杆的扭转定理和公式

圆截面杆的扭转

外力与内力 || 圆杆扭转切应力与强度条件 || 圆杆扭转变形与刚度条件 || 圆杆的非弹性扭转1.外力与内力

杆件扭转的受力特点是在垂直于其轴线的平面内作用有力偶（图2·2-1a），其变形特点是在任意两个截面绕轴线发生相对转动。轴类构件常有扭转变形发生。作用在传动轴上的外力偶矩m通常是根据轴所传递的功率N和转速n(r/min)来计算。

当N的单位为千瓦（kW）时

当N的单位为马力（HP）时

扭转时的内力为扭矩T，用截面法求得。画出的内力图称为扭矩图（或T图），如图2·2-1b所示

图2·2-1 圆杆的扭转

2.圆杆扭转切应力与强度条件

当应力不超过材料的剪切比例极限r p时，某横截面上任意C点（图2·2-2）的切应力公式为

式中T——C 点所在横截面上的扭矩

p——C点至圆心的距离

L p——横截面对圆心的极惯性矩，见表2-2-1 等直杆扭转时的截面几何性质。

图2·2-2 切应力分布

圆杆横截面上的切应力r沿半径呈线性分布，其方向垂直于半径（图2·3-2）。模截面上的最大切应力在圆周各点上，其计算公式为

等截面杆的最大切应力发生在T max截面（危险截面）的圆周各点（危险点）上。其强度条件为

式中，[τ]为许用扭转切应力，与许用拉应力[σ]的关系为：[τ]=（0.5～0.6）[σ] (塑性材料)或[τ]=（0.5～0.6）[σ]（脆性材料）

3.圆杆扭转变形与刚度条件

在比弹性范围内，圆杆在扭矩T作用下，相中为L的两截面间相对扭转角为

或

式中G——材料的切变模量

单位扭转角公式为

或

式中GL p——抗扭刚度

圆杆上与杆轴距离为p外（图2·2-2）的切应变r为

圆杆表面处的最大切应变为

式中,r——圆杆的半径

等截面圆杆的最大单位扭转角，发生在T max一段内，其刚度条件为

式中,[θ]为圆杆的许用单位扭转角（°）/m

4.圆杆的非弹性扭转

讨论圆杆扭转时切应力超过材料的比例极限并进入塑性状态的情况。对于加工硬化材料，如果材料的应力-应变图为已知（图2·3-3a），则杆中任一点处的切应力r就可以确定。位于横截面边缘处应变为r max，

其相应的切应力r max可以从应力-应变图求得。整个横截面上切应力的（图2·3-3b）与应力-应变图的形状相同。

使圆杆产生单位扭转角所必需的扭矩T，可根据静力学方程求得（见图2·2-3b）为

图2·2-3 圆杆的非弹性扭转

将式(2-2-10)代入式(2-2-13)得

式中 R max=rθ

根据式（2·2-14），可以得到T与θ的关系曲线，根据该曲线，可以确定对给定T值的θ和T max。

如果圆杆的材料具有明显的屈服极限r s，则可使应力-应变图理想化，如图2·2-4a所示，此材料弹塑性材料。此时，只要杆中最大应变小于r s时，杆就属于弹性的。当横截面边缘处的应变超过r s时，横截面上的应力分布如图2·2-4b所示，此图表明屈服开始于边缘，当应变增大时，屈服区例向里边发展。如果材料的屈服极限为r s ，弹塑性边界为P S =C 时，则扭矩为

图2·2-4 理想弹塑性材料杆的扭转

式中d——圆杆的直径

当整个横截面都面到屈服时，其应力将接近均匀分布，如图2·3-4c所示，相应的扭矩为杆的塑性极限扭矩，其值为

当扭矩达到此值时，扭矩不再增加而杆将继续变形

杆中最初开始屈服时的弹性极限扭矩T s，由式（2·2-3）得

比较式（2-2-16）和式（2-2-17），可得塑性极限扭矩与弹性极限扭矩之比为

由此可知，杆中开始屈服后，只要扭矩增大三分之一，就将使杆达到极限承载能力。

非圆截面杆的抟转与薄膜比拟

等直杆扭转时的应力与变形|| 薄膜比拟 || 非弹性扭转杆

非圆截面杆扭转时，其横截面将产生曲。横截面可以自由翘曲的扭转，称为自由扭转。此时，由于各截面的翘曲程度相同，故横截面收只在切而没有正奕力。例如，图2·2-5所示的工钢薄壁杆件，在两端作用一对扭转偶矩，杆的两个翼缘将相对转动，但翼缘的轴线仍为直线，不发生弯曲变形，也不产生正。

图2·2-5 自由扭转

若由于约束或受力条件的限制，造成杆件各截面的翘曲程度不同时，则横截面上除有切应力外还有正应力。这种情况称为约束扭转。例如，图2·2-6a，所示的工字钢杆，一端固定，另一端作用扭转力偶矩。在固定端截面为平面，不能翘曲，但它限制了相邻截面的翘曲，离固定越远，翘曲受到的限制也越小，到自由端变成了可以自由翘曲。由于相邻两截面的翘曲不同，则引起这两个截面间纵向纤维长度的改变，于是横截面上产生正应力。又如图2·2-6b抽示两端简支工字钢杆，在跨度中点截面上作用一个扭转力偶矩。两端铰支座不允许端截面绕杆轴旋转，但可自由翘曲。由于对称，跨度中点截面应保持为平面，离中点截面越远，翘曲越大。对于象工字钢、槽钢等薄壁杆件，在约束扭转时，横截面上的正应力往往很大刚愎自用厍以考虑。但对于一些袂体杆件，如截面为矩形、椭圆形等杆件，因约束扭转而引起的正应力数值很小，可忽略不计。

图2·2-6 约束扭转

1.等直杆扭转时的应力与变形

具有任意形状的无限长等截面直杆，在绕扭转时，在与Z轴正交的截面上，要产生切应力rxz 和 rxz （图2·2-7）。为了确定应力和变形，设应力函数φ （X，Y），使其满足下列各式，即

φs=C1（对单联域截面，可取C1＝0）

式中C、C1——常数

φs——沿截面周边上的φ值

AI——多联域时各孔的面积，单联域时，AI=0

切应力和应力函数的关系为

等直杆扭转时最大切应力为

单位长度扭转角为

式中，Jk 、 Wk为截面抗几何特性，见表2-2-1 等直杆扭转时的截面几何性质。