初高中数学衔接知识(二次函数)

a b c 22 a 2 b 12 . 由条件得 c 8 4a 2b c 8 c 8
所求的二次函数为 y 2 x 2 12 x 8 ．
【例 3】 已知二次函数的最大值为 2，图像的顶点在直线 y x 1 上，并且图象经过点（3，－1） ， 求此二次函数的解析式．
3．交点式： y a( x x1 )( x x2 ) (a 0) ，其中 x1 ， x 2 是二次函数图象与 x 轴交点的横坐标．
【例 2】已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式．
解：设该二次函数为 y ax 2 bx c (a 0) ．
2013年8月3日星期六
三、二次函数的最值问题
【例 5】当 2 x 2 时，求函数 y x 2 2 x 3 的最大值和最小值．
解：作出函数的图象．当 x 1时， ymin 4 ，当 x 2 时， ymax 5 ．
2 【例 6】当 1 x 2 时，求函数 y x x 1 的最大值和最小值．
2013年8月3日星期六
二次函数 y ax bx c (a 0)是初中函数的主要内 容.也是高中学习的重要基础.在初中，大家已经知道 二次函数在自变量取任意实数时的最值情况. 本讲我们将在这个基础上继续学习当自变量 x在某 个范围内取值时，函数的最值问题.
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在对称轴的左侧，y 随着 x 的增大而增大； 在对称轴的右侧，y 随着 x 的增大而减小 (如图) .
2013年8月3Fra Baidu bibliotek星期六
二、二次函数的三种表示方式
1．一般式： y ax 2 bx c (a 0) . 2．顶点式： y a( x h) 2 k (a 0) ，顶点坐标是 (h, k ) ．
y ax 2 bx c (a 0) 的图像和性质 一、二次函数
b 4ac b 2 （1）当 a 0 时，函数 y ax bx c 图象开口向上，顶点坐标为 ( , ) ，对称轴为 2a 4a b 直线 x .在对称轴的左侧， y 随着 x 的增大而减小；在对称轴的右侧， y 随着 x 的增大而增大； 2a
2013年8月3日星期六
2013年8月3日星期六
二、二次函数的三种表示方式
【例 4】已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到 x 轴的距离等于 2，求此二次函数的 表达式．
解：法一 ∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)， 解：法二 ∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)， ∴对称轴为直线 x 1 ． ∴可设二次函数为 y 2， 3)( x 1) (a 0) ，即 y ax 2 又顶点到 x 轴的距离为 a( x ∴顶点的纵坐标为 2 或－2． 2ax 3a .
12 2 x 2 ∴可设二次函数为y aa( 4a1)2 2 a ， a( x 1)2 2 . 顶点的纵坐标为 4 或 y 4a 1 1 ∵函数图象过点(1，0)， ∴ a ． ∵二次函数图象的顶点到 x 轴的距离为 2，∴ | 4a | 2 a ． 2 2
解：作出函数的图象．当 x 1时， ymax 1 ，当 x 2 时， ymin 5 ．
2013年8月3日星期六
三、二次函数的最值问题
由上述两例可以看到，二次函数在自变量 x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高 点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值． 根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量 x 的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：
【例 1】 请您求出二次函数 y 3x 2 6 x 1 的图象的开口方向、对称轴方程、顶点坐标、最大值 （或最小值） ，并指出当 x 取何值时， y 随 x 的增大而增大（或减小） ，并画出该函数的图象．
解：∵ y 3 x 2 6 x 1 3( x 1)2 4 . ∴函数图象的开口向下， 对称轴方程 x 1 ，顶点坐标为(－1，4)， 当 x 1 时， ymax 4 .
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直线 x
b . 在对称轴的左侧， y 随着 x 的增大而增大；在对称轴的右侧， y 随着 x 的增大而减小； 2a
4ac b2 b 当x 时，函数取最大值 y ． 4a 2a
2013年8月3日星期六
y ax 2 bx c (a 0) 的图像和性质 一、二次函数
1 2 3 1 x 2 x 3 或 y 1 x2 x 3 ． 3 1 2 ∴二次函数的表达式为 y x x 或 y x x ． ∴二次函数的表达式为 y 2 2 2 2
说明：在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题． 通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点 式来求二次函数的表达式？
解：由条件易知顶点坐标是（1，2） ， 设该二次函数的解析式为 y a( x 2)2 1(a 0) ， ∵图像经过点（3，－1） ∴ 1 a(3 2)2 1 a 2 ． ， ∴二次函数的解析式为 y 2( x 2)2 1 ，即 y 2 x2 8x 7 ．
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4ac b2 b 当x 时，函数取最小值 y ． 4a 2a
今后解决二次函数 问题时，要善于借助 函数图像，利用数形 结合的思想方法解决 问题．
b 4ac b 2 （2）当 a 0 时，函数 y ax bx c 图象开口向下，顶点坐标为 ( , ) ，对称轴为 2a 4a