杆的扭转定理和公式定理

圆截面杆的扭转
外力与内力|| 圆杆扭转切应力与强度条件|| 圆杆扭转变形与刚度条件|| 圆杆的非弹性扭转1.外力与内力
杆件扭转的受力特点是在垂直于其轴线的平面内作用有力偶（图2·2-1a），其变形特点是在任意两个截面绕轴线发生相对转动。

轴类构件常有扭转变形发生。

作用在传动轴上的外力偶矩m通常是根据轴所传递的功率N和转速n(r/min)来计算。

当N的单位为千瓦（kW）时
当N的单位为马力（HP）时
扭转时的内力为扭矩T，用截面法求得。

画出的内力图称为扭矩图（或T图），如图2·2-1b所示
图2·2-1 圆杆的扭转
2.圆杆扭转切应力与强度条件
当应力不超过材料的剪切比例极限r p时，某横截面上任意C点（图2·2-2）的切应力公式为
式中T——C 点所在横截面上的扭矩
p——C点至圆心的距离
L p——横截面对圆心的极惯性矩，见表2-2-1 等直杆扭转时的截面几何性质。

图2·2-2 切应力分布
圆杆横截面上的切应力r沿半径呈线性分布，其方向垂直于半径（图2·3-2）。

模截面上的最大切应力在圆周各点上，其计算公式为
等截面杆的最大切应力发生在T max截面（危险截面）的圆周各点（危险点）上。

其强度条件为
式中，[τ]为许用扭转切应力，与许用拉应力[σ]的关系为：[τ]=（0.5～0.6）[σ] (塑性材料)或[τ]=（0.5～0.6）[σ]（脆性材料）
3.圆杆扭转变形与刚度条件
在比弹性范围内，圆杆在扭矩T作用下，相中为L的两截面间相对扭转角为
或
式中G——材料的切变模量
单位扭转角公式为
或
式中GL p——抗扭刚度
圆杆上与杆轴距离为p外（图2·2-2）的切应变r为
圆杆表面处的最大切应变为
式中,r——圆杆的半径
等截面圆杆的最大单位扭转角，发生在T max一段内，其刚度条件为
式中,[θ]为圆杆的许用单位扭转角（°）/m
4.圆杆的非弹性扭转
讨论圆杆扭转时切应力超过材料的比例极限并进入塑性状态的情况。

对于加工硬化材料，如果材料的应力-应变图为已知（图2·3-3a），则杆中任一点处的切应力r就可以确定。

位于横截面边缘处应变为r max，其相应的切应力r max可以从应力-应变图求得。

整个横截面上切应力的（图2·3-3b）与应力-应变图的形状相同。

使圆杆产生单位扭转角所必需的扭矩T，可根据静力学方程求得（见图2·2-3b）为
图2·2-3 圆杆的非弹性扭转
将式(2-2-10)代入式(2-2-13)得
式中R max=rθ
根据式（2·2-14），可以得到T与θ的关系曲线，根据该曲线，可以确定对给定T值的θ和T max。

如果圆杆的材料具有明显的屈服极限r s，则可使应力-应变图理想化，如图2·2-4a所示，此材料弹塑性材料。

此时，只要杆中最大应变小于r s时，杆就属于弹性的。

当横截面边缘处的应变超过r s时，横截面上的应力分布如图2·2-4b所示，此图表明屈服开始于边缘，当应变增大时，屈服区例向里边发展。

如果材料的屈服极限为r s ，弹塑性边界为P S =C 时，则扭矩为
图2·2-4 理想弹塑性材料杆的扭转
式中d——圆杆的直径
当整个横截面都面到屈服时，其应力将接近均匀分布，如图2·3-4c所示，相应的扭矩为杆的塑性极限扭矩，其值为
当扭矩达到此值时，扭矩不再增加而杆将继续变形
杆中最初开始屈服时的弹性极限扭矩T s，由式（2·2-3）得
比较式（2-2-16）和式（2-2-17），可得塑性极限扭矩与弹性极限扭矩之比为
由此可知，杆中开始屈服后，只要扭矩增大三分之一，就将使杆达到极限承载能力。

非圆截面杆的抟转与薄膜比拟
等直杆扭转时的应力与变形|| 薄膜比拟|| 非弹性扭转杆
非圆截面杆扭转时，其横截面将产生曲。

横截面可以自由翘曲的扭转，称为自由扭转。

此时，由于各截面的翘曲程度相同，故横截面收只在切而没有正奕力。

例如，图2·2-5所示的工钢薄壁杆件，在两端作用一对扭转偶矩，杆的两个翼缘将相对转动，但翼缘的轴线仍为直线，不发生弯曲变形，也不产生正。

图2·2-5 自由扭转
若由于约束或受力条件的限制，造成杆件各截面的翘曲程度不同时，则横截面上除有切应力外还有正应力。

这种情况称为约束扭转。

例如，图2·2-6a，所示的工字钢杆，一端固定，另一端作用扭转力偶矩。

在固定端截面为平面，不能翘曲，但它限制了相邻截面的翘曲，离固定越远，翘曲受到的限制也越小，到自由端变成了可以自由翘曲。

由于相邻两截面的翘曲不同，则引起这两个截面间纵向纤维长度的改变，于是横截面上产生正应力。

又如图2·2-6b抽示两端简支工字钢杆，在跨度中点截面上作用一个扭转力偶矩。

两端铰支座不允许端截面绕杆轴旋转，但可自由翘曲。

由于对称，跨度中点截面应保持为平面，离中点截面越远，翘曲越大。

对于象工字钢、槽钢等薄壁杆件，在约束扭转时，横截面上的正应力往往很大刚愎自用厍以考虑。

但对于一些袂体杆件，如截面为矩形、椭圆形等杆件，因约束扭转而引起的正应力数值很小，可忽略不计。

图2·2-6 约束扭转
1.等直杆扭转时的应力与变形
具有任意形状的无限长等截面直杆，在绕扭转时，在与Z轴正交的截面上，要产生切应力rxz 和rxz（图2·2-7）。

为了确定应力和变形，设应力函数φ（X，Y），使其满足下列各式，即
φs=C1（对单联域截面，可取C1＝0）
式中C、C1——常数
φs——沿截面周边上的φ值
AI——多联域时各孔的面积，单联域时，AI=0
切应力和应力函数的关系为
等直杆扭转时最大切应力为
单位长度扭转角为
式中，Jk 、Wk为截面抗几何特性，见表2-2-1 等直杆扭转时的截面几何性质。

图2·2-7 等值杆的扭转
对于任意实体截面（参见表2-2-2 任意实心截面的Jk公式），最大切应力位于或非常接近于最大内切圆与边界的切点之一（除非在边界的其他点上有引起很高局部应力的尖锐凹角），以及位于边界曲率代数值为最小的点上。

对于凸面，边界曲率为正：对于凹面，边界曲率为负（图2·2-8）。

最大切应力可近似地用下式计算，即
图2·2-8 任意实体截面
式中的C分下列两种情形求得：
(1)在曲率为正（截面边界是直或凸的）的点上
式中D——最大内切圆直径
r——该点上的边界曲率半径（此时为正）
A——截面面积
(2)在曲率为负（截面边界是凹的）的点上
式中，ψ为边界切线绕过凹部时所转过的角度，（见图2-2-8），其单位为弧度（这里的r为负）而D、r和A的含义同前。

一些任意实体截面的Jh值，见表2-2-2 任意实心截面的Jk公式
2.薄膜比拟
应用薄膜理论与弹性扭转理论的数学相似性，通过实验确定扭转切应力是比较方便的。

用一块均匀薄膜，张在与截面相似的边界上，然后从薄膜的一侧施加微小的气体压力，使薄膜鼓成曲面，如图2-2-9所示。

该曲面与扭转切应力等有着下述关系，即
图2-2-9 薄膜比拟
(1)薄膜曲面上任一点的斜率，与截面相应点的扭转切应力的大小成正比。

(2)曲面的等高线即这切应力线
(3)薄腊鼓起的体积的两倍相当于扭矩。

由薄膜比拟可知，一般情况下切应力分布有的规律为
(1)实心轴最大扭转切应力，必发生在外周边上，且在最大内切圆切点或其附近，或有凹角处。

(2)内外周边上的切应力都是沿周边切线方向作用。

(3)在凸角的顶点上切应力为零。

3.非弹性扭转杆
当杆的一部分材料的应力超过弹性极限而产生塑性变形时，即在弹塑性变形情况下，如仍引用与前一节情况相同应力函数，则对于非硬化材料，在塑性区域要满足。

由上式可知，在塑性区域内，φ曲面斜率为一常数。

在弹塑性区的交界处，φ是连续的。

当达到极限状态即发生全面塑性变形时，则可由截面边界上筑起具有等倾角为rs 的“屋顶”（自然倾斜表面即砂堆比拟法）。

由该“屋顶”与底面所围成的体积即等于塑性极限扭矩的一半。

例如，图2-2-10所示边长这2a的方形截面，其应力函数是高为ars 的角锥体。

当发生全面塑性变形时，其极限扭矩的一半等于角锥体的体积，其大小等于底面积乘以高度的1/3。

因此可得
图2-2-10 方形截面的全塑性应力函数曲面
表2-2-3 常用截面的θs、Ts、Tp和Tp/Ts列出了几种常用的塑性极限扭矩，并与弹性极限扭矩进行比较。

由表看出，若使屈服扩展至整个截面，则杆件的承载能力将大大提高。

表2-2-4 常用组合截面的Tp列出了某些常用组合截面的塑性极限扭矩近似公式。

表中末列出弹性极限据矩，是因为凹角处很高的应力集中系数对初始屈服有影响。

计算空心截面扭杆的塑性极限扭矩时，对于等壁厚的空心扭杆，其极限据矩Tp等于具有外截面边界的实心扭杆的极限扭矩Tps 减去与空心内截面的实心扭杆的极限扭矩MpH 即
薄壁截面杆的自由扭转
开口截面|| 闭口截面|| 多闭室闭口截面
１.开口截面
薄壁截面可分为开口截面和闭口截面。

轧制的型钢或挤压成形的型材，如工字钢、槽钢、角钢或T形、Z
形等为“开口”截。

这种截面可看成是由一些等宽度的狭矩形组成。

狭矩形可能是直的或是弯的，如图2-2-11所示。

在对一个弯的开口狭矩形截面杆的自由扭转进行应力和变形计算时，可用同宽同长的直的狭矩形截面杆来代替。

图2-2-11 开口截面
单位长度扭有角的变化为
式中T——扭矩
G——切变模量
Jk——自由扭转的截面抗几何特性
其中a——截面形状修正系数，见表2-2-5
ti——每个狭矩形的厚度或平均厚度
di——每个狭矩形的长度
表2-2-5 截面形状系数α的平均值
每个狭矩形长边中点附近的切应力
最大切应力
式中，tmax为最大厚度。

2.闭口截面
闭口截面可分为单闭室和多闭室截面。

薄壁管和空心矩形截面杆等属于单闭室截面。

它们在自由扭转时，单位长度扭转角的变化为
应力或剪流公式为
由式(2-2-27)和式(2-2-28)的
3.多闭室闭口截面
如由N个闭室构成的一个闭口截面扭杆，设各闭室的剪流分别为qⅠ、qⅡ……、qN。

这时，隔板上的剪流应分别为qⅠ-qⅡ(向上) 、qⅡ-qⅢ（向上）、……。

可建立（N+1）个方程组，解出（N+1）个末知数:q Ⅰ、qⅡ……qN 和dθ/dz 。

其中N个方程是由各闭室的单位长度扭转角公式（2-2-30）得出，另一个方程由平衡条件
图2-2-12 闭口截面
得出。