倍长中线和截长补短常见题型

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角平分线类

1如图，在ABC ∆中，2B C ∠=∠，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：

AB BD AC +=．

D

C B A

2如图，在ABC ∆中，AB BD AC +=，BAC ∠的平分线AD 交BC 与D ．求证：

2B C ∠=∠．

D

C B A

3如图，ABC ∆中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC

4如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA,AD ＝CD ，BD 平分ABC ∠，求证：

0180=∠+∠C A

5已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和ACB ∠，BD 、 CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．

C

D

B

A

2

C

B

A

O

E

D C

B

A

6如图，在ABC ∆中，60B ∠=︒，AD 、CE 分别平分BAC ∠、BCA ∠，且AD

与CE 的交点为F ．求证：FE FD =．

F

B

E

D

C

A

7如图，已知在ABC 内，0

60BAC ∠=，040C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP

8在ABC ∆中，AB AC >，AD 是BAC ∠的平分线．P 是AD 上任意一点．求

证：AB AC PB PC ->-．

C

D B P

A

9如图，P 是ABC ∆的外角EAC ∠的平分线AD 上的点（不与A 重合）求证：PB PC AB AC +>+

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P

E

D

C

B

A

10.如图，在Rt ABC ∆中，AD 是斜边BC 上的高，BE 是ABC ∠的平分线，AD 交BE 于O ，EF AD ⊥于F ，求证：AF OD =．

B A Q F E

D

C

O

21

11.已知在ABC ∆中，90A ∠=︒，B ∠的平分线交AC 于E ，交BC 边上的高AH 于D ，过D 作DF BC ∥交AC 于F ，求证：AE FC =．

H

F

D C

B

A

E

12已知在△ABC 中，AB=AC ，D 在AB 上，E 在AC 的延长线上，DE 交BC 于F ，且DF=EF ，求证：BD=CE

4

E

D

F

C

B

A

巧添辅助线——倍长中线

1.△ABC 中，AB=5，AC=3，求中线AD 的取值范围

2如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点，试比较BE+CF 与EF 的大小.

3.如图，AD 为ABC ∆的中线，DE 平分BDA ∠交AB 于E ，DF 平分ADC ∠交AC 于F. 求证：EF CF BE >+

4、如图，△ABC 中，BD=DC=AC ，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE.

E D C

B A

5已知CD=AB ，∠BDA=∠BAD ，AE 是△ABD 的中线，求证：∠C=∠BAE

6如图：在△ABC 中，AB=AC, 延长AB 到D ，使BD=AB, E 为AB 中点，连接CE,CD ，请问CD 与CE 有怎样的数量关系，并证明你的结论。

第 14 题图

D

F C

B

E

A

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7.已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交AC 于F ，求证：AF=EF

8.已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠

9.在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，E 为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF ，AF 与DC 的延长线相交于点F 。试探究线段AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论

F

E

C

第 1 题图

A

B

F

D

E

C

E

A

B

C

6

10.已知：如图，∆ABC 中，∠C=90︒，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.

D

A

B

C

M

T

E