(完整版)解三角形题型分类总结

解三角形题型分类总结

问题一：利用正弦定理解三角形

1.(2010年广东卷文)已知：ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c 若62a c ==+且75A ∠=，则b =( A )

A.2 B ．4＋23 C ．4—23 D ．62-

2.在ABC ∆中，若5b =，4B π∠=,1sin 3

A =，则a = . 3.（2009湖南卷文）在锐角ABC ∆中，1,2,BC

B A ==则

cos AC A 的值等于 ，AC 的取值范围为 .

问题二：利用余弦定理解三角形

1.（2010全国卷Ⅱ文）已知：△ABC 中，12cot 5

A =-，则cos A = ( )

A ．1213 B.513 C. 513- D. 1213- 2.设ABC ∆的内角C

B A 、、所对的边分别为c b a 、、.已知1=a ，2=b ，4

1cos =C . （Ⅰ）求ABC ∆的周长

（Ⅱ）求()C A -cos 的值. 3.（2010重庆文数）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c,且32b +32c -32a 2bc .

(Ⅰ) 求sinA 的值；(Ⅱ)求2sin()sin()441cos 2A B C A

ππ

+++-的值. 若条件改为：2223sin 3sin 3sin 42sin B C A B C +-=？

4.在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A ，B ，C 的对边，且C B cos cos =-c a b +2. （1）求角B 的大小；（2）若b=13，a+c=4，求△ABC 的面积.

问题三：正弦定理余弦定理综合应用

1.（2011山东文数）在∆ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知

cos A-2cos C 2c-a =cos B b ． （I ）求sin sin C A 的值；（II ）若cosB=14

，5b ABC 的周长为，求的长. 【注】“边化正弦，正弦化边”“余弦直接代入”

考虑以下式子：1cos 2a C c b +=，(2)cos cos a c B b C -=，(2)cos cos 0a c b b C -+=

2.（2009全国卷Ⅰ理）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b

【注】对已知条件(1)222a c b -=左侧是二次的右侧是一次的,可以考虑余弦定理；而对已知条件

(2) sin cos 3cos sin ,A C A C =化角化边都可以。

3． 在,,,ABC a b c ∆中分别为内角A 、B 、C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin .a A b c B c b C =-+- （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若sin sin 3B C +=，试判断ABC ∆的形状。

问题四：三角恒等变形

1.（08重庆） 设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c ，且A=60，c=3b.求：

（Ⅰ）a

c 的值；（Ⅱ）cotB +cot C 的值.

【注】在解三角形的背景下一般见“切割化弦”

同角三角函数的基本关系式：

（1）平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+=

（2）倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1,

（3）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αα

αααα==

2.（2009江西卷理）△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，

sin sin tan cos cos A B

C A B +=+,sin()cos B A C -=.（1）求,A C ；（2）若33ABC S ∆=+,求,a c .

思考：1若sin()

sin()A B a c

A B c -+=-+求B 。

2若2sin 2sin 2sin cos21C C C C ++=，求C

33tan tan tan 3A B A B --= C

问题五：判断三角形形状

1.在△ABC 中，，bcosA ＝a cosB ，试判断ABC ∆三角形的形状.

2. 在△ABC 中，若cosA

cosB ＝b

a ，试判断ABC ∆三角形的形状.

3.在△ABC 中，若2cosBsinA ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是

4.在△ABC 中，如果（a 2+b 2）sin （A-B ）=（a 2-b 2）sin （A+B ），判断三角形的形状.

思考：若cos cos cos a

b

c

A B C ==，判断三角形的形状.

问题六：与其他知识综合

1已知向量(,),(,),0a c b a c b a =+=--⋅=且m n m n ，其中A ，B ，C 是△ABC 的内角，a,b,c 分别是角A ，B ，C 的对边.（1）求角C 的大小；（2）求sin sin A B +的取值范围.

【注】坐标运算：设1122(,),(,)a x y b x y ==，则：

向量的加减法运算：12(a b x x ±=±，12)y y ±。

实数与向量的积：()()1111,,a x y x y λλλλ==。

平面向量数量积：1212a b x x y y •=+=cos a b θ

向量平行：

1221//a b a b x y x y λ⇔=⇔= 向量垂直：12120a b a b x x y y ⊥⇔•⇔+=

思考：1.若求cos cos A B +，22sin sin A B +，22cos cos A B +？

2.若已知3c =，求三角形周长和面积的取值范围。

3.（2009浙江文）（本题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足

25cos 25

A =，3A

B A

C ⋅=． （I ）求ABC ∆的面积； （II ）若1c =，求a 的值． 注：若条件改为3AB CA •=

问题7：三角实际应用

1. 要测量对岸A 、B 两点之间的距离，选取相距3 km 的C 、D 两点，并测得∠

ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°，求A 、B 之间的距离.

【解题思路】找到三角形，利用正弦定理和余弦定理。

2．（2007山东）20（本小题满分12分）如图,甲船以每小时302海里

的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于1A 处

时,乙船位于甲船的北偏西105︒

的方向1B 处,此时两船相距20海里.当甲

船航行20分钟到达2A 处时,乙船航行到甲船的北偏西120︒方

向的2B 处,此时两船相距102海里,问乙船每小时航行多少海里?