数值计算方法数值积分共77页文档
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第3章 数值积分法
式中，
第3章 数值积分法 3.2.2 辛普生求积公式 如果用二次插值多项式——抛物线 y=g(x) 所围成的曲边梯形 面积近似替代 y=f(x) 所围成的曲边梯形的面积，这时所得积分公 式称为辛普生公式
同前理，将区间 [a, b] 经 k 次等分，得 n=2k 个子区间，则 计算精度得以进一步改善的复合辛普生求积公式为
（2）载流螺线管的磁场
设内、外半径为 r1 与 r2，管长为h的载流螺线管线圈，如图 3-8 所示，显 然，其磁场分布同样具有轴对称场特征。在圆柱坐标系下，取轴对称平面ρOz 为分析场域（见图 3-9）。将载流为I的n匝螺线管看作无限多个环形载流为 dI （=JdS）的线圈的组合，则对应于式（3-47）、式（3-49）可得载流螺线管 磁场在任意场点P处的磁感应强度BP的两个分量分别为
第3章 数值积分法
为提高数值积分的计算精度，可再继续将区间分半，即令 k=2， k=3，…，从而通过所谓复合求积方法的应用，以改善 求积精度。具体说来，复合梯形求积公式为
显然，若当积分区间 [a，b] 为 n=2k 等分时，其结果尚不 够精确，则 如上所述，可把每个子区间再对半分，得 2n=2k+1 个子区间，分别应用梯形公式计算。但注意到算 Tn 时的分点 也是算 T2n 时的分点，故编程计算 T2n 时，只需把新分点上的 函数值算出加到 Tn 中去即可，得
在平行平面场中，按所设定的直角坐标系，如前所述，当 给定场源 J=Jzez，则场中各点的向量磁位 A=Azez=Aez。由此即 得相应的磁感应强度的分量为
第3章 数值积分法 将以上结果代入式（3-38），便得
由此可见，在平行平面磁场中， A等于定值的轨迹即为B线。 显然，以等A线来描绘B线能 极大地简化场图的绘制。为使 B线的分布密度能定量地描绘 出磁场分布的强弱，还必须遵 循相邻两磁力线间的磁通量 ΔΦ相等的原则。以图3-5所示 长直载流导线的磁场为例，通 过单位轴向长度（Δz=1）的磁 通量ΔΦ为
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数值计算方法数值积分
41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊 44、人类受制于法律，法律受ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ于情 理。— —托·富 勒
45、法律的制定是为了保证每一个人 自由发 挥自己 的才能 ，而不 是为了 束缚他 的才能 。—— 罗伯斯 庇尔
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利
数值积分-计算方法
，
(k=0,1,…,n) 作代换x=a+th带入上式，变为： 其中：
(k=0,1,…,n) （1-1） 这个积分是有理多项式积分，它与被积函数f(x)和区间[a,b]无关。
只要确定n就能计算出系数
。 于是得到称为Newton—Cotes公式的求积公式： （1-2） 其中
称为Newton—Cotes系数。如表1所示。 表1 Newton—Cotes系数
§3.1计算n阶求积公式
若有m次代数精度，对(k=0,1,…)应有
而。
§3.2 Gauss求积公式的基本原理
更一般形式： （2-1） 为权函数，设>0，且在[a,b]上可积，构造n阶求积公式：
（2-2） 积分点使得（2-2）式达到2n+1次代数精度，则积分点称为Gauss 点，（2-2）式称为Gauss求积公式。
§2Newton—Cotes公式 §2.1Newton—Cotes公式的推导
当§1.1插值求积公式的插值节点为等距节点时，就得到Newton— Cotes公式。
将区间[a,b]n等分，，n+1个节点为 xk=a+kh (k=0,1,…,n)
在节点上对f(x)的Lagrange插值多项式是：
用Pn(x)代替f(x)构造求积公式： 记
y=(1-1/2*(sin(x)).^2).^(1/2); 在Matlab工作窗口中调用函数：
y2=gauss2('gaussf',0,pi/2) 运行结果为：
y2= 1.3508
第5章 结论
通过以上变成和计算，得到所求的两组积分：
应用Newton—Cotes积分公式所求的结果分别是 y1=1.5078，y2 = 1.3506，而应用Gauss-Legendre方法所求得的结果分别是y1=1.5705 和 y2= 1.3508。单从结果上看，我们也能看出，Newton—Cotes积分公式 和Gauss-Legendre积分公式在精度上的确存在着差异（两者n的取值不 同）。而结果上的差异来源很明显是插值积分在近似替代时产生的，结 合第1章理论依据的内容，Newton-Cotes积分公式的精度最高可达n+1 次，Gauss-Legendre积分公式的精度为2n+1次，由此可知，当n相同 时， Gauss -Legendre积分公式比Newton—Cotes积分公式具有更高的 代数精度。而就本题而言Gauss -Legendre积分公式具有5次代数精度， Newton—Cotes积分公式也具有5次代数精度。因此二者所求积分只存在 微小的差异，结果都比较准确。
(k=0,1,…,n) 作代换x=a+th带入上式，变为： 其中：
(k=0,1,…,n) （1-1） 这个积分是有理多项式积分，它与被积函数f(x)和区间[a,b]无关。
只要确定n就能计算出系数
。 于是得到称为Newton—Cotes公式的求积公式： （1-2） 其中
称为Newton—Cotes系数。如表1所示。 表1 Newton—Cotes系数
§3.1计算n阶求积公式
若有m次代数精度，对(k=0,1,…)应有
而。
§3.2 Gauss求积公式的基本原理
更一般形式： （2-1） 为权函数，设>0，且在[a,b]上可积，构造n阶求积公式：
（2-2） 积分点使得（2-2）式达到2n+1次代数精度，则积分点称为Gauss 点，（2-2）式称为Gauss求积公式。
§2Newton—Cotes公式 §2.1Newton—Cotes公式的推导
当§1.1插值求积公式的插值节点为等距节点时，就得到Newton— Cotes公式。
将区间[a,b]n等分，，n+1个节点为 xk=a+kh (k=0,1,…,n)
在节点上对f(x)的Lagrange插值多项式是：
用Pn(x)代替f(x)构造求积公式： 记
y=(1-1/2*(sin(x)).^2).^(1/2); 在Matlab工作窗口中调用函数：
y2=gauss2('gaussf',0,pi/2) 运行结果为：
y2= 1.3508
第5章 结论
通过以上变成和计算，得到所求的两组积分：
应用Newton—Cotes积分公式所求的结果分别是 y1=1.5078，y2 = 1.3506，而应用Gauss-Legendre方法所求得的结果分别是y1=1.5705 和 y2= 1.3508。单从结果上看，我们也能看出，Newton—Cotes积分公式 和Gauss-Legendre积分公式在精度上的确存在着差异（两者n的取值不 同）。而结果上的差异来源很明显是插值积分在近似替代时产生的，结 合第1章理论依据的内容，Newton-Cotes积分公式的精度最高可达n+1 次，Gauss-Legendre积分公式的精度为2n+1次，由此可知，当n相同 时， Gauss -Legendre积分公式比Newton—Cotes积分公式具有更高的 代数精度。而就本题而言Gauss -Legendre积分公式具有5次代数精度， Newton—Cotes积分公式也具有5次代数精度。因此二者所求积分只存在 微小的差异，结果都比较准确。
计算方法数值积分
C1(2)
(1)1 2
4
21!1!0t(t2)dt6
类似可得，n=3时有四个Cotes系数
C 0 (3 ) 8 1 , C 1 (3 ) 8 3 , C 2 (3 ) 8 3 , C 3 (3 ) 8 1
n=4时，有五个Cotes系数
C 0 ( 4 ) 9 7 , 0 C 1 ( 4 ) 9 3 , 0 2 C 2 ( 4 ) 1 9 , 2 0 C 3 ( 4 ) 9 3 , 0 2 C 4 ( 4 ) 9 70
(k=0,1,2,…,4N)，h
ba N
4、复合Simpson公式算法
(1) 输入a,b,N (2) hba,sf(a),xa
2N
(3) 当 i=1,2, …,N时 做循环
① x=x+h ② s=s+4f(x) ③ x=x+h ④ s=s+2f(x)
(4) s h(s f (b)) 3
f()f(1 )f(2 ) f(n) N
1、复合梯形公式的余项
所以 IT Nb 1 a 2 h2f() , (a,b)
由 f (x) 在[a,b]上连续可知，f (x) 在[a,b]
上有界，于是存在常数M2，使
公式(5.6)称为等距节点内插求积公式。
求Ak
Ak
ablk(x)dx
b( n xxj a j0xk xj
)dx
jk
在等距节点前提下，做变换 t x a ，由 axb，可得 0tn 而x-xj=(t-j)h (j=0,1,2,…,n) ，xk-xhj=(k-j)h (j,k=0,1,2,…,n且j≠k)。 于是(5.5)式即为
A kk h !(( n 1 )n k k )! 0 n j n 0(tj)d t(b a )n(k !1 () n n kk)! 0 n j n 0(tj)dt
数值分析6-数值积分
数值求积的基本思想
✓ 分别用 f (a)，f (b) 和 f (a b) 2 近似 f () 可得
b
a f ( x)dx (b a) f (a)
b
a f ( x)dx (b a) f (b)
左矩形公式 右矩形公式
b f ( x)dx (b a) f a b
a
2
中矩形公式
求积公式的基本思想
( )( )
2 3
4 24 4
A 1
(x
1
1 )( x 4
3) 4
dx
1
0 ( 1 1 )( 1 3 )
3
2 42 4
考虑到对称性，显然有 A0 A2 ，于是有求积公式
1 f (x)dx 2 [ f (1) f ( 3)] 1 f (1)
0
3 4 4 32
由于原式含有 3 个节点，按定理 1 它至少有 2 阶精度。
精度。
例题4
试设计求积公式
b
a
f
(x)dx
A0
f
(a)
A1
f
(
a
2
b)
A2
f（b）
B2
f
'
(a)
B1
f
'
(
a
2
b
)
B2
f
'
(b)
解
引进变换 x
a
2
b
b
2
a
t
将 求 积 区 间 [a,b] 变 到
[0，1]，则原式化为如下形式
1
1
f
(x)dx
A0
f
(1)
A1
f
数值积分
W(x) W(x 0) W(x 1) W(x2 ) W' (x 1) 0, x xi, i 0,1,2.
类似于上面对插值误差的讨论，在区间内至少有一点，使
(4)
W
整理上式，得到
0
(x x 0)(x x 1) 2 (x x 2) (4) f(x) G 3(x) f ( ), x 0 x 2. 4!
于是，由式(1.8)得到
(x x 0)(x x 1) 2 (x x 2) (4) E 2 [f(x) N 3(x)] dx f (ξ ) dx x0 x0 4!
x2 x2
因子(xx0)(xx1)2(xx2)在区间[x0,x2]内不会变号，故可以应用广 义中值定理，即在[x0,x2]内存在，使
(1.11)
所以，辛卜生公式的误差项为 1 5 (4) E2 h f ( ), x0 x2 90
(1.12)
Newton-Cotes公式的代数精度
定理： 由(n+1)个相异节点x0 、x1 、…x n构造的求积公式的代
数精度至少为n。
证明：记Ln(x)为x0,x1,x2...xn的Lagrange 插值多项式,即Ln ( x ) 因为 f ( x ) L ( x ) n
x
x3
0
3h P 3(x) (f 0 3 f 1 3 f 2 f 3) 8
(1.4)
当n=2时，为抛物线公式
b
a
ba ab f ( x)dx ( f (a) 4 f ( ) f (b)) 6 2
y
y=P2(x) y=f(x)
0
x0
x1
Ch数值计算方法之数值积分
从而有
b
f ( x )dx ( b a )[
1 4 ab 1 f (a ) f( ) f ( b )] 6 6 2 2
6. 柯特斯公式
•
作为课外作业，大家可以取n=4,相应地k可以取0，1 ，2，3 和4，仿照上面的方式，可以得到：
7 16 2 c ( 4,0 ） , c ( 4,1 ） , c ( 4,2 ） 90 45 15 7 16 c ( 4,4 ） , c ( 4,3 ） 45 90
• 由n+1个基点的拉格朗日插值多项式所形成的求积公式的
代数精度至少式n，为此，我们上面的wk改写为 w(n,k),k=0,1,…,n。
记 我们有
w( n, k ) a l k ( x )dx k 0,1, , n
b
b
a
f ( x )dx w( n, k ) f ( x k )
• 假如x0,x1,…,xn为[a,b]的一个等份分划那么求积公式
(1)中的w0,w1,…,wn的选取仅仅只与n有关，从而可 以简化对求积公式的研究。
• 结论，只要给出了一个如何确定（1）式中的诸
w0,w1,…,wn的机制，我们就可以得到相应的对任何 被积函数都有效的计算定积分方法。
2.求积公式的性质
k 0
k n
f ( x )dx [l ( x ) f ( x )]dx
b b a a k 0 k k
k n
f ( x )dx [ l ( x )dx ] f ( x )
b b a k 0 a k k
k n
w k a l k ( x )dx
b b k n k 0 a k
数值积分方法
(b a)3 12n 2
f (),
[a,b]
5.2.2 复化Simpson公式：
★ 计算公式
将[a, b] 2m 等分, m 为积分子区间数，记 n = 2m，n+1
为节点总数 ，h = xi+1- xi= (b -a)/n, xi = a + ih,
i = 0,1,2,…,n,
在[a, b]上恒为正时，f ( x)在[a, b]上为凹，表示梯形的面积大
于曲边梯形的面积，此时（5.2）式计算出的值比积分
b
f ( x)dx
a
的值大.
二、Simpson公式 n=2时的求积公式
将 [a, b] 二 等分，等分节点 x0 = a ，x1 = (a +b)/2，
x2 = b 作为积分节点，构造二次Lagrange插值多
b x bdx 1 (b a) a ab 2
1
b
a l1( x)dx
b x adx 1 (b a) a ba 2
b
a
f
( x)dx
ba 2
f
(a)
f
(b)
T(f)
(5.2)
这是用线性插值函数代替被积函数导出的定积分近 似计算公式，称为梯形数值积分公式。
第五章 数值积分方法
问题提出
计算
I
b
f ( x)dx
F(a) F(b)
a
但是在许多实际问题经常遇到下列情况：
（1）原函数存在但不能用初等函数表示；
（2）原函数可以用初等函数表示，但结构复杂；
（3）被积函数没有表达式，仅仅是一张函数表。
数值分析4 - 数值积分
从 而该公式对次数 n的代数多项式精确成立 。 故有m n。
(充 分 性 ) “”
若m n,由lk ( x)的次数为 n, 对f ( x) lk ( x) (lk ( x)为n次Lagrange插值
有 ( x ) f ( x )dx ( x )l k ( x )dx ， 基函数 )， a a
说明：不研究一般的求积公式。 ( n1) 推论2：若 f C [a, b] ，(3)式是插值型求积公式，则有余项公式
R[ f ]
b a
f ( n1) ( ( x )) ( x) n1 ( x )dx， ( n 1)!
(4)
其中 n1 ( x) ( x x0 )( x x1 )( x xn )。
1 f ( x )dx [ f ( 1) 4 f (0) f (1)]的代数精度. 3
分析：由等价定义， 求代数精度，只对最简单的函数xm来验证。
k为 奇 数 0, k 1 1 ( 1 ) k 2 解： I k 1x dx k 1 , k为 偶 数 k 1 1 1 当f ( x ) 1时(k 0), f ( 1) 4 f (0) f (1) (1 4 1 1) 2 I 0 ; 3 3 1 1 当f ( x) x时(k 1), f ( 1) 4 f (0) f (1) ( 1 4 0 1) 0 I1; 3 3
1
1 1 2 当f ( x ) x 时( k 2), f ( 1) 4 f (0) f (1) (1 0 1) I 2 ; 3 3 3 1 1 当f ( x ) x 3 时( k 3), f ( 1) 4 f (0) f (1) ( 1 0 1) 0 I 3 ; 3 3 1 1 2 2 4 当f ( x ) x 时( k 4), f ( 1) 4 f (0) f (1) (1 0 1) I 4。 3 3 3 5
数值计算数值积分
数值计算数值积分
数值积分是求解定积分的一种数值方法，它通过将定积分区间分割为若干小区间，在每个小区间上选用一个代表点，然后通过求出每个小区间上的面积之和来逼近定积分的值。
常见数值积分方法
矩形法
矩形法是一种最基本的数值积分方法，它将定积分区间分割为若干个相等的小区间，然后在每个小区间的左端点、右端点或中点上求出函数的函数值，最后将这些函数值相加乘以区间长度，即为定积分逼近值。
梯形法
梯形法比矩形法在逼近定积分时更加精确，它将每一小块区间都近似看作平行四边形，通过求出每个小区间上的梯形面积之和来逼近定积分值。
辛普森法
辛普森法是一种更高精度的数值积分方法，它将定积分区间分割为若干个相等的小区间，在每个小区间的两端和中点处分别求出函数的函数值，然后按照一定的公式将这些函数值组合起来求解定积分近似值。
总结
数值积分方法在数学、工程学等领域应用广泛，本文介绍了数值积分的三种常见方法，分别是矩形法、梯形法和辛普森法。
实际应用中可以根据不同的场景选择使用不同的数值积分方法，以更加准确地达到目标求解效果。
计算机方法-数值积分
14
算例: 试确定下面积分公式中的参数使其代数精确度尽量高.
I
h 0
h f ( x )dx [ f (0) f ( h)] ah2 [ f (0) f ( h)] I 2
0
解:
f ( x) x
I
h
0
x 0dx h
I2 h
f ( x ) x1 f ( x) x 2
有 特别地：当 x
x1 x0
f ( x)dx
x1 x0
L2 ( x)dx
1 ( x0 x1 ) ,于是， 2
x1 x0
( x1 x0 ) x0 x1 f ( x )dx f ( x0 ) 4 f ( ) f ( x1 ) 6 2
Simpson公式
n
Ak
Ak
b a
k j
( x x j ) ( xk x j )
dx
由 节点决定， 与 f (x) 无关。
19
§5.1.4 插值求积法 - 余项
误差:
R[ f ] f ( x)dx Ak f ( xk )
b a k 0
n
[ f ( x) Ln ( x)]dx Rn ( x)dx
a f ( x)dx F (b) F (a)
其中 F(x) 是 f (x) 的原函数之一，可用不定积分求得.
b
问题
被积函数 f (x) 是用函数表格提供; f(x) 极为复杂，求不出原函数; 大量函数的原函数不容易或根本无法求出.
0 e
1
x2
dx
sin x 0 x dx
1
第五章数值积分方法优秀课件
bf(x)dxf(x)(ba) a
将其用于积分的近似计算，取ξ=b, 得
---积分右矩形公式
复合右矩形公式 如在区间[a,b]内插入节点xj=a+jh(j=0,1,···,n), h=(b-a)/n 得到复合右矩形求积公式：
利用拉格朗日中值定理 f(x)f(a)f'(x)x (a)(x[a,b])
T(f)baf(a)f(b)
2
Tn
n1
Ik
k 0
n1 k 0
h 2
f
(xk
)
f (xk1)
Tn(f)h 2f(a)2k n 1差减小→控制
复合梯形公式(节点加密)
x 1/2
x 3/2
x k 1/2
x n1/2
…
…
x0
x1
x2 xk
2
5.1 插值型求积公式
梯形公式误差
广义积分中值定理 若f在[a, b]上连续，g在[a, b]上可积，且g(x)在[a, b]
上不变号，存在x, x∈[a, b]，使
bf(x)g(x)dxf(x)
b
g(x)dx
利用这一定理
a
a
梯形与曲边梯形面积的对比：
正负决定
5.1 插值型求积公式 三点二次拉格朗日插值积分--辛卜生公式 y=f(x) L2(x)
xk+1 xn-1
xn
Tnkn10Ikkn10h2f(xk)f(xk1) Tn
n1 k 0
Ik
n1 k 0
h 2
f
(xk )
f
(xk1)
Tn(f)h 2f(a)2kn 1 1f(xk)f(b)
I k k f(x) L1(x)axbbf(xa)L b1x(x)aafx(b)bbf(a)h 4 bxaaf(b) h 4 f x fk x k fx k 1 2 /2 f x h 4 k 1 f/2 x k 1 /2 f f x k x 1 k 1
将其用于积分的近似计算，取ξ=b, 得
---积分右矩形公式
复合右矩形公式 如在区间[a,b]内插入节点xj=a+jh(j=0,1,···,n), h=(b-a)/n 得到复合右矩形求积公式：
利用拉格朗日中值定理 f(x)f(a)f'(x)x (a)(x[a,b])
T(f)baf(a)f(b)
2
Tn
n1
Ik
k 0
n1 k 0
h 2
f
(xk
)
f (xk1)
Tn(f)h 2f(a)2k n 1差减小→控制
复合梯形公式(节点加密)
x 1/2
x 3/2
x k 1/2
x n1/2
…
…
x0
x1
x2 xk
2
5.1 插值型求积公式
梯形公式误差
广义积分中值定理 若f在[a, b]上连续，g在[a, b]上可积，且g(x)在[a, b]
上不变号，存在x, x∈[a, b]，使
bf(x)g(x)dxf(x)
b
g(x)dx
利用这一定理
a
a
梯形与曲边梯形面积的对比：
正负决定
5.1 插值型求积公式 三点二次拉格朗日插值积分--辛卜生公式 y=f(x) L2(x)
xk+1 xn-1
xn
Tnkn10Ikkn10h2f(xk)f(xk1) Tn
n1 k 0
Ik
n1 k 0
h 2
f
(xk )
f
(xk1)
Tn(f)h 2f(a)2kn 1 1f(xk)f(b)
I k k f(x) L1(x)axbbf(xa)L b1x(x)aafx(b)bbf(a)h 4 bxaaf(b) h 4 f x fk x k fx k 1 2 /2 f x h 4 k 1 f/2 x k 1 /2 f f x k x 1 k 1
计算方法数值积分
计算方法数值积分数值积分也叫数值积分法，是一种利用数值计算方法来近似计算定积分的技术。
数值积分法的基本思想是将求解定积分的问题转化为连续函数的逼近问题，通过对确定的函数值进行加权平均来估计定积分的值。
数值积分法的步骤如下：1.将被积函数f(x)分割成若干个小区间；2.在每个小区间上选择一个或多个代表点，计算这些代表点的函数值；3.将这些函数值与一组预先选定的权重相乘，并将结果求和，即可得到最终的近似积分值。
常用的数值积分法有矩形法、梯形法、辛普森法等。
矩形法是数值积分中最简单粗糙的近似计算方法。
它将每个小区间上的函数值等分为一个常量，用矩形面积的和来近似计算定积分。
具体来说，矩形法可分为左矩形法、右矩形法和中矩形法三种。
其中，左矩形法以每个小区间的左端点作为代表点，右矩形法以右端点作为代表点，中矩形法以每个小区间的中点作为代表点。
梯形法是通过近似使用梯形面积来计算定积分。
它的计算思想是将每个小区间上的函数值重新排列为两个连续点的直线，并计算这些直线与x轴之间的面积和。
具体来说，梯形法通过连接每个小区间的左右两个函数值，构成一个梯形来近似计算定积分。
辛普森法是一种更加精确的数值积分方法。
它的计算思想是将每个小区间上的函数值近似为一个二次多项式，并计算这些多项式的积分值。
辛普森法使用了更多的代表点，其中每两个相邻的代表点组成一个小区间，并使用一个二次多项式来逼近这个小区间上的函数。
辛普森法的精度比矩形法和梯形法要高。
数值积分法的精度受步长的影响，步长越小，近似误差越小。
在实际计算中，需要根据被积函数的特点和计算精度的要求来选择合适的数值积分法和步长。
此外，为了提高计算精度，还可以采用自适应步长和复合数值积分等方法。
总之，数值积分是求解定积分的一种近似计算方法，其基本思想是对函数的逼近和面积的加权平均。
常用的数值积分法有矩形法、梯形法和辛普森法等，选择合适的方法和步长可以提高计算精度。
数值积分法在科学计算领域和工程实践中被广泛应用。
数值计算方法课件CH4数值积分4.2复合求积法
f
(b)
f (a)]
1 4
(I
Tn
)
20
因此有
I T2n 1 I Tn 4
4I 4T2n I Tn
即
I
T2n
1 3
(T2
n
Tn )
这说明， T2n作为I的近似值时的截断误差 绝对值约为
1 3 T2n Tn
若预先给定的误差限为，只要 ，就认为此时的数
值积分T2n已经达到精度要求，可以停止计算了.
3 4
)]
14
k
1
f
(xk ) 7
f
(1)]
0.94608307
10
比较三个 公式的结果
精度最低 精度次高
T8 0.94569086 S4 0.94608331
精度最高 C2 0.94608307
原积分的精确值为 I 1sin x dx 0.946083070367183 0x
这三种方法都是求积区间上9个节点上的函数值的线性组合 进行计算，只是组合方法不同，但工作量基本相同.T8的精 度很低，但S4和C2的精度很高，相比较而言，复合Simpson 公式的复杂性居中，精度又可达到要求，故使用更普遍.
在数值积分中，精度是一个很重要的问题，复合求积法 对提高精度是很有效的.由复合求积公式的余项表达式看到， 精度与步长有关. 步长取得太大，精度难以保证，步长太小， 则求积会公导式致之计前算最量好的先增给加出，步并长且.积I累 T误n 差 11也2 h2会[ f 增(b) 大f (，a)]因此使用
从理论上讲，可以根据复合I求 S积n 公 118式0 的2h 4余[ f 项(b) 公f 式(a)或] 其近 似于被表积达函式数，的预高先阶确导定数出很恰难当估的计步I，长 C或hn 来者 9.24但被5 在积h4 6实函[ f (际数5)(b使)没 f用有(5)(中解a)]，析表由 达式，因此这个预估h的方法是不宜使用的.
计算方法 数值积分
"<<setw(7)<<intervals[i]+1<<" "<<setw(20)<<area1-2<<"
"<<setw(6)<<e<<endl;
❖}
3
2.5 辛普森积分法
2
1.5 1
0.5
0.5
1
1.5
x0 x0+x x0+2x
-0.5
原理介绍:
把区间[x0,x1]分为2n等分，n个
区间，在长度为2x 的区间上
❖ 对大多数f(x)而言，找原函 数困难，即使存在原函数也 不能用初等函数表示
ex2,sinx, 1x3...... x
❖ 原函数表达式过于复杂
x2 2x2 3 3
❖ 被积函数由表格给出，没有 解析形式，也无法使用 Newton-Leibniz公式来求 积分
数值积分
❖ 为了避免上述积分过程中存在的问题，我们可以采用 数值积分的方法来求解，这样就避免了原函数的求解 过程，同时对于由测量或计算得到的数据表表示的 f(x)也可以求解
❖
e[i]=value_integ[i]-2;
❖
cout.precision(15);
❖
for(j=0;j<20;j++)
❖
cout<<value_integ[j]<<" "<<" "<<e[j]<<" "<<e[j+1]/e[j]<<endl;
数值积分方法课件
热力学分析
通过数值积分方法，可以对物体的传热过程进行精确 分析。
在金融计算中的应用
01
股票价格预测
数值积分方法可以用于预测股票 价格的变动趋势，为投资决策提 供支持。
02
03
风险管理
精算学
在金融风险管理中，数值积分方 法可以用于评估投资组合的风险 水平。
在精算学中，数值积分方法可以 用于计算生命保险、养老保险等 保险产品的精算现值。
THANKS
感谢观看
按照被积函数的特征分类
可以分为有理函数的积分、无理函数的积分、超越函数的积分等。
02
常见数值积分方法
矩形法
总结词
简单、易理解、精度低
详细描述
矩形法是一种简单的数值积分方法，其基本思想是将积分区间划分为一系列小的矩形，然后用每个小 矩形的面积近似代替该区域的积分。该方法易于理解和实现，但精度较低。
分。
Gauss-Legendre积分法
03
精度高，计算量较大，适用于求解具有特定形状的积
分。
适用范围与场景
梯形法则
适用于简单的一维函数不定积分，如常数函 数、三角函数等。
Simpson法则
适用于具有对称性的积分，如奇函数或偶函数的积 分。
Gauss-Legendre积分法
适用于求解具有特定形状的积分，如圆环域 、球域等。
常见的数值积分公式包括梯形法则、辛普森法则 、高斯积分等。
数值积分的重要性
解决实际问题
数值积分被广泛应用于各种实际问题中，如物理学、工程学、经济学等。
理论计算基础
数值积分也是许多理论计算的基础，如微分方程、偏微分方程的求解等。
数值积分的分类
按照所使用的数值方法分类
通过数值积分方法，可以对物体的传热过程进行精确 分析。
在金融计算中的应用
01
股票价格预测
数值积分方法可以用于预测股票 价格的变动趋势，为投资决策提 供支持。
02
03
风险管理
精算学
在金融风险管理中，数值积分方 法可以用于评估投资组合的风险 水平。
在精算学中，数值积分方法可以 用于计算生命保险、养老保险等 保险产品的精算现值。
THANKS
感谢观看
按照被积函数的特征分类
可以分为有理函数的积分、无理函数的积分、超越函数的积分等。
02
常见数值积分方法
矩形法
总结词
简单、易理解、精度低
详细描述
矩形法是一种简单的数值积分方法，其基本思想是将积分区间划分为一系列小的矩形，然后用每个小 矩形的面积近似代替该区域的积分。该方法易于理解和实现，但精度较低。
分。
Gauss-Legendre积分法
03
精度高，计算量较大，适用于求解具有特定形状的积
分。
适用范围与场景
梯形法则
适用于简单的一维函数不定积分，如常数函 数、三角函数等。
Simpson法则
适用于具有对称性的积分，如奇函数或偶函数的积 分。
Gauss-Legendre积分法
适用于求解具有特定形状的积分，如圆环域 、球域等。
常见的数值积分公式包括梯形法则、辛普森法则 、高斯积分等。
数值积分的重要性
解决实际问题
数值积分被广泛应用于各种实际问题中，如物理学、工程学、经济学等。
理论计算基础
数值积分也是许多理论计算的基础，如微分方程、偏微分方程的求解等。
数值积分的分类
按照所使用的数值方法分类
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71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
数值计算方法数值积分
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46、寓形宇内复几时，曷不委心任去 留。
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47、采菊东篱下，悠然见南山。
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48、啸傲东轩下，聊复得此生。
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49、勤学如春起之苗，不然，不蔽风日；短褐穿结 ，箪瓢 屡空， 晏如也 。
谢谢你的阅读