第五章空间力系 第二节 力对轴的矩

Fx
a a b c
2 2 2
F
B
Fz
F
O
Fy
b a b c
2 2 2
F
A
Fy
D
Fx
Fz
c a 2 b2 c 2
F
Fx
a a b c
2 2 2
F
Fy
b a b c
2 2 2
F
Fz
c a b c
2 2 2
F
利用力对轴的矩的合力矩定理，即得
M x F M x Fz bc a b c
M x F yFz zFy MO (F )x M y F zFx xFz M O ( F ) y
其中，（x , y , z ）为力 F 作用点的坐标，Fx、Fy、Fz 为力 F 在 x 、y、z 轴上的投影。
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内）， 力对该轴的矩为零.
2 2 2
F
B
Fz
F
O
M z F M z Fx M y1 F M y1 Fz
ab a 2 b2 c 2 ac a b c
2 2 2
F
A
表达式求解
第二节
力对轴的矩与力对点的矩的矢量定义
1、力对点的矩以矢量表示 ——力矩矢
MO F = r F
B F
三要素：
（1）大小:力 F 与力臂的乘积
MO F A x, y, z
O
r
h
（2）方向:右手螺旋法则决定 （3）作用点：O点.
其中： r = xi + yj + zk
MO F = r F = x
解法二：利用力对轴的矩的解析算式求解 力的作用点的坐标为
x l
y la
z0

力F 在 x、y 、z 轴上的投影为
Fx sin
Fy 0
Fz F cos
代入解析算式，即得
M x F yFz zFy l a F cos 0 F l a cos
Fx i j y Fy
F = Fx i Fy j + Fz k
k z Fz
( yFz zFy )
i ( xFz zFx ) j ( xFy yFx ) k
=
MO (F )x
即 MO (F )x yFz zFy M O ( F ) y zFx xFz
解法一：利用合力矩定理求解
将力 F 作正交分解，分力大小
Fx F sin
Fz F cos
根据力对轴的合力矩定理，即有
Fx

Fz
M x F M x Fx M x Fz 0 Fz AB CD F l a cos
三、力对轴的合力矩定理 合力对任一轴的矩就等于其各分力对同一轴的矩的代数和，即
M x FR M x Fi M y FR M y Fi M z FR M z Fi
[例1] 如图，手柄 ABCE 位于 xy 平面内，在 D 处受力 F 的作用。力 F 位于垂直于 y 轴的平面内，偏离铅直线的角度为 。已知 AB = BC = l ，CD = a，杆 BC 平行于 x 轴，杆 CE 平行于 y 轴。试求力 F 对x、y、z 三轴的矩。
MO (F )z xFy yFx
x
=
M O (F ) y
=
MO (F )z
MO F
z
B F
k
O
j
h
r
A x, y, z
y
i
一、力对轴的矩的定义 力对轴的矩定义为力在垂直于 轴的平面上的投影对轴与平面 交点的矩，即
Fz
F
M z F M O Fxy Fxy d
说明：1）力对轴的矩为代数量，其正负 号按右手螺旋法则确定； 2）若力的作用线与某轴相交或平 行，则力对该轴的矩必为零。
Fxy
二、力对轴的矩的解析算式
M z F M O Fxy xFy yFx MO (F )z
同理可得力 F 对 x 、y 轴的矩的
解析算式，有
M y F M y Fx M y Fz 0 Fz BC Fl cos
M z F M z Fx M z Fz Fx AB CD 0 F l a sin
M y (F ) zFx xFz 0 l F cos Fl cos M z F xFy yFx 0 l a F sin F l a sin
两种计算方法结果相同
[例2] 如图，长方体边长分别为a、b、c，沿其对角线 AB 作用一力 F。试求力 F 对 x ，z 及 y1 三轴的矩。 解：将力 F 作三维正交分解，其中分力大小