选修4-5 不等式选讲(绝对值不等式)

x 3、 解不等式|x＋3|－|2x－1|＜ ＋1. 2
x 解 ①当 x＜－3 时，原不等式化为－(x＋3)－(1－2x)＜ ＋1，解得 x＜10， 2 ∴x＜－3. 1 x 2 ②当－3≤x＜ 时，原不等式化为(x＋3)－(1－2x)＜ ＋1，解得 x＜－ ， 2 2 5 2 ∴－3≤x＜－ . 5 1 x ③当 x≥ 时，原不等式化为(x＋3)－(2x－1)＜ ＋1，解得 x＞2，∴x＞2. 2 2 2 综上可知，原不等式的解集为 xx＜－5，或x＞2 .
解：(1)证明：由 a>0，有
1 f(x)＝x＋a ＋|x－a| 1 ≥x＋a－（x－a）
1 ＝a＋a≥2，
所以 f(x)≥2. 1 1 3 ＋ (2)f(3)＝ a＋|3－a|，当 a>3 时，f(3)＝a＋a， 5＋ 21 由 f(3)<5 得 3<a< . 2 1＋ 5 1 当 0<a≤3 时，f(3)＝6－a＋ ，由 f(3)<5 得 <a≤3. a 2 1＋ 5 5＋ 21 综上，a 的取值范围是 . ， 2 2
动一个单位到点B1，此时B1A＋B1B＝5，
故原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．
法二： （零点分段法） 原不等式|x－1|＋|x＋2|≥5⇔
x≤－2， －2＜x＜1， 或 －x－1－x＋2≥5 －x－1＋x＋2≥5 x≥1， 或 解得 x≥2 或 x≤－3， x － 1 ＋ x ＋ 2 ≥ 5 ，
a 的取值范围．
解
(1)当 a＝－2 时，不等式 f(x)＜g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3＜0.
设函数 y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，
1 －5x，x＜2， 1 则 y＝ － x － 2 ， ≤x≤1， 2 3x－6，x＞1，
其图像如图所示，由图像可知，当且仅当 x∈(0,2)时，y＜0. 所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．
(2)由 f(x)≤0 得|x－a|＋3x≤0.
x≥a， x<a， 此不等式化为不等式组 或 x－a＋3x≤0 a－x＋3x≤0， x≥a， 即 a x≤ 4 x<a， 或 a x≤－ . 2
a 因为 a>0，所以不等式组的解集为xx≤－2 .
(2)|x－2|－|x －1|＞0
(4)|x－8|－|x－4|＞2 基本性质法
3 ) 2
平方法
(3)法一：（几何法）如图，设数轴上与－2,1对应的点分别是A，
B，则不等式的解就是数轴上到A、B两点的距离之和不小于5的
点所对应的实数．显然，区间[－2,1]不是不等式的解集．把A向
左移动一个单位到点A1，此时A1A＋A1B＝1＋4＝5.把点B向右移
【规律方法】： 形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法： (1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为 (－∞， a]，(a，b]，(b，＋∞)(此处设a＜b)三个部分，在每个部分上去掉绝对值 号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集． (2)几何法：利用|x－a|＋|x－b|＞c(c＞0)的几何意义：数轴上到点x1＝a和 x2＝b的距离之和大于c的全体，|x－a|＋|x－b|≥|x－a－(x－b)|＝|a－b|. (3)图像法：作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图像，结合图像求解．
第三节
[最新考纲]
绝对值不等式
1．理解绝对值的几何意义；理解绝对值三角不等式的代数证 明和几何意义，并了解其等号成立的条件；能利用绝对值
三角不等式证明一些简单的绝对值不等式．
2．掌握|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解
法．
1．绝对值三角不等式 (1)定理1：如果a，b是实数，则|a＋b| ≤ |a|＋|b| ，当且仅当 ab≥0 时，等号成立； | (2)定理2：如果a，b，c是实数，则|a－c|≤ |a－b|＋|b－c ，当且 仅当 (a－b)(b－c)≥0 时，等号成立．
(2)当
a 1 x∈－2，2 时，f(x)＝1＋a，
不等式 f(x)≤g(x)化为 1＋a≤x＋3， 所以 x≥a－2 对
a 1 x∈－ ， 都成立， 2 2
a 4 应有－ ≥a－2，则 a≤ ， 2 3 从而实数 a
4 的取值范围是－1，3 .
6、设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0. (1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集； (2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值． 解 (1)当a＝1时，f(x)≥3x＋2可化为|x－1|≥2.
由此可得x≥3或x≤－1.
故不等式f(x)≥3x＋2的解集为{x|x≥3，或x≤－1}．
4，x≤4， (4)令 f(x)＝|x－8|－|x－4|＝－2x＋12，4＜x≤8， －4，x＞8， 当 x≤4 时，f(x)＝4＞2； 当 4＜x≤8 时，f(x)＝－2x＋12＞2，得 x＜5，∴4＜x＜5； 当 x＞8 时，f(x)＝－4＞2 不成立． 故原不等式的解集为：{x|x＜5}．
∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．
法三：(数形结合法)将原不等式转化为|x－1|＋|x＋2|－5≥0.
－2x－6，x≤－2， 令 f(x)＝|x－1|＋|x＋2|－5，则 f(x)＝－2，－2＜x＜1， 2x－4，x≥1.
作出函数的图像，如图所示．
由图像可知，当 x∈(－∞，－3]∪[2，＋∞)时，y≥0， ∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．
|a|－|b| a±b|≤________ |a|＋|b|； (3)性质：________≤|
2．绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解法：
不等式 |x|<a |x|>a a>0 {x|－a<x<a} {x|x>a，或 x<－a} a＝0 ∅ {x|x∈R，且 x≠0} a<0 ∅ R
式的解集∅的对立面(如f(x)＞m的解集是空集，则f(x)≤m
恒成立)也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化
为最值问题，即f(x)＜a恒成立⇔a＞f(x)max，f(x)＞a恒成
立⇔a＜f(x)min.
【针对训练】：
1、资料选修4系列P16[试一试]：1，2 2、资料选修4系列P16[练一练]：2
【规律方法】 含有多个绝对值的不等式，可以分别令各绝对值里的式子 为零，并求出相应的根．把这些根从小到大排序，以这些根 为分界点，将实数分成若干小区间．按每个小区间来去掉绝
对值符号，解不等式，最后取每个小区间上相应解的并集．
【练习】 1、资料选修4系列P18：[针对训练]；
2、 (2012· 新课标全国卷)已知函数 f(x)＝|x＋a|＋|x－2|. (1)当 a＝－3 时，求不等式 f(x)≥3 的解集； (2)若 f(x)≤|x－4|的解集包含[1,2]，求 a 的取值范围．
解：法一：因为|x＋1|－|x－3|表示数轴上的点P(x)与两定点 A(－1)，B(3)距离的差，即|x＋1|－|x－3|＝PA－PB. 由绝对值的几何意义知，PA－PB的最大值为AB＝4， 最小值为－AB＝－4， 即－4≤|x＋1|－|x－3|≤4. (1)若不等式有解，a只要比|x＋1|－|x－3|的最大值小即可，故a＜4. (2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，只要a比|x＋1|－|x－3| 的最小值还小，即a＜－4. (3)若不等式的解集为∅，a只要不小于|x＋1|－|x－3|的最大值即可，
(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：
①|ax＋b|≤c⇔_______________ －c≤ax＋b≤c ；
②|ax＋b|≥c⇔______________________. ax＋b≥c或ax＋b≤－c
(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法：
法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合 的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 法三：通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与 方程的思想．
考点一
含绝对值不等式的解法
[典例] 解下列不等式：
(1)1＜|x＋1|＜3
(3)|x－1|＋|x＋2|≥5 解：(1) (－4，－2)∪(0,2) (2) ( ,
考点二
含参数的绝对值不等式问题
[典例] 1、(2012·山东卷)若不等式|kx－4|≤2的解集为 {x|1≤x≤3}，则实数k＝________. 解析：∵|kx－2|≤2，∴－2≤kx－4≤2，∴2≤kx≤6.
∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2.
考点二
含参数的绝对值不等式问题
[典例] 2、已知不等式|x＋1|－|x－3|＞a.分别求出下列情形中 a的取值范围： (1)不等式有解； (2)不等式的解集为R； (3)不等式的解集为∅.
－2x＋5，x≤2， 解 (1)当 a＝－3 时，f(x)＝1，2<x<3， 2x－5，x≥3. 当 x≤2 时，由 f(x)≥3 得－2x＋5≥3，解得 x≤1； 当 2<x<3 时，f(x)≥3 无解； 当 x≥3 时，由 f(x)≥3 得 2x－5≥3，解得 x≥4. 所以 f(x)≥3 的解集为{x|x≤1，或 x≥4}．
即a≥4.
法二：由|x＋1|－|x－3|≤|x＋1－(x－3)|＝4. |x－3|－|x＋1|≤|(x－3)－(x＋1)|＝4. 可得－4≤|x＋1|－|x－3|≤4. (1)若不等式有解，则a＜4； (2)若不等式的解集为R，则a＜－4； (3)若不等式解集为∅，则a≥4.
源自文库
【规律方法】 本题中(1)是含参数的不等式存在性问题，只要求存 在满足条件的x即可； 不等式的解集为R是指不等式的恒成立问题，而不等
3、资料选修4系列P17考点一：2，3
4．(2012·山东卷)若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实
数k＝________.
解析 ∵|kx－2|≤2，∴－2≤kx－4≤2，∴2≤kx≤6. ∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2. 答案 2
5．已知关于x的不等式|x－1|＋|x|≤k无解，则实数k的取值范围 是________． 解析 ∵|x－1|＋|x|≥|x－1－x|＝1，∴当k＜1时，不等式|x (－∞，1) －1|＋|x|≤k无解，故k＜1. 答案
a 由题设可得－ ＝－1，故 a＝2. 2
考点三
绝对值不等式的证明
[典例] 资料选修4系列P17 考点二
练习： 资料选修4系列P17 ：1、一题多变； 2、[针对训练]
3、(2014· 新课标全国卷Ⅱ)设函数
1 f(x)＝x＋a ＋|x－a|(a＞0)．
(1)证明：f(x)≥2； (2)若 f(3)＜5，求 a 的取值范围．
考点四
绝对值不等式的综合应用
[典例] 1、(2013· 新课标全国Ⅰ卷)已知函数 f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|， g(x)＝x＋3. (1)当 a＝－2 时，求不等式 f(x)<g(x)的解集； (2)设 a>－1，且当
a 1 x∈－2，2 时，f(x)≤g(x)，求
【针对训练】：
1.不等式|x－5|＋|x＋3|≥10 的解集是( A.[－5,7] C.(－∞，－5]∪[7，＋∞) B.[－4,6] D.(－∞，－4]∪[6，＋∞) )
2、资料选修 4 系列 P16[练一练]：1
解析：解法一：当 x≤－3 时，5－x＋(－x－3)≥10，∴x≤－4； 当－3<x<5 时，5－x＋x＋3≥10,8≥10 无解，舍去； 当 x≥5 时，x－5＋x＋3≥10，∴x≥6. 综上 x∈(－∞，－4]∪[6，＋∞). 选 D. 解法二：用特殊值检验，取 x＝5 不符合题意，排除 A、B， 取 x＝6 符合，排除 C，选 D.