高等数学 期中期末考试卷
高数期末考试题及答案
高数期末考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 极限的定义中，当x趋近于a时，f(x)趋近于A，则称A为f(x)的极限。
以下哪个选项是正确的？A. 若f(x)在x=a处连续，则f(x)在x=a处的极限存在B. 若f(x)在x=a处不连续，则f(x)在x=a处的极限不存在C. 若f(x)在x=a处的极限存在，则f(x)在x=a处连续D. 若f(x)在x=a处的极限不存在，则f(x)在x=a处不连续答案：A2. 以下哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x^53. 以下哪个函数是偶函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x^5答案：A4. 以下哪个函数是周期函数？A. f(x) = e^xB. f(x) = sin(x)C. f(x) = ln(x)D. f(x) = x^2答案：B5. 以下哪个函数是单调递增函数？B. f(x) = x^2C. f(x) = e^xD. f(x) = ln(x)答案：C二、填空题（每题4分，共20分）6. 函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1的导数是______。
答案：6x - 27. 函数f(x) = sin(x)的不定积分是______。
答案：-cos(x) + C8. 函数f(x) = e^x的不定积分是______。
答案：e^x + C9. 函数f(x) = x^3的不定积分是______。
答案：(1/4)x^4 + C10. 函数f(x) = ln(x)的不定积分是______。
答案：x*ln(x) - x + C三、计算题（每题10分，共30分）11. 求极限lim(x→0) [(x^2 + 1) / (x^2 + x)]。
答案：112. 求不定积分∫(3x^2 - 2x + 1)dx。
答案：(x^3 - x^2 + x) + C13. 求定积分∫(0 to 1) (x^2 - 2x + 3)dx。
数学高数期末试题及答案
数学高数期末试题及答案第一部分：选择题1. 设函数 $f(x) = e^x + \ln x$，则 $f'(1) =$ ( )A. $e$B. $e+1$C. $1$D. $0$2. 设二元函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(1,2)$ 处可微，则 $\frac{\partialz}{\partial x}$ 在该点的值为 ( )A. $f_x(1,2)$B. $f_y(1,2)$C. $0$D. $f(1,2)$3. 设平面$2x+y+z=2$，直线$L$ 过点$(1,1,1)$，且与该平面平行，则直线 $L$ 的方程为 ( )A. $x=y=z$B. $2x+y+z=4$C. $x=y=z=1$D. $x+y+z=3$第二部分: 简答题1. 解释什么是极限？极限是一个函数在某一点或者无穷远处的值或趋近于的值。
对于一个给定的函数，当自变量趋近某一特定值时，函数的值也会趋近于某个特定的值。
2. 什么是导数？导数是函数在某一点的切线斜率。
在数学中，导数表示函数在给定点的变化率。
第三部分: 解答题1. 计算函数 $f(x) = \sin(x) - \cos(x)$ 在区间 $[0, \frac{\pi}{4}]$ 上的最大值和最小值。
首先，我们求解导数 $f'(x)$，然后令其等于零，解得$x=\frac{\pi}{4}$。
此时，我们可以计算得到 $f(\frac{\pi}{4}) =\sqrt{2}-1$。
另外，我们可以计算 $f(0) = 1$ 和 $f(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}-1$。
所以，函数 $f(x)$ 在区间 $[0, \frac{\pi}{4}]$ 上的最大值为 $1$，最小值为 $\sqrt{2}-1$。
2. 计算二重积分 $\iint_D x^2 y \,dA$，其中 $D$ 是由直线 $x=0$，$y=0$ 和 $x+y=1$ 所围成的区域。
高等数学期末试题(含答案)
高等数学期末试题(含答案) 高等数学检测试题一。
选择题（每题4分，共20分）1.计算 $\int_{-1}^1 xdx$，答案为（B）2.2.已知 $2x^2y=2$，求$\lim\limits_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^4+y^2}{x^2y}$，答案为（D）不存在。
3.计算 $\int \frac{1}{1-x}dx$，答案为（D）$-2(x+\ln|1-x|)+C$。
4.设 $f(x)$ 的导数在 $x=a$ 处连续，且 $\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{x-a}=2$，则 $x=a$ 是 $f(x)$ 的（A）极小值点。
5.已知 $F(x)$ 的一阶导数 $F'(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，且 $F(0)=0$，则 $\frac{d}{dx}\int_0^x F'(t)dt$ 的值为（D）$-F(x)-xF'(x)$。
二。
填空：（每题4分，共20分）1.$\iint\limits_D dxdy=1$，若 $D$ 是平面区域 $\{(x,y)|-1\leq x\leq 1,1\leq y\leq e\}$，则 $\iint\limits_D y^2x^2dxdy$ 的值为（未完成）。
2.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\left(\cos\frac{\pi}{n}\right)^2+\left(\cos\frac{2\pi}{n}\right)^2+\cdots+\left(\cos\frac{(n-1)\pi}{n}\right)^2}{n\pi}$ 的值为（未完成）。
3.设由方程 $xyz=e$ 确定的隐函数为 $z=z(x,y)$，则$\frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(1,1)}$ 的值为（未完成）。
4.设 $D=\{(x,y)|x^2+y^2\leq a^2\}$，若$\iint\limits_D\sqrt{a^2-x^2-y^2}dxdy=\pi$，则 $D$ 的面积为（未完成）。
高数期末考试题
往届高等数学期终考题汇编2021-01-12一．解答以下各题(6*10分): 1．求极限)1ln(lim10xx e x ++→.⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=22222ln a x x a a x x y ,求y d .3.设⎪⎩⎪⎨⎧-=-=3232tt y tt x ，求22d d xy .4.判定级数()()0!12≥-∑∞=λλλn nn n n e 的敛散性.7.⎰-π03d sin sin x x x .⎪⎩⎪⎨⎧≤≤<=πππx x x x f 2,02,)(在[]ππ,-上展为以π2为周期的付里叶级数，并指出收敛于()x f 的区间.0d )4(d 2=-+y x x x y 的解.1=xy 与直线0,2,1===y x x 所围平面图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积.二.(8分)将()()54ln -=x x f 展开为2-x 的幂级数,并指出其收敛域.三.(9分)在曲线()10sin 2≤≤=x x y 上取点()()10,sin ,2≤≤a a a A ,过点A 作平行于ox 轴的直线L ,由直线L ,oy 轴与曲线()a x x y ≤≤=0sin 2所围成的图形记为1S ,由直线L ,直线1=x 与曲线()1sin 2≤≤=x a x y 所围成的图形面积记为2S ,问a 为何值时,21S S S +=取得最小值.四.(9分)冷却定律指出,物体在空气中冷却的速度与物体与空气温度之差成正比,空气温度为30℃时,物体由100℃经15分钟冷却至70℃,问该物体冷却至40℃需要多少时间 五.(8分)(学习工科数学分析的做〔1〕，其余的做〔2〕)〔1〕证明级数∑∞=-02n nx e x 在[),0+∞上一致收敛.〔2〕求幂级数()∑∞=-----122121212)1(n n n n x n 的收敛域与与函数.六.(6分)设()[]b a C x f ,2∈,试证存在[]b a ,∈ξ,使()()()()⎰''-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=b af a b b a f a b dx x f ξ324122021．1．15一．解答以下各题(6*10分): 1.计算极限 ()xx x e x x 30sin 22lim++-→.2.设,5arctan log 22π+-=x x e y x 求y d .3.设,20;cos sin ,cos ln ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<⎩⎨⎧-==πt t t t y t x 求322d d π=t x y .4.判定级数∑∞=123n n nn 的敛散性.8.求函数()⎩⎨⎧<<≤≤=21,210,1x x x f 在[]2,0上展成以4为周期的正弦级数.()()0d d 132=++++y y y x x y 的通解.72+=x y 与532+=x y 所围成的图形绕ox 轴旋转一周而成的旋转体的体积.二.(9分)证明:当0≥x 时,有三.(9分) 设抛物线()02<+=a bx ax y 通过点()3,1M ,为了使此抛物线与直线x y 2=所围成的平面图形的面积最小,试确定a 与b 的值.四.(8分)设一车间空间容积为10000立方米,空气中含有0.12%的二氧化碳(以容积计算),现将含二氧化碳0.04%的新鲜空气以1000立方米每分钟的流量输入该车间,同时按1000立方米的流量抽出混合气体，问输入新鲜空气10分钟后，车间内二氧化碳的浓度降到多少？五．〔8分〕求幂级数nn nx n n ∑∞=+0!21的收敛域与其与函数. 六.(6分)设函数()x f 在0=x 的邻域内有连续的一阶导数,且()a xx f x =→0lim()0>a ,证明:()⎪⎭⎫⎝⎛-∑∞=-n f n n 1111条件收敛.2007年1月一. 计算以下各题(6*10分):1．计算极限()xx x e x x arctan 11ln lim 0---+→.2. 设21arcsin x y -=, 求y d .3. 设⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⎰-.01sin .d 02y t e u e x y t u 求0d d =x x y . 4. 判定级数∑∞=+134n nn的敛散性. 5. 计算反常积分()⎰∞+11d xx x.6设()21ln x x ++为()x f 的原函数, 求()⎰'x x f x d .7. 将()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<≤≤=.2 ,0;20 ,1πππx x x f 展开成以π2为周期的傅立叶正弦级数, 并求此级数分别在π23=x 与π25=x 两点的收敛值.8. 将函数()x x f ln =展开为2-x 的幂级数,并指出其收敛域.9求微分方程()()27121+=-'+x y y x 的通解.10. 求抛物线25y x =与21y x +=所围图形的面积.二. (9分) 假设函数()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=⎰.0,;0 ,d 1cos 2x a x xte xf x t 在0=x 点可导. 求a 与()0f '.三. (9分) 在曲线()0≥=-x e y x 上求一点()0,0x e x -,使得过该点的切线与两个坐标轴所围平面图形的面积最大, 并求出此最大面积. 四(8分)半径为R 的半球形水池充满水,将水从池中抽出, 当抽出的水所作的功为将水全部抽出所作的功的一半时, 试问此时水面下降的深度H 为多少五.(8分)求幂级数()∑∞=+11n nx n n 的与函数并求出级数()∑∞=+1211n nn n 的与.六. (6分) 函数()x f 在[)+∞,0上可导, 且()10=f 并满足等式()()()0d 110=+-+'⎰xt t f x x f x f , 求()x f '并证明()().0 1≥≤≤-x x f e x 2006年1月一. 计算以下各题(6*10分):1. 30sin tan lim xxx x -→ ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2tan 21arctan x y , 求y d .()⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=-0,10,2x x x e x f x , 求()x x f d 121⎰--. 4. 判定级数212121n n n n n ⎪⎭⎫⎝⎛+∑∞=的敛散性.5. 设()x y y =由方程()y x y +=tan 所确定,求y '.7. 将()x x f +=2, []ππ,-∈x 展成以π2为周期的傅立叶级数. 8. 将函数()2312++=x x x f 展成()4+x 的幂级数, 并指出收敛区间.9. 求微分方程x e x y y x 43=-'的通解.10. 设曲线2ax y =()0,0≥>x a 与21x y -=交于点A, 过坐标原点O 与点A 的直线与曲线2ax y =围成一个平面图形. 问: 当a 为何值时,该图形绕x 轴旋转一周所产生的旋转体体积最大二. (8分) 证明不等式: 当0>x 时, ααα-≤-1x x , ()10<<α.三. (9分). 设()⎰-=221d x t t ex f , 求()⎰1d x x xf .四. (9分). 一物体在某一介质中按3ct x =作直线运动,介质的阻力与物体速度的平方成正比, 计算物体由0=x 移动到a x =时克制阻力所作的功.五. (9分) 求级数()∑∞=+0311n nn 的与.六. (5分). 设()0>''x f , []b a x ,∈, 证明:2005年1月15日一. 解答以下各题〔6×10分〕1． 计算极限()xx x x x e x x sin 1sin lim 0-+-→ 2． 设()1ln 211222++++=x x x x y ，求y d .3． 设()⎩⎨⎧>+≤=02 , ,x x b ax x x x x f 在0x 处可导,求常数a 与b .4． 判定级数()∑∞=--1131n nn n 的敛散性. 假设收敛,是条件收敛还是绝对收敛5． 设()x y y =由方程ye y x y ++-=)ln(1所确定,求y '.6． 设()x f 连续,且满足()x t t f x =⎰-13d .求()?26=f .7． 求()1123223+--=x x x x f 的极值. 8． 计算不定积分⎰-xxx 2ln 4d .9． 计算定积分x x d arctan1⎰.10． 求由曲线12+=x y , 直线,0=y 0=x , 1=x 所围成的平面图形绕y 轴旋转一周所产生的旋转体的体积.二. (8分). 试证明不等式⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πx 时, 3tan 3x x x +>.三. (9分) 将函数()3212-+=x x x f 展成3-x 的幂级数,并指出收敛区间.四. (9分) ()x f 在12=x 的邻域内可导, 且()0lim 12=→x f x ,()22005lim 12='→x f x . 求极限()()312121212d d lim x t u u f t xt x -⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰→→. 五.(8分) 求幂级数nn x n n ∑∞=+0!1的收敛域与与函数. 六. (6分) 设()x f 在[]1,0上连续, 在()1,0内可导, 且()10≤'<x f , ()00=f .证明 ()()x x f dx x f d 103210⎰⎰≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 2004年1月一、解以下各题1、10lim ,(0,0)2xxxx a b a b →⎛⎫+>>⎪⎝⎭其中2、设22(sin )x x y x e x -=+,求y '3、求不定积分arctan x xdx ⎰4、求不定积分21(1)dx x x +⎰5、求定积分4⎰6、求由曲线1|ln |,,y x x x e e===与x 轴围成的图形的面积。
高数期末考试卷和答案
高数期末考试卷和答案**高数期末考试卷**一、选择题（每题4分，共40分）1. 极限的定义中，当自变量趋近于某一点时，函数值趋近于一个确定的数值，这个数值称为该点的（）。
A. 函数值B. 极限C. 导数D. 积分答案：B2. 函数f(x)=x^2在x=0处的导数为（）。
A. 0B. 1C. 2D. -1答案：C3. 以下哪个函数是奇函数？（）A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x答案：B4. 以下哪个函数是偶函数？（）A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x答案：A5. 以下哪个选项是正确的不定积分？（）A. ∫x^2 dx = x^3 + CB. ∫x^2 dx = 2x^3 + CC. ∫x^2 dx = 3x^3 + CD. ∫x^2 dx = x^3/3 + C答案：D6. 以下哪个选项是正确的定积分？（）A. ∫[0,1] x^2 dx = 1/3B. ∫[0,1] x^2 dx = 1/2C. ∫[0,1] x^2 dx = 2/3D. ∫[0,1] x^2 dx = 1/4答案：A7. 以下哪个选项是正确的二重积分？（）A. ∬[0,1] x^2 dy dx = 1/3B. ∬[0,1] x^2 dy dx = 1/2C. ∬[0,1] x^2 dy dx = 2/3D. ∬[0,1] x^2 dy dx = 1/4答案：A8. 以下哪个选项是正确的多元函数偏导数？（）A. ∂f/∂x = 2xB. ∂f/∂y = 2yC. ∂f/∂z = 2zD. ∂f/∂x = 2x + 2y答案：A9. 以下哪个选项是正确的多元函数全微分？（）A. df = 2x dx + 2y dyB. df = 2x dx + 2y dy + 2z dzC. df = x dx + y dyD. df = x dx + y dy + z dz答案：A10. 以下哪个选项是正确的泰勒展开？（）A. e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...B. e^x = 1 + x + x^2 + x^3 + ...C. e^x = 1 + x + x^2/3! + x^3/4! + ...D. e^x = 1 + x + x^2/2 + x^3/3 + ...答案：A二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数f(x) = sin(x)在x=0处的导数为______。
高等数学AB上册期中期末试卷完整版0309东南大学
03～09级高等数学（A ）（上册）试卷东南大学2003级高等数学（A ）（上）期中试卷一、单项选择题（每小题4分，共12分）1.2)( ,)( ='=οοx f x x f y 且处可导在点函数, 是时则当dy x ,0→∆（） （A ）等价的无穷小与x ∆；（B ）同价但非等价的无穷小与x ∆； （C ）低价的无穷小比x ∆；（D ）高价的无穷小比x ∆。
2.方程内恰有在) ,(0125∞+-∞=-+x x （）（A ） 一个实根；（B ）二个实根；（C ）三个实根；（D ）五个实根。
3.已知函数 ,0)0( , 0 ==f x f 的某个邻域内连续在 ,1cos 1)(lim 0=-→xx f x则处在 0 =x f （）（A ） 不可导；（B ）可导且0)0(≠'f ；（C ）取得极大值；（D ）取得极小值。
二、填空题（每小题4分，共24分）1.=⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=a x a x xxx x f 0.,,0,3cos 2cos )(2则当若 时，处连续在 0 )( =x x f . 2.设函数nxnx n ee x x xf +++=∞→11lim )( 2，则=x x f )( 在 0 处 ，其类型是 .3.函数Lagrange x xe x f x处的带在1)(==ο余项的三阶Taylor 公式为 4.设函数所确定由方程 1)sin()(=-=xye xy x y y ，则=dy . 5.已知)1ln()(x x f -=，则=)0()(n f.6.设22tan )(cos x x f y +=，其中可导 f ，=dxdy则 三、（每小题7分，共28分）1.求极限x x x 2cot 0)]4[tan(lim π+→. 2.求极限)sin 1(sin lim x x x -++∞→3.已知x x ey xsin 1ln --=，求)2(π'y . 4.设22 , , 2cos sin 2dx yd dx dy t y t x 求⎩⎨⎧==.四、（8分）求证时当 0 >x ，x x x sin 63<-. 五、（6分）落在平静水面上的石头产生同心圆形波纹。
东南大学高等数学期中期末试卷
共19 页第1 页共 19 页 第 2 页4. 下列结论正确的是 [ ] (A) 若[][]b a d c ,,⊆,则必有()()⎰⎰≤bad cx x f x x f d d .(B) 若()x f 在区间[]b a ,上可积,则()x f 在区间[]b a ,上可积. (C) 若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有()()⎰⎰+=TTa ax x f x x f 0d d .(D) 若()x f 在区间[]b a ,上可积,则()x f 在[]b a ,内必有原函数. 三. (每小题7分,共35分)1. ()()3020d cos ln lim x tt t xx ⎰+→. 2. 判断级数∑∞=-1354n n n n的敛散性. 3. x x x x d cos cos 042⎰-π. 4. ⎰∞+13d arctan x xx . 5. 求初值问题 ()()⎪⎩⎪⎨⎧-='=+=+''210,10sin y y xx y y 的解.四.(8分) 在区间[]e ,1上求一点ξ,使得图中所示阴影部分绕x 轴旋转所得旋转体的体积最小五.(7分) 设 b a <<0,求证 ()ba ab a b +->2ln. 六.(7分) 设当1->x 时,可微函数()x f 满足条件()()()0d 110=+-+'⎰xt t f x x f x f且()10=f ,试证:当0≥x 时,有 ()1e≤≤-x f x成立.七.(7分) 设()x f 在区间[]1,1-上连续,且()()0d tan d 1111==⎰⎰--x x x f x x f ,证明在区间()1,1-内至少存在互异的两点21,ξξ,使()()021==ξξf f .xln共 19 页 第 3 页04-05-2高等数学(非电)期末试卷答案及评分标准 05.1.14一. 填空题(每小题4分,共20分) 1. 0,一; 2.21x Cx +; 3. 1e 4-; 4. 1; 5. 343. 二. 单项选择题(每小题4分,共16分) 1. A; 2.B; 3. D; 4.C. 三. (每小题7分,共35分) 1. 原式=()分分分261)2(1cos lim 3131)3(3cos ln lim 20220 =-+=+→→x x x x x x x2. 分515453153154lim 354354lim lim11111 <=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=--=+∞→+++∞→+∞→n nn nn n n n n n nn n a a由比值法知原级数收敛. 分23. 原式 =()()分分分222d cos sin 3d cos sin 220πππππ==⎰⎰x x x x x x4. 原式()分31d arctan 2112212⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=⎰∞+∞+x x x x x=()分分2212d 111218122 =⎪⎭⎫⎝⎛+-+⎰∞+x x xπ5. 对应的齐次方程的通解为 分2sin cos 21 xC x C y +=非齐次方程x y y =+''的一个特解为()分11 x y =,非齐次方程x y y sin =+''的一个特解为()分1cos 22 x x y -=,原方程的通解为 x xx x C x C y cos 2sin cos 21-++=)1(分 ,利用初值条件可求得 1,121-==C C , 原问题的解为分2cos 2sin cos xxx x x y -+-=共 19 页 第 4 页四.(8分)()()()()()()()()()[]()()()()()0e),1(e2,01ln 223ln 4ln 2e 2ln 2ln 2ln 2ln 2)d ln 1(2d ln 212122e212e212>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''==-='-+-=-++--+-=-+=⎰⎰V t t t V t t t t t txx x x x x x x x x x x x x t V tttt 且分得分令分分 πππππ因此21e=t 是()t V 在[]e ,1上的唯一的极小值点,再由问题的实际意义知必存在最小体积,故21e=ξ是最小值点.分1五.(7分) 设t a b =,原不等式等价于()1,112ln >+->t t t t , 即等价于 ()()()分31,012ln 1 >>--+=t t t t t f()()()分101,11ln ,01 ='-+='=f tt t f f()1,0112≥≥-=''t t t t f ,且等号当且仅当1=t 时成立 分1因此()t f '单增,()()1,01>='>'t f t f 从而()t f 单增,()()1,01>=>t f t f ,原不等式得证.分2六.(7分)由题设知()10-='f , 分1 所给方程可变形()()()()()⎰=-++'+xt t f x f x x f x 00d 11两端对x 求导并整理得 ()()()()分1021 ='++''+x f x x f x这是一个可降阶的二阶微分方程,可用分离变量法求得 ()分21e xC x f x+='-由于()10-='f ,得()()x f xx f C x,01e ,1<+-='-=-单减,而(),10=f 所以当0≥x 时,())1(1分 ≤x f ,对()01e <+-='-xx f x在[]x ,0上进行积分共 19 页 第 5 页()()分2e d e 1d 1e 00-0 xx t xtt t t f x f --=-≥+-=⎰⎰七.(7分) 记()()⎰-=xt t f x F 1d ,则()x F 在[]1,1-上可导,且()()分2011 ==-F F若()x F 在()1,1-内无零点,不妨设()()1,1,0-∈>x x F()()()()0d sec d sec tan )(d tan d tan 0112112111111<-=-===⎰⎰⎰⎰-----x x x F x x x F x x F x F x x x x f 此矛盾说明()x F 在()1,1-内至少存在一个零点分2,0 x对()x F 在[][]1,,,100x x -上分别使用Rolle 定理知存在()()1,,,10201x x ∈-∈ξξ,使得()(),021='='ξξF F 即 ()()分3021 ==ξξf f共 19 页 第 6 页东 南 大 学 考 试 卷（A 卷）课程名称 工科数学分析 考试学期 04－05－2（期末） 得分适用专业 上课各专业 考试形式闭 考试时间长度 150分钟4.下列结论正确的是 [ ]3．下列反常积分发散的是 [ ](A)⎰-11sin 1dx x (B)⎰--11211dx x(C)⎰∞+-02dx e x (D) ⎰∞+22ln 1dx x x共 19 页 第 7 页(A) 若],[],[d c b a ⊇,则必有⎰⎰≥badcdx x f dx x f )()((B) 若|)(|x f 在区间],[b a 上可积,则)(x f 在区间],[b a 上可积 (C)若)(x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有⎰⎰+=TTa adx x f dx x f 0)()((D)若)(x f 在区间],[b a 上可积,则)(x f 在),(b a 内必定有原函数. 三．（每小题7分，共35分） 1． 设)(x y y =满足222=-+xyye y x ,求曲线)(x y y =在点)2,0(处的切线方程.2． 计算积分⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++116|)2ln(|1sin dx x x x 3．计算积分⎰-dx xx 222 4.计算反常积分⎰∞+13arctan dx x x5.设⎰-=221)(x t dt e x f ,求⎰10)(dx x xf .四.(7分) 求微分方程初值问题⎪⎩⎪⎨⎧-='=+=+''21)0(,1)0(sin y y x x y y 的解.五.(8分)在区间],1[e 上求一点ξ,使得图中所示阴影部分 绕x 轴旋转所得旋转体的体积最小。
高数期中考试题目及答案
高数期中考试题目及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^3-3x+1的导数f'(x)为：A. 3x^2 - 3B. 3x^2 + 3C. x^3 - 3D. x^3 + 3答案：A2. 极限lim(x→0) (sin x) / x的值为：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B3. 定积分∫(0 to 1) (2x + 1) dx的值为：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C4. 微分方程dy/dx = 2x的通解为：A. y = x^2 + CB. y = 2x + CC. y = x + CD. y = 2x^2 + C答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^2-4x+3的极值点为______。
答案：22. 函数f(x)=e^x的n阶导数为______。
答案：e^x3. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的拐点为______。
答案：24. 函数f(x)=ln(x)的定义域为______。
答案：(0, +∞)三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-3x^2+2x-1的一阶导数和二阶导数。
答案：一阶导数f'(x)=3x^2-6x+2；二阶导数f''(x)=6x-6。
2. 计算定积分∫(0 to π) sin(x) dx。
答案：23. 解微分方程dy/dx - 2y = e^(2x)。
答案：y = (1/3)e^(2x) + C4. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值。
答案：极小值点x=2，极小值f(2)=3；极大值点x=3，极大值f(3)=4。
5. 证明函数f(x)=x^3+3x^2-3x-1在区间(-1,1)内单调递增。
答案：略6. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的凹凸性。
答案：二阶导数f''(x)=6x-6，令f''(x)>0得x>1，令f''(x)<0得x<1，故函数在(-∞, 1)上凹，在(1, +∞)上凸。
高等数学b1期末试题及答案
高等数学b1期末试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = x^4D. f(x) = x答案：B2. 计算定积分∫(0,1) x^2 dx 的值。
A. 1/3B. 1/2C. 1D. 2答案：A3. 以下哪个选项是洛必达法则的应用？A. 计算极限lim(x→0) (sin x)/xB. 计算定积分∫(0,π) sin x dxC. 计算导数 d/dx (x^3)D. 计算不定积分∫e^x dx答案：A4. 以下哪个选项是二阶导数？A. d^2y/dx^2B. dy/dxC. d^2y/dy^2D. d^2y/dxdy答案：A5. 以下哪个选项是泰勒公式的展开式？A. f(x) = f(a) + f'(a)(x-a)B. f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2!C. f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2D. f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^3/3!答案：B6. 以下哪个选项是傅里叶级数的组成部分？A. 正弦函数B. 余弦函数C. 指数函数D. 所有选项答案：D二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数 f(x) = x^3 - 6x 在 x = 2 处的导数是 _______。
答案：-62. 微分方程 y'' - 2y' + y = 0 的通解是 _______。
答案：y = C1 * e^x + C2 * e^(-x)3. 计算极限lim(x→0) (e^x - 1)/x 的值是 _______。
答案：14. 函数 y = sin x 的不定积分是 _______。
浙江工业大学高等数学期末期中考试卷
♥ .08/09(二)浙江工业大学高等数学 A 期中考试试卷学院：班级：姓名:学号:任课教师:题号一二三四五六七总分得分一、填空题（本题满分28 分，每小题 4 分）. .1、设a = (3, 5, -2), b = (2,1, 4) ，当常数λ, μ满足时λa +μb 与z 轴垂直。
♣2x - 4 y +z = 02、直线♦3x -y - 2z - 9 = 0在平面4x -y +z = 1 的投影直线方程是。
3、设函数z =z(x, y) 由方程z =e2x-3z+ 2 y 确定, 则∂z=。
∂y4、设z =x y （x > 0, x ≠ 1 ），则dz = 。
5、函数u =xy 2 +z 3 -xyz 在点（1，1，1），沿方向l = {0, 1, 2} 的方向导数是。
6、在曲面 z =x2+y2上有一点M，在该点曲面的切平面平行于平面2x + 2 y -z = 0 ，则点M 的坐标是。
1 x 4 x7、交换二次积分的次序⎰0 dx⎰-x f (x, y)dy +⎰1 dx⎰x-2 f (x, y)dy = 。
二、选择题（本题满分12 分，每小题 4 分）1、二元函数f (x, y) 在点( x0 , y0 ) 的4 条性质分别为：a）连续；b）偏导数存在；c）偏导数连续；d）可微；则这些性质之间的相互关系正确的是（）（A）c ⇒d ⇒a ；(B) c ⇒b ⇒a ；(C) d ⇒c ⇒b ；(D) d ⇒b ⇒a 。
2、设函数f (u) 连续, 区域D ={(x ,y) x2+y2≤ 2 y}, 则⎰⎰f (xy)dxdy 等于（）D1 1-x2π2sinθ2（A）⎰-1dx⎰1-x2f(xy)dy；（B）⎰0dθ⎰0f(r sinθcosθ) rdr ；π2sinθ2 2 2 y-y2（C）⎰0dθ⎰0f(r sinθcosθ)dr；（D）2⎰0dy⎰0 f (xy)dx 。
高等数学考试试卷集锦
高等数学（上）期中考试试卷 1（答卷时间为 120 分钟）一.选择题（每小题 4 分）1.以下条件中（x →x +0（C ） f ′(x 0 ) 存在2.以下条件中（）不是函数 f (x ) 在 x 0 处连续的充分条件. （A ） lim f (x ) = lim f (x)x →x 0 -0（B ） lim f (x ) = f (x 0 )x →x 0（D ） f (x ) 在 x 0 可微）是函数 f (x ) 在 x 0 处有导数的必要且充分条件.（A ） f (x ) 在 x 0 处连续（C ） lim ∆x →0f ( 0x +∆ x ) - f ( 0x -∆ x )存在∆x 3. x = 1是函数 f (x ) =（A ）可去x -1sin πx 的（（B ） f (x ) 在 x 0 处可微分 （D ） lim f ′(x ) 存在x →x 0）间断点.（C ）无穷（D ）振荡（B ）跳跃4.设函数 f (x ) 在闭区间 [a ,b ] 上连续并在开区间 (a ,b ) 内可导，如果在 ( a , b ) 内f ′(x ) > 0 ，那么必有（ ）.（A ）在[ a , b ] 上 f (x ) > 0 （C ）在[ a , b ] 上 f (x ) 单调减少 5.设函数（B ）在[ a , b ]上 f (x ) 单调增加 （D ）在[ a , b ] 上 f (x ) 是凸的f (x ) = (x 2 - 3x + 2)sin x ，则方程 f ′(x ) = 0 在 ( 0 , π ) 内根的个数为（（A ）0 个（B ）至多 1 个（C ） 2 个）.（D ） 至少 3个二.求下列极限（每题 5 分） ln b (1+ ax )1. lim x →0 （ a > 0 ）.sin axa2. limx →∞ ax + b sin xcx + d cos x1（ c ≠ 0 ）. 3. lim ⎜⎜ε x -1 ⎟x （ a ≠ 0 ）.⎝ ⎠ 三.求下列函数的导数（每题 6 分）x →∞ ⎟1. y = ln ⎜ tan ⎛ ⎝x ⎞⎟ - cos x ln(tan x ) ,求 y ′ .2 ⎠⎛ ⎞ 4. lim ⎜x →0 ⎝ ⎛ sin x ⎞ x ⎟ ⎠x 2. 2.设 F (x ) 是可导的单调函数，满足 F ′(x ) ≠ 0 ， F (0) = 0 .方程F (xy ) = F (x ) + F ( y )确定了隐函数 y = y (x ) ，求dy dx x0=⎧ .⎪x = ln 1+ t ⎩⎪ψ = arctan t2 3.设 y = y (x ) 是参数方程 ⎨ ⎧ln(x + e )4.设函数 f (x ) = ⎨d 2 y dx 2确定的函数，求 . （ a > 0 ），问 a 取何值时 f ′(0) 存在？.⎩ax x > 0 x ≤ 0四.（8 分）证明：当 x > 0 时有 e x ≥ x e ，且仅当 x = e 时成立等式.五.（8 分）假定足球门宽度为 4 米，在距离右门柱 6 米处一球员沿垂直于底线的方向带球前进，问：他在离底线几米的地方将获得最大的射门张角？4 6θ x六.（10 分）设函数 f (x ) 在区间 [a ,b ] 上连续，在区间 (a ,b ) 内有二阶导数.如果f (a ) = f (b ) 且存在 c ∈ (a ,b ) 使得 f (c ) > f (a ) ，证明在 (a ,b ) 内至少有一点 ξ ，使得 f ′′(ξ ) < 0 .七.（10 分）已知函数 y = f (x ) 为一指数函数与一幂函数之积，满足： （1） lim f (x ) = 0 ， lim f (x ) = +∞ ；x →+∞ x →-∞（2） y = f (x ) 在 (-∞ ,+∞ ) 内的图形只有一条水平切线与一个拐点. 试写出 f (x ) 的表达式.高等数学（上）期中考试试卷 2（答卷时间为 120 分钟）一.填空题（每小题 4 分）⎧ 11.已知函数 f (x ) = ⎪ 1( - sin x ) ⎨ ⎪a⎩ x x ≠ 0x = 0 在 x = 0 连续，则 a =.2. x = 0 是函数 f (x ) = 11e x +1的 间断点.（可去.跳跃.无穷.振荡） 3.若 f ′(x ) = 1 ，则 lim 0ε →0 =f (x 0 - 3ε ) - f (x 0 )2ε. 24.函数 f (x ) = (x - 3x + 2)sin x 在 ( 0 , π ) 内的驻点的个数为（（A ）0 个 （B ）至多 1 个 （C ） 2 个 5.设 a > 0 ，若 lim x →+∞ ）. （D ） 至少 3 个 2 ax + bx + c + dx = e ，则 a 与 d 的关系是.二.计算题（每题 6 分） ⎡1 ⎤⎥ x ⎦ 1.求 limx → ⎣⎢01ln(1+ x ) - .2.求 lim (cos x ) x →03. y = ln ⎜ tan ⎛ ⎝1x 2x ⎞⎟ - cos x ln(tan x ) ,求 y ′ .2 ⎠4.设 y = y (x ) 是参数方程 ⎨ ⎩ ⎧x = e t cos t ⎪ ⎪y = e t sin td 2 ydx 2确定的函数，求 ⎰ 1 +sin 4 x dx⎰ x x 2-1sin x cos x5.求6.求dx . π三.（8 分）证明：当 0 < x < 时有 sin x + tan x > 2x .2四 .（8 分）设函数 f (x ) 有二阶导数，且 f (0) = 0 ，又满足方程 f ′(x ) + f (x ) = x ，证 明 f (0) 是极值，并说出它是极大值还是极小值？五.（8 分）设 a 和 b 是任意两个满足 ab = 1的正数，试求 a +b 的最小值（其中常数 m n > 0 ）使得 f (ξ ) = ξ ；又若 f ′(x ) ≠ 1（ x ∈ ( 0 , 1 ) ），证明这样的ξ 是唯一的.mn ` 六.（10 分）设函数 f (x ) 在区间[ 0 , 1 ]上可导，且 0 < f (x ) < 1，证明 ∃ξ ∈ ( 0 , 1 ) ， 七.（10 分）（1）设 (a n ) n 1= （2）对上述数列 (a n )n 1=∞∞是单调增加的正数列，在什么条件下，存在极限 lim a n ？n →∞，令 x n = (a + a +" + a)lim x n = lim a. n n 12 nn n →∞ n →∞n1n ，试用夹逼准则证明高等数学（上）期末考试试卷 1（答卷时间为 120 分钟）一 .填空题（每题 4 分）1.函数 f (x ) 在[ a , b ] 上有界是 f (x ) 在[ a , b ] 上可积的 在[ a , b ] 上连续是 f (x ) 在[ a , b ] 上可积的2.函数 y =11 + tan x的间断点为 x =条件.，它是条件，函数 f (x )间断点.3.当 x → 0 时，把以下的无穷小：（A ） a -1 (a > 0, a ≠ 1 ；)（C ）1- cos 4x ； 按 x 的低阶至高阶重新排列是x4. limn →∞1 ⎡ π sin n ⎢⎣ n+ sin 2π n （B ） x - sin x ； （D ） ln(1+ x )， .（以字母表示）⎰ 1 0 dx = . ，，(n -1)π ⎤n ⎥ ⎦ +" + sin = 1 5.设函数 f (x ) 在闭区间 [ 0 , 1 ] 上连续，且 ⎰ f (x )dx = 0 ，则存在 x ∈ (0,1) ，使f (x 0 ) + f (1- x 0 ) = 0 .证法如下：0 x1令 F (x ) = ⎰f (t )dt +⎰, ) 内 ，且F (0) = 0 1- xf (t )dt ，x ∈[0,1] ，则 F (x ) 在闭区间[0,1]上连续，在开区间， F (1) = ，故根据微分学中的 定理知，(0 1 x 0 ∈ (0,1) 使得 F ′(x 0 ) = f (x 0 ) + f (1- x 0 ) = 0 ，证毕.二 .计算题（每题 6 分）11.若 lim (1+ x ) x →-0cx2.设 y = y (x ) 是由方程 e + y = sin(xy ) 确定的隐函数，求 y ′ .3.求极限lim ⎰x →0ln xx π4.求⎰ dx x 2( t 2e -1 dt)2= e ，求 c 的值.y .ln(1+ x 6) 5.求⎰ -π x (sin x + cos x )dx .224 +∞6.求⎰2x 4dx2x -1x 三 .（8 分）设 f (x ) = ⎰e dt ，求 ⎰f (x )dx x四.（8 分）设函数 f (x ) 在区间[ 0 , 1 ]上连续，且 f (x ) < 1，证明方程 2x - ⎰f (t )dt = 1 在开区间 (0,1 ) 内有且仅有一个根.1五 .（8 分）求由抛物线 y = 2x 与直线 x = 所围成的图形绕直线 y = -1旋转而成的2立体的体积.-2t10 21六.（8 分）设半圆形材料的方程为 y = R - x ，其线密度为 ρ = k - y ，(k > R ) 求该材料的质量.七 .（12 分）在一高为 4 的椭圆底柱形容器内储存某种液体，并将容器水平放置，如果 2 2x 2椭圆方程为4 + y 2 = 1（单位：m ），问：（ 1）液面在 y (-1 ≤ y ≤ 1) 时，容器内液体的体积V y与 y 的函数关系是什么？（ 2）如果容器内储满了液体后以每分钟 0.16m 的速 度将液体从容器顶端抽出，当液面在 y = 0 时，液面下降的速度是每分钟多少 m ？ 3（ 3）如果液体的比重为 1（ N需作多少功？m 3 ），抽完全部液体Ox高等数学（上）期末考试试卷 2（答卷时间为 120 分钟）一.填空题（每小题 4 分）1.极限 lim f (x ) 存在是函数 f (x ) 在 x 0 处连续的x → x 0数 f (x ) 在 x 0 处连续的（A ）充分 （C)充分且必要2.若 f ′(0) = 1，则 limε →0 条件；导数 f ′(x 0 ) 存在是函条件. ——填入适当的字母即可：（B)必要（D ）既不充分也不必要f ( 2h ) - f (-h )h =.3.设 f (x ) = x (x -1)(2x -1)(3x -1)"(nx -1) ，则 f ′′(x ) 在 ( 0 , 1 ) 内有π4.设 f (x ) 是[-1 , 1 ]上连续的偶函数，则 ⎰[ 1+ xf (sin x )]dx =-π 个零点. .5.平面过点 ( 1 , 1 ,-1 ) ， (-2 , - 2 , 2 ) 和 ( 1 , -1 , 2 ) ，则该平面的法向量为 二.基本题（每小题 7 分）（须有计算步骤）2 x ⎰ π0 01.求极限 limx →02.求定积分⎰ln(1+ t )dt1- cos x2..3.设 y = y (x ) 是方程 e + ⎰e dt - x -1 = 0 确定的隐函数，证明 y = y (x ) 是单调增加 t 2函数并求 y ′ x =0 .4.求反常积分⎰1u 31- u 2du .4 x tan xdx .yy三.（10 分）设 a 和 b 是任意两个满足 a + b = 1的正数，试求 a ⋅ b 的最大值（其中 常数 m n > 0 ）四.（10 分）一酒杯的容器部分是由曲线 y = x （ 0 ≤ x ≤ 2 ，单位：cm ）绕 y 轴旋转mn`33而成，若把满杯的饮料吸入杯口上方 2cm 的嘴中，要做多少功？（饮料的密度为 1g/cm ） 五 .（10 分）教材中有一例叙述了用定积分换元法可得等式⎰ xf (sin x )dx =2 ππ π⎰ f (sin x )dx . 0 如果将上式左端的积分上限换成 (2k -1)π （ k ∈ Z ），则将有怎样的结果？进一步设kTf (x ) 是周期为T 的连续的偶函数， ⎰ xf (x )dx 将有怎样相应的表达式？六.（10 分）设动点 M (x , y , z ) 到 xOy 面的距离与其到定点 (1 ,-1 , 1 ) 的距离相等，M的轨迹为 ∑ .若 L 是 ∑ 和柱面 2z = y 的交线在 xOy 面上的投影曲线，求 L 上对应于1 ≤ x ≤2 的一段弧的长度.x0 2七.（12 分）设 f 0 (x ) 是[ 0 , + ∞) 上的连续的单调增加函数，函数 f 1(x ) =⎰ 0f 0(t )dtx.（ 1）如何补充定义 f 1(x ) 在 x = 0 的值，使得补充定义后的函数（仍记为 f 1(x ) ）在[ 0 , + ∞) 上连续？（ 2）证明 f 1(x ) < f 0 (x ) （ x > 0 ）且 f 1(x ) 也是[ 0 , + ∞) 上的连续的单调增加函数； (t )dt （ 3）若 f 2(x ) =⎰xf (1t )d t x ， f 3 (x ) =⎰xf 2 (t )dt x，⋯， f n (x ) =⎰xf n -1 x，则对任意的x > 0 ，极限 lim f n (x ) 存在. n →∞高等数学（下）期中考试试卷 1（答卷时间为 120 分钟）一 .填空题（每小题 6 分）1.有关多元函数的各性质：（A ）连续；（B ）可微分；（C ）可偏导；（D ）各偏导数连续，它们的 关系是怎样的？若用记号" X ⇒ Y "表示由 X 可推得Y ，则（2 ）⇒ （ ） ⇒ ⎨ ⎩( ⎧( ) ).2.函数 f (x , y ) = x - xy + y 在点 ( 1 , 1 ) 处的梯度为大值是 .2 ，该点处各方向导数中的最3.设函数 F (x , y ) 可微，则柱面 F (x , y ) = 0 在点 (x , y , z ) 处的法向为⎧F (x , y ) =0⎨ ⎩z =0 在点 (x , y ) 处的切向量为 .f (x , y )dy =1 π，平面曲线π 4.设函数 f (x , y ) 连续，则二次积分 π dx1⎰ ⎰sin x2.f (x , y )dx ；f (x , y )dx .1 π(A) ⎰ dy ⎰ 0 1f (x , y )dx ；f (x , y )dx ；π+arcsin yπ +arcsin y(B)⎰ dy ⎰1 (D) ⎰ dy ⎰0 π-arcsin yπ -arcsin yπ (C)⎰ dy ⎰ 0π二 .（6 分）试就方程 F (x , y , z ) = 0 可确定有连续偏导的函数 y = y (z , x ) ，正确叙述隐函数存在 定理.三 .计算题（每小题 8 分）1.设 z = z (x , y ) 是由方程 f (x - z , y - z ) = 0 所确定的隐函数，其中 f (u ,v ) 具有连续的偏导数 ∂z 且∂f ∂u + ∂f ∂v ≠ 0 ，求 + ∂x ∂z∂y的值.2. 设 二 元 函 数 f (u , v ) 有 连 续 的 偏 导 数 ， 且 f u (1,0) = f v (1,0) = 1 . 又 函 数 u =u (x , y ) 与v = v (x , y ) 由方程组 ⎨ ⎧x = au + bv ⎩y = au - bv.（ a + b ≠ 0 ）确定，求复合函数 z = f [u (x , y ),v (x , y )]的偏导22 数∂z ∂x ，( x , y )=( a , a )∂z ∂y( x , y )=( a , a )3.已知曲面 z = 1- x - y 上的点 P 处的切平面平行于平面 2x + 2y + z = 1，求点 P 处的切平面方程.22 4 计算二重积分：sin⎰⎰D角形区域. x y3d σ ，其中 D 是以直线 y = x ， y = 2 和曲线 y = x 为边界的曲边三 5.求曲线积分 ⎰(x + y )dx + (x - y )dy ， L 为曲线 y = 1- | 1- x | 沿 x 从 0 增大到 2 的方向.2 2 2 2L五 .（10 分）球面被一平面分割为两部分，面积小的那部分称为"球冠"；同时，垂直于平面的直径被该平面分割为两段，短的一段之长度称为球冠的高. 证明：球半径为 R 高为 h 的球冠的面积与整个球面面积之比为 h : 2R .六.（10 分）设线材 L 的形状为锥面曲线，其方程为：x = t cos t ，y = t sin t ，z = t （ 0 ≤ t ≤ 2π ），其线密度 ρ(x , y , z ) = z ，试求 L 的质量.七 .（10 分）求密度为 ∝ 的均匀柱体 x + y ≤ 1， 0 ≤ z ≤ 1，对位于点 M ( 0 , 0 , 2 ) 的单位质点的引力.2 2高等数学（下）期中考试试卷 2（答卷时间为 120 分钟）一 .简答题（每小题 8 分）⎧x = t - cos t⎪ ⎛π ⎞1.求曲线 ⎨y = 3 + sin 2t 在点 ⎜ , 3 , 1 ⎟ 处的切线方程.⎝ 2 ⎠⎩ 1 + cos3t2.方程 xy - z ln y + e = 1在点 (0 , 1 , 1 ) 的某邻域内可否确定导数连续的隐函数 z = z (x , y ) 或 y = y (z , x ) 或 x = x ( y , z ) ？为什么？3.不需要具体求解，指出解决下列问题的两条不同的解题思路：⎪z = x zy 2 z 2设椭球面 小距离.x a 2 2 ++ = 1与平面 Ax + By + Cz + D = 0 没有交点，求椭球面与平面之间的最 b 2 c 234.设函数 z = f (x , y ) 具有二阶连续的偏导数， y = x 是 f 的一条等高线，若 f y (1 ,1) = -1，求f x 1 1) .,(二 .（8 分）设函数 f 具有二阶连续的偏导数， u = f (xy , x + y ) 求 2∂ u ∂x ∂y. 三.（8 分）设变量 x , y , z 满足方程 z = f (x , y ) 及 g (x , y , z ) = 0 ，其中 f 与 g 均具有连续的偏导数，求dy dx.⎧xyz = 0,四 .（8 分）求曲线 ⎨ 在点 (0 1 1，，) 处的切线与法平面的方程.⎩x - y -1 = 0 2五.（8 分）计算积分）⎰⎰e dxdy ，其中 D 是顶点分别为 ( 0 , 0 ) . ( 1 , 1 ) . ( 0 , 1 ) 的三角形区域.y 2D六 .（8 分）求函数 z = x + y 在圆 (x - 2) + ( y - 2) ≤ 9 上的最大值和最小值.七 . （ 14 分 ） 设 一 座 山 的 方 程 为 z = 1000 - 2x - y ， M (x , y ) 是 山 脚 z = 0 即 等 量 线 22 22 2 2 2 2x + y = 1000 上的点.（ 1）问： z 在点 M (x , y ) 处沿什么方向的增长率最大，并求出此增长率；（ 2）攀岩活动要山脚处找一最陡的位置作为攀岩的起点，即在该等量线上找一点 M 使得上述增 长率最大，请写出该点的坐标.八.（14 分） 设曲面∑ 是双曲线 z - 4y = 2（ z > 0 的一支）绕 z 轴旋转而成，曲面上一点 M处的切平面 ∏ 与平面 x + y + z = 0 平行.（ 1）写出曲面∑ 的方程并求出点 M 的坐标；2 2 22 2（2）若Ω是∑. ∏和柱面x + y =1围成的立体，求Ω的体积.高等数学（下）期末考试试卷 1（答卷时间为 120 分钟）一.简答题（每小题 5 分，要求：简洁.明确）1.函数 z = y -x 在点 (1 , 1) 处沿什么方向有最大的增长率，该增长率为多少？xz2.设函数 F (x , y , z ) = (z +1)ln y + e -1，为什么方程 F (x , y , z ) = 0在点 M (1,1, 0)的某 个邻域内可以确定一个可微的二元函数 z = z (x , y ) ？22 23.曲线 x = t -1 , y = t +1 , z = t4.设平面区域 D : x 2a23在点 P (0 , 2 , 1) 处的切线方程是什么？b 2 ≤1(a > 0,b > 0) ,积分 (ax + by +c )dxdy 是多少？ꐀ_3 5Dy 2 ⎰⎰ ∞n =0 n 5.级数∑2 2 n+1n x 的收敛域是什么？0 ≤ x ≤ π ,6.设函数 f (x ) = ⎨ 数 a 02 2 ⎧e x +1, ⎪ ⎪e ⎩ - x - 1, -π ≤ x < 0 的傅里叶系数为 a 0 , a n ,b n (n = 1,2,3,") ，问级∞+ a 的和是多少？ ∑n =1 n二.计算积分1.（8 分） I = 2π πdy⎰⎽ⵔ π y -π dx sin xx22.（8 分） I = ⎰ (x + y )dx + ( y - x )dy ， L 为上半椭圆 x + =1(y ≥ 0) 取逆时针方La 2b 2三.（12 分）设∑ 是由曲线 ⎨ ⎧z = y 2 ,⎩x = 0( 0 ≤ z ≤ 2) 绕 z 轴旋转而成的曲面.y 2向.（1）写出∑ 的方程和 ∑ 取外侧（即朝着 z 轴负方向的一侧）的单位法向量；（2）对（1）中的定向曲面∑ ，求积分 I =⎰⎰ 4(1- y )dzdx + (8y +1)zdxdy .∑四.（10 分）求微分方程 (1+ x ) y ′ = xy + x y 的通解 222 2五.（10 分）把函数 f (x ) =六.应用题y 1.（10 分）求曲面 x a 2 2 + b 2 π - x 222 + zc 2( 0 ≤ x ≤ π ) 展成正弦级数. = 1 (a > 0,b > 0,c > 0) 在第一卦限的切平面，使 该切平面与三个坐标面围成的四面体的体积为最小，并写出该四面体的体积.2.（12 分）设Ω 是由曲面 z = ln x22+ y 与平面 z = 0 , z = 1所围成的立体. 求：（1）Ω 的体积V ；（2）Ω 的表面积 A .高等数学（下）期末考试试卷 2（答卷时间为 120 分钟）一.填空题（每小题 4 分）1.函数 z = f (x , y ) 的偏导数 与 在区域 D 内连续是 z = f (x , y ) 在 D 内可微的∂z ∂z∂x ∂y条件.（充分，必要，充要）G2.函数 z = f (x , y ) 在点 (x 0 , y 0 ) 处沿 l = {cos α , cos β }的方向导数可以用公式 ∂f∂l = f (x , y ) cos α + f (x , y ) cos β 来计算的充分条件为 z = f (x , y ) 在点 x 0 0 y 0 0 (x 0 , y 0 ) 处 .（连续，偏导数存在，可微分） 为3.若三阶常系数齐次线性微分方程有解 y 1= e . y 2= xe . y 3=e ，则该微分方程.x ⎧x 0 5.< x < 14.周期为 2 的函数 f (x ) 在一个周期内的表达式为 ⎨ ⎩1 级数在 x = -3.5 处的和为 ∞5.幂级数∑n =2x n的收敛域是ln n.，则它的傅里叶 - 1 ≤ x ≤ 0.5-x -x .二 .（8 分）设函数 f (u , v ) 有二阶连续的偏导数，且 f u (0,0) = 1， f v (0,0) = -1. 函数z = f ⎜ xy , ⎜⎝⎛ x ⎞y ⎟⎟ ，求 ⎠ 2∂ z ∂x ∂y . 三 .（8 分）求抛物面 z = x + y 到平面 x + y + z +1 = 0 的最近距离. 四 .计算下列积分：（每题 8 分）21.⎰⎰ D2.⎰⎰ e d σ ，其中 D 为三直线 y = 0 . y = x 与 x = 1所围成的平面区域.xydydz + yzdzdx + zxdxdy ，其中∑ 是平面 x = 0, y = 0, z = 0 及 x + y + z = 1所x 2( x , y )=( 0 , 1 )2 ∑围成的四面体的边界面的外侧.3. ⎰ Γ五 .级数xyz dz ，其中 Γ 是曲线 ⎨ ⎩x ⎧y - z = 02 + y + z = 1 2 2 ，从 z 轴正向看去，沿逆时针方向.∞∑n =11.（8 分）设 a n 是等差数列，公差 d ≠ 0 ，s n = a 1 + a 2 + " + a n .问：级数是绝对收敛还是条件收敛或是发散的？说明理由.∞2.（12 分）求幂级数∑n =1(-1) n -12nx 的收敛域与和函数 s (x ) .2n -1 (-1) s nn -1六 .微分方程1.（8 分）求微分方程 xy ′ + y = x ln x 的通解.2.（12 分）设函数 f (x ) 有二阶连续的导数且 f (0) = 0 ， f ′(0) = 1.如果积分2⎰[x - f (x )]y dx + [ f ′(x ) + y ] dyL与L的路径无关，求f (x) .。
高数下期中试题及答案
高数下期中试题及答案高数下期中试题及答案高数的选择题，在推导和演算的基础上对选项做出选择。
下面是小编收集整理的高数下期中试题及答案，希望对您有所帮助！高数下期末试题《高等数学》试卷结构(一)考试内容与要求执行全国高校网络教育考试委员会于2010年制定的考试大纲相应部分，见《高等数学》(2010年修订版)。
(二)试卷分值试卷满分为100分。
(三)试题类型试题的类型全部为选择题，在推导和演算的基础上对选项做出选择。
每套试卷为20小题，每小题均为5分。
其中“二选一”共10道题，对命题作“正确”或“不正确”的选择。
“四选一”共10道题，在四个备选答案中选出一个符合题目要求的答案。
“四选一”的题目包括对运算结果的选择、对运算过程正确性的判定等多种形式。
(四)试题难度试题难度分为容易题、中等题和较难题，其分值比例为5:4:1。
(五)试题内容比例一元函数微积分约90%，常微分方程约10%。
(六)考试方式与时间考试方式为机考、闭卷。
考试时间为90分钟。
答卷时应该注意以下一些问题：1、要认真阅读试卷和试题的指导语，弄清答题的要求和方式。
要正确解答二选一的题，首先必须把有关知识弄清楚，其次还有必要掌握一定的解题方法。
以下是几种比较常用的解答二选一的`题的方法。
分析推理：即根据有关的数学知识，通过分析推理，作出判断。
计算求解：即根据题目的条件，通过计算等过程，求出正确答案，再作判断。
寻找反例：即从反面思考，看看是否存在与题目所说相反的情况。
如有，只要找出一个相反的例子，就能断定原题是错的。
假设验证：有些二选一的题，如果直接判断有困难，有时可以假设一个或几个具体的数，验证结论是否成立，再作出判断。
在实际解答二选一的题时，究竟选用哪种方法，要根据题目的具体特点来决定。
有些题目可以用不同的方法来判断，又有些题目可以把某两种方法结合起来判断。
四选一的题常用的方法有淘汰法和直接法：淘汰法的特点是，根据已学知识经过判断去掉不合题意者，剩下的一个就是正确的答案;直接法的特点是，根据已学知识经过推论或计算得出答案，以此答案对照各备选答案，相同者为正确答案，解题时找到一个正确答案后，剩下部分可以不再考虑。
大学《高等数学》期中期末考试卷解析(共四套)
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大学《高等数学》期中期末考试卷解析（共四套）
《高等数学》期中考试试题及答案解析（A卷）………………………………2 《高等数学》期中考试试题及答案解析（B卷）………………………………10 《高等数学》期末考试试题及答案解析（上册）………………………………18 《高等数学》期中考试试题及答案解析（下册）………………………………26
《高等数学》期中考试试题及答案解析（A卷）
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高等数学期末试卷及答案
高等数学期末考试一、填空题1. 若)(x f 为可导的奇函数且,5)(0='x f 则______________)(0=−'x f .2. 曲线1ln e (0)⎛⎫=+> ⎪⎝⎭y x x x 的渐近线方程为 .3. 设lnsec ,y x =则y 的三阶导数为 .4. 若函数)(x f 可导且满足20()()ln 22x tf x f dt =+⎰，则()f x = . 5. 函数()(0,1)x f x a a a =>≠的带有拉格朗日型余项的n 阶麦克劳林公式为 . 二、选择题1．下列命题错误的是（ ）.（A ）若函数)(x f 在点0x 处不连续，则)(x f 在点0x 处必不可导 （B ）若函数)(x f 在点0x 处连续，则)(x f 在点0x 处必可导 （C ）若函数)(x f 在点0x 处可导，则)(x f 在点0x 处必连续 （D ）若函数)(x f 在点0x 处可导，则)(x f 在点0x 处必可微 2．下列等式中成立的是（ ）.（A ）()()d f x dx f x =⎰ （B ）()()df x dx f x dx dx =⎰（C ）()()df x dx f x C dx =+⎰（D ）()()d f x dx f x dx =⎰ 3．下列函数在[1,1]−上满足罗尔定理条件的是（ ）.（A ）()x f x e =（B ） ()||f x x =（C ）2()1f x x =−（D ）1sin0()0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩4．函数arctan y x x =的图形是（ ）（A ）(,)−∞+∞处处是凸的 （B ）(,)−∞+∞处处是凹的（C ）(,0)−∞为凸的，(0,)+∞为凹的 （D ）(,0)−∞为凹的，(0,)+∞为凸的. 5．函数212x x x y C e C e xe −=++满足一个微分方程是（ ） （A ）23x y y y xe '''−−= （B ）23x y y y e '''−−= （C ）23x y y y xe '''+−= （D ）23x y y y e '''+−= 三、计算下列各题1．2260(1)limln(1)x t x e dtx →−+⎰．2．求不定积分⎰3．1212dx −⎰．4．求曲线22x y a=和322a y a x =+所围平面图形的面积（0a >）．5．设)(x y y =由方程053=−+x y e xy所确定，试求2002,x x dyd y dxdx ==．6．求微分方程,0)ln (ln =−+dx x y xdy x 满足条件1x ey==的解．四、设函数32ln(1)0arcsin () 6 010sin 4ax ax x x x f x x e x ax x x x ⎧⎪+<⎪−⎪⎪==⎨⎪+−−⎪>⎪⎪⎩，问a 为何值时，0x =是()f x 的可去间断点．五、当2021π<<<x x 时，证明不等式2211tan tan x x x x >．六、把星形线222333x y a +=所围成的图形, 绕x 轴旋转, 计算所得旋转体的体积．七、求数列中最大的项1e答案解析：在0x >区域内无间断点.()1limlim ln e 1,1ln 111e lim (())lim ln e 1lim ,1e →+∞→+∞→+∞→+∞→+∞⎛⎫=+=⎪ ⎭⎝⎛⎫+⎪ ⎤⎡⋅⎫⎛⎝⎭-=+-== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦x x x x x f x x x x f x x x x x1e=+y x 是斜渐近线，3.22sec tan x x 4.2ln 2xe答案解析：将方程两边求导得到()2(),(0)ln 2f x f x f 且¢==故方程的解为20()e ln 2e ,x f x c c c ，==×=故2()ln 2exf x =5.2112(ln )(ln )1)(0(ln )1ln (1)!!2!x n n n n xa a a a x x x x a a n n θθ++<<++++=++ （或2112(ln )(ln ))(0(ln )1ln (1)!!2!n n n nxa a a x a x x x a x a n n ξξ++<<++++=++ ）二选择题1．B 2．D 3．C4．B答案解析：2arctan 1x y x x '=++，222222221210(1)(1)1x x y x x x +-''>=+=+++，故曲线处处是上凹的，应选（B ）.5．D三、解答如下1.2260(1)limln(1)x t x e dtx →-+⎰原式=226(1)limx t x e dt x →-⎰445500(1)22lim lim 66x x x e xx x x x →→-==13= 高等数学答案解析一、填空题1.5，2．y =x +2.求不定积分原式212=⎰21arcsin 2x C =+3．1212dx-+⎰1202=⎰原式1220120(1)12arcsin )220x x =--=-=-+⎰⎰⎰12(2)12266x ππ=-⨯⨯+=-4．求曲线22x y a =和322a y a x=+所围平面图形的面积（0a >）.求交点为(,,)22a a a a -，则3222(2a x dS dx a x a=-+，由对称性32222012()()223aa x S dx a a x a π=-=-+⎰5．设)(x y y =由方程053=-+x y e xy所确定，试求220==x x dx y d dxdy方程两边同时对x 求导得053)(2=-'+'+y y y x y e xy 235y xe ye y xyxy+-='222(())(3)(()6)(5)(3)xy xy xy xy xy xy xy y e ye y xy xe y e xe y xy yy ye y xe y ''''-+++-+++-''=+或222()263xy xy xy e y xy e y yy y xe y '''+++''=--又当10-==y x 时，2='y ,193y ''=6．求微分方程,0)ln (ln =-+dx x y xdy x 满足条件1x ey ==的解解将方程标准化为,1ln 1xy x x y =+'于是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-C dx e x e y dx x x dx x x dx ln ln 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎰-C dx e x e x x ln ln ln ln 1.ln 21ln 12⎪⎭⎫ ⎝⎛+=C x x 由初始条件,1==e x y 得,21=C 故所求特解为.ln 1ln 21⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x y 四.设函数32ln(1)0arcsin () 6 010sin4ax ax x x x f x x e x ax x x x ⎧⎪+<⎪-⎪⎪==⎨⎪+--⎪>⎪⎪⎩，a 为何值时，0x =是()f x 的可去间断点？解：3322000002ln(1)33lim ()lim lim lim lim 611arcsin arcsin 1()2x x x x x ax ax ax ax f x a x x x x x →-→-→-→-→-+=====---⋅-22220000021122lim ()lim lim lim lim 42111sin 4422ax ax ax ax x x x x x e x ax e x ax ae x a a e f x a xx x x→+→+→+→+→++--+--+-+====+若0x =是()f x 的可去间断点，则00lim ()lim ()(0)x x f x f x f →-→+=≠2 6426a a ∴-=+≠，即：2a =-五．当2021π<<<x x 时,证明不等式1212tan tan x x x x >证明：令xxx f tan )(=,2 ,0(π∈x .因为0tan tan sec )(222>->-='xx x x x x x x f ,所以在)2 ,0(π内f (x )为单调增加的因此当2021π<<<x x 时有2211tan tan x x x x <,即1212tan tan x x x x >.六．解：由对称性,所求旋转体的体积为⎰=adxy V 022πdxx a a⎰-=033232)(2π30234323234210532)33(2a dx x x a x a a aππ=-+-=⎰.七．求数列中最大的项.解：令1 (0)xy x x =>，则1ln ln y x x=两边对x 求导，得：22111ln y x y x x '=-+，12 (1ln )xy xx '∴=-令0y '=，得x e =为唯一驻点，且当0x e <<时，0y '>；当e x <<+∞时，0y '< x e ∴=为函数的最大值点又< ，∴是该数列中最大项。
《高等数学》期末考试B卷(附答案)
《高等数学》期末考试B卷（附答案）【编号】ZSWD2023B0089一、填空题 (每空2分，共20分) 1、]1sin sin 1[lim x x x x x 【答案】12、设)(x f 的定义域是]1,0[，那么函数)2(x f 的定义域是 【答案】]0,(3、设函数1,121,211)(1x x x x x x x f x a, 当 a ______________时使)(lim 1x f x 存在 【答案】2ln4、设42sin x y ，则dydx=__________________。
【答案】3448sin cos x x x5、已知成本函数为5002)(2 x x x C ，当产量为1000时，边际成本为______ _. 【答案】20026、若 C x dx xx f sin )(ln '，则 )(x f【答案】C e x )sin(7、已知2111x y dt t，求dy dx【答案】221xx8、函数21()(1)x e f x x x 的可去间断点是0x =__0___, 补充定义0()f x =_____ , 则函数()f x 在0x 处连续。
【答案】0，-2二、单项选择题（每小题2分，共10分）1、当0x 时，与31000x x 等价无穷小的是（ ）AB C x D 3x【答案】C2、以下结论正确的是（ ）A 函数)(x f 在),(b a 内单调增加且在),(b a 内可导，则必有0)(' x f ；B 函数)(x f 在),(b a 内的极大值必大于极小值；C 函数)(x f 极值点不一定是驻点；D 函数)(x f 在0x 的导数不存在，则0x 一定不是)(x f 的极值点.【答案】C3、设()x y f e , 则 dy ( ).A. '()x x f e deB. '()()x f e d xC. '()x x f e e dxD.'()x x f e de【答案】D4、设函数()f x 在区间(,)a b 内可导, 1x 和2x 是(,)a b 内的任意两点, 且 12x x , 则至少存在一点 , 使( )成立.A '()()()() (,)f b f a f b a a bB '212112 ()()()() (,)f x f x f x x x xC '111()()()() (,)f b f x f b x x bD '222 ()()()() (,)f x f a f x a a x 【答案】B5、在开区间),(b a 内，)(x f 和)(x g 满足)()(''x g x f ，则一定有（ ）A. )()(x g x fB. 1)()( x g x fC. ''[()][()]f x dx g x dxD. )()(x dg x df【答案】D【编号】ZSWD2023B0089三、计算题（每小题5分，共35分） 1、求极限20sin tan sin limxx xx x 2200222200sin tan tan (cos 1)limlimsin sin 10,sin ,cos 1,tan 21()sin tan 12 lim lim sin 2x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Q :解2、已知)(u f 可导，))(1ln(2x e f y ，求'y .解： 令u ex2， ))(1ln())(1ln(2u f e f y x利用复合函数求导法得''')(1)(u u f u f y x)(1)(222'2x x x e f e f e .3、讨论函数221,0(), 0x e x f x x x的连续性和可导性；解：当0x 和0x 时，函数()f x 对应的都是定义区间内的初等函数，故均连续和可导。
《高等数学》期终考查试卷(A卷)
《高等数学》期终考查试卷（A 卷） 一. 填空题 (21020''⨯=) 1.设2()1,f x x =+则(1)________________f x += 2.21lim __________52x x x →∞-=+, 10lim(12)_________x x x →+= 3.设2,0()1,0x a x f x x ⎧+≠=⎨=⎩在0x =处连续,则常数____________a = 4.设sin 2,y x =则________________y '= 5.若cos ,y x x =+则____________________dy = 6. 221____________________,__________________1x dx e dx x ==+⎰⎰7. 110cos __________,___________x xdx -==⎰⎰ 二. 选择题 (31030''⨯=) 1.下列各对函数中,相同的是 ( )A. (),()f x x g x ==B. 2()ln ,()2ln f x x g x x ==C. 22()1,()sin cos f x g x x x ==+D. 21()1,()1x f x x g x x -=+=- 2.下列函数中,必为奇函数的是 ( ) A. 21y x =+ B. cos y x x = C.y x = D. sin(1)y x =+3.0tan 2limsin 5x x x→=( ) A. 25 B. 52 C. 1 D. ∞ 4. 0x =是1()sin f x x x =的( )A.连续点B.跳跃间断点C.第二类间断点D.可去间断点5. 曲线2y x =在点(1,1)处的切线方程为( )A. 21y x =-B. 21y x =+C. y x =D. 23y x =-+6.若(),x f x xe =则(0)f '= ( )A. 0B. 1C. 2D. e7. ()x f x e x =-的单增区间为 ( )A. [0,)+∞B. [1,)+∞C. (,0]-∞D. (,1]-∞8.若()(),F x f x '=则下列各式中正确的是 ( )A.()()f x dx F x =⎰ B. ()()F x dx f x C =+⎰ C.()()f x dx F x C =+⎰ D. ()()d f x dx f x ⎡⎤=⎣⎦⎰ 9. 2211dx x =⎰ ( )A. 1B. 12C. 13D. 2 10.设()y f x =在[,]a b 上连续,则由该曲线和,x a x b ==及x 轴所围图形的面积为( )A.()b a f x dx ⎰ B. ()b a f x dx ⎰ C. ()b a f x dx -⎰ D. ()b a f x dx ⎰三. 解答题 (8540''⨯=)1.求2316lim()39x x x →---2.设sin 2,x y e =求y '3.求32()29123f x x x x =-+-的单调区间.4. 计算sin x xdx ⎰5. 计算520cos sin x xdx π⎰四. 应用题 (10110''⨯=) 已知图形由曲线 2y x = 和 22y x =- 所围。
上海电力学院高等数学(上)期中试卷级期末
上海电力学院高等数学(上)期终考试试卷一．填空题（每小题3分，共15分）1．设e x a x x =+→1)sin 1(lim ，则_____=a ．2．设⎩⎨⎧>≤+=11)(2x xx bax x f 在),(∞+-∞上可导，则____=a ，____=b ．3．___________________12=-⎰dx x x ．4．=++⎰-11241arctan 1dx xxx ___________．5．设)(x f 连续，且⎰-=x tx t dt e e f e y 0)(，则_______________=dxdy ．二．选择题（每小题3分，共15分） 1．下列结论正确的是（ ）．Ａ．11sin 1lim=→xxx ； B ．11sinlim =∞→xx x ；C ．11sinlim 0=→xx x ； D ．1sin lim=∞→xx x ．2．设函数22sin 1)(x x x x f ++-=，则点1=x 是导函数)(x f '的（ ）．Ａ．无穷间断点； B ． 连续点；C ．可去间断点；D ． 跳跃间断点．3．设)(x f 有连续的导函数，则⎰='])([dx x f d （ ）．Ａ．dx x f )('；B ．dx C x f ])([+'； C ．dx x f )(；D ．dx C x f ])([+． 4．当0→x 时，下列无穷小量中①12-x ， ②)1ln(2x +， ③⎰1cos 2cos xdt t ， ④⎰xdt t 02sin ，是同阶无穷小量的是（ ）．Ａ．①，②； B ．②，③； C ．③，④； D ．④，①． 5．设)(x f 在定义域内可导，函数)(x f y =图形如下图所示，则导函数)(x f y '=的图形只可能为（ ）．三．计算题（每小题5分，共20分） 1．求曲线1=++yyey x 在点)0,1(处的切线方程；2．讨论函数⎰-=x edt tx f )ln 11()(在区间),1(∞+的单调性和并求极值；3．求])(1)2(1)1(1[lim 222n n n n n n ++++++∞→ ；4．求过直线111-=+=-z y x 和点)0,0,0(O 的平面方程； 四．（每小题6分，共24分）1． )1)(sin ()1ln(212lim 22--+--+→xx e x x x x；2．设函数)(x y y =由⎪⎩⎪⎨⎧+=+=⎰t du u uu y t x 0221sin 1ln 决定，求dx dy ，22dx y d ；3．证明x x x 3tan 2sin >+，)2,0(π∈x ；4．设⎪⎩⎪⎨⎧>-≤+=04011)(2x x x e x f x，求⎰-3)1(dx x f ．五．（8分）（1）求对数螺线θρe =，]2,0[πθ∈的弧长； （2）求θρe =，]2,0[πθ∈和极轴0=θ所围图形的面积．六．（10分）设一容器侧面由曲线2x y =绕y 轴旋转而成，已知初始时刻液面高度为2)(m ，（1）求液面高度为h 时，容器中液体体积；（2）若在容器底部有一个直径为2)(cm 的圆孔，当容器中液面高度为h )(m 时，孔中液体流速为gh c v 2=)/(s m ，求液面高度为h 时，液面高度h 关于时间t 的变化率；（3）容器中液体从小孔中流尽所需的时间．七．（8分）设)(x f 在]1,1[-上具有连续的二阶导函数，且0)0(=f ，3)(≤''x f])1,1[(-∈x ，（1）写出)(x f 在点0=x 处带拉格朗日余项的一阶麦克劳林展开式； （2）证明1)(11≤⎰-dx x f ．。
高数期末考试题及答案
高数期末考试题及答案第一部分：选择题1. 下面哪个函数在整个实数域上都是偶函数？A. sin(x)B. x^3C. ln(x)D. cos(x)答案：D. cos(x)2. 函数f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1，求其极大值点的横坐标。
A. x = -1/3B. x = 1/3C. x = 2/3D. x = 1答案：B. x = 1/33. 已知函数f(x) = ln(x)，求f'(e)的值。
A. eB. 1C. 0D. -1答案：B. 14. 函数f(x) = e^x + 2x，求f''(0)的值。
A. 2B. 3C. 4D. 5答案：A. 25. 已知函数f(x) = (x - 1)e^x，在区间[0, 1]上的最大值点为x = a，最小值点为x = b，求a + b的值。
A. 1B. 0C. -1D. e答案：B. 0第二部分：计算题1. 求不定积分∫(2x + 1)dx。
解：∫(2x + 1)dx = x^2 + x + C2. 求定积分∫[0, 1] (3x^2 - 2x + 1)dx。
解：∫[0, 1] (3x^2 - 2x + 1)dx = [x^3 - x^2 + x] |[0, 1] = 13. 求函数y = x^3在点x = 2处的切线方程。
解：首先求导，得到y' = 3x^2。
在x = 2处，斜率k = 3(2)^2 = 12。
切线方程为y - y1 = k(x - x1)，代入x = 2，y = 2^3 = 8，得到y - 8 = 12(x - 2)。
4. 求解方程sin(x) + cos(x) = 0的所有解。
解：sin(x) + cos(x) = 0sin(x) = -cos(x)tan(x) = -1x = π/4 + nπ，其中n为整数。
5. 计算θ = arctan(1) + arctan(2)的值。
解：利用反正切的加法公式，有θ = arctan((1 + 2)/(1 - 1*2)) = arctan(3/(-1)) = arctan(-3)。
高等数学期末试卷及答案
ΩΣΣ1ΣΣΣΣ高等数学期末试卷一、填空题1. 函数z =xy 在点(0,2)处的最大方向导数为 。
2. 设f(x)={−2 ,−1<x ≤02+x 2,0<x ≤1，则其以2为周期的Fourier 级数在x =−4处收敛于 。
3. 已知(a ⃑×b ⃑⃑)∙c ⃑=1，则(a ⃑×b ⃑⃑)∙(a ⃑+3b ⃑⃑+2c ⃑)= 。
4. 设L: x 2+y 2=1，则曲线积分∮(x+2y)2−1πLds = 。
5. 设Σ是由曲线{2z =x 2y =0，绕z 轴旋转一周所生成的曲面，则其在点M(1,1,1)处的切平面方程为 。
二、选择题 1. 设直线L:x−12=y −1=z−34，则下面平面中与直线L 垂直的是（ ） A.2x −y +4z =1 B.2x −y +2z =1 C.−x +2y +z =3D.2y +z =32. 设函数z =f(x,y)的全微分为dz =xdx +ydy ，则点(0,0) （ ）A.不是z =f(x,y) 的极值点B.是z =f(x,y)的极小值点C.是z =f(x,y) 的极大值点D.不是z =f(x,y)的连续点3. 设函数f (u )连续，且满足f (0)=0，f ′(0)=1，Ω:x 2+y 2+z 2≤t 2(t >0)，则lim t→0+1πt 4∭f(√x 2+y 2+z 2)dV =（ ） A.0B.12C.1D.434. 设曲面Σ的方程为x 2+y 2+z 2=z ，Σ1为Σ在第一卦限的部分，则下列不正确的是（ ）A.∬xdS =0B.∬x 2dS =∬y 2dSC.∬z 2dS =4∬z 2dSD.∬x 2dS =05. 下列级数中收敛的有（ ）个。
①∑1−cos 1n ∞n=1；②∑(1n −1n +1)cosnπ∞n=1；③∑(1+1n )−n ∞n=1；④∑2nn 33n ∞n=1。
A.1B.2C.3D.4三、计算二重积分∫dy 10∫e −x 2dx 1y 。
期中期末高中数学试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，有理数是（）A. √9B. √-1C. πD. 0.1010010001……2. 已知函数f(x) = 2x + 3，那么f(-2)的值为（）A. -1B. 1C. 3D. 53. 若a，b是方程x^2 - 3x + 2 = 0的两个根，则a + b的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 44. 在等差数列{an}中，若a1 = 3，d = 2，那么第10项an的值为（）A. 21B. 22C. 23D. 245. 下列函数中，是奇函数的是（）A. f(x) = x^2 + 1B. f(x) = |x|C. f(x) = x^3D. f(x) = 1/x6. 已知等比数列{an}中，a1 = 2，公比q = 3，那么第n项an的值为（）A. 2^nB. 3^nC. 2^n 3D. 3^n 27. 在三角形ABC中，∠A = 60°，∠B = 45°，那么∠C的度数为（）A. 75°B. 90°C. 105°D. 120°8. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，那么f(2)的值为（）A. 0B. 2C. 4D. 89. 下列各式中，对数式正确的是（）A. log2(4) = 2B. log2(2) = 1C. log2(8) = 3D. log2(16) = 410. 若复数z = a + bi（a，b是实数），且|z| = 1，那么z的共轭复数是（）A. a - biB. -a - biC. -a + biD. a + bi二、填空题（每题5分，共50分）11. 若a，b是方程x^2 - 5x + 6 = 0的两个根，则a^2 + b^2的值为______。
12. 在等差数列{an}中，若a1 = 5，d = -3，那么第10项an的值为______。
13. 函数f(x) = 2x - 3在x = 2时的导数值为______。
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二.求下列极限（每题 5 分）
ln b (1 + ax) 1. lim （ a > 0 ）. x →0 sin ax
⎛ a ⎞ 3. lim⎜ e x − 1⎟ x （ a ≠ 0 ）. ⎟ x →∞ ⎜ ⎝ ⎠
三.求下列函数的导数（每题 6 分） 1. y = ln⎜ tan
2. lim
x →∞
ax + b sin x （ c ≠ 0 ）. cx + d cos x
条件. ——填入适当的字母即可： （B)必要 （D）既不充分也不必要
f ( 2h) − f ( − h) = . ε →0 h 3.设 f ( x) = x( x − 1)(2 x − 1)(3 x − 1) " (nx − 1) ，则 f ′′( x) 在 ( 0 , 1 ) 内有
4.设 f ( x) 是 [ −1 , 1 ] 上连续的偶函数，则
m n
`
六.（10 分）设函数 f ( x) 在区间 [ 0 , 1 ] 上可导，且 0 < f ( x) < 1 ，证明 ∃ξ ∈ ( 0 , 1 ) ， 七.（10 分） （1）设 ( a n ) n =1 是单调增加的正数列，在什么条件下，存在极限 lim a n ？
n →∞
使得 f (ξ ) = ξ ；又若 f ′( x) ≠ 1 （ x ∈ ( 0 , 1 ) ） ，证明这样的 ξ 是唯一的.
1⎡ π 2π (n − 1)π ⎤ 1 + " + sin sin + sin =∫ ⎢ n→∞ n n n ⎥ ⎣ n ⎦ 0
dx =
.
5. 设函数 f ( x) 在闭区间 [ 0 , 1 ] 上连续，且
∫
1 0
f ( x)dx = 0 ，则存在 x0 ∈ (0,1) ，使
f ( x0 ) + f (1 − x0 ) = 0 .证法如下：
ln(1 + t )dt
.
1 − cos x
x tan 2 xdx .
y
2.求定积分
∫
3.设 y = y ( x) 是方程 e + 函数并求 y ′ x =0 . 4.求反常积分
∫
y
0
e t dt − x − 1 = 0 确定的隐函数， 证明 y = y ( x) 是单调增加
2
∫
1 0
u3 1− u2
（C） 2 个
（D）
）. 至少 3 个 .
5.设 a > 0 ，若 lim
ax 2 + bx + c + dx = e ，则 a 与 d 的关系是
二.计算题（每题 6 分） 1.求 lim ⎢
1 1⎤ − ⎥. x →0 ln(1 + x ) x⎦ ⎣
1
⎡
2.求 lim(cos x ) x 2
x →0
个零点. . .
∫ π [ 1 + xf (sin x)]d x =
−
π
5.平面过点 ( 1 , 1 ,−1 ) ， ( −2 , − 2 , 2 ) 和 ( 1 , − 1 , 2 ) ，则该平面的法向量为 二.基本题（每小题 7 分） （须有计算步骤） 1.求极限 lim
x →0
∫
π
4 0
2x 0
2
∫
x
0
f (t )dt = 1
1 所围成的图形绕直线 y = −1 旋转而成的 2
立体的体积.
1
六.（8 分）设半圆形材料的方程为 y = 该材料的质量.
R 2 − x 2 ，其线密度为 ρ = k − y ，(k > R) 求
七.（12 分）在一高为 4 的椭圆底柱形容器内储存某种液体，并将容器水平放置，如果
x2 椭圆方程为 + y 2 = 1 （单位：m） ，问： 4
y
（1）液面在 y (−1 ≤ y ≤ 1) 时，容器内液体的体积 V
与 y 的函数关系是什么？ （2）如果容器内储满了液体后以每分钟 0.16m3 的速 度将液体从容器顶端抽出，当液面在 y = 0 时，液面 下降的速度是每分钟多少 m？ （3）如果液体的比重为 1（ N 需作多少功？ ） ，抽完全部液体
1
球前进，问：他在离底线几米的地方将获得最大的射门张角？
4
6
θ
x
六.（10 分）设函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上连续，在区间 (a, b) 内有二阶导数 . 如果
f (a ) = f (b) 且存在 c ∈ (a, b) 使得 f (c) > f (a) ，证明在 (a, b) 内至少有一点 ξ ，使得 f ′′(ξ ) < 0 .
高等数学（上）期中考试试卷 1
（答卷时间为 120 分钟） 一.选择题（每小题 4 分） 1.以下条件中（ ）不是函数 f ( x) 在 x0 处连续的充分条件. （A） lim f ( x) = lim f ( x 0 )
x → x0 + 0 x → x0 − 0
（B） lim f ( x ) = f ( x 0 )
x x2 −1
三.（8 分）证明：当 0 < x <
π
2
时有 sin x + tan x > 2 x .
四.（8 分）设函数 f ( x) 有二阶导数，且 f (0) = 0 ，又满足方程 f ′( x) + f ( x) = x ，证 明 f (0) 是极值，并说出它是极大值还是极小值？ 五.（8 分）设 a 和 b 是任意两个满足 ab = 1 的正数，试求 a + b 的最小值（其中常数 m n > 0）
（A）可去 （B）跳跃 （C）无穷 （D）振荡 4. 设函数 f ( x) 在闭区间 [a, b] 上连续并在开区间 (a, b) 内可导，如果在 ( a , b ) 内
f ′( x) > 0 ，那么必有（ ）. （A）在 [ a , b ] 上 f ( x) > 0 （C）在 [ a , b ] 上 f ( x) 单调减少
高等数学（上）期中考试试卷 2
（答卷时间为 120 分钟） 一.填空题（每小题 4 分）
1 ⎧ ⎪(1 − sin x) x 1.已知函数 f ( x) = ⎨ ⎪ ⎩a 1 的 2. x = 0 是函数 f ( x) = 1
x≠0 在 x = 0 连续，则 a = x=0
间断点.（可去.跳跃.无穷.振荡）
.
e x +1 f ( x 0 − 3ε ) − f ( x 0 ) = . 3.若 f ′( x 0 ) = 1 ，则 lim ε →0 2ε 2 4.函数 f ( x) = ( x − 3 x + 2) sin x 在 ( 0 , π ) 内的驻点的个数为（
（A）0 个 （B）至多 1 个
x → +∞
令 F ( Байду номын сангаас) =
∫
x
0
f (t )dt + ∫
1
1− x
f (t )dt ， x ∈ [0,1] ，则 F ( x) 在闭区间 [0,1] 上连续，在开区间
， F (1) = ，故根据微分学中的 定理知，
(0,1) 内
，且 F (0) =
x0 ∈ (0,1) 使得 F ′( x 0 ) = f ( x0 ) + f (1 − x0 ) = 0 ，证毕.
O
x
m3
高等数学（上）期末考试试卷 2
（答卷时间为 120 分钟） 一.填空题（每小题 4 分） 1.极限 lim f ( x ) 存在是函数 f ( x) 在 x0 处连续的
x → x0
条件；导数 f ′( x0 ) 存在是函
数 f ( x) 在 x0 处连续的 （A）充分 （C)充分且必要 2.若 f ′(0) = 1 ，则 lim
∞
（2）对上述数列 ( a n ) n =1 ，令 x n = a1 + a 2 + " + a
n n
∞
(
1 n n n
)
，试用夹逼准则证明
lim x n = lim a n .
n→∞ n→∞
3
高等数学（上）期末考试试卷 1
（答卷时间为 120 分钟） 一.填空题（每题 4 分） 1.函数 f ( x) 在 [ a , b ] 上有界是 f ( x) 在 [ a , b ] 上可积的 在 [ a , b ] 上连续是 f ( x) 在 [ a , b ] 上可积的 2.函数 y =
5.设函数
（B）在 [ a , b ] 上 f ( x) 单调增加 （D）在 [ a , b ] 上 f ( x) 是凸的 ）. 至少 3 个
f ( x) = ( x 2 − 3x + 2) sin x ，则方程 f ′( x) = 0 在 ( 0 , π ) 内根的个数为（
（A）0 个 （B）至多 1 个 （C） 2 个 （D）
x
条件，函数 f ( x)
条件. ，它是 间断点.
3.当 x → 0 时，把以下的无穷小： （A） a − 1
1 的间断点为 x = 1 + tan x
(a > 0, a ≠ 1) ；
（B） x − sin x ； ， ， （D） ln(1 + x ) ， .（以字母表示）
（C） 1 − cos 4 x ； 按 x 的低阶至高阶重新排列是 4. lim
x → x0
（C） f ′( x0 ) 存在 2.以下条件中（
（D） f ( x) 在 x0 可微 ）是函数 f ( x) 在 x0 处有导数的必要且充分条件. （B） f ( x) 在 x0 处可微分