高等数学A自测题

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高等数学A卷(四套)

高等数学A 卷院系：________________ 专业：_________________ 班级：________________ 任课教师：_____________ 姓名： _______________学号：_________________考试说明1. 本试卷考查高等数学(上、下)教学大纲所要求的教学内容。

2. 本试卷包含5个大题，21个小题。

全卷满分150分，考试用时180分钟。

一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的横线上。

本大题共20分，共计5小题，每小题4.0分）1. 函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的： A.必要而非充分条件B.充分而非必要条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件2.2______y x y x V ===由曲线及轴旋转所得的旋转体的体积A.715π B.1(1)3π-　C.1π-D.3π　3. 若方程''+'+=y py qy 0的系数满足p qx +=0，,则该方程有特解 A.y x = B.y e x = C.y ex=-D.y x =sin4. 设级数n n nn cos ()21321π=∞∑和级数n n nnn ln (ln )()=∞∑12，其敛散性的判定结果是A.（1）收敛,（2）发散B.（1）发散,（2）收敛C.（1）（2）都收敛D.（1）（2）都发散5. 直线53702370x y z x y z +--=+--=⎧⎨⎩A.垂直yoz 平面B.在yoz 平面内C.平行x 轴D.在xoy 平面内二、填空题（将正确答案填在横线上。

本大题共20分，共计5小题，每小题4.0分） 6.=⎰x x d tan 2______7. 1______pdxp x ⎰若广义积分收敛，则必有 8. 2239lim ______6x x x x →---的值等于9.10. 函数f x y z x (,,)=-22在x y z 22222--=条件下的极大值是三、计算题（解答下列各题。

深圳大学高等数学A2补充题答案及自测题答案

AC1．在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ (1,2,3)A - 第IV 卦限 (2,3,B - 第V 卦限 (2,3,4)C -- 第VIII 卦限 (2,3,1)D --第III 卦限． 2．证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形．证明：如图所示 MC AM = MD BM ==+=+=∴AD 与BC 平行且相等，结论得证．3．已知两点1M 和2(3,0,2)M ,计算向量12M M的模，方向余弦和方向角以及平行于向量12M M的单位向量．解： k j 2i 21+--=M M2)21()02()34(222=-+-+-=方向余弦：21cos -=α，22cos -=β，21cos =γ．方向角：32πα=，43πβ=，3πγ=．平行于向量21M M 的单位向量是k 21j 22i 21±． 4．设=3+5+8m i j k ,=2n i 47-j-k ,=5+p i j 4-k ,求=4+3a m n -p 在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量．解：因为p n 3m 4a -+=k15j 7i 13)k 4j i 5()k 7j 4i 2(3)k 8j 5i 3(4++=-+---+++=所以在x 轴上的投影为13a =x ．在y 轴上的分向量为j 7．1．已知1(1,1,2)M -，2(3,3,1)M 和3(3,1,3)M ，求同时与12M M ，23M M垂直的单位向量．解：k j 4i 221-+=M M ，k 2j 232+-=M M ，设所求向量为),,(c b a b =，因为21M M b ⊥ ，所以 042=-+c b a因为32M M b ⊥，所以 022=+-c b ，因为1||=b ，所以1222=++c b a求得173±=a ，172=b ，172=c故所求单位向量为)172,172,173(±=be方法二：所求向量)4,4,6(2201422221--±=--±=⨯±=kj iM M M M b故)172,172,173(161636)4,4,6(||±=++--±==b b e b2．设{}=3,5,-2a ，{}=2,1,4b ，问λ与μ有怎样的关系能使+λμa b 与z 轴垂直．解：)k 4j i 2()k 2j 5i 3(b i +++-+=+μλμλk )42(j )5(i )23(μλμλμλ+-++++=因为与z 轴垂直，所以μλμλ2042=⇒=+-．3．设=2+m a b ，=k +n a b ，其中=1a ，=2b ，且⊥a b ． (1) k 为何值时，⊥m n ；(2) k 为何值时，m 与n 为邻边的平行四边形面积为6？解：(方法一) 设},,{z y x a a a a =，},,{z y x b b b b = ，由题意已知1222=++z y x a a a ，4222=++z y x b b b ，0=++z z y y x x b a b a b a}2,2,2{z z y y x x b a b a b a m +++= ，},,{z z y y x x b ka b ka b ka n +++=(1) 已知n m⊥，所以0))(2())(2())(2(=++++++++z z z z y y y y x x x x b ka b a b ka b a b ka b a求得 2-=k ．(2) 根据题意，||6n m⨯=，得1-=k ，或5=k ．(方法二) (1) n m ⊥ ，0 =⋅∴n m ⇒0)()2(=+⋅+b a k b a ⇒0||||222=+b a k⇒042=+k ⇒2-=k .(2) 6 =S ，6|| =⨯∴n m ⇒6|)()2(|=+⨯+b a k b a⇒6|)()(2|=⨯-⨯b a k b a ⇒6|||2|=⨯⋅-b a k⇒6|||||2|=⋅⋅-b a k ⇒3|2|=-k ⇒51=-=k k 或.§7—31．一动点与两定点(2,3,1)和(4,5,6)等距离，求这动点的轨迹方程．解：设动点坐标为),,(z y x ，根据题意，有222222)6()5()4()1()3()2(-+-+-=-+-+-z y x z y x等式两边平方，然后化简得 0631044=-++z y x ． 2．求以点(1,3,2)O -为球心，且通过坐标原点的球面方程．解：设球面上点的坐标为),,(z y x ，根据已知条件，得222222)20()30()10()2()3()1(++-+-=++-+-z y x整理得 0462222=+--++z y x z y x ． 3．画出下列方程所表示的曲面： (1) 22244x y z ++=；解：椭球抛物面 (2) 22240x y z +-=；解：圆锥面(3) 22349z x y =+．解：旋转抛物面§7—41．画出下列曲线在第一卦限内的图形：(1) 12x y =⎧⎨=⎩；解：(2) 0z x y ⎧⎪=⎨-=⎪⎩解：(3) 222222x y a x z a⎧+=⎨+=⎩．解：2．方程组221493x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩在平面解析几何与空间解析几何中各表示什么？解：在平面解析几何中，表示椭圆22149x y +=与直线3y =(其实是过点(0,3)的一条切线)的交点；空间解析几何中，表示椭圆柱面22149x y +=与其切平面3y =的交线(直线).3．求由上半球面z =220x y ax +-=及平面0z =所围成的立体，在xOy 面和xOz 面上的投影．解：想象该立体的形状，知向xoy 面上的投影柱面的方程为ax y x =+22，即为圆柱面222)2()2(ay a x =+-，故该立体在xoy 面上的投影为圆面： ⎪⎩⎪⎨⎧=≤+-0)2()2(222z a y a x ．消去y ：222y x a z --=，在xoz 面上的投影是⎪⎩⎪⎨⎧==+0222y az x柱面022=-+ax y x 在xoz 面上的投影是⎪⎩⎪⎨⎧==-002y ax x故在xoz 面上的投影是⎩⎨⎧=≥≥≤+0,0 ,222y x z a z x .§7—51．求通过点(3,0,1)-且与平面375120x y z -+-=平行的平面方程．解：设所求平面方程为0573=++-D z y x ，因为过点)1,0,3(-，所以0)1(*50*73*3=+-+-D ，得4-=D ，故所求平面方程为04573=-+-z y x2．求过点0(2,9,6)M -且与连接坐标原点及点0M 的线段0OM 垂直的平面方程．解：由条件 }6,9,2{0-=OM 与平面垂直，所以}6,9,2{-=n，所求平面方程为0)6(6)9(9)2(2=+--+-z y x ，即0121692=--+z y x ．3．求平面2250x y z -++=与各坐标面的夹角余弦．解：与xoy 平面的夹角余弦为319|1*10*)2(0*2|cos 1=+-+=θ 与xoz 平面的夹角余弦为329|0*11*)2(0*2|cos 2=+-+=θ与yoz 平面的夹角余弦为329|0*10*)2(1*2|cos 3=+-+=θ§7—61．求过点(4,1,3)-且平行于直线3125x z y --==的直线方程．解：设所求直线为l ，直线5123-==-z y x 的方向向量为)5,1,2(，则直线l 的方向向量为)5,,2(t t t ，故所求直线方程为53124-=+=-z y x ． 2．求过两点1(3,2,1)M -和2(1,0,2)M -的直线方程．解：所有直线L 过点1M ，2M 两点，则L M M //21，故可取21M M s =，即}1,2,4{}12,20,31{21-=-+--==M M s所以所求直线方程为：121202313--=++=---z y x ，即112243-=+=--z y x ．3．求点(1,2,0)-在平面210x y z +-+=上的投影．解：过点)0,2,1(-且垂直于平面的直线方程为⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+-=t z t y tx 0221，代入平面方程中，01)()22(2)1(=+--+++-t t t ，得32-=t ，代入直线的参数方程，得35-=x ，32=y ，32=z ，即投影点为)32,32,35(-．第八章多元函数微分法及其应用§8-11.求函数22(,,)arcsin x y f x y z z+=的定义域.解：要使函数有意义，须0z ≠，且221.x y z+≤ 即, 22,0x y z z +≤≠ 或 22,0.z x y z ≤-≠－ 2．求极限：2001cos()lim.()x y x y x y →→-++ 解：(方法一) 22200002sin 1cos()112lim lim .()422x x y y x yx y x y x y →→→→+-+==++⎛⎫ ⎪⎝⎭(方法二) 2121lim cos 1lim 22020==-=→→=+t t tt t t ty x 原式. §8-21．设2,y z u x +=求一阶偏导数. 解：22221();ln ;2ln .y z y z y z u u uy z x x x zx x x y z+-++∂∂∂=+==∂∂∂ 2．设2ln(sin )z x y =+，求偏导数,z z x y ∂∂∂∂及2.z x y∂∂∂解：2222222cos 22cos ;;.sin sin sin (sin )z x z y z x x yx x y y x y x y y x y x y ⎛⎫∂∂∂∂====- ⎪∂+∂+∂∂∂++⎝⎭ §8-3设xz u y =，求du . 解：1ln ;;ln .xz xz xz u u uzy y xzy xy y x y z-∂∂∂===∂∂∂1ln ln .xz xz xz u u udu dx dy dz zy ydx xzy dy xy ydz x y z-∂∂∂∴=++=++∂∂∂ §8-41．设(,)x z f x y =，求2,,z z zx y x y∂∂∂∂∂∂∂.解：令,.xu x v y==则''''12121;z du v f f f f x dx x y ∂∂=⋅+⋅=+∂∂''222;z v xf f y y y∂∂=⋅=-∂∂ ''2''''''''121221222222231111.f f z z x x f f f f f f x y y x y y y y y y y y y⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫==+=-+=--- ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭2. 设22x y z e +=，其中cos y x =，求dzdx. 解：令22,.u x v y ==则222222222-2s i n x y x y x y x y d z u v d y e e x e y ex d x xy d x++++∂∂=⋅+⋅⋅=∂∂22cos (2-sin2).x xex x +=§8-51．设ln x zz y=，求22,z z x x ∂∂∂∂.解：设(,,)ln .xz F x y z z y =-则211,,.x y z x zF F F z y z+===-由隐函数存在定理，得22223;()1.()()x z F z zx F x zz z x z z z z z z x x x x x x x z x z x z ∂=-=∂+∂∂⎛⎫+-+ ⎪∂∂∂∂-∂∂⎛⎫⎛⎫⎝⎭==== ⎪ ⎪∂∂∂∂+++⎝⎭⎝⎭2．设(,)F u v 可微，0F F ab u v∂∂+≠∂∂，证明由22(,)0F x az y bz --=所确定的函数(,)z z x y =满足方程2z zaybx xy x y∂∂+=∂∂. (方法一) 证明：设22,.u x az v y bz =-=-则2;2;.x u y v z u v F xF F yF F aF bF ===-- 由于0F F ab u v∂∂+≠∂∂，于是，由隐函数存在定理，得 22;.y x u v z u v z u vF F xF yF z zx F aF bF y F aF bF ∂∂=-==-=∂+∂+从而，222.u vu vxy aF xy bF z z aybx xy x y aF bF ⋅+⋅∂∂+==∂∂+ 证毕.（方法二）证明：方程22(,)0F x az y bz --=两边分别对x ,y 求导：（注意),(y x z z =）对x 求导：0)()2(21=∂∂-+∂∂-x z b F x z a x F ⇒2112bF aF xF x z+=∂∂ 对y 求导：0)2()(21=∂∂-+∂∂-y zb y F y z a F ⇒2122bF aF yF y z +=∂∂ 从而满足方程2z zaybx xy x y∂∂+=∂∂. §8-61．求曲线2244x y z y ⎧-=⎪⎨⎪=⎩在点(2,4,5)处的切线方程，并问该切线与x 轴的正向所成的角度是多少？解：(方法一) 设22(,,),(,,) 4.4x y F x y z z G x y z y -=-=- 于是，曲线在点(2,4,5)处的切向量为z y x z x y 000000y x x y F F F - -1 1 -,,,,(1,0,1).2222 G G G 1 00 00 1y x z y z x F F F t G G G ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴切线方程为：245.101x y z ---== 即：30.4x z y -+=⎧⎨=⎩另外，x 轴上的单位向量为(1,0,0)i =.由两向量夹角余弦公式得：cos i t i t θ⋅===⋅ .∴切线与x轴的正向所成的角度是.4πθ== (方法二) 设切向量)5,4,2(},,1{x z x y t ∂∂∂∂=⇒}1,0,1{}2,0,1{)5,4,2(==xt 所以切线方程为：245.101x y z ---== 即：30.4x z y -+=⎧⎨=⎩ 另外设该切线与x 轴正向所成角为α，则αtan =∂∂x z ⇒2tan x=α代入点)5,4,2(1tan =⇒α，所以4πα=.2．证明曲面3xyz a =的切平面与坐标面所围成的四面体的体积为一个常数.证明：设3(,,).F x y z xyz a =- 则;;.x y z F yz F xz F xy ===于是，曲面3xyz a =在它上面任意一点000(,,)x y z 处的切平面方程为：000000000()()()0.y z x x x z y y x y z z -+-+-= 即 000000003.xy z yx z zx y x y z ++= 易知，该切平面在,,x y z 轴上的截距分别为：0003,3,3.x y z则，切平面与坐标面所围成的四面体的体积为 30000001199333.3222V x y z x y z a =⋅⋅⋅⋅== 证毕.§8-71. 求22(,,)2f x y z y yz x =+-在点(1,2,1)处的方向导数的最大值. 解：由已知，有2;22;2.x y z f x f y z f y =-=+=(1,2,1)(1,2,1)(2,22,2)(2,6,4).gradf x y z y ∴=-+=-而，22(,,)2f x y z y yz x =+-在点(1,2,1)处的方向导数在沿(,,)f x y z 在该点的梯度方向取得最大值，最大值即为梯度的模.∴最大值为(1,2,1)gradf ==2.求222ln()u x y z =++在点(1,2,1)-处沿从点(5,1,2)到点(9,4,14)的方向的方向导数.解：向量(9,4,14)(5,1,2)(4,3,12)-=的方向即是l 的方向.于是，与l 同向的单位向量4312(,,).131313l e =222(1,2,1)(1,2,1)222(1,2,1)(1,2,1)222(1,2,1)(1,2,1)(1,2,1)21;322 ;321 .31423112231331331339u xx x y z u yy x y z u zz x y z u l -------∂==∂++∂==∂++∂==-∂++∂∴=⋅+⋅-⋅=-⋅∂§8-81．将正数a 分成三个正数,,x y z 之和，使得2u xyz =最大. 解：即是求2u xyz =在条件x y z a +＋＝下的最大值.构造拉格朗日函数：2(,,,)().L x y z xyz x y z a λλ=+++-求解方程组220020x y z L yz L xz L xyz x y z a λλλ⎧=+=⎪=+=⎪⎨=+=⎪⎪++=⎩得：,,.442a a a x y z ===这是2u xyz =在条件x y z a +＋＝下的唯一可能极值点，而2u xyz =的最大值一定存在.故，,,442a a a x y z ===就是满足条件的a 的分解，此时，4.64a u =2．求函数ln ln 3ln u x y z =++在22225(0,0,0)x y z r x y z ++=>>>上的最大值.解：构造拉格朗日函数2222(,,,)ln ln 3ln (5).L x y z x y z x y z r λλ=+++++-求解下列方程组22221201203205x yz L x x L y y L z z x y z rλλλ⎧=+=⎪⎪⎪=+=⎪⎨⎪=+=⎪⎪⎪++=⎩得：,,.x r y r z r ==这是唯一可能的极值点，而最大值一定存在.故，ln ln 3ln u x y z =++在22225(0,0,0)x y z r x y z ++=>>>上的最大值在,,x r y r z ===时取得，最大值为5ln .第九章重积分§9－11．估计积分的22()DI x y dxdy =+⎰⎰值，其中22: 1.D x y +≤解：在区域D 上，有220 1.x y ≤+≤区域D 的面积21.S ππ=⋅= 由估值定理得：001.I πππ=⋅≤≤⋅= 2．比较积分2()Dx y dxdy -⎰⎰与3()Dx y dxdy -⎰⎰的大小，其中D 由0,x =0,1y x y ==+所围.解：区域D 可以表示为：01,10.x x y ≤≤-≤≤则在区域D 上有： 1.x y -≤从而，32()()x y x y -≤-在D 上成立.32 ()().DDx y dxdy x y dxdy ∴-≤-⎰⎰⎰⎰3．2224,:,0,0,Ddxdy D x y R x y π=+≤≥≥⎰⎰则________.R =解：区域D 是半径为R ，圆心在原点的四分之一圆域.由已知，D 的面积为：4.Ddxdy π=⎰⎰4.∴=§9－2 1．110sin _________.yxdy dx x=⎰⎰ 解：积分区域{}(,)01,1.D x y y y x =≤≤≤≤把D 视作X-型区域，则{}(,)01,0.D x y x y x =≤≤≤≤于是，[]1111100000sin sin sin cos 1cos1.x yx x x dy dx dx dy xdx x x x x==⋅=-=-⎰⎰⎰⎰⎰ 2．{}22,(,)1,0,0,_____.DI xdxdy D x y x y x y I ==+≤≥≥=⎰⎰则1111(); (); (); ()A dx xdy B dx C dx D ⎰⎰⎰⎰解：将D 视为X-型区域：{(,)01,0.D x y x y =≤≤≤≤100. ().I dx C ∴=⎰故，选3．cos 20(cos ,sin )______.d f r r rdr πθθθθ=⎰⎰110000111() (,); () (,);() (,); () (,)A dy f x y dxB dx f x y dyC dy f x y dxD dx f x y dy ⎰⎰⎰⎰⎰解：由已知，在极坐标系中，积分区域D:0,0cos .2r πθθ≤≤≤≤则在直角坐标系中，积分区域D：01,0x y ≤≤≤≤1(,).().dx f x y dy B ⎰于是，原式＝故，选4．求D⎰⎰，D 由,1,1y x x y ==-=所围. 解：积分区域D 可视作X-型区域：11, 1.x x y -≤≤≤≤()13111222111311212311(1).32x Dx dx x y dxx dx ---⎡⎤∴==-+-⎢⎥⎣⎦=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 5．计算{}22,(,)0,2.DI D x y y x x y x ==≤≤+≤解：在极坐标系中，积分区域D 可以表示为：0,02cos .4πθρθ≤≤≤≤那么，2cos 232444000088cos (1sin )sin 339I d d d d πππθθρρθθθθ===-=⎰⎰⎰⎰ §9－31．计算xyzdV Ω⎰⎰⎰，其中Ω为2221x y z ++=及三个坐标面所围成的在第一卦限内的闭区域.解：令sin cos ,sin sin ,cos .x r y r z r ϕθϕθϕ===则Ω可以表示为：0,0,0 1.22r ππθϕ≤≤≤≤≤≤于是，有122201352200sin cos sin sin cos sin 1111 =sin cos sin cos .24648xyzdV d d r r r r dr d d r dr ππππθϕϕθϕθϕϕθθθϕϕϕΩ=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2．zdxdydz Ω⎰⎰⎰，Ω由221()22z x y z =+=与所围.解：将Ω投影在z 轴上得投影区间[0,2].取[0,2]z ∀∈，过(0,0,)z 作平行于xoy 面的平面，该平面与Ω的交面记为,z D 则{}22(,,)2.z D x y z x y z =+≤ 于是，220016()2.3z D zdxdydz zdxdy dz z zdz ππΩ==⋅⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 3．xdxdydz Ω⎰⎰⎰，Ω由z z ==所围的第一卦限部分.解：令cos ,sin .x r y r θθ==将Ω投影在xoy 面上得投影区域：(,)0,0.22xy D r r πθθ⎧⎪=≤≤≤≤⎨⎪⎪⎩⎭过(,)xy r D θ∀∈作平行于z 轴的直线，该直线从)z r =即z＝进入Ω内，由z z ==即从Ω穿出. 则Ω可以表示为：0,022r r z πθ≤≤≤≤≤≤ 于是，有22200sin 22400cos cos )111 =sin cos .16163216rr xdxdydz d rdz d r drd πππϕθθθθπϕϕϕΩ==⋅=⋅--=-⎰⎰⎰⎰⎰=⎰令第十章曲线积分与曲面积分§10－11．设L为下半圆周y =22()________.L x y ds +=⎰ 解：(方法一)L的参数方程为：cos ,2.sin x y θπθπθ=⎧≤≤⎨=⎩则.ds d θθ==于是，222().L x y ds d ππθπ+==⎰⎰ (方法二) ππ=⋅⋅==+⎰⎰≤=+12211)()0(1:2222ds dsy x Ly y x L L. 2．xyzds Γ⎰，其中Γ为2cos 2sin ,0.4x ty t t z t π=⎧⎪=≤≤⎨⎪=⎩解：由已知，得.ds ==于是，444044002cos 2sin sin 2cos 2 cos 2cos 22xyzds t t t t tdt td tt t tdt πππππΓ=⋅⋅=⋅=⎤=-=⎥⎦⎰⎰⎰§10－21．(2)L a y dx xdy -+⎰，其中L 为摆线(sin ),(1cos )x a t t y a t =-=-上对应于t 从0到2π的一段弧. 解：由已知，(sin ):,02.(1cos )x a t t L t y a t π=-⎧⎨=-⎩从变到那么，[]20222(2)(2cos )(1cos )(sin )sin sin 2.La y dx xdy a a a t a t a t t a t dt a t tdt a πππ-+=-+⋅-+-⋅==-⎰⎰⎰§10－31．设L 为1x y +=的反时针方向，则2(2)()_.y xLxy e dy y y e dx -+-+=⎰()0; ()2; ()4; ()1.A B C D解：记L 所围的区域为D ，易知D.由已知，2,2.x y P y y e Q xy e =-+=- 则，221 1.Q Py y x y∂∂-=-+=∂∂ 由格林公式，得2(2)()1 2.y xLDxy e dy y y e dx dxdy -+-+==⎰⎰⎰ 故，选(B).2．22L xdy ydxx y-+⎰，L 经上半椭圆221(0)4x y y +=≥从(2,0)(2,0)A B -→.(方法一) 解：选适当的0r >,构造上半圆周222(0)x y r y +=≥，设它与x轴的两个交点为(,0),(,0),C r D r -其方向为从D 到C.则 L BD DCCA +++构成分段光滑封闭曲线，记其所围成的区域为Ω.由已知，22222222222222,. 0.()()y x Q P y x y x P Q x y x y x y x y x y -∂∂--==-=-=++∂∂++则，由格林公式，得 220.L DC xdy ydxQ P dxdy x y x y +++Ω⎛⎫-∂∂=--= ⎪+∂∂⎝⎭⎰⎰⎰ 则， 22222222.LBD DC CA xdy ydx xdy ydx xdy ydx xdy ydx x y x y x y x y ⎛⎫---- ⎪++++⎝⎭⎰⎰⎰⎰ ＝－＋＋而， cos :,2:,0:,--2.0sin 0x x x r x x BD x r DC CA x r y y r y θθπθ===⎧⎧⎧→→→⎨⎨⎨===⎩⎩⎩从；从；从于是， 2222222000; 0; .r BD CA DC xdy ydx xdy ydx xdy ydxdx d x y x y x yπθπ---=====+++⎰⎰⎰⎰⎰ 故，.π原式＝－(方法二) 解：x y Q P = ，∴该曲线积分与路径无关，选择路径上半圆4:22=+y x l .πθθθθππ-==+=+-=+-⎰⎰⎰⎰d d y x ydxxdy y x ydx xdy lL0022222214sin 4cos 4. 3．22321(1)L y x ydx dy x x ++-⎰，L 沿2241x y y +-=的反时针方向从(1,0)(2,1)A B →.解：构造辅助折线BCA ，其中点C(1,1). 则L BCA +为一分段光滑的封闭曲线，记其所围成的区域为D.由已知，2232331(1)22,. 0.y x y Q P y yP Q x x x y x x ++∂∂==-=-=∂∂则－由格林公式得：22321(1)0.L BCA y x ydx dy x x +++-=⎰ 于是，22321(1)L y x y dx dy x x ++-⎰＝22321(1)BCA y x y dx dy x x++--⎰. 对于22132321(1)23:,2 1. .14BC x x y x y BC x dx dy dx y x x x =⎧++∴-==-⎨=⎩⎰⎰从变到对于22032111(1):,10. (2) 1.x y x y CA y dx dy y dy y y x x =⎧++∴-=-=⎨=⎩⎰⎰从变到 31(1).44-+=-故，原式＝-4．设L 为222x y a +=的反时针方向，则22()()__.Lx y dx x y dyx y +--=+⎰解：取适当的0r >，构造222:l x y r +=，为顺时针方向.记L 与l 围成的区域为D. 由已知，2222(),. 0.x y x y Q PP Q x y x y x y+--∂∂==-=++∂∂则由格林公式得：22()()0.L lx y dx x y dyx y++--=+⎰ 于是，222220()()()()(1)2.L l x y dx x y dy x y dx x y dyd x y x y πθπ+--+--=-=-=-++⎰⎰⎰方法二：π2)2()()()()(2222-=-=--+=+--+⎰⎰⎰⎰dxdy a a dy y x dx y x y x dy y x dx y x DL L . §10－4222222.0(0).dS z z H x y R H x y z ∑∑==+=>++⎰⎰其中是介于平面及之间的圆柱面解：记右半柱面为1:y ∑==1∑在xoz 面上的投影区域为：{}(,),0.xz D x z R x R z H =-≤≤≤≤记左半柱面为2:y ∑==2∑在xoz 面上的投影区域为也是xz D .那么，1222222222222222212()122arctan .xz D RHdS dS dS x y z x y z x y z x R x z HR dz R z Rπ∑∑∑-=+=+++++++-+=⋅=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰§10－51．2222,.zdxdy x y z a ∑∑++=⎰⎰为的外侧解：记上半球面为1:z ∑=取上侧.记下半球面为2:z ∑=取下侧.它们在xoy 面上的投影区域均为：{}222(,).xy D x y x y a =+≤12320422.3xyD a zdxdy zdxdy zdxdy d d ππθρ∑∑∑+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰于是，＝=2.(),0(0).x y dxdy z z z h h ∑-∑==>⎰⎰为圆锥面与之间的下侧解：∑在xoy 面上的投影区域均为：{}222(,).xy D x y x y h =+≤22()()(cos sin )0.xyhD x y dxdy x y dxdy d d πθρθθρ∑--=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰于是，＝－§10－61．2(2)-2,z x dydz zdxdy ∑+⎰⎰其中∑为221()2z x y =+介于0z =与2z =之间部分的下侧.解：构造辅助平面2212(4)z x y ∑=+≤：，取上侧.则1∑+∑构成分片光滑的封闭曲面，记其所围成的空间区域为Ω. 由已知，22, 0, 2.P z x Q R z =+==-于是，0.P Q R x y z∂∂∂++=∂∂∂ 由高斯公式，得：12(2)-200.z x dydz zdxdy dv ∑+∑Ω+==⎰⎰⎰⎰⎰于是，1122(2)-2(2)-224416.zx dydz zdxdy z x dydz zdxdy zdxdy ππ∑∑∑+=-+==⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰2．333x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰，其中∑为2222(0)x y z a a ++=>的外侧.解：记∑所围成的空间区域为Ω. 由已知，333, , .P x Q y R z ===于是，2223().P Q Rx y z x y z∂∂∂++=++∂∂∂ 由高斯公式，得33322252403()12 3sin .5ax dydz y dzdx z dxdy xy z dxdydzad d d πππθϕϕρρ∑Ω++=++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰§11-1 1．判定级数∑∞=15n nn的收敛性．解：n n n s 552512+++=, 1325525151++++=n n n s 12551515151+-+++=-n n n n n s s 1155115151++---=n n n⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=++115)5151(4545n n n n s 165lim =∞→n n s ，故该级数收敛． 2．判定级数∑∞=-1717n n n 的收敛性．解：01717lim lim ≠=-=∞→∞→n n n n n u通项不以0为极限，从而该级数发散． §11-21．判定级数∑∞=151tan3n n n 的收敛性．解：因为 15351tan3lim=∞→nn n n n ，而级数∑∞=153n n n收敛，根据比较审敛法的极限形式知此级数收敛．2．判断级数∑∞=++1311n n n 的收敛性．解：33111nn n <++，而级数∑∞=131n n收敛，根据比较审敛法知此级数收敛．3．判断级数)0( ,111>+∑∞=a an n的收敛性．解：当1=a 时，级数发散．当1>a 时，n n a a 111<+，而级数∑∞=11n na 收敛，根据比较审敛法知此级数收敛．当1<a 时，111lim=+∞→nn a ，原级数发散．所以当1>a 时收敛，1≤a 时发散．4．判断级数∑∞=16!n n n 的收敛性．解：因为0)1(lim !)!1()1(lim lim66661=⋅+=++=∞→∞→+∞→n n n n n n n u u n n nn n ，所以根据比值审敛法知此级数收敛．5．判断级数nn n n n ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛1sin π的收敛性．解：因为0)(lim )(sin lim lim ≠∞===∞→∞→∞→n n n n n n n n nn n n u ππ，所以通项不以0为极限，从而级数发散．6．判断级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+1312n n n n n 的收敛性．解：因为133)1(lim 3)1(limlim 2<=+=+=∞→∞→∞→e n n n n u nn nn n n n n n ，所以根据根值审敛法知此级数收敛．7．判断级数是条件收敛还是绝对收敛 (1)∑∞=--221ln 1)1(n n n ；解：因为∑∞=22ln 1n n 发散，而∑∞=--221ln 1)1(n n n 为交错级数，其收敛，所以此级数是条件收敛．(2) ()22cos4ln n n n n π∞=∑．解：因为22)(ln 1|)(ln 4cos|n n n n n ≤π，而级数∑∞=22)(ln 1n n n 收敛，所以此级数是绝对收敛． 8．设级数∑∑∞=∞=11,n n n n b a 都收敛，且n n n b c a ≤≤，证明级数∑∞=1n n c 也收敛．证明：因为n n n b c a ≤≤，所以0≥-≥-n n n n a c a b ．又因为∑∑∞=∞=11,n n n n b a 收敛，所以∑∞=-1)(n n n a b 收敛，根据比较审敛法知级数∑∞=-1)(n n na c收敛，从而∑∞=1n n c 也收敛．§11-31．求幂级数()∑∞=--1131n n nn nx 的收敛半径与收敛域．解：因为31|31)1()1(31)1(|lim ||lim 111=-+-==-+∞→+∞→nn a a nn n nn nn n ρ，所以收敛半径31==ρR ．对于端点3=x ，级数为交错级数()∑∞=--1111n n n收敛；对于端点3-=x ，级数∑∞=-1)1(n n 发散．因此，收敛域是]3,3(-． 2．求幂级数∑∞=-+112)1(n n x n n 的和函数．解：先收敛域．由12)1(2)2)(1(lim ||lim 1=+++==∞→+∞→n n n n a a n nn n ρ，得收敛半径11==ρR ．在端点1=x 处，幂级数成为∑∞=+12)1(n n n 发散；在端点1-=x 处，幂级数成为∑∞=-+-112)1()1(n n n n 发散．因此收敛域为)1,1(-=I ．设和函数为)(x s ，即∑∞=-+=112)1()(n n x n n x s ，)1,1(-∈x ． 0)0(=s逐项积分，得∑∑⎰⎰∑⎰∞=-∞=∞=-+=+=+=11100110212)1(2)1()(n n n n x x n n xx n dx x n n dx x n n dx x s 再逐项积分，得)1(222121101x x x dx x n n n x n n -==+∑⎰∑∞=+∞=．则32)1(1))1(2()(x x x x s -=''-=，)1,1(-∈x ． §11-41．将()21x e +展成x 的幂级数．解：∑∞=++=++=+022!22121)1(n nn xxxx n e e e )(+∞<<-∞x2．将函数xx f +=51)(展成()1-x 的幂级数．解：∑∞=--=-+⋅=-+=+06)1()1(61)61(1161)1(6151n nnn x x x x )66(<<-x §11-71．将函数()ππ≤≤-=x x x f 2)(展开为傅里叶级数，并求级数∑∞=--121)1(n n n 的和．解：2)(x x f =在[]ππ,-上满足收敛定理的条件且为偶函数，故22032d 1ππππ==⎰-x x a⎰⎰==-πππππ022cos 2cos 1nxdx x nxdx x a n⎰-=ππππ002s i n 2|]s i n [2x d xx n x x 24)1(c o s 4nn nx n n -=⋅=ππ ()[]πππ, ,cos 4131222-∈-+=∑∞=x nx n x n n有()[]∑-∈-+-=--πππ , ,cos 11242122x nx n x n令0=x ，有 12)1(2121π=-∑∞=-n n n 2．将函数()πππ≤≤-=x - ,24)(xx f 展开为傅里叶级数．解：24)(xx f -=π，在[]ππ ,-上满足收敛定理，所以2d 241-0πππππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰x x a()nx nx x b x nx x a nn n 1d sin 2410d cos 241--=⎪⎭⎫⎝⎛-==⎪⎭⎫⎝⎛-=⎰⎰-ππππππππ故 ()()ππππ, ,sin 14241-∈-+=-∑∞=x nx n x n n3．将函数()π≤≤=x e x f x 0 ,)(展为以π2为周期的余弦级数．解：对函数)(x f 作偶延拓，⎩⎨⎧≤≤<≤-=-ππx e x e x F xx 0 ,0,)( 则)(x F 是满足收敛定理的偶函数，故()()[]()1112d cos 212d 202000+--==-===⎰⎰n e x nx e a e x e a b nxn xn ππππππππ在[]π ,0∈x 内，)()(x f x F =，故有()[][]ππππ,0 ,cos 11121)(12∈+--+-=∑∞=x nx n ee xf n n x4．将函数()()ππ<<-=x x x x f 0 ,)(展为以π2为周期的正弦级数．解：对函数)(x f 作奇延拓()()⎩⎨⎧≤<-+<<-=0 ,0,)(x πx x x x x x F πππ 则)(x F 是满足收敛定理的奇函数，知, ,2 ,1 ,0 ;00 ===n a a n()()[]. ,2 ,1 ,114d sin 23=---===⎰n n x nx x x b nn ππππ故在()π ,0∈x 内，)()(x f x F =，即()()()ππ,0 ,12sin 1218)(13∈--=∑∞=x x n n x f n§11-8将函数()22 ,)(2<<--=x x x x f 展为以4为周期的傅里叶级数．解：()38d 2122-20=-=⎰x x x a ()().,2 ,1 ,116d 2x n cos 2122222 =-=-=⎰-n n x x x a nn ππ()()n n n x x n x x b 14d 2sin 21222-=-=⎰-ππ故()()2 ,2 ,2sin 42cos 161341n 222-∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=-∑∞=x x n n x n n x x n ππππ.§12—1 1．写出微分方程=y y e x '-的积分曲线的所有拐点满足的方程．解：因为x e y y -='，所以1-'=''y e y y ，即1)(--=''x e e y y y ．由拐点的定义知，拐点满足0=''y ，即01)(=--x e e y y 所以所求方程为01)(=--x e e y y ．即 2ln )4ln(2-++=x x y ．2．求出双曲线222x y ax -=所满足的微分方程．解：求导，得a y y x 222='- (1)由ax y x 222=-，得xy x a 222-=，代入(1)式，得22222y x y xy x -='-即所求微分方程为 222y x y xy +='．§12—2利用分离变量方法解下列方程： 1．22()()0xyx dy x y y dx ++-=，(1)1y =．解：分离变量后得 dx xx dy y y 2211-=+，两端积分⎰⎰-=+dx xx dy y y 2211，得 C x x y y +-=+2||ln ||ln 222，将1)1(=y 代入，得1=C ．方程的解为：1||ln )(2122=++xyy x ． 2．12y x y'=+．解：若把所给方程变形为y x dydx+=2即为一阶线性方程，则按一阶线性方程的解法可求得通解．也可用变量代换来解所给方程：令u y x =+2，则x u y 2-=，2-=dxdu dx dy ，代入原方程，得 u dx du 12=-，u u dx du 12+= 分离变量得dx u udu=+12，两端积分得 1|12|ln 4121C x u u +=+-．以y x u +=2代入上式，得 1|124|ln 4121C x y x y x +=++-+即 y Ce y x 2124=++，其中142C y e C -±=． §12—3利用齐次方程方法解：22()x xy y xy y '+=+．解：原方程可写成111)(2+++-=yx xy y x dxdy因此是齐次方程．令u x y =，则 ux y =，dxdu x u dx dy +=，于是原方程变为 1111)1(2+++-=+uu udxduxu ，即 uu dx du x +-=112，分离变量，得 x dxudu u =-+21)1(，两端积分，得 C x u u +=--||ln )1(arcsin 212．以xy代上式中的u ，便得所给方程的通解为 C x xy x y =---||ln 1arcsin 22．§12—4利用线性方程或伯努利方程解法解 1．3yy x y '=+．解：将方程化为21y x ydy dx =-．这是一个非齐次线性方程．先求对应的齐次方程的通解．01=-x y dy dx ，ydyx dx =，Cy x =．用常数变易法，把C 换成u ，即令 uy x =， (1)那么u y u dydx+'=，代入所给非齐次方程，得 y u ='两端积分，得 C y u +=22．再把上式代入(1)式，得 y C y x )2(2+=．2．242x y xy xe-'+=解：以y 除方程的两端，得2242121x xe xy dxdyy--=+，即 22422121x xe xy dxdy-=+，令21y z =，则上述方程成为22x xe xz dxdz-=+．这是一个线性方程，它的通解为 22221x e Cez x x --+=．以21y 代z ，得所求方程的通解为 222)21(2x C ey x +=-．§12—6利用降阶法解高阶微分方程 01=--''+'''x y y x ．解：令p y =''，则dx dp p y ='='''，原方程化为 xp x p 111+=+'，此一阶线性方程的通解为 x C x p 1)2)1((2++= 故 32123||ln 212C x C x x C x x y ++++=． §12—71．下列函数组是线性相关还是无关？为什么? (1)x e ，1x e +；解：因为e ee x x 11==+为常数，故函数组是线性相关．(2) 1，sin x ，cos2x ．解：线性无关．2．验证:5112x y e =是非齐次方程532x y y y e '''-+=的解及x e y =1，x e y 22=，x e y 233=是对应的齐次方程的解．并写出非齐次方程532x y y y e '''-+=的通解．解：x e y 5125='，xe y 51225=''，将y y y ''',,代入方程的左边，得右边==+-x x x x e e e e 5555121212531225． x e y ='1，x e y =''1，代入方程，得 023=+-x x x e e e ． x e y 222='，xey 224=''，代入方程，得 0264222=+-x x x e e e ． x e y 236='，x ey 2312=''，代入方程，得 061812222=+-x x x e e e 非齐次方程的通解为 xx x e e C e C y 5221121++=． §12—81．(5)(4)(3)690y y y -+=，求它的通解．解：所给微分方程的特征方程为 096345=+-r r r ，其根31=r (重根)，02=r (三重根)因此所给微分方程的通解为 )(5432321x C C e x C x C C y x ++++=2．求微分方程430y y y '''-+=的积分曲线，设它在点0(0,2)M 与直线2240x y -+=相切．解：所给微分纺车功能的特征方程为 0342=+-r r其根31=r ，12=r ，因此所给微分方程的通解为x x e C e C y 231+=．此方程过点)2,0(0M ，即212C C +=，且1)0(='y ，即2131C C += 求得211-=C ，252=C ．所求积分曲线为x x e e y 25213+-=． §12—91．求x e x x y y y 32)(23+=+'-''的通解．解：与所给方程对应的齐次方程为023=+'-''y y y ，它的特性方程为 0232=+-r r ，得21=r ，12=r ．由于这里3=λ不是特征方程的根，所以应设特解为x e b x b x b y 32120*)(++=，把它代入所给方程，得x x b b b x b b x b +=+++++22011020223)26(2比较两端x 同次幂的系数，得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=1121022312612210201100b b b b b b b b b 因此求得一个特解为x e x x y 32*)121(+-=，从而所求的通解为x x x e x x e C e C y 32221)121(+-++=2．求44(sin 2cos2)y y x x ''+=+，满足()()2y y πππ'==之特解．解：与所给方程对应的齐次方程为04=+''y y ，它的特征方程为042=+r ．由于这里i i 2=+ωλ是特征方程的根，所以应设特解为 )2c o s 2s i n (*x b x a x y +=．把它代入所给方程，得 x x x b x a 2cos 42sin 42sin 42cos 4+=-，比较两端同类项的系数，得1=a ，1-=b ．于是求得一个一个特解为 )2cos 2(sin *x x x y -=，从而所求的通解为)2cos 2(sin 2sin 2cos 21x x x x C x C y -++=．将πππ2)()(='=y y 代入y 及y '，得π31=C ，212=C ．故所求特解为 )2cos 2(sin 2sin 212cos 3x x x x x y -++=π．自测题一一. 填空题1. 设矢量, a b的模分别是2a =,2b =, 则()22 a b a b ⨯+⋅= .2. 过点(1,2,-1)与矢量1{1,2,3} s =--及2{0,1,1}s =--平行的平面方程是 .3. 设1y z x +=, (其中0,1x x >≠), 则dz = .4. 函数(,)f x y 在点()00,x y 可微是(,)f x y 在点()00,x y 可偏导的条件.5. 若13y =, 223y x =+, 233x y x e =++都是微分方程: ''()'()()y p x y q x y f x ++=的解(其中()0f x ≠,()p x ,()q x ,()f x 都是已知的连续函数), 则此微分方程的通解为 .6. 微分方程''4'290y y y ++=的通解是 .二. 选择题1. 设矢量,, a b c 满足关系式a b a c ⨯=⨯, 则( )(A) 必有0a = (B) 必有0b c -=(C) 当0 a ≠时, 必有 b c = (D) 必有()a b c λ=-, (λ为常数) 2. 方程22480y z z +-+=表示( )(A) 单叶双曲面 (B) 双叶双曲面 (C) 锥面 (D) 旋转抛物面3. 函数2222224,0(,)00xy x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪+=⎩若若在原点(0,0)间断的原因为(,)f x y ( )(A) 在原点无定义(B) 在原点极限存在, 但在原点无定义 (C) 在原点极限不存在(D) 在原点极限存在, 但极限值不等于原点的函数值4. 函数22z x xy y =-+在点(1,1)处沿{}11,44L =的方向导数为( )(A) 最大 (B) 最小(C) 1 (D) 05. 微分方程''2'x y y y xe -++=的特解*y 应有的形式为( ) (其中,a b 为待定常数). (A) ()x ax b e -+(B) 2()x ax bx e -+(C) 32()x ax bx e -+(D) x ae -6. 函数sin y c x =-(其中c 是任意常数)是微分方程22sin d yx dx =的( ) (A) 通解(B) 特解(C) 解, 但既不是通解, 也不是特解 (D) 不是解三. 解答题1.设2(,)(1)f x y x y =+-⋅求'(1,1)x f .2.已知,, a b c 为单位向量, 且满足0 a b c ++=, 计算a b b c c a ⋅+⋅+⋅.3.设,x z x f xy y ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 其中f 具有二阶连续偏导数, 求2z x y ∂∂∂.4.设函数(,)z z x y =由方程222z x y z y f y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭确定, 其中f 具有一阶连续的导数,求z z y x x y∂∂-∂∂5.求过点(1,0,1)M -, 且与直线0:20x y L x y z +=⎧⎨-+-=⎩垂直的平面方程.6.求曲面228xy +=在点0(2,2,1)M 处的切平面和法线方程.7.设''()'()()y p x y q x y f x ++=的三个特解是x , x e , 2x e , 求此微分方程满足条件(0)1y =,'(0)3y =的特解.8.设()f x 是连续函数, 且满足方程20()()()xx f x e x t f t dt =--⎰, 求()f x .9.=.10.在椭球面22221x y z ++=上求距离平面26x y z +-=的最近点和最近距离, 最远点和最远距离.自测题一参考答案四. 填空题 1. 2 2. (1)(2)(1)0x y z --+--+= 3. [](1)ln y x y dx x xdy ++ 4. 充分5.2123x y C x C e =++6. ()212cos5sin5x y e C x C x -=+五. 选择题 1 D 2 D 3 C 4 A 5 C 6 C六. 解答下列各题.1.设2(,)(1)f x y x y =+-⋅, 求'(1,1)x f . 解：2(,1) f x x =，'(,1)2x f x x ∴=， '(1,1)2x f ∴=2. 已知,,a b c 为单位向量, 且满足0 a b c ++=, 计算 a b b c c a ⋅+⋅+⋅.解：0 a b c ++=，()0a a b c ∴⋅++=， 10a b a c ∴+⋅+⋅= ；同理， ()0b a b c ⋅++=， 10a b b c ∴+⋅+⋅= ；()0c a b c ⋅++=， 10a c b c ∴+⋅+⋅=故有 ()320a b b c c a +⋅+⋅+⋅= ，即32a b b c c a ⋅+⋅+⋅=-3. 设,x z x f xy y ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 其中f 具有二阶连续偏导数, 求2z x y ∂∂∂. 解：''''12121z x f x f y f f xyf f x y y ∂⎡⎤=+⋅+⋅=++⎢⎥∂⎣⎦， 2''''''''''''12111122212222222''2''''1211222322z x x x x x f x f xf xy f x f f f x f x y y yy y y x x xf f x yf f y y∂⎛⎫⎡⎛⎫⎤⎛⎫⎡⎛⎫⎤=⋅+⋅-++⋅+⋅-+-+⋅+⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥∂∂⎝⎭⎣⎝⎭⎦⎝⎭⎣⎝⎭⎦=-+-4. 设函数(,)z z x y =由方程222z x y z y f y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭确定, 其中f 具有一阶连续的导数,求z z yx x y∂∂-∂∂. 解：'22z x x f z ∂=∂-，''22z y f f zy yf z -+∂=∂-，''2xz xf fz z y y x x y f z-∂∂∴-=∂∂-。

高等数学(A)复习题

高等数学（A ）复习题一、选择题1、函数x x 3y ++=的定义域（）。

A ．[]1,0 B ．[)(]3,11,0 C ．[)∞+,0 D ．[]3,02、在区间()0,1-内函数（）是单调增加的A ．x y =B ．2x 5y +=C ．x 43y -=D ．1x y 2+= 3、下列函数中（）在0x =处不可导A ．x sin y =B ．)1x cos(y -=C ．3ln y =D ．x y = 4、设xsin xy = 则=dxdy（） A ．()1x sin x x sin - B ．x ln xxsinC ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x sin x ln x cos xxsin D ．x x cos xx sin 5、下列函数中（）满足罗尔定理的条件 A ．()[]3,0xx f = B ．()[]1,1x 1x f 2-=C ．()[]1,1xx f -= D ．()[]2,0x2x x f -=6、（）组中的()x f 与()x g 为同一函数A ．()()2x x g ,x x f ==B ．()()1x 1x x g 1x x f 2--=+=C ．()()x ln 2x g xln x f 2==D ．()()()x 1x x g x 1x x f -=-=7、函数32lg 2--=x x y 的定义域是（）A ．()3,∞-；B ．()∞+-,1；C ．()3,1-； D ．()1,-∞- ()∞+,38、函数1212+-=x x y 的反函数是…………（）A ．()111log 2>+-=x x x y ； B ．()111log 2>-+=x x x y ；C ．()111log 2<-+=x x xy ； D ．()111log 2>+-=x xx y 9、设()x x x f =为定义在R 上的函数，则() x f …………（） A ．既是奇函数，又是单调增函数 B ．既是偶函数，又是单调增函数 C ．既是奇函数，又是单调减函数 D ．既是偶函数，又是单调减函数 10、已知()0112>++=⎪⎭⎫ ⎝⎛x xx x f ，则()=x f …………（）A ．x x 112+-；B ．x x 112-+；C ．x x 112--；D ．xx 112++11、()=-+∞→n n nn 1lim ………（）A ．1；B ．21； C ．0 ； D ．∞ 12、设()11--=x x x f ，则() =→x f x 1lim ………（）A ．-1；B ．0 ；C ．1 ；D ．不存在 13、下列各式中，正确的等式是…………（）A ．01sinlim =∞→x x x ； B ．11sin lim =∞→xx x ；C ．∞=∞→x x x 1sin lim ；D ．1sin lim=∞→xxx 14、当0→x 时，与x cos 1-相比是等价无穷小量的是…………（）A ．x ；B ．22x ； C ．2x ； D ．2x15、已知()20='x f ，则()()hx f h x f h 2lim000--→是…………（）A ．1；B ．2 ；C ．-1 ；D ．-2 16、设函数()x f y =在0x 可导，且曲线()x f y =在点()()0,0x f x 处的切线平行于x 轴，则()0x f '…………（）A ．等于零B ．小于零C ．大于零D ．不存在 17、()xx f 1ln=，则()=''x f …………（） A ．1； B ．-1 ； C ．21x； D ．21x - 18、()x x f 3=，则()()=0n f…………（）A ．1；B ．3 ；C ．3ln ；D ．3ln n19、函数()11ln -+=x x y 的定义域是A ．()∞+- , 1B 。

高等数学期中A考卷及答案海大

专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 微分学的中心概念是（）。

A. 极限B. 导数C. 微分D. 积分A. f(x) = |x|B. f(x) = x^2 + 1C. f(x) = 1/xD. f(x) =√x3. 不定积分∫(1/x)dx的结果是（）。

A. ln|x| + CB. x + CC. x^2/2 + CD. e^x + C4. 多元函数f(x, y) = x^2 + y^2在点(1, 1)处的偏导数f_x'是（）。

A. 0B. 1C. 2D. 35. 线性方程组Ax=b有唯一解的条件是（）。

A. A为满秩矩阵B. A为方阵C. A为可逆矩阵D. A为零矩阵二、判断题（每题1分，共5分）1. 极限存在的充分必要条件是左极限等于右极限。

（）2. 任何连续函数都一定可导。

（）3. 二重积分可以转换为累次积分。

（）4. 拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广。

（）5. 两个矩阵的乘积一定是方阵。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 函数f(x) = e^x在x=0处的导数f'(0)等于______。

2. 若函数f(x)在区间[a, b]上连续，则该函数在该区间上______。

3. 微分方程y'' y = 0的通解是______。

4. 矩阵A的行列式记作______。

5. 向量组线性相关的充分必要条件是______。

四、简答题（每题2分，共10分）1. 请简要说明罗尔定理的内容。

2. 什么是函数的极值？如何求函数的极值？3. 简述泰勒公式的意义。

4. 什么是特征值和特征向量？5. 简述空间解析几何中直线的方程。

五、应用题（每题2分，共10分）1. 计算极限lim(x→0) (sin x)/x。

2. 求函数f(x) = x^3 3x的导数。

3. 计算不定积分∫(cos x)dx。

4. 求解微分方程y' = 2x。

5. 计算二重积分∬D (x^2 + y^2) dxdy，其中D是由x轴，y轴和直线x+y=1围成的区域。

高等数学(A)第一章自测题

高等数学(A) 第一章自测题一、判断题（共5小题，每题3分，共15分）：请在错误的题目后划×。

1．数列极限的ε-N 描述中，可以假设01ε<<（）；2．无穷个无穷小的乘积仍为无穷小（）； 3．若1212,ααββ ，则1212ααββ-- （）； 4．当x→∞时，sin x x （）；5．开区间上的连续函数不满足介值性（）。

二、单项选择题（共5小题，每题3分，共15分）：请把唯一正确的选项填在括弧内： 1．若对任意x ，成立()()()g x f x h x ≤≤，且lim [()()]0x g x h x →∞-=，则lim ()x f x →∞（）。

（A ）存在且等于0 （B ）存在但不为0；（C ）一定不存在（D ）不一定存在2．设2lim1()1nn xf x x →∞+=-，则1x =是()f x 的（）。

（A ）连续点（B ）跳跃间断点（C ）可去间断点（D ）第二类间断点3．函数()f x =的间断点的个数为（）（A ） 0 （B ） 1 （C ） 2 （D ） 3。

4．设函数()f x 在(,)-∞+∞上单调且有界，{}n x 为数列，则（A ）若{}n x 收敛，则{()}n f x 收敛（B ）若{}n x 单调，则{()}n f x 收敛（C ）若{()}n f x 收敛，则{}n x 收敛（D ）若{()}n f x 单调，则{}n x 收敛5．设{},{},{}n n n x y z 都是非负数列，lim lim lim 0,1,n n n n n n x y z →∞→∞→∞===∞，则（）（A ）nn x y <对任意n 成立（B ）n n y z <对任意n 成立（C ）极限lim ()n n n x z →∞不存在（D ）极限lim ()n n n y z →∞不存在三、填空题（共5小题，每题4分，共20分）：请将答案填在横线上。

大学数学A试题库(学生用)

大学数学A 试题库(学生用)第一章函数、极限、连续1. 设1)(2+=t t f ，则=+)1(2t f .2. 函数12ln(5)3y x x x =-++--的定义域为。

3. 函数12ln(8)3y x x x =-++--的定义域为 .4. 设函数)(x f 的定义域是[0，1]，则函数)(2x f 的定义域为 .5. 求极限 145lim 1---→x xx x ;6. 2arctan lim x xx →∞=________。

7. 求极限123lim 21x x x x +→∞+⎛⎫⎪+⎝⎭.8. 求极限 20cos 1lim x xx -→;9. 设n nn n x 1)321(++=，求：n n x ∞→lim ．10. 662421lim 23x x x x x →∞+-=++____ ____。

11. =⋅→x x x 1sin 2lim 0 .12. 2011lim x x x →+-= 。

13. 极限 222111lim()12n n n n n →∞++++++ 等于 ( )A. 0,B. ∞,C. 1,D. n .14. 101lim(1)lim sin xx x x x x -→→∞++ 等于（）A. e ,B. 1e -,C. 1e +,D. 1e 1-+15. 下列函数中当+→0x 时为无穷小量的是（）A ．x x 1sin , B. x x sin 1, C ．x ln , D. x e 1.16. =⋅∞→x x x 31sin lim .17. 极限 32322lim 2x x x →+-=- .18. 411lim 1x x x →-=-___ _ ____。

19. 数列有界是数列收敛的（）A. 必要条件B. 充分条件C. 充要条件D. 无关条件20. 当0x →时，1x e -是 ( )A. 较x 高阶的无穷小B. 较x 低阶的无穷小C. 无穷大量D. 与x 等价的无穷小21. 函数()f x 在0x x =处有定义，是()f x 在0x x =处连续的条件.22. 函数231)(22+--=x x x x f 的第一类间断点是（）A. 1=x ,B. 1-=x ,C. 2-=x ,D. 1-=x ，2-=x .23. 设函数⎩⎨⎧≥+<=0,0,2)(x x a x e x f x 在),(∞+-∞内连续，则=a . 24. 设函数22(1cos ), 0() 21, 0ax x f x x x x x ⎧-<⎪=⎨⎪++≤⎩当时当时，在(,)-∞+∞上处处连续，求a 的值。

高数第三章自测题A答案

C： lim sin x x→∞ x
B： lim ln(x +1)
x→0
x
D： lim 1 2 x→+∞ x
3.下列结论不正确的是（A ）
4.至少存在一个ξ ∈(a,b) 使得 sin b − sin a = (b − a) cosξ 成立.
（ √）
A：函数的最大值一定大于最小值
( ) ( ) 5.至少存在一个ξ ∈(a,b) 使得 b3 − a3 eξ = 3 eb − ea ξ 2 成立.
2.
函数
f
(
x)
=
⎧⎪ ⎨
x2
sin
1 x
,
x
≠
0
在区间
[−1,1]
上满足拉格朗日中值定理的所有条
⎪⎩0,
x=0
件.
（ √）
3.若 lim f ′(x) 不存在，则 lim f (x) 也不存在.
x→∞ g′(x)
x→∞ g(x)
（ ×）
2. 能直接使用洛必达法则求极限的是（ B）
A： lim tan n . n n→+∞
= lim (1− cos x)′ = lim
sin x
= 0 = 0 ....2 分
x→0 (sin x + x cos x)′ x→0 cos x + cos x − x sin x 1+1− 0
解法二： lim( 1 − 1 ) = lim x − sin x ， x→0 sin x x x→0 x sin x
x→0 sin x x x→0 x sin x x→0 (x sin x)′ x→0 sin x + x cos x
lim

高等数学a试卷及答案

高等数学a试卷及答案【篇一：《高等数学a(上)》试题答案(b卷)2013】class=txt>科目：《高等数学a（上）》试题(b卷)学院：专业班级：姓名：学号：阅卷教师： 2013年月日考试说明：本课程为闭卷考试，可携带。

一、选择题（每题3分，共15分）（选择正确答案的编号，填在各题前的括号内）1.设f(x)?xsinx，则f(x)在(??,??)内为（ b）． a．周期函数 b．偶函数 c．单调函数 d．有界函数 2、下列正确的是（d ）a．极大值一定大于极小值b. 拐点是函数单调性转变的点 c. 最值一定是极值 d. 拐点是凹凸性的转变的点 3、下列各式中，正确的是（ d ）1xa.lim(1?)?e x?0?xb.lim(1?x?01x)xec.lim(1?)x??ex??1x1d.lim(1?)x?e?1 x??x4、关于函数连续的说法中，哪一个正确d a．函数f(x)在点x?x0处有定义，则在该点连续； b．若limf(x)存在，则函数f(x)在x0处连续；x?x0c．若f(x)在x?x0处有定义，且limf(x)存在，则函数在x0处连续； x?x0d．若f(x0?0)?f(x0?0)?f(x0)，则函数在x0处连续。

5、若?f(x)dx?f(x)?c，则?f(sinx)cosxdx=（ a ） a . f(sinx)?cb. ?f(sinx)?cc. xf(sinx)?cd. f(sinx)sinx?c二、填空题（每题3分，共15分）1. 设曲线方程为y?x2?sinx，该曲线在点(0,0)处的切线方程__y=-x_________1sinxdx=___0______ 2．??11?x2sinx____0___ 3． limx??xx4. 函数f(x)?x?2的斜渐近线方程为___ y=x ___ x?15．函数xy?1在点（1,1）处的曲率为___ 2_____.三、计算题（每题8分，共56分）1求极限：lim(x?0x?1?1sinxx?1?11)lim1x?0x2xx(x?1?1)22.设f(x)?x(x?1)(x?2)?(x?100),求f?(0).limx?0f(x)?f(0)x(x?1（)x?2)?(x?100)lim100! x0x0x1x3. 已知y?x,求dy.dy?d(x)?d(e1xlnxx)?elnxx1lnx1?lnx?d()?xx?dx 2xx4.5.112tdtdt?2?2arctant?c?c 22?1?tt1?tx0cos2xdx 111x120cos2xdx0xsecxdxxtanx00tanxdxtan1lncosx0tan1lncos1.6. 求由曲线y?x2与y?2x围成的平面图形的面积。

西安航空学院2020高等数学A1试卷A

得分
2019~2020学年第一学期期末考试
高等数学A1试卷A
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
总分
总分人
得分
阅卷人
适用班级：全校本科一年级（除汽车服务192C）
得分
一、填空题（每空3分，共18分）
1． .
2.设可导，且满足条件则曲线在处的切线斜率为__________________.
3. __________________.
A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.无穷间断点
3.点是曲线的拐点，则、的值为 .()
A. B.
C. D.
4. .（）
A. B.
C. D.
5.设，则 .（）
A． B. C． D．
6．函数在下列哪个区间是单调递减的 .（）
A． B. C. D.
得分
三、计算题（6小题，共48分）
1、（本题8分）函数应选择什么样的常数，使得成为在内的连续函数.
2、（本题8分）求由与所围成的平面图形面积，并求此平面图形绕轴旋转所产生的旋转体的体积 .
2、（本题8分）求极限 .
分）设由参数方程所确定的函数为，求 .
5、（本题8分）求 .
6、（本题8分）求 .
得分
四、应用题（2小题，共16分）
1、（本题8分）某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆(如下图)，截面的面积为5 ，问底宽为多少时才能使截面的周长最小，从而使建造时所用材料最省？
4. __________________.
5.函数所表示的曲线在处的曲率 __________________.
6.广义积分是____________（请选填“收敛的”、“发散的”）.

《高等数学》考试试卷A卷及答案解析

《高等数学》考试试卷A 卷及答案解析一．填空题（共24分，每小题3分）1．设函数x y z =，则__________________________=dz .2．方程333z e xyz e -=确定()y x z z ,=，则__________________=∂∂x z. 3. 曲线t t x sin -=，t y cos 1-=，2sin 2tz =在π=t 处切线方程为_________________________________________.4. 函数2u x y z =+在点(2,1,0)M 处最大的方向导数为__________________.5. 交换二次积分222(,)y y I dy f x y dx =⎰⎰的积分次序，得__________________=I .6.设平面曲线)10(:2≤≤=x x y L ，则曲线积分__________________=⎰ds x L.7. 幂级数∑∞=12n n n x n的收敛域是 ________________________.8. 微分方程022=+'-''y y y 的通解为___________________________.二、选择题（共12分，每小题3分）1. 设曲面2232y x z +=在点)5 , 1 , 1(M 处的切平面方程为064=+-+λz y x ，则λ=（）.(A) 15- (B) 0 (C) 5- (D) 52. 函数),(y x f 在点),(y x 处可微是函数),(y x f 在该点处存在偏导数的（）. (A) 必要条件 (B) 充分条件(C) 充要条件 (D) 既非充分又非必要条件3. 设曲线L 是单位圆周122=+y x 按逆时针方向，则下列曲线积分不等于零的是（）.(A) ds y L⎰ (B) ds x L⎰ (C) dx y xdy L⎰+ (D) ⎰+-L y x ydxxdy 224. 下列级数中收敛的是（）.(A) ∑∞=122n n n (B) ∑∞=+12n n n(C) ∑∞=+1)2121(n n n (D) ∑∞=133n n n三、解答题：(共59分)1.（7分）求二元函数()3132,23---=y x xy y x f 的极值. 2. （7分）设函数2,x z f x y y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中()v u f ,具有二阶连续偏导数，求yx zx z ∂∂∂∂∂2 , .3．（7分）计算二重积分dxdy xy D⎰⎰2，其中D 是由圆周422=+y x 与y 轴所围成的右半区域.4．（7分）将函数())1ln(x x f +=展成1-x 的幂级数，并写出可展区间5．（7分）计算曲面积分(2)I xy x y z dS ∑=+++⎰⎰，其中∑为平面1x y z ++=在第一卦限中的部分.6. （8分）求微分方程x xe y y y 223=+'-''的通解.7．（8分）计算曲线积分()()y d y xy dx yx x I L⎰+-+-=2322其中L 为曲线22x x y -=从)0,2(A 到)0,0(O 的弧段.8．（8分）利用高斯公式计算曲面积分()()d xdy x z dzdx y dydz x I ⎰⎰∑-+++=33332,其中∑为由上半球面224y x z --=与锥面22y x z +=围成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧.四．（5分）设()f x 是在(,)-∞+∞内的可微函数, 且()()f x f x α'<, 其中01α<<. 任取实数0a , 定义1ln (),1,2,3n n a f a n -==.证明：级数11()n n n a a ∞-=-∑绝对收敛.《高等数学》考试试卷A 卷答案一、填空题（共24分，每小题3分） 1. dy xy ydx y dz x x 1ln -+= 2. 3z z yzx e xy ∂=∂- 3.2022-=-=-z y x π4.5. 2(,)xI dx f x y dy =⎰⎰6.()11127. )21, 21[- 8. )sin cos (21x c x c e y x +=二、选择题（共12分，每小题3分） 1. C 2. B 3. D 4. D 三、解答题（共64分） 1. （7分）解：令⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=022022y x f x y f yx 得驻点⎩⎨⎧==00y x ，⎩⎨⎧==22y x 2 分 x f xx 2-=，2=xy f ，2-=yy f 4 分在（0，0）处， 2 , 2 , 0-===C B A04 2<-=-B AC ， ∴（0，0）为非极值点. 5 分在（2，2）处 2 , 2 , 04-==<-=C B A04 2>=-B AC ∴ 1)2 , 2(=f 为函数),(y x f 的极大值. 7 分2.（7分）解：2121f xy f yx z '+'=∂∂ 3分)21(212f xy f yy y x z '+'∂∂=∂∂∂ ])([ 22])([11222212221221112x f yx f xy f x x f y x f y f y ''+-''+'+''+-''+'-= 223122113212221f y x f y x f yx f x f y ''+''-''-'+'-= 7 分3. （7分）解：⎰⎰⎰⎰--=224 0222y Dxdx dy y dxdy xy3分⎰--=2 2 22)4(21dy y y 5 分 1564)4(2 0 42=-=⎰dy y y 7 分4. （7分）解：1(1)ln(1)1n n n x x n ∞+=-+=+∑ 11≤<-x 1 分)211ln(2ln )]1(2ln[)1ln(-++=⋅-+=+x x x 3分10)21(1)1(2ln +∞=∑-+-+=n n n x n∑∞=++-+-+=011)1(2)1()1(2ln n n n nx n 6分 1211≤-<-x ⇒ 31≤<-x 7分5.（7分）解：:1z x y ∑=--dS ∴== 2分(2DI xy ∴=+⎰⎰4分1102xDdx xydy dxdy -=+⎰5分()13202xx x dx =-++6分12=7分6.（8分）解（1）先求微分方程023=+'-''y y y 的通解Y特征方程 0232=+-r r 即 0)1)(2(=--r r ，21=r ，12=rx x e c e c Y 221+= 3 分（2）求原方程的一个特解*y 2 =λ 是特征方程的根，故设 x x e bx ax e b ax x y 222)()(+=+=*5分令bx ax x Q +=2)(，则b ax x Q +='2)(，a x Q 2)(=''将)(x Q '，)(x Q ''代入方程x x Q p x Q ='++'')()2()(λ 得 x b ax a =++22则 ⎩⎨⎧=+=1212b a a ，解之得⎪⎩⎪⎨⎧==021b a ， x xe y 221=*7 分所求通解 x x x xe e c e c y 222121++= 8 分7.（8分）解：⎰++-+-OAL dy y xy dx yx x )2()(322dxdy x y dxdy y Px Q DD)()(22⎰⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂= 3 分 ⎰⎰⋅=θd ρd cos 2 0220 ρρθπ5 分⎰==20 443cos 4ππθθd 6 分dy y xy dx yx x I OA ⎰+-+--=)2()(43322π 7 分2434320-=-=⎰ππxdx 8 分8. （8分）解：由高斯公式dV z y x I )333(222⎰⎰⎰Ω++= 3 分2244 03 sin d d r dr ππθφφ=⎰⎰⎰ 6 分192(152π=- 8 分9.（5分）解：对任意设2n ≥,由拉格朗日中值定理，有111212121'()ln ()ln (),()n n n n n n n n n n f a a f a f a a a a a f ξαξ----------=-=-<-2 分其中1n ξ-介于1n a -与2n a -之间. 于是有11101,2,.n n n a a a a n α---<-=3分又级数1101n n a a α∞-=-∑收敛, 由比较审敛法知级数11()n n n a a ∞-=-∑绝对收敛.5分。

深圳大学高等数学A2补充题答案及自测题答案

AC1．在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ (1,2,3)A - 第IV 卦限 (2,3,B - 第V 卦限 (2,3,4)C -- 第VIII 卦限 (2,3,1)D --第III 卦限． 2．证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形．证明：如图所示 MC AM = MD BM ==+=+=∴AD 与BC 平行且相等，结论得证．3．已知两点1M 和2(3,0,2)M ,计算向量12M M 的模，方向余弦和方向角以及平行于向量12M M 的单位向量．解： k j 2i 21+--=M M2)21()02()34(222=-+-+-=方向余弦：21cos -=α，22cos -=β，21cos =γ．方向角：32πα=，43πβ=，3πγ=．平行于向量21M M 的单位向量是k 21j 22i 21±． 4．设=3+5+8m i j k ,=2n i 47-j-k ,=5+p i j 4-k ,求=4+3a m n -p 在x 轴上的投影及在y 轴上的分向量．解：因为p n 3m 4a -+=k15j 7i 13)k 4j i 5()k 7j 4i 2(3)k 8j 5i 3(4++=-+---+++=所以在x 轴上的投影为13a =x ．在y 轴上的分向量为j 7．1．已知1(1,1,2)M -，2(3,3,1)M 和3(3,1,3)M ，求同时与12M M ，23M M 垂直的单位向量．解：k j 4i 221-+=M M ，k 2j 232+-=M M ，设所求向量为),,(c b a b =，因为21M M b ⊥ ，所以 042=-+c b a因为32M M b ⊥，所以 022=+-c b ，因为1||=b ，所以1222=++c b a求得173±=a ，172=b ，172=c故所求单位向量为)172,172,173(±=be方法二：所求向量)4,4,6(2201422221--±=--±=⨯±=kj iM M M M b故)172,172,173(161636)4,4,6(||±=++--±==b b e b2．设{}=3,5,-2a ，{}=2,1,4b ，问λ与μ有怎样的关系能使+λμa b 与z 轴垂直．解：)k 4j i 2()k 2j 5i 3(b i +++-+=+μλμλk )42(j )5(i )23(μλμλμλ+-++++=因为与z 轴垂直，所以μλμλ2042=⇒=+-．3．设=2+m a b ，=k +n a b ，其中=1a ，=2b ，且⊥a b ． (1) k 为何值时，⊥m n ；(2) k 为何值时，m 与n 为邻边的平行四边形面积为6？解：(方法一) 设},,{z y x a a a a =，},,{z y x b b b b = ，由题意已知1222=++z y x a a a ，4222=++z y x b b b ，0=++z z y y x x b a b a b a}2,2,2{z z y y x x b a b a b a m +++= ，},,{z z y y x x b ka b ka b ka n +++=(1) 已知n m⊥，所以0))(2())(2())(2(=++++++++z z z z y y y y x x x x b ka b a b ka b a b ka b a求得 2-=k ．(2) 根据题意，||6n m⨯=，得1-=k ，或5=k ．(方法二) (1) n m ⊥ ，0 =⋅∴n m ⇒0)()2(=+⋅+b a k b a ⇒0||||222=+b a k⇒042=+k ⇒2-=k .(2) 6 =S ，6|| =⨯∴n m ⇒6|)()2(|=+⨯+b a k b a⇒6|)()(2|=⨯-⨯b a k b a ⇒6|||2|=⨯⋅-b a k⇒6|||||2|=⋅⋅-b a k ⇒3|2|=-k ⇒51=-=k k 或.§7—31．一动点与两定点(2,3,1)和(4,5,6)等距离，求这动点的轨迹方程．解：设动点坐标为),,(z y x ，根据题意，有222222)6()5()4()1()3()2(-+-+-=-+-+-z y x z y x等式两边平方，然后化简得 0631044=-++z y x ． 2．求以点(1,3,2)O -为球心，且通过坐标原点的球面方程．解：设球面上点的坐标为),,(z y x ，根据已知条件，得222222)20()30()10()2()3()1(++-+-=++-+-z y x整理得 0462222=+--++z y x z y x ． 3．画出下列方程所表示的曲面： (1) 22244x y z ++=；解：椭球抛物面 (2) 22240x y z +-=；解：圆锥面(3) 22349z x y =+．解：旋转抛物面§7—41．画出下列曲线在第一卦限内的图形：(1) 12x y =⎧⎨=⎩；解：(2) 0z x y ⎧⎪=⎨-=⎪⎩解：(3) 222222x y a x z a⎧+=⎨+=⎩．解：2．方程组221493x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩在平面解析几何与空间解析几何中各表示什么？解：在平面解析几何中，表示椭圆22149x y +=与直线3y =(其实是过点(0,3)的一条切线)的交点；空间解析几何中，表示椭圆柱面22149x y +=与其切平面3y =的交线(直线).3．求由上半球面z =220x y ax +-=及平面0z =所围成的立体，在xOy 面和xOz 面上的投影．解：想象该立体的形状，知向xoy 面上的投影柱面的方程为ax y x =+22，即为圆柱面222)2()2(ay a x =+-，故该立体在xoy 面上的投影为圆面： ⎪⎩⎪⎨⎧=≤+-0)2()2(222z a y a x ．消去y ：222y x a z --=，在xoz 面上的投影是⎪⎩⎪⎨⎧==+0222y az x柱面022=-+ax y x 在xoz 面上的投影是⎪⎩⎪⎨⎧==-002y ax x故在xoz 面上的投影是⎩⎨⎧=≥≥≤+0,0 ,222y x z a z x .§7—51．求通过点(3,0,1)-且与平面375120x y z -+-=平行的平面方程．解：设所求平面方程为0573=++-D z y x ，因为过点)1,0,3(-，所以0)1(*50*73*3=+-+-D ，得4-=D ，故所求平面方程为04573=-+-z y x2．求过点0(2,9,6)M -且与连接坐标原点及点0M 的线段0OM 垂直的平面方程．解：由条件 }6,9,2{0-=OM 与平面垂直，所以}6,9,2{-=n，所求平面方程为0)6(6)9(9)2(2=+--+-z y x ，即0121692=--+z y x ．3．求平面2250x y z -++=与各坐标面的夹角余弦．解：与xoy 平面的夹角余弦为319|1*10*)2(0*2|cos 1=+-+=θ 与xoz 平面的夹角余弦为329|0*11*)2(0*2|cos 2=+-+=θ与yoz 平面的夹角余弦为329|0*10*)2(1*2|cos 3=+-+=θ§7—61．求过点(4,1,3)-且平行于直线3125x z y --==的直线方程．解：设所求直线为l ，直线5123-==-z y x 的方向向量为)5,1,2(，则直线l 的方向向量为)5,,2(t t t ，故所求直线方程为53124-=+=-z y x ． 2．求过两点1(3,2,1)M -和2(1,0,2)M -的直线方程．解：所有直线L 过点1M ，2M 两点，则L M M //21，故可取21M M s =，即}1,2,4{}12,20,31{21-=-+--==M M s所以所求直线方程为：121202313--=++=---z y x ，即112243-=+=--z y x ．3．求点(1,2,0)-在平面210x y z +-+=上的投影．解：过点)0,2,1(-且垂直于平面的直线方程为⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+-=t z t y tx 0221，代入平面方程中，01)()22(2)1(=+--+++-t t t ，得32-=t ，代入直线的参数方程，得35-=x ，32=y ，32=z ，即投影点为)32,32,35(-．第八章多元函数微分法及其应用§8-11.求函数22(,,)arcsin x y f x y z z+=的定义域.解：要使函数有意义，须0z ≠，且221.x y z+≤ 即, 22,0x y z z +≤≠ 或 22,0.z x y z ≤-≠－ 2．求极限：2001cos()lim.()x y x y x y →→-++ 解：(方法一) 22200002sin 1cos()112lim lim .()422x x y y x yx y x y x y →→→→+-+==++⎛⎫ ⎪⎝⎭(方法二) 2121lim cos 1lim 22020==-=→→=+t t tt t t ty x 原式. §8-21．设2,y z u x +=求一阶偏导数. 解：22221();ln ;2ln .y z y z y z u u uy z x x x zx x x y z+-++∂∂∂=+==∂∂∂ 2．设2ln(sin )z x y =+，求偏导数,z z x y ∂∂∂∂及2.z x y∂∂∂解：2222222cos 22cos ;;.sin sin sin (sin )z x z y z x x yx x y y x y x y y x y x y ⎛⎫∂∂∂∂====- ⎪∂+∂+∂∂∂++⎝⎭ §8-3设xz u y =，求du . 解：1ln ;;ln .xz xz xz u u uzy y xzy xy y x y z-∂∂∂===∂∂∂1ln ln .xz xz xz u u udu dx dy dz zy ydx xzy dy xy ydz x y z-∂∂∂∴=++=++∂∂∂ §8-41．设(,)x z f x y =，求2,,z z zx y x y∂∂∂∂∂∂∂.解：令,.xu x v y==则''''12121;z du v f f f f x dx x y ∂∂=⋅+⋅=+∂∂''222;z v xf f y y y∂∂=⋅=-∂∂ ''2''''''''121221222222231111.f f z z x x f f f f f f x y y x y y y y y y y y y⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫==+=-+=--- ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭2. 设22x y z e +=，其中cos y x =，求dzdx. 解：令22,.u x v y ==则222222222-2s i n x y x y x y x y d z u v d y e e x e y ex d x xy d x++++∂∂=⋅+⋅⋅=∂∂22cos (2-sin2).x xex x +=§8-51．设ln x zz y=，求22,z z x x ∂∂∂∂.解：设(,,)ln .xz F x y z z y =-则211,,.x y z x zF F F z y z+===-由隐函数存在定理，得22223;()1.()()x z F z zx F x zz z x z z z z z z x x x x x x x z x z x z ∂=-=∂+∂∂⎛⎫+-+ ⎪∂∂∂∂-∂∂⎛⎫⎛⎫⎝⎭==== ⎪ ⎪∂∂∂∂+++⎝⎭⎝⎭2．设(,)F u v 可微，0F F ab u v∂∂+≠∂∂，证明由22(,)0F x az y bz --=所确定的函数(,)z z x y =满足方程2z zaybx xy x y∂∂+=∂∂. (方法一) 证明：设22,.u x az v y bz =-=-则2;2;.x u y v z u v F xF F yF F aF bF ===-- 由于0F F ab u v∂∂+≠∂∂，于是，由隐函数存在定理，得 22;.y x u v z u v z u vF F xF yF z zx F aF bF y F aF bF ∂∂=-==-=∂+∂+从而，222.u vu vxy aF xy bF z z aybx xy x y aF bF ⋅+⋅∂∂+==∂∂+ 证毕.（方法二）证明：方程22(,)0F x az y bz --=两边分别对x ,y 求导：（注意),(y x z z =）对x 求导：0)()2(21=∂∂-+∂∂-x z b F x z a x F ⇒2112bF aF xF x z+=∂∂ 对y 求导：0)2()(21=∂∂-+∂∂-y zb y F y z a F ⇒2122bF aF yF y z +=∂∂ 从而满足方程2z zaybx xy x y∂∂+=∂∂. §8-61．求曲线2244x y z y ⎧-=⎪⎨⎪=⎩在点(2,4,5)处的切线方程，并问该切线与x 轴的正向所成的角度是多少？解：(方法一) 设22(,,),(,,) 4.4x y F x y z z G x y z y -=-=- 于是，曲线在点(2,4,5)处的切向量为z y x z x y 000000y x x y F F F - -1 1 -,,,,(1,0,1).2222 G G G 1 00 00 1y x z y z x F F F t G G G ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∴切线方程为：245.101x y z ---== 即：30.4x z y -+=⎧⎨=⎩另外，x 轴上的单位向量为(1,0,0)i =.由两向量夹角余弦公式得：cos 2i t i t θ⋅===⋅.∴切线与x 轴的正向所成的角度是.4πθ== (方法二) 设切向量)5,4,2(},,1{x z x y t ∂∂∂∂=⇒}1,0,1{}2,0,1{)5,4,2(==xt 所以切线方程为：245.101x y z ---== 即：30.4x z y -+=⎧⎨=⎩ 另外设该切线与x 轴正向所成角为α，则αtan =∂∂x z ⇒2tan x=α代入点)5,4,2(1tan =⇒α，所以4πα=.2．证明曲面3xyz a =的切平面与坐标面所围成的四面体的体积为一个常数.证明：设3(,,).F x y z xyz a =- 则;;.x y z F yz F xz F xy ===于是，曲面3xyz a =在它上面任意一点000(,,)x y z 处的切平面方程为：000000000()()()0.y z x x x z y y x y z z -+-+-= 即 000000003.xy z yx z zx y x y z ++= 易知，该切平面在,,x y z 轴上的截距分别为：0003,3,3.x y z则，切平面与坐标面所围成的四面体的体积为 30000001199333.3222V x y z x y z a =⋅⋅⋅⋅== 证毕.§8-71. 求22(,,)2f x y z y yz x =+-在点(1,2,1)处的方向导数的最大值. 解：由已知，有2;22;2.x y z f x f y z f y =-=+=(1,2,1)(1,2,1)(2,22,2)(2,6,4).gradf x y z y ∴=-+=-而，22(,,)2f x y z y yz x =+-在点(1,2,1)处的方向导数在沿(,,)f x y z 在该点的梯度方向取得最大值，最大值即为梯度的模.∴最大值为(1,2,1)gradf ==2.求222ln()u x y z =++在点(1,2,1)-处沿从点(5,1,2)到点(9,4,14)的方向的方向导数.解：向量(9,4,14)(5,1,2)(4,3,12)-=的方向即是l 的方向.于是，与l 同向的单位向量4312(,,).131313l e = 222(1,2,1)(1,2,1)222(1,2,1)(1,2,1)222(1,2,1)(1,2,1)(1,2,1)21;322 ;321 .31423112231331331339u xx x y z u yy x y z u zz x y z u l -------∂==∂++∂==∂++∂==-∂++∂∴=⋅+⋅-⋅=-⋅∂§8-81．将正数a 分成三个正数,,x y z 之和，使得2u xyz =最大. 解：即是求2u xyz =在条件x y z a +＋＝下的最大值.构造拉格朗日函数：2(,,,)().L x y z xyz x y z a λλ=+++-求解方程组220020x y z L yz L xz L xyz x y z a λλλ⎧=+=⎪=+=⎪⎨=+=⎪⎪++=⎩得：,,.442a a a x y z ===这是2u xyz =在条件x y z a +＋＝下的唯一可能极值点，而2u xyz =的最大值一定存在.故，,,442a a a x y z ===就是满足条件的a 的分解，此时，4.64a u =2．求函数ln ln 3ln u x y z =++在22225(0,0,0)x y z r x y z ++=>>>上的最大值.解：构造拉格朗日函数2222(,,,)ln ln 3ln (5).L x y z x y z x y z r λλ=+++++-求解下列方程组22221201203205x yz L x x L y y L z z x y z rλλλ⎧=+=⎪⎪⎪=+=⎪⎨⎪=+=⎪⎪⎪++=⎩得：,,.x r y r z r ==这是唯一可能的极值点，而最大值一定存在.故，ln ln 3ln u x y z =++在22225(0,0,0)x y z r x y z ++=>>>上的最大值在,,x r y r z ===时取得，最大值为5ln .第九章重积分§9－11．估计积分的22()DI x y dxdy =+⎰⎰值，其中22: 1.D x y +≤解：在区域D 上，有220 1.x y ≤+≤区域D 的面积21.S ππ=⋅= 由估值定理得：001.I πππ=⋅≤≤⋅= 2．比较积分2()Dx y dxdy -⎰⎰与3()Dx y dxdy -⎰⎰的大小，其中D 由0,x =0,1y x y ==+所围.解：区域D 可以表示为：01,10.x x y ≤≤-≤≤则在区域D 上有： 1.x y -≤从而，32()()x y x y -≤-在D 上成立.32 ()().DDx y dxdy x y dxdy ∴-≤-⎰⎰⎰⎰3．2224,:,0,0,Ddxdy D x y R x y π=+≤≥≥⎰⎰则________.R =解：区域D 是半径为R ，圆心在原点的四分之一圆域.由已知，D 的面积为：4.Ddxdy π=⎰⎰4.∴=§9－2 1．110sin _________.yxdy dx x=⎰⎰ 解：积分区域{}(,)01,1.D x y y y x =≤≤≤≤把D 视作X-型区域，则{}(,)01,0.D x y x y x =≤≤≤≤于是，[]1111100000sin sin sin cos 1cos1.x yx x x dy dx dx dy xdx x x x x==⋅=-=-⎰⎰⎰⎰⎰ 2．{}22,(,)1,0,0,_____.DI xdxdy D x y x y x y I ==+≤≥≥=⎰⎰则1111(); (); (); ()A dx xdy B dx C dx D ⎰⎰⎰⎰解：将D 视为X-型区域：{(,)01,0.D x y x y =≤≤≤≤100. ().I dx C ∴=⎰故，选3．cos 20(cos ,sin )______.d f r r rdr πθθθθ=⎰⎰110000111() (,); () (,);() (,); () (,)A dy f x y dxB dx f x y dyC dy f x y dxD dx f x y dy ⎰⎰⎰⎰⎰解：由已知，在极坐标系中，积分区域D:0,0cos .2r πθθ≤≤≤≤则在直角坐标系中，积分区域D：01,0x y ≤≤≤≤1(,).().dx f x y dy B ⎰于是，原式＝故，选4．求D⎰⎰，D 由,1,1y x x y ==-=所围. 解：积分区域D 可视作X-型区域：11, 1.x x y -≤≤≤≤()13111222111311212311(1).32x Dx dx x y dxx dx ---⎡⎤∴==-+-⎢⎥⎣⎦=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 5．计算{}22,(,)0,2.DI D x y y x x y x ==≤≤+≤解：在极坐标系中，积分区域D 可以表示为：0,02cos .4πθρθ≤≤≤≤那么，2cos 232444000088cos (1sin )sin 339I d d d d πππθθρρθθθθ===-=⎰⎰⎰⎰ §9－31．计算xyzdV Ω⎰⎰⎰，其中Ω为2221x y z ++=及三个坐标面所围成的在第一卦限内的闭区域.解：令sin cos ,sin sin ,cos .x r y r z r ϕθϕθϕ===则Ω可以表示为：0,0,0 1.22r ππθϕ≤≤≤≤≤≤于是，有122201352200sin cos sin sin cos sin 1111 =sin cos sin cos .24648xyzdV d d r r r r dr d d r dr ππππθϕϕθϕθϕϕθθθϕϕϕΩ=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2．zdxdydz Ω⎰⎰⎰，Ω由221()22z x y z =+=与所围.解：将Ω投影在z 轴上得投影区间[0,2].取[0,2]z ∀∈，过(0,0,)z 作平行于xoy 面的平面，该平面与Ω的交面记为,z D 则{}22(,,)2.z D x y z x y z =+≤ 于是，220016()2.3z D zdxdydz zdxdy dz z zdz ππΩ==⋅⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 3．xdxdydz Ω⎰⎰⎰，Ω由z z ==所围的第一卦限部分.解：令cos ,sin .x r y r θθ==将Ω投影在xoy 面上得投影区域：(,)0,0.22xy D r r πθθ⎧⎪=≤≤≤≤⎨⎪⎪⎩⎭过(,)xy r D θ∀∈作平行于z 轴的直线，该直线从)z r =即z＝进入Ω内，由z z ==即从Ω穿出. 则Ω可以表示为：0,022r r z πθ≤≤≤≤≤≤ 于是，有22200sin 22400cos cos )111 =sin cos .16163216rr xdxdydz d rdz d r drd πππϕθθθθπϕϕϕΩ==⋅=⋅--=-⎰⎰⎰⎰⎰=⎰令第十章曲线积分与曲面积分§10－11．设L为下半圆周y =22()________.L x y ds +=⎰ 解：(方法一)L的参数方程为：cos ,2.sin x y θπθπθ=⎧≤≤⎨=⎩则.ds d θθ==于是，222().L x y ds d ππθπ+==⎰⎰ (方法二) ππ=⋅⋅==+⎰⎰≤=+12211)()0(1:2222ds dsy x Ly y x L L. 2．xyzds Γ⎰，其中Γ为2cos 2sin ,0.4x ty t t z t π=⎧⎪=≤≤⎨⎪=⎩解：由已知，得.ds ==于是，444044002cos 2sin sin 2cos 2 cos 2cos 22xyzds t t t t tdt td tt t tdt πππππΓ=⋅⋅=⋅=⎤=-=⎥⎦⎰⎰⎰§10－21．(2)L a y dx xdy -+⎰，其中L 为摆线(sin ),(1cos )x a t t y a t =-=-上对应于t 从0到2π的一段弧. 解：由已知，(sin ):,02.(1cos )x a t t L t y a t π=-⎧⎨=-⎩从变到那么，[]20222(2)(2cos )(1cos )(sin )sin sin 2.La y dx xdy a a a t a t a t t a t dt a t tdt a πππ-+=-+⋅-+-⋅==-⎰⎰⎰§10－31．设L 为1x y +=的反时针方向，则2(2)()_.y x Lxy e dy y y e dx -+-+=⎰()0; ()2; ()4; ()1.A B C D解：记L 所围的区域为D ，易知D.由已知，2,2.x y P y y e Q xy e =-+=- 则，221 1.Q P y y x y∂∂-=-+=∂∂ 由格林公式，得2(2)()1 2.y x LDxy e dy y y e dx dxdy -+-+==⎰⎰⎰故，选(B).2．22L xdy ydxx y-+⎰，L 经上半椭圆221(0)4x y y +=≥从(2,0)(2,0)A B -→.(方法一) 解：选适当的0r >,构造上半圆周222(0)x y r y +=≥，设它与x 轴的两个交点为(,0),(,0),C r D r -其方向为从D 到C.则L BD DC CA +++构成分段光滑封闭曲线，记其所围成的区域为Ω.由已知，22222222222222,. 0.()()y x Q P y x y x P Q x y x y x y x y x y -∂∂--==-=-=++∂∂++则，由格林公式，得220.L BD DC CA xdy ydxQ P dxdy x y x y +++Ω⎛⎫-∂∂=--= ⎪+∂∂⎝⎭⎰⎰⎰ 则，22222222.LBD DC CA xdy ydx xdy ydx xdy ydx xdy ydx x y x y x y x y ⎛⎫---- ⎪++++⎝⎭⎰⎰⎰⎰ ＝－＋＋而，cos :,2:,0:,--2.0sin 0x x x r x x BD x r DC CA x r y y r y θθπθ===⎧⎧⎧→→→⎨⎨⎨===⎩⎩⎩从；从；从于是，2222222000; 0; .r BD CA DC xdy ydx xdy ydx xdy ydxdx d x y x y x yπθπ---=====+++⎰⎰⎰⎰⎰ 故，.π原式＝－(方法二) 解：x y Q P = ，∴该曲线积分与路径无关，选择路径上半圆4:22=+y x l .πθθθθππ-==+=+-=+-⎰⎰⎰⎰d d y x ydxxdy y x ydx xdy lL0022222214sin 4cos 4. 3．22321(1)L y x ydx dy x x ++-⎰，L 沿2241x y y +-=的反时针方向从(1,0)(2,1)A B →.解：构造辅助折线BCA ，其中点C(1,1). 则L BCA +为一分段光滑的封闭曲线，记其所围成的区域为D.由已知，2232331(1)22,. 0.y x y Q P y yP Q x x x y x x ++∂∂==-=-=∂∂则－由格林公式得：22321(1)0.L BCA y x ydx dy x x +++-=⎰ 于是，22321(1)L y x y dx dy x x ++-⎰＝22321(1)BCA y x y dx dy x x++--⎰. 对于22132321(1)23:,2 1. .14BC x x y x y BC x dx dy dx y x x x =⎧++∴-==-⎨=⎩⎰⎰从变到对于22032111(1):,10. (2) 1.x y x y CA y dx dy y dy y y x x =⎧++∴-=-=⎨=⎩⎰⎰从变到 31(1).44-+=-故，原式＝-4．设L 为222x y a +=的反时针方向，则22()()__.Lx y dx x y dyx y +--=+⎰解：取适当的0r >，构造222:l x y r +=，为顺时针方向.记L 与l 围成的区域为D. 由已知，2222(),. 0.x y x y Q PP Q x y x y x y+--∂∂==-=++∂∂则由格林公式得：22()()0.L lx y dx x y dyx y++--=+⎰ 于是，222220()()()()(1)2.Ll x y dx x y dy x y dx x y dyd x y x y πθπ+--+--=-=-=-++⎰⎰⎰方法二：π2)2()()()()(2222-=-=--+=+--+⎰⎰⎰⎰dxdy a a dy y x dx y x y x dy y x dx y x DL L . §10－4222222.0(0).dS z z H x y R H x y z ∑∑==+=>++⎰⎰其中是介于平面及之间的圆柱面解：记右半柱面为1:y ∑==1∑在xoz 面上的投影区域为：{}(,),0.xz D x z R x R z H =-≤≤≤≤记左半柱面为2:y ∑==2∑在xoz 面上的投影区域为也是xz D .那么，1222222222222222212()122arctan .xz D RHdS dS dS x y z x y z x y z x R x z HR dz R z Rπ∑∑∑-=+=+++++++-+=⋅=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰§10－51．2222,.zdxdy x y z a ∑∑++=⎰⎰为的外侧解：记上半球面为1:z ∑=取上侧.记下半球面为2:z ∑=取下侧.它们在xoy 面上的投影区域均为：{}222(,).xy D x y x y a =+≤12320422.3xyD a zdxdy zdxdy zdxdy d d ππθρ∑∑∑+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰于是，＝=2.(),0(0).x y dxdy z z z h h ∑-∑==>⎰⎰为圆锥面与之间的下侧解：∑在xoy 面上的投影区域均为：{}222(,).xy D x y x y h =+≤22()()(cos sin )0.xyhD x y dxdy x y dxdy d d πθρθθρ∑--=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰于是，＝－§10－61．2(2)-2,z x dydz zdxdy ∑+⎰⎰其中∑为221()2z x y =+介于0z =与2z =之间部分的下侧.解：构造辅助平面2212(4)z x y ∑=+≤：，取上侧.则1∑+∑构成分片光滑的封闭曲面，记其所围成的空间区域为Ω. 由已知，22, 0, 2.P z x Q R z =+==-于是，0.P Q R x y z∂∂∂++=∂∂∂ 由高斯公式，得：12(2)-200.z x dydz zdxdy dv ∑+∑Ω+==⎰⎰⎰⎰⎰于是，1122(2)-2(2)-224416.zx dydz zdxdy z x dydz zdxdy zdxdy ππ∑∑∑+=-+==⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰2．333x dydz y dzdx z dxdy ∑++⎰⎰，其中∑为2222(0)x y z a a ++=>的外侧.解：记∑所围成的空间区域为Ω. 由已知，333, , .P x Q y R z ===于是，2223().P Q R x y z x y z∂∂∂++=++∂∂∂ 由高斯公式，得33322252403()12 3sin .5ax dydz y dzdx z dxdy xy z dxdydzad d d πππθϕϕρρ∑Ω++=++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰§11-1 1．判定级数∑∞=15n nn的收敛性．解：n n n s 552512+++=, 1325525151++++=n n n s 12551515151+-+++=-n n n n n s s 1155115151++---=n n n⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=++115)5151(4545n n n n s 165lim =∞→n n s ，故该级数收敛． 2．判定级数∑∞=-1717n n n 的收敛性．解：01717lim lim ≠=-=∞→∞→n n n n n u通项不以0为极限，从而该级数发散． §11-21．判定级数∑∞=151tan3n n n 的收敛性．解：因为 15351tan3lim=∞→nn n n n ，而级数∑∞=153n n n收敛，根据比较审敛法的极限形式知此级数收敛．2．判断级数∑∞=++1311n n n 的收敛性．解：33111nn n <++，而级数∑∞=131n n收敛，根据比较审敛法知此级数收敛．3．判断级数)0( ,111>+∑∞=a an n的收敛性．解：当1=a 时，级数发散．当1>a 时，n n a a 111<+，而级数∑∞=11n na 收敛，根据比较审敛法知此级数收敛．当1<a 时，111lim=+∞→nn a ，原级数发散．所以当1>a 时收敛，1≤a 时发散．4．判断级数∑∞=16!n n n 的收敛性．解：因为0)1(lim !)!1()1(lim lim66661=⋅+=++=∞→∞→+∞→n n n n n n n u u n n nn n ，所以根据比值审敛法知此级数收敛．5．判断级数nn n n n ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛1sin π的收敛性．解：因为0)(lim )(sin lim lim ≠∞===∞→∞→∞→n n n n n n n n nn n n u ππ，所以通项不以0为极限，从而级数发散．6．判断级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+1312n n n n n 的收敛性．解：因为133)1(lim 3)1(limlim 2<=+=+=∞→∞→∞→e n n n n u nn nn n n n n n ，所以根据根值审敛法知此级数收敛．7．判断级数是条件收敛还是绝对收敛 (1)∑∞=--221ln 1)1(n n n ；解：因为∑∞=22ln 1n n 发散，而∑∞=--221ln 1)1(n n n 为交错级数，其收敛，所以此级数是条件收敛．(2) ()22cos4ln n n n n π∞=∑．解：因为22)(ln 1|)(ln 4cos|n n n n n ≤π，而级数∑∞=22)(ln 1n n n 收敛，所以此级数是绝对收敛． 8．设级数∑∑∞=∞=11,n n n n b a 都收敛，且n n n b c a ≤≤，证明级数∑∞=1n n c 也收敛．证明：因为n n n b c a ≤≤，所以0≥-≥-n n n n a c a b ．又因为∑∑∞=∞=11,n n n n b a 收敛，所以∑∞=-1)(n n n a b 收敛，根据比较审敛法知级数∑∞=-1)(n n na c收敛，从而∑∞=1n n c 也收敛．§11-31．求幂级数()∑∞=--1131n n nn nx 的收敛半径与收敛域．解：因为31|31)1()1(31)1(|lim ||lim 111=-+-==-+∞→+∞→nn a a nn n nn nn n ρ，所以收敛半径31==ρR ．对于端点3=x ，级数为交错级数()∑∞=--1111n n n收敛；对于端点3-=x ，级数∑∞=-1)1(n n 发散．因此，收敛域是]3,3(-． 2．求幂级数∑∞=-+112)1(n n x n n 的和函数．解：先收敛域．由12)1(2)2)(1(lim ||lim 1=+++==∞→+∞→n n n n a a n nn n ρ，得收敛半径11==ρR ．在端点1=x 处，幂级数成为∑∞=+12)1(n n n 发散；在端点1-=x 处，幂级数成为∑∞=-+-112)1()1(n n n n 发散．因此收敛域为)1,1(-=I ．设和函数为)(x s ，即∑∞=-+=112)1()(n n x n n x s ，)1,1(-∈x ． 0)0(=s逐项积分，得∑∑⎰⎰∑⎰∞=-∞=∞=-+=+=+=11100110212)1(2)1()(n n n n x x n n xx n dx x n n dx x n n dx x s 再逐项积分，得)1(222121101x x x dx x n n n x n n -==+∑⎰∑∞=+∞=．则32)1(1))1(2()(x x x x s -=''-=，)1,1(-∈x ． §11-41．将()21x e +展成x 的幂级数．解：∑∞=++=++=+022!22121)1(n nn xxxx n e e e )(+∞<<-∞x2．将函数xx f +=51)(展成()1-x 的幂级数．解：∑∞=--=-+⋅=-+=+06)1()1(61)61(1161)1(6151n nnn x x x x )66(<<-x §11-71．将函数()ππ≤≤-=x x x f 2)(展开为傅里叶级数，并求级数∑∞=--121)1(n n n 的和．解：2)(x x f =在[]ππ,-上满足收敛定理的条件且为偶函数，故22032d 1ππππ==⎰-x x a⎰⎰==-πππππ022cos 2cos 1nxdx x nxdx x a n⎰-=ππππ002s i n 2|]s i n [2x d xx n x x 24)1(c o s 4nn nx n n -=⋅=ππ ()[]πππ, ,cos 4131222-∈-+=∑∞=x nx n x n n有()[]∑-∈-+-=--πππ , ,cos 11242122x nx n x n令0=x ，有 12)1(2121π=-∑∞=-n n n 2．将函数()πππ≤≤-=x - ,24)(xx f 展开为傅里叶级数．解：24)(xx f -=π，在[]ππ ,-上满足收敛定理，所以2d 241-0πππππ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰x x a()nx nx x b x nx x a nn n 1d sin 2410d cos 241--=⎪⎭⎫⎝⎛-==⎪⎭⎫⎝⎛-=⎰⎰-ππππππππ故 ()()ππππ, ,sin 14241-∈-+=-∑∞=x nx n x n n3．将函数()π≤≤=x e x f x 0 ,)(展为以π2为周期的余弦级数．解：对函数)(x f 作偶延拓，⎩⎨⎧≤≤<≤-=-ππx e x e x F xx 0 ,0,)( 则)(x F 是满足收敛定理的偶函数，故()()[]()1112d cos 212d 202000+--==-===⎰⎰n e x nx e a e x e a b nxn xn ππππππππ在[]π ,0∈x 内，)()(x f x F =，故有()[][]ππππ,0 ,cos 11121)(12∈+--+-=∑∞=x nx n ee xf n n x4．将函数()()ππ<<-=x x x x f 0 ,)(展为以π2为周期的正弦级数．解：对函数)(x f 作奇延拓()()⎩⎨⎧≤<-+<<-=0 ,0,)(x πx x x x x x F πππ 则)(x F 是满足收敛定理的奇函数，知, ,2 ,1 ,0 ;00 ===n a a n()()[]. ,2 ,1 ,114d sin 23=---===⎰n n x nx x x b nn ππππ故在()π ,0∈x 内，)()(x f x F =，即()()()ππ,0 ,12sin 1218)(13∈--=∑∞=x x n n x f n§11-8将函数()22 ,)(2<<--=x x x x f 展为以4为周期的傅里叶级数．解：()38d 2122-20=-=⎰x x x a ()().,2 ,1 ,116d 2x n cos 2122222 =-=-=⎰-n n x x x a nn ππ()()n n n x x n x x b 14d 2sin 21222-=-=⎰-ππ故()()2 ,2 ,2sin 42cos 161341n 222-∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=-∑∞=x x n n x n n x x n ππππ.§12—1 1．写出微分方程=y y e x '-的积分曲线的所有拐点满足的方程．解：因为x e y y -='，所以1-'=''y e y y ，即1)(--=''x e e y y y ．由拐点的定义知，拐点满足0=''y ，即01)(=--x e e y y 所以所求方程为01)(=--x e e y y ．即 2ln )4ln(2-++=x x y ．2．求出双曲线222x y ax -=所满足的微分方程．解：求导，得a y y x 222='- (1)由ax y x 222=-，得xy x a 222-=，代入(1)式，得22222y x y xy x -='-即所求微分方程为 222y x y xy +='．§12—2利用分离变量方法解下列方程： 1．22()()0xyx dy x y y dx ++-=，(1)1y =．解：分离变量后得 dx xx dy y y 2211-=+，两端积分⎰⎰-=+dx xx dy y y 2211，得 C x x y y +-=+2||ln ||ln 222，将1)1(=y 代入，得1=C ．方程的解为：1||ln )(2122=++xyy x ． 2．12y x y'=+．解：若把所给方程变形为y x dydx+=2即为一阶线性方程，则按一阶线性方程的解法可求得通解．也可用变量代换来解所给方程：令u y x =+2，则x u y 2-=，2-=dxdu dx dy ，代入原方程，得 u dx du 12=-，u u dx du 12+= 分离变量得dx u udu=+12，两端积分得 1|12|ln 4121C x u u +=+-．以y x u +=2代入上式，得 1|124|ln 4121C x y x y x +=++-+即 y Ce y x 2124=++，其中142C y e C -±=． §12—3利用齐次方程方法解：22()x xy y xy y '+=+．解：原方程可写成111)(2+++-=yx xy y x dxdy因此是齐次方程．令u x y =，则 ux y =，dxdu x u dx dy +=，于是原方程变为 1111)1(2+++-=+uu udxduxu ，即 uu dx du x +-=112，分离变量，得 x dxudu u =-+21)1(，两端积分，得 C x u u +=--||ln )1(arcsin 212．以xy代上式中的u ，便得所给方程的通解为 C x xy x y =---||ln 1arcsin 22．§12—4利用线性方程或伯努利方程解法解 1．3yy x y '=+．解：将方程化为21y x ydy dx =-．这是一个非齐次线性方程．先求对应的齐次方程的通解．01=-x y dy dx ，ydyx dx =，Cy x =．用常数变易法，把C 换成u ，即令 uy x =， (1)那么u y u dydx+'=，代入所给非齐次方程，得 y u ='两端积分，得 C y u +=22．再把上式代入(1)式，得 y C y x )2(2+=．2．242x y xy xe-'+=解：以y 除方程的两端，得2242121x xe xy dxdyy--=+，即 22422121x xe xy dxdy-=+，令21y z =，则上述方程成为22x xe xz dxdz-=+．这是一个线性方程，它的通解为 22221x e Cez x x --+=．以21y 代z ，得所求方程的通解为 222)21(2x C ey x +=-．§12—6利用降阶法解高阶微分方程 01=--''+'''x y y x ．解：令p y =''，则dx dp p y ='='''，原方程化为 xp x p 111+=+'，此一阶线性方程的通解为 x C x p 1)2)1((2++= 故 32123||ln 212C x C x x C x x y ++++=． §12—71．下列函数组是线性相关还是无关？为什么? (1)x e ，1x e +；解：因为e ee x x 11==+为常数，故函数组是线性相关．(2) 1，sin x ，cos2x ．解：线性无关．2．验证:5112x y e =是非齐次方程532x y y y e '''-+=的解及x e y =1，x e y 22=，x e y 233=是对应的齐次方程的解．并写出非齐次方程532x y y y e '''-+=的通解．解：x e y 5125='，xe y 51225=''，将y y y ''',,代入方程的左边，得右边==+-x x x x e e e e 5555121212531225． x e y ='1，x e y =''1，代入方程，得 023=+-x x x e e e ． x e y 222='，xey 224=''，代入方程，得 0264222=+-x x x e e e ． x e y 236='，x ey 2312=''，代入方程，得 061812222=+-x x x e e e 非齐次方程的通解为 xx x e e C e C y 5221121++=． §12—81．(5)(4)(3)690y y y -+=，求它的通解．解：所给微分方程的特征方程为 096345=+-r r r ，其根31=r (重根)，02=r (三重根)因此所给微分方程的通解为 )(5432321x C C e x C x C C y x ++++=2．求微分方程430y y y '''-+=的积分曲线，设它在点0(0,2)M 与直线2240x y -+=相切．解：所给微分纺车功能的特征方程为 0342=+-r r其根31=r ，12=r ，因此所给微分方程的通解为x x e C e C y 231+=．此方程过点)2,0(0M ，即212C C +=，且1)0(='y ，即2131C C += 求得211-=C ，252=C ．所求积分曲线为x x e e y 25213+-=． §12—91．求x e x x y y y 32)(23+=+'-''的通解．解：与所给方程对应的齐次方程为023=+'-''y y y ，它的特性方程为 0232=+-r r ，得21=r ，12=r ．由于这里3=λ不是特征方程的根，所以应设特解为x e b x b x b y 32120*)(++=，把它代入所给方程，得x x b b b x b b x b +=+++++22011020223)26(2比较两端x 同次幂的系数，得 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=1121022312612210201100b b b b b b b b b 因此求得一个特解为x e x x y 32*)121(+-=，从而所求的通解为x x x e x x e C e C y 32221)121(+-++=2．求44(sin 2cos2)y y x x ''+=+，满足()()2y y πππ'==之特解．解：与所给方程对应的齐次方程为04=+''y y ，它的特征方程为042=+r ．由于这里i i 2=+ωλ是特征方程的根，所以应设特解为 )2c o s 2s i n (*x b x a x y +=．把它代入所给方程，得 x x x b x a 2cos 42sin 42sin 42cos 4+=-，比较两端同类项的系数，得1=a ，1-=b ．于是求得一个一个特解为 )2cos 2(sin *x x x y -=，从而所求的通解为)2cos 2(sin 2sin 2cos 21x x x x C x C y -++=．将πππ2)()(='=y y 代入y 及y '，得π31=C ，212=C ．故所求特解为 )2cos 2(sin 2sin 212cos 3x x x x x y -++=π．自测题一一. 填空题1. 设矢量,a b 的模分别是22a =,2b =, 则()22a b a b ⨯+⋅= . 2. 过点(1,2,-1)与矢量1{1,2,3}s =--及2{0,1,1}s =--平行的平面方程是 . 3. 设1y z x +=, (其中0,1x x >≠), 则dz = .4. 函数(,)f x y 在点()00,x y 可微是(,)f x y 在点()00,x y 可偏导的条件.5. 若13y =, 223y x =+, 233x y x e =++都是微分方程: ''()'()()y p x y q x y f x ++=的解(其中()0f x ≠,()p x ,()q x ,()f x 都是已知的连续函数), 则此微分方程的通解为 .6. 微分方程''4'290y y y ++=的通解是 .二. 选择题1. 设矢量,,a b c 满足关系式a b a c ⨯=⨯, 则( )(A) 必有0a = (B) 必有0b c -=(C) 当0a ≠时, 必有b c = (D) 必有()a b c λ=-, (λ为常数) 2. 方程22480y z z +-+=表示( )(A) 单叶双曲面 (B) 双叶双曲面 (C) 锥面 (D) 旋转抛物面3. 函数2222224,0(,)00xy x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪+=⎩若若在原点(0,0)间断的原因为(,)f x y ( )(A) 在原点无定义(B) 在原点极限存在, 但在原点无定义 (C) 在原点极限不存在(D) 在原点极限存在, 但极限值不等于原点的函数值 4. 函数22z x xy y =-+在点(1,1)处沿{}11,44L =的方向导数为( ) (A) 最大(B) 最小(C) 1 (D) 05. 微分方程''2'x y y y xe -++=的特解*y 应有的形式为( ) (其中,a b 为待定常数). (A) ()x ax b e -+(B) 2()x ax bx e -+(C) 32()x ax bx e -+(D) x ae -6. 函数sin y c x =-(其中c 是任意常数)是微分方程22sin d yx dx =的( ) (A) 通解(B) 特解(C) 解, 但既不是通解, 也不是特解 (D) 不是解三. 解答题1.设2(,)(1)f x y x y =+-⋅求'(1,1)x f .2.已知,,a b c 为单位向量, 且满足0a b c ++=, 计算a b b c c a ⋅+⋅+⋅.3.设,x z x f xy y ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 其中f 具有二阶连续偏导数, 求2z x y ∂∂∂.4.设函数(,)z z x y =由方程222z x y z y f y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭确定, 其中f 具有一阶连续的导数,求z z y x x y∂∂-∂∂5.求过点(1,0,1)M -, 且与直线0:20x y L x y z +=⎧⎨-+-=⎩垂直的平面方程.6.求曲面228xy +=在点0(2,2,1)M 处的切平面和法线方程.7.设''()'()()y p x y q x y f x ++=的三个特解是x , x e , 2x e , 求此微分方程满足条件(0)1y =,'(0)3y =的特解.8.设()f x 是连续函数, 且满足方程20()()()xx f x e x t f t dt =--⎰, 求()f x .9.=.10.在椭球面22221x y z ++=上求距离平面26x y z +-=的最近点和最近距离, 最远点和最远距离.自测题一参考答案四. 填空题 1. 2 2. (1)(2)(1)0x y z --+--+= 3. [](1)ln y x y dx x xdy ++ 4. 充分5.2123x y C x C e =++6. ()212cos5sin5x y e C x C x -=+五. 选择题 1 D 2 D 3 C 4 A 5 C 6 C六. 解答下列各题.1.设2(,)(1)f x y x y =+-⋅, 求'(1,1)x f . 解：2(,1)f x x =，'(,1)2x f x x ∴=， '(1,1)2x f ∴=2. 已知,,a b c 为单位向量, 且满足0a b c ++=, 计算a b b c c a ⋅+⋅+⋅. 解：0a b c ++=，()0a a b c ∴⋅++=， 10a b a c ∴+⋅+⋅=；同理， ()0b a b c ⋅++=， 10a b b c ∴+⋅+⋅=；()0c a b c ⋅++=， 10a c b c ∴+⋅+⋅=故有 ()320a b b c c a +⋅+⋅+⋅=，即32a b b c c a ⋅+⋅+⋅=-3. 设,x z x f xy y ⎛⎫= ⎪⎝⎭, 其中f 具有二阶连续偏导数, 求2z x y ∂∂∂. 解：''''12121z x f x f y f f xyf f x y y ∂⎡⎤=+⋅+⋅=++⎢⎥∂⎣⎦， 2''''''''''''12111122212222222''2''''1211222322z x x x x x f x f xf xy f x f f f x f x y y yy y y x x xf f x yf f y y∂⎛⎫⎡⎛⎫⎤⎛⎫⎡⎛⎫⎤=⋅+⋅-++⋅+⋅-+-+⋅+⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥∂∂⎝⎭⎣⎝⎭⎦⎝⎭⎣⎝⎭⎦=-+-4. 设函数(,)z z x y =由方程222z x y z y f y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭确定, 其中f 具有一阶连续的导数,求z z yx x y∂∂-∂∂. 解：'22z x x f z ∂=∂-，''22z y f f zy yf z -+∂=∂-，''2xz xf fz z y y x x y f z-∂∂∴-=∂∂-。

华东师范大学高数a试题及答案

华东师范大学高数a试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^2-4x+3，求f(2)的值。

A. -1B. 1C. 3D. 5答案：B2. 已知数列{an}是等差数列，且a1=3，公差d=2，求a5的值。

A. 13B. 11C. 9D. 7答案：A3. 计算定积分∫(0到1) x^2 dx。

A. 1/3B. 1/2C. 1/4D. 1/6答案：B4. 求极限lim(x→0) (sin x)/x。

A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B二、填空题（每题5分，共20分）5. 设函数g(x)=x^3+2x^2-3x+1，求g'(1)的值。

答案：56. 已知函数f(x)=ln(x)，求f'(x)的值。

答案：1/x7. 设函数h(x)=2x-3，求h(2)的值。

答案：18. 求定积分∫(1到2) (x^2-1) dx的值。

答案：2三、解答题（每题10分，共60分）9. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点。

答案：函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的导数为f'(x)=3x^2-12x+11。

令f'(x)=0，解得x=1/3或x=11/3。

经检验，x=1/3为极大值点，x=11/3为极小值点。

10. 求函数y=x^3-3x^2+4在x=1处的切线方程。

答案：函数y=x^3-3x^2+4的导数为y'=3x^2-6x。

在x=1处，y'(1)=-3，y(1)=2。

因此，切线方程为y-2=-3(x-1)，即3x+y-5=0。

11. 求定积分∫(0到π) sin x dx。

答案：∫(0到π) sin x dx = [-cos x](0到π) = -cos(π) +cos(0) = 2。

12. 求级数Σ(k=1到∞) (1/k^2)的和。

答案：级数Σ(k=1到∞) (1/k^2)是一个收敛的p级数，其和为π^2/6。

13. 求函数y=e^x的n阶导数。

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自测题（一）选择题1.已知数列0,1,0,1，……，则 C A 收敛于0 B 收敛于1C 发散D 以上结论都不对2.下面数列中收敛的是 BA (2),1,2,nn x n =-= B 3571,,,,234C 1(1),1,2,n n x n +=-= D 1111,,1,,1,,2483.下面数列中发散的是 DA 1sin ,1,2,n x n n n π==B 212,1,2,n x n n =+=C 1,1,2,2n n x n n +==+ D(1),1,2,nn x n =-=4.收敛数列一定 AA 有界B 无界C 可以有界也可以无界D 以上都不对5.0x x →时，函数极限存在的充要条件是 D A 左极限存在 B 右极限存在C 左、右极限都存在D 左、右极限都存在且相等6.当0x →时，1sinx 是 C A 无穷小量 B 无穷大量C 有界变量D 无界变量7.当x →∞时，1sin x x 是 BA 无穷大量B 无穷小量C 有界变量D 没有意义的量8. 两个无穷大量之差是 DA 0B 无穷大量C 常数D 不一定9.如果n x 是无穷小量，n y 是无穷大量，那么nn x y 一定是 AA 无穷小量B 无穷大量C 常数D 以上结论都不对10.当0x x →时，函数()f x 有极限是()f x 在0x 点处连续的 B A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 以上都不对11.下列条件①函数()f x ①在0x 点有意义，②0lim ()x x f x →存在，③0lim ()()x x f x f x →=是函数在点0x 处连续的 CA 充分条件B 必要条件C 充要条件D 以上都不对12.下列函数相等的是( C )A.2x 与(x )2 B.x 与elnxC.1x 1x 24+-与X2-1D.1x 1x 2+-与x-113．|sin |()cos x f x x xe-=()x -∞<<+∞是 A 。

（A ）奇函数；（B ）周期函数；（C ）有界函数；（D ）单调函数 14.数列an 有界是该数列有极限的( B )A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.以上都不对15.设f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧<>,0,1sin ;0,1sin x x x x x 那么lim 0→x f(x)不存在的原因是( C ) A.f(0)无定义 B.lim0x -→ f(x)不存在 C.lim 0x +→ f(x)不存在 D.lim0x -→f(x)与lim0x +→f(x)都存在但不等16. x mxsin limx ∞→ (m 为常数)等于( A )A. 0B. 1C. m 1D. m17.极限=---→21)1()1cos(1limx x x （ D ）A.21-B.0C.1D.2118.极限=→xx x sec 2cos -1lim ）（π（D ） 2.e A 2.-e B 4C41.D19.极限=--+++++++∞→)111)(110()110()13()12()1(lim 2222x x x x x x x (D)0.A 5.B 4C1101021.222 ++D20.极限ax a x a x -→⎪⎭⎫ ⎝⎛1sin sin lim 的值是（ C ）.（A ） 1（B ） e（C ） aecot （D ） aetan⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=001sin )(2x a x xe x xf ax 在0x =处连续，则a =（ D ）. （A ） 1（B ） 0（C ） e（D ） 1-21. f(x)=2xe --1+x2, g(x)=x2,当x →0时( A )A. f(x)是g(x)的高阶无穷小B. f(x)是g(x)的低阶无穷小C. f(x)是g(x)的同阶但非等价无穷小D. f(x)与g(x)是等价无穷小22．当0x →时，22x 1x 1+--与αx 是同阶无穷小量，则常数α=（ C ）A.21B.1C.2D.423．当0x →时，2()(1cos )ln(12)f x x x =-+与 B 是同阶无穷小量。

（A ）3x ；（B ）4x ；（C ）5x ；（D ）2x24. 设f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤<-2x 1,x 21x 0,x 0x ,1x 2,则f(x)在( C ) A. x=0，x=1处都间断 B. x=0,x=1处都连续C. x=0处间断，x=1处连续D. x=0处连续，x=1处间断25.函数f(x)=1x x2-的连续区间是( A )A.(-∞,-1)∪(1,+∞)B.(-∞,1)∪(-1,1)∪(1,+∞)C.〔-2,-1)∪(1,2］D.(-∞，+∞)26．函数f(x)=1x )1x (x 22+-的间断点的个数为（ B ）A.0B.1C.3D.427.函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠-0x ,20x 22x 1，在x=0处（ A ）A.左连续B.右连续C.连续D.前三个均不成立27*（1）数列n x 与n y 的极限分别为a 与b ，且a b ≠，那么数列112233,,,,,,x y x y x y 的极限为 DA ．a B.b C.a b + D.不存在（2）22lim2x x x →-=- DA.1-B.1C.∞D.不存在28.当0x →时，无穷小量2x α=与1β= AA.β与α是等价无穷小量B.β与α是同阶非等价无穷小量C.β是比α较高阶的无穷小量D.β是比α较低阶的无穷小量29.已知当0x →时，()f x 是无穷大量，下列变量当0x →时一定是无穷小量的是 C A.()x f x ⋅ B.()x f x +C.()x f xD.()f x x30当x →∞时，若c bx ax ++21~11+x ，则,,a b c 的值为 BA.0,1,1a b c ===B.0,1,a b c ==为任意常数C.0,,a b c =为任意常数D.,,a b c 均为任意常数自测题（二）选择题1.设f ′(x 0)存在，则limh →h)x (f )h x (f 00--等于( D )A.f ′(x 0)B.-f ′(-x 0)C.f ′(-x 0)D.-f ′(x 0)2.设f(u)可微，则y=f(sinx)的微分dy=( B )A.f ′(sinx)dxB.f ′(sinx)cosxdxC.〔f(sinx)〕′dsinxD.f ′(sinx)sinxdx3设f ′(x 0)存在，则limh →h)x (f )h x (f 00--等于( D )A.f ′(x 0)B.-f ′(-x 0)C.f ′(-x 0)D.-f ′(x 0)4.抛物线y=x 2在哪一点处切线的倾角为45°( B ) A.(0,0) B.(21,41) C.(41,2) D.(1,1)5. 设f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)，则f ′(0)等于( D ) A. 0 B. -4! C. 4 D. 4!6. 设函数y=sinx 2，则dy=( A )A. cosx 2dx 2B. cosx 2dxC. cosxdx 2D. 2xsinxdx7.当0x ∆→时，使()f x 在点0x x =处不可导的条件是 D A.y ∆与x ∆是等价无穷小量 B.y ∆与x ∆是同阶无穷小量 C.y ∆是比x ∆较高阶的无穷小量 D.y ∆是比x ∆较低阶的无穷小量8.设213,0(),0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则()f x 在点0x =处 BA.左导数不存在，右导数存在B.右导数不存在，左导数存在C.左、右导数都存在D.左、右导数都不存在9.若曲线2y x ax b =++和3y x x =+在点(1,2)处相切，则,a b 的值为 A A.2,1a b ==- B.1,3a b ==- C.0,2a b ==- D.3,1a b =-=9.※函数()f x x =-A.在点1x =处连续且可导 B.在点1x =处不连续 C.在点0x =处连续且可导 D.在点0x =处不连续10.设()f x 二阶可导，(ln )y f x =，则y ''= D A.(ln )f x '' B.21(ln )f x x '' C.21((ln )(ln ))f x f x x '''+ D.21((ln )(ln ))f x f x x'''- 自测题（三）选择题1..在区间［－1，1］上满足罗尔定理条件的函数是( C )A.2x-1B.x1C.x 2D.x 2/32. 函数y=sinx,x ∈［0,2π］的拐点为( B )A. (2π,1) B. (π,0) C. (23,-1) D. 不存在3.曲线y=3xxsin -的水平渐近线方程为( D ) A.x=0 B.y=-3C.y=0D.y=-2 4.下列结论正确的是（ D ）A.函数y=x 2在[)+∞,0上是单调减函数B.x=0是曲线y=x 3的拐点C.直线y=0是曲线y=|x|在点（0，0）处的切线D.x=0是函数y=x 3的驻点5.求下列极限，能直接用罗必达法则的是 B A.sin limx xx→∞ B.0sin lim x x x → C.2tan 5lim sin 3x x x π→ D.21sinlim sin x x x x →6.函数2()f x ax bx =+在区间(0,)+∞内单调增加，则a b 、应满足 B A.0,0a b <= B. 0,0.≥>b a C.0,0a b <≠ D.0,a b <为任意实数7.设函数()f x 在开区间(,)a b 内有()0f x '<且()0f x ''<，则()y f x =在(,)a b 内（C ） A.单调增加，凹的 B.单调增加，凸的 C.单调减少，凹的 D.单调减少，凸的8.()f x =，点0x =是()f x 的 BA.间断点B.极小值点C.极大值点D.拐点9.设函数32()f x x ax bx c =+++，且(0)(0)0f f '==，则下列结论不正确的是 D A.0b c == B.当0a >时，(0)f 为极小值 C.当0a >时，(0)f 为极小值 D.当0a ≠时，(0,(0))f 为拐点10.已知函数32()f x x ax bx =++在1x =处取得极值2-，则（ B ）。

A.3,0a b =-=且1x =为函数()f x 的极小值点B.0,3a b ==-且1x =为函数()f x 的极小值点C.3,0a b =-=且1x =为函数()f x 的极大值点D.0,3a b ==-且1x =为函数()f x 的极大值点自测题（四）选择题1.若()()F x f x '=，下列各式中正确的是 B A ．()()F x dx f x C '=+⎰ B.()()f x dx F x C =+⎰ C ．()()F x dx F x C ''=+⎰ D.()()f x dx F x C '=+⎰2.如果()()F x G x 、都是()f x 的原函数，那么必有 ( C ) A.()()F x G x = B.()()F x CG x = C.()()F x G x C =+ D.1()()F x G x C= （0C ≠）3.若()()F x f x '=，则()df x dx dx=⎰ C A.()F x B.()F x C + C.()f x D.()f x C +4.如果()()df x dg x =⎰⎰，那么必有 D A.()()f x g x = B.()()f x g x '= C.()()f x g x '= D.()()f x g x ''=5.设d ()x df x a dx =⎰，则()f x = BA.ln x a aB.ln x a a+C C.ln x a a D.以上都不对6.设21()(0)f x x x'=>，则()f x = AA.CB.2x C +C.2x C +C7.若()()F x f x '=，又2()()F x xf x x =+，且(0)1f =，则()f x = A A.21x -+ B.21x -- C.2x - D.以上都不对（8）如果()()f x dx F x C =+⎰，那么()f ax b dx +=⎰ D A.()F x C + B.()F ax b C ++C.()aF ax b C ++D.1()F ax b C a++8.()()f x e f x dx '⋅=⎰ CA.x e C +B.()f x C +C.()f x e C +D.()f x C e +9.如果()()f x dx F x C =+⎰，那么()x x e f e dx --=⎰ BA.()x F e C +B.()x F e C --+C.()xF e C -+ D.()x F e C x -+10()xf x dx ''=⎰ AA.()()xf x f x C '-+B.()()xf x f x C ''-+C.()()xf x f x C ''++D.以上都不对11.设x e -是()f x 的一个原函数，则()xf x dx =⎰ AA.(1)x e x C -++B.(1)x e x C --+C.(1)x e x C --++D.(1)x e x C ---+12.下列函数中有一个不是1()f x x=的原函数，它是 C A.()ln F x x = B.()ln F x Cx =，（C 是不为零且不为1的常数） C.()ln F x C x =，（C 是不为零且不为1的常数） D.()ln F x x C =+，（C 是不为零的常数）13.若2ln cos 23x 是()tan 2f x k x =的一个原函数，则k = D A.23 B.23- C.43 D.43-13*设(ln )1f x x '=+，则()f x = AA.x x e C ++B.212x e x C ++ C.2ln ln x x C ++ D.212x x e e C ++14.已知(cos )sin f x x '=，则(cos )f x = DA.cos x C -+B.cos x C +C.1(sin cos )2x x x C -+D.1(sin cos )2x x x C -+15.设()arcsin xf x dx x C =+⎰，则1()dx f x =⎰ BA.CB.CC C16.⎰=+dx )1x (x 10( B ) A.C )1x (11111++ B.C )1x (111)1x (1211112++-+ C.C )1x (111x 21112++⋅ D. C )1x (111)1x (1211112++++17.不定积分⎰=-dx x 311（ D ） A.C x 31+-- B.C x 31+- C.C x 3123+-- D.C x 3132+--18..不定积分⎰=xdx 2tan （ B ）A. tanx+ x+ CB. tanx-x+ CC. -x-tanx+ CD. sec 2x+ C19不定积分=+⎰dx x 1x 2（ D ） A.arctanx+C B.ln(1+x 2)+C C.C arctanx 21+ D.21ln(1+x 2)+C20.⎰=++-dx x x x 3222 ( C ).(A) C x x +++)32ln(2(B)C x x +++)32ln(212 (C) C x x x ++-++21arctan 23)32ln(212 (D)C x x x ++-++23arctan 223)32ln(212自测题（五）选择题1.定积分定义01()lim ()n b i i a i f x dx f x λξ→==∆∑⎰说明 C A.[],a b 必须n 等分，i ξ是[]1,i i x x -的端点B.[],a b 可以任意分，i ξ是[]1,i i x x -的端点C.[],a b 可以任意分，{}max 0i x λ=∆→，i ξ可在[]1,i i x x -内任取D.[],a b 必须n 等分，{}max 0i x λ=∆→，i ξ可在[]1,i i x x -内任取2.()f x 在[],a b 上连续是()ba f x dx ⎰存在的 A A.充分条件 B.必要条件C.充要条件D.以上都不对3.积分中值定理()()()ba f x dx fb a ξ=-⎰，其中 B A.ξ是[],a b 内任意一点B.ξ是[],a b 内必定存在的某一点C.ξ是[],a b 内唯一的某点D.ξ是[],a b 的中点4.已知()x x Φ=⎰，那么(1)'Φ= AA.5.如果20(23)0kx x dx -=⎰，那么k = D A.1- B.32C.2D.0或16.定积分⎰=+10dx x 11（ C ）A.2+2 ln 2B.ln 2C.2-ln 4D.1-ln 27..若f(x)是g(x)的一个原函数，则( B )A.∫f(x)dx=g(x)+ CB.∫g(x)dx=f(x)+ CC.∫g ′(x)dx=f(x)+ CD.∫f ′(x)dx=g(x)+C8..设f(x)在(-∞,+∞)内连续，则⎰2)(x t f dx d dt=( B )A.f(x 2)B.2xf(x 2)C.f ′(x 2)D.2xf ′(x 2)9. 设f(x)在［0,+∞］上连续，且⎰x 0f(t)dt=x(1+cosx)，则f(2π)=( A ) A. 1-2π B. 2π C. 1-π D. π 10. 已知6x 020x ax dt t sin lim 2⎰→ =1，则( B ) A. a=3 B. a=31C. a=1D. a=611.由曲线y=e x 和y=e -x 及直线x=1所围平面图形的面积等于( A )A.e+e -1-2B.e+e -1C.2-e-e -1D.e-e -1-212．设函数F(x)=dt t 32x 2⎰+，则=')1(F （ D ） A.27-B.72-C.2D.-213.曲线2y 2x -=和x=|y|所围成的平面图形面积为（ B ） A.4πB.2πC.πD.23π14.设du u f dx e f e b a x x ⎰⎰=10)()(，则（ D ） A. a=0, b=1B. a=0,b=eC. a=1,b=0D. a=1,b=e15.定积分⎰-=-+112dx )x 1x 1(（ C ） A.32 B. 34 C.2 D. 3816．由曲线y=1,2=y x 及x=0围成的平面图形的面积为（ A ）A ．121 B ．41 C ．21 D ．2317.曲线y=2x x 2-与直线y=31x 围成的平面图形的面积为( A ) A.⎰ππ262cos 2θd θ B. ⎰ππ262cos θd θ C. ⎰π602sin θd θ D. ⎰π602sin 2θd θ18.设函数()x ϕ''在[],a b 上连续，且(),()a b b a ϕϕ''==，则()()ba x x dx ϕϕ'''=⎰ D A.ab - B.1()2a b - C.22a b - D.221()2a b -19.设0()x e x d f t dt e dx -=⎰，则()f x = B A.2x B.2x -- C.2x e D.2x e --20.设sin 20()sin xf x t dt =⎰，43()g x x x =+，当0x →时，()f x 是()g x 的ＢA.等价无穷小量B.同阶但非等价无穷小量C.高阶无穷小量D.低阶无穷小量。