模糊控制02-模糊集合及其基本运算

由经典集合到模糊集合
什么是论域? 什么是论域? 设U为论域或全集，它是具有某种特定性质或 它是具有某种特定性质或 用途的元素的全体。 经典集合A 经典集合A的三种定义方法 列举法 描述法 特征函数（隶属度法） ）
由经典集合到模糊集合
模糊集合的引入 经典集合要求具有定义得很准确的性质，而 经典集合要求具有定义得很准确的性质 集合不具有清晰的边界，无法用经典集合进行 集合不具有清晰的边界 ，需要引入模糊集合来定义 需要引入模糊集合来定义。 模糊集合的定义 论域U上的模糊集合是用隶属度函数µ (x)来 论域U上的模糊集合是用隶属度函数µA(x)来 征， µA(x)的取值范围是[0，1]。 [0， (x)的取值范围是[0 1]。
由经典集合到模糊集合
例2.3， “年轻”和“年老 年老”的模糊集合分别采 2.3， 两个隶 度函数来进行表征，隶属度函数都是连续的 隶属度函数都是连续的。 例2.4， “几个”的模糊集合采用离散的隶属度 的模糊集合采用离散的隶属度 2.4， 数表 形式表示。
模糊集合的一些基本概念
支撑集 论域U上模糊集A的支撑集是一个清晰集，包含 论域U上模糊集A的支撑集是一个清晰集 中所有在A上具有非零隶属度函数值的元素。 U中所有在A上具有非零隶属度函数值的元素 支撑集为： µ(x)
模糊集合的一些基本概念
凸集和非凸集在二维平面上的几何表现 凸集： 非凸集：
y y
x x1 x2 x1 x2
模糊集合的一些基本概念
凸集和非凸集在三维立体中的几何表现 凸集： 非凸集：
y y
x x1 x2
模糊集合的一些基本概念
n
为R 上的一个模糊集， ，隶属度函数为 µ A ( x) = µ A ( x1 ,..., xn )
1
supp( A) = {x ∈ U | µ A ( x) > 0}
0
模糊集合的一些基本概念
空模糊集 如果一个模糊集的支撑集为空集，则该模糊 如果一个模糊集的支撑集为空集 为空模糊集。 模糊单值 µ(x) 1 如果模糊集的支撑集仅包 则该模糊集 U中的一个点，则该模糊集 模糊单值。
模糊集合的一些基本概念
µ A∩ B (x) = min[µ A ( x), µ B ( x)]
模糊集合的运算
模糊集合并集和交集的几何表示 并集 交集
µF(x) µD(x) µ(x) 1 µF(x) µD(x)
) 1
p(x)
p
模糊集合的运算
模糊集合也符合德. 模糊集合也符合德.摩根定律
________
AU B = A I B
由经典集合到模糊集合
“接近于0 “接近于0的数”的模糊集合Z 对应的隶属度函 的模糊集合Z 的模糊集合 µ(x) 可用高斯函数作隶属度函数： 可用高斯函数作隶属度函数 1
µ Z ( x) = e
− x2
也可用三角函数作隶属度函数： 也可用三角函数作隶属度函数
0 x + 1 µ Z ( x) = 1− x x < −1 −1 ≤ x ≤ 0 0 ≤ x <1
由经典集合到模糊集合
模糊集合的表示 上的模糊集合A U上的模糊集合A可以表示成一组元素及其隶 度函数的有序对的集合。 度函数的有序对的集合 A = {( x, µ A ( x)) | x ∈ U }
A = ∫ µ A ( x) / x
U
当U连续时（如U=R），A一般表示为 连续时（如U=R）， ），A
n
为R 上的一个超平面， ，定义H ，定义H为 n H = {x ∈ R | x1 = 0} 在H上的投影为模糊集AH，隶属度函数为 上的投影为模糊集A
µ A ( x2 ,..., xn ) = sup µ A ( x1 ,..., xn )
H
x1∈R
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
模糊集合的一些基本概念
y y
模糊集A 在超平面投影形成模糊集A 模糊集A 在超平面投影形成模糊集AH的几何表
x
z
模糊集合的运算
模糊集合A 模糊集合A 和B等价 对于任意 x∈U，当且仅当µA(x)=µB(x)， 当且仅当µ 当且仅当 (x)， 称A和B是等价的。 模糊集合A 模糊集合A被B包含 对于任意 x∈U，当且仅当 µA(x)≤µB(x) ， 当且仅当 称B包含A。 包含A
模糊集合的运算
糊集合A 糊集合A 的补集 模糊集合A 模糊集合A的补集记作 ，A ，隶属度函数为 µ A (x) = 1 − µ A (x) 糊集合A 糊集合A和B的并集 AU B 模糊集合A 模糊集合A和B的并集记作 ，隶属度函数为 µ A∪ B (x) = max[µ A ( x), µ B ( x)] 糊集合A 糊集合A和B的交集 AI B 模糊集合A 模糊集合A和B的交集记作 ，隶属度函数为
µ(x) 1
由经典集合到模糊集合
可以用不同的隶属度函数来描述同一模糊的对象 属度函数是精确的数学函数，一旦隶属度函数 属度函数是精确的数学函数 ，模糊描述的模糊就被消除 模糊描述的模糊就被消除； 隶属度函数可以根据人类专家的知识进行确定， 隶属度函数可以根据人类专家的知识进行确定 以根据输入输出的数据进行确定； 以根据输入输出的数据进行确定 一个模糊集合与隶属度函数应有一一对应的关系
AI B = A U B
_________
当U取离散值时，A一般表示为 取离散值时，A一般表示为。
A = ∑ µ A ( x) / x
由经典集合到模糊集合
用模糊集合定义 “美国汽车 美国汽车”和“非美国汽车 以汽车零部件在美国制造的百分比作为“美 以汽车零部件在美国制造的百分比作为 汽车”隶属度函数： µ D ( x) = p( x) 同理，可以得到“非美国汽车 非美国汽车”隶属度函数： µ(x) µD(x µ F ( x) = 1 − p( x) µF(x) 1
模糊集合的一些基本概念
截集 一个模糊集的截集是一个清晰集，它包含了 一个模糊集的截集是一个清晰集 隶属于A的隶属度值大于等于a 隶属于A的隶属度值大于等于a的元素。
Aa = {x ∈ U | µ A ( x) ≥ a}
µ(x) 1 a
模糊集合的一些基本概念
凸模糊集 n 当论域U 当论域U为n维欧氏空间R 时，对于任意的a， 维欧氏空间R 时，对于任意的a 且仅当模糊集A 且仅当模糊集A在区间（0，1]上的a截集Aa为 （ 1]上的a截集Aa为 集时，模糊集合A是凸模糊集。 µ(x) 集时，模糊集合A是凸模糊集 1 凸集的概念 λ ∈ [0,1] x1 , x2 ∈ R 如果 及 λx1 + (1，称2 ∈ R − λ ) xn ，称n维空 的集合R 的集合R为凸集。
中心 如果一个模糊集的隶属度函数达到最大值的 有点的均值是一个有限值，则该均值就是模 有点的均值是一个有限值 集的中心； µ(x) 1 如果均值是正（负） 穷大，则将中心定义 所有最大隶属度值的 中最小（最大）点。
模糊集合的一些基本概念
交叉点 论域U中模糊集A的隶属度值等于0.5 论域U中模糊集A的隶属度值等于0.5的点。 0.5的点。 模糊集的高度 µ(x) 指模糊集内任意点所达到的 1 大隶属度值。 a 模糊集高度为1 模糊集高度为1时，该模糊 该模糊 称为标准模糊集。