21s 5 n t 1!+n s n 6at e -a s +17at te -()21a s +8at n e t -()1!++n a s n9t j e ω-ωj s +110 t ωsin22ωω+s 11 t ωcos22ω+s s12t e at ωsin -()22ωω++a s13t e at ωcos -()22ω+++a s a s14t t ωsin()2222ωω+ss15t t ωcos()22222ωω+-ss16 t sh ω22ωω-s17 t ch ω22ω-s s 18∑∞=-0)(n nT t δsTe --1119∑∞=-0)(n nT t fsTe s F --1)(020[]∑∞=----0)()(n nT t U nT t U τ,τ>T()sTs e s e ----11τ七、拉普拉斯反变换从已知的像函数()s F 求与之对应的原函数()t f ，称为拉普拉斯反变换。