05空间力系
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5章空间力系(交)
Fy 0
Fz F cos
由于力与轴平行 或相交时力对该轴的 矩为零，则有
M x F M x FZ Fz AB CD Fl bcos M y F M y FZ Fz BC Fl cos M z F M z Fx Fx AB CD Fl bsin
z Fz
F
x
Fx
Fxy
y Fy
二、 空间汇交力系的合成与平衡
1. 合成 将平面汇交力系合成结果推广得：
FR F1 F2 F n Fi
解析法 FR FRx i FRy j FRz k FR Fx i Fy j Fz k
合力的大小和方向为：
FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
4力偶可改装性
4.4 空间力偶等效定理
空间力偶的等效条件是：两个力偶的力偶矩矢相等。
4、空间力偶系的合成 空间力偶系合成的最后结果为一个合力偶，
合力偶矩矢等于各力偶矩矢的矢量和。即：
M M1 M2 Mn Mi
根据合矢量投影定理：
Mx Mx, My My, Mz Mz
列平衡方程：(约束特点)
X 0 : X A TH cos 60 sin 45 TG cos 60 sin 45 0
Fx 0,
Fy 0,
Fz 0
M x (F ) 0, M y (F ) 0, M z (F ) 0
空间任意力系平衡的必要与充分条件为：力系中 各力在三个坐标轴上投影的代数和等于零，且各力对 三个轴的矩的代数和也等于零。
空间平行力系的平衡方程
Fz 0 Mx 0 My 0
Fz F cos
由于力与轴平行 或相交时力对该轴的 矩为零，则有
M x F M x FZ Fz AB CD Fl bcos M y F M y FZ Fz BC Fl cos M z F M z Fx Fx AB CD Fl bsin
z Fz
F
x
Fx
Fxy
y Fy
二、 空间汇交力系的合成与平衡
1. 合成 将平面汇交力系合成结果推广得：
FR F1 F2 F n Fi
解析法 FR FRx i FRy j FRz k FR Fx i Fy j Fz k
合力的大小和方向为：
FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
4力偶可改装性
4.4 空间力偶等效定理
空间力偶的等效条件是：两个力偶的力偶矩矢相等。
4、空间力偶系的合成 空间力偶系合成的最后结果为一个合力偶，
合力偶矩矢等于各力偶矩矢的矢量和。即：
M M1 M2 Mn Mi
根据合矢量投影定理：
Mx Mx, My My, Mz Mz
列平衡方程：(约束特点)
X 0 : X A TH cos 60 sin 45 TG cos 60 sin 45 0
Fx 0,
Fy 0,
Fz 0
M x (F ) 0, M y (F ) 0, M z (F ) 0
空间任意力系平衡的必要与充分条件为：力系中 各力在三个坐标轴上投影的代数和等于零，且各力对 三个轴的矩的代数和也等于零。
空间平行力系的平衡方程
Fz 0 Mx 0 My 0
05空间力系.doc
空间力系一、 图1所示正方体，各边长为a ，沿对角线AB 作用一个力F ，则该力在1x 轴上的投影为（ A ）A. 0B.C.D. -二、已知A 点的坐标为（1，1，1）则图中力F对Z 轴的矩为 。
（1）()1z a b Fm F -+= （2）()1z b aFm F --=（3）()z m F =（4）()z m F =9.（1）三、四面体OABC 如图所示，其中OA 、OB 和OC 相互垂直，且长均为b 。
今沿BC 方向作用一大小为F 的力，此力对OA 边的中点D 之力矩在AC 方向的投影为（ ）。
bF4-XY图（1）（第五届全国大学生力学竞赛理论力学试卷）四、（10分）沿长方体的不相交且不平行的棱边作用三个大小相等的力（见图4），则边长a 、b 、c 满足 条件时，该力系才能合成为一个力。
四、（10分）参考答案——0b c a --=提示：向O 点简化，主矢：RF Fi Fj Fk '=++；主矩：()O M bF cF i aFj =-- 当R O F M '⊥，即0R O F M '⋅=时才能合成为一个力，即得答案。
备选资料1.（非）根据力线平移定理可以将一个力分解成一个力和一个力偶，反之一个力和一个力偶肯定能合成为一个力。
2.（是）作用于刚体上的任何三个相互平衡的力，必定在同一平面内。
3.（是）空间中三个力构成一平衡力系，此三力必共面。
4.（非）空间力系向点O 简化，若主矢R 0F '≠、主矩0O M ≠，则该力系最终可合成为一个合力。
6.（是）空间平行力系简化的最终结果一定不可能为力螺旋。
1. 如图所示，在边长为a 的正立方体的顶角A轴上的投影为 ，力F 对y 轴的矩为 。
（3F -、3Fa -）2. 如图所示，在边长为a 的正立方体的顶角A 处，沿着对角线作用一力F ，力F 在x 轴上的投影为 ，力F 对x 轴的矩为 。
3F 3图 4. 一空间力系对于不共线的三点的主矩相等且不为零，则该力系（ C ）A. 平衡B. 合成为一力C. 合成为一力偶D. 合成为一力螺旋竞赛题分析：1992年：力系简化最后结果一个非平衡的空间力系总可简化为一个合力或者两个不相交的力。
空间力系(工程力学课件)
空间力系平衡方程的应用
二、空间力系平衡方程 空间汇交力系和空间平行力系是空间任意力系的特殊情况，由式（5-10） 可推出空间汇交力系的平衡方程为
空间力系平衡方程的应用
例1 如图5.8（a）所示，用起重杆吊起重物。起重杆的A端用球铰链固定在地 面上，而B端则用绳子CB和DB拉住，两绳分别系在墙上的点C和D，连线CD平行于 x轴。已知：CE=EB=DE，α=30°，CDB平面与水平面间的夹角∠EBF=30°(参见 图5.8（b）)，物重P=l0kN。如起重杆的重量不计，试求起重杆所受的压力和绳
Fxy在与z轴垂直的xy面内
Mz (F ) MO (Fxy ) Fxyh 为代数量
即：力对轴之矩，等于力在垂直于该轴的平面
上的投影对轴与平面交点之矩。
x
特殊情况：
Oh Bh A
1、力与轴平行，矩为零。
y
2、力与轴相交，矩为零。
即： 力与轴位于同一平面内时，矩为零。
力对轴之矩及合力矩定理
1. 力对轴之矩
解：
2.由合力矩定理求F轴之矩FzFx Fra bibliotekxyFy
2F M x (F ) M x (Fx ) M x (Fy ) M x (Fz ) 0 0 2 6 10606.6N m
M y (F ) M y (Fx ) M y (Fy ) M y (Fz ) 0 0
2F 5 8838.8N m 2
例2 图5.4（a）所示为一圆柱斜齿轮，，, 其上受啮合力F作用。已知斜齿轮 的螺旋角β和压力角α。试求啮合力F在坐标轴x、y、z的投影。
解 先将啮合力F向坐标轴z和 坐标平面Oxy投影，如图5.4（b） 所示，得
Fz F sin Fxy F cos
理论力学精品课程第六章空间力系
首先，我们需要明确力的合成和分解的基本原理。然后，根据题目给出的条件，我们可 以将一个力分解为若干个分力，或者将若干个分力合成为一个合力。通过这些操作，我
们可以求出物体所受的合力和分力。
习题三解析
总结词
该题考查了空间力系中力的矩和力矩 的平衡条件，通过构建力矩平衡方程， 可以求出未知的力和力矩。
详细描述
按力的分布范围分类
可分为集中力系和分布力系。
按力的方向分类
可分为同向力系、反向力系和任意方向力系。
空间力系性质
平衡性
力矩的存在性
空间力系在不受外力作用或处于平衡状态 下，合力为零。
空间力系可以产生旋转效应，即力矩。
力线平移定理
力的独立性
空间力系中，通过一定点可以作无数个平 行且等效的力，这些力的作用线均在该点 处与给定的力线重合。
力的平移
力平移定义
01
将力平行移动到刚体的任意点，同时保持力的方向和大小不变。
力平移性质
02
力的平移不改变力对刚体的作用效果，但会改变力矩的大小和
方向。
力平移实例
03
例如，在机械制造中，需要将机床的切削力平移到工件的任意
位置，以保证工件加工的精度和质量。
力在坐标轴上的投影
力在坐标轴上投影定义
将力沿坐标轴方向的分量表示为标量。
首先，我们需要明确力的矩和力矩平 衡条件的基本概念。然后，根据题目 给出的条件，我们可以构建力矩平衡 方程。通过解这个方程，我们可以求 出未知的力和力矩。
感谢您的观看
THANKS
航天器轨道
在航天器轨道分析中，空间力系 用于研究航天器的运动轨迹和受 力情况，以确保航天器的安全和 有效运行。
卫星姿态控制
们可以求出物体所受的合力和分力。
习题三解析
总结词
该题考查了空间力系中力的矩和力矩 的平衡条件，通过构建力矩平衡方程， 可以求出未知的力和力矩。
详细描述
按力的分布范围分类
可分为集中力系和分布力系。
按力的方向分类
可分为同向力系、反向力系和任意方向力系。
空间力系性质
平衡性
力矩的存在性
空间力系在不受外力作用或处于平衡状态 下，合力为零。
空间力系可以产生旋转效应，即力矩。
力线平移定理
力的独立性
空间力系中，通过一定点可以作无数个平 行且等效的力，这些力的作用线均在该点 处与给定的力线重合。
力的平移
力平移定义
01
将力平行移动到刚体的任意点，同时保持力的方向和大小不变。
力平移性质
02
力的平移不改变力对刚体的作用效果，但会改变力矩的大小和
方向。
力平移实例
03
例如，在机械制造中，需要将机床的切削力平移到工件的任意
位置，以保证工件加工的精度和质量。
力在坐标轴上的投影
力在坐标轴上投影定义
将力沿坐标轴方向的分量表示为标量。
首先，我们需要明确力的矩和力矩平 衡条件的基本概念。然后，根据题目 给出的条件，我们可以构建力矩平衡 方程。通过解这个方程，我们可以求 出未知的力和力矩。
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航天器轨道
在航天器轨道分析中，空间力系 用于研究航天器的运动轨迹和受 力情况，以确保航天器的安全和 有效运行。
卫星姿态控制
空间力系
o •d xy
B A
§5.3 力对轴之矩 一 力对轴之矩的概念 xy平面 m (F) = ±Fd 0
z A
F
o•d 过o点作xy平面的垂线z轴. xy F对o点之矩,可以看作是F对z轴之矩.
若力为任意将力分解为Fxy和Fz.
m (F) = m (F ) z 0 xy
z
F z
F
F xy
= ±F d xy
m 2
yz平面
∑m
Z
A
=0 −50Q +200F B +300F =0 z Z Z
F B = 2040N Z
x z y
∑F =0 Q +F
z
ZA
+F B +F =0 Z Z
FA Z
FA Y
FB Z
F A =385N Z
F y
∑F =0
Y
F A −F = 0 Y y
F A =352N Y
Q z
F z
解:作受力简图图示.
FB m Z 2
Q= 746N
F x
m 3
F y
Q z
m 1
F z
m 2
x
解:作受力简图图示.
∑m =0
Y
m −m =0 1 2
100Qcos20 −50F = 0 z
0
z y x
m 1
Q x
z y
FA Z FA X FA Y FB X
FB m Z 2
Q= 746N
F x
m 3
F y
Q z
m 1
F z
§5.3 力对轴之矩 一 力对轴之矩的概念 xy平面 m (F) = ±Fd 0
五、空间力系
F1
z
F2
o x
y
Fn
FR F
7
FR ( Fx ) 2 ( Fy ) 2 ( Fz ) 2
FRx cos FR
二、空间汇交力系的平衡
空间汇交力系平衡的必要与充分条件是：力系的合力等
于零。由此得平衡方程：
Fx 0 Fy 0 F 0 z
A
a
M C
B
P
a
D
y
3
m
DD '
F3 2P 0;
F3 F 4 1A´ a F2 F
D´
F5
C´
F6
B´
y
x
2 F5 a Pa M 0, 2
F5 2 2P
27
m
C 'D'
0;
z
B P A F1 F5 0, F1 2 2P a M F6 mBD 0; D C F5 F3 F 2 B´ 4 F 2 P F F4 F5 0, 4 a F2 1A´ y 2 D´ C´ mB'C ' 0;
'
o x
mn
=
y
m2
F
' n
o x
y
F1' F1 F2' F2 ; ; m1 mo ( F1 ) m2 mo ( F2 )
Fn' Fn mn mo ( Fn )
14
F1
z
F2
z
o x
=
y
Fn
F1
'
m1
Mo
F2'
z
理论力学05空间力系_2力对轴的矩
x、y、z 轴上的投影。
三、力对轴的合力矩定理 合力对任一轴的矩就等于其各分力对同一轴的矩的代数和，即
Mx FR Mx Fi M y FR M y Fi Mz FR Mz Fi
z
四、力对点的矩的矢量定义
力F 对点O 的矩的矢量定义为
MO F r F
式中，r 为矩心 O 至力F 作用点
Mz F xFy yFx 0 l aF sin F l asin
两种计算方法结果相同
[例2] 如图，长方体边长分别为a、b、c，沿其对角线 AB 作用一力 F。试求力F 对 x ，z 及 y1三轴的矩。
解： 将力F 作三维正交分解， 其中各分力大小
Fx
a
F
a2 b2 c2
z
Fy
b F
a2 b2 c2
c
Fz
F a2 b2 c2
c
Fy
a
x
b
Fz
y
Fx
y1
Fx
a F
a2 b2 c2
Fy
b F
a2 b2 c2
Fz
c
F
a2 b2 c2
利用力对轴的矩的合力矩定理，即得
M x F M x Fz
bc F
a2 b2 c2
M z F M z Fx
Mz F Mz Fx Mz Fz Fx AB CD 0 F l asin
解法二： 利用力对轴的矩的解析算式
力的作用点的坐标为
x l y l a z 0
力F 在 x、y、z 轴上的投影为 Fx F sin Fy 0 Fz F cos 代入解析算式，即得
Fx
Fz
Mx F yFz zFy l aF cos 0 F l acos My (F) zFx xFz 0 lF cos Fl cos
三、力对轴的合力矩定理 合力对任一轴的矩就等于其各分力对同一轴的矩的代数和，即
Mx FR Mx Fi M y FR M y Fi Mz FR Mz Fi
z
四、力对点的矩的矢量定义
力F 对点O 的矩的矢量定义为
MO F r F
式中，r 为矩心 O 至力F 作用点
Mz F xFy yFx 0 l aF sin F l asin
两种计算方法结果相同
[例2] 如图，长方体边长分别为a、b、c，沿其对角线 AB 作用一力 F。试求力F 对 x ，z 及 y1三轴的矩。
解： 将力F 作三维正交分解， 其中各分力大小
Fx
a
F
a2 b2 c2
z
Fy
b F
a2 b2 c2
c
Fz
F a2 b2 c2
c
Fy
a
x
b
Fz
y
Fx
y1
Fx
a F
a2 b2 c2
Fy
b F
a2 b2 c2
Fz
c
F
a2 b2 c2
利用力对轴的矩的合力矩定理，即得
M x F M x Fz
bc F
a2 b2 c2
M z F M z Fx
Mz F Mz Fx Mz Fz Fx AB CD 0 F l asin
解法二： 利用力对轴的矩的解析算式
力的作用点的坐标为
x l y l a z 0
力F 在 x、y、z 轴上的投影为 Fx F sin Fy 0 Fz F cos 代入解析算式，即得
Fx
Fz
Mx F yFz zFy l aF cos 0 F l acos My (F) zFx xFz 0 lF cos Fl cos
静力学5(空间力系)
空间二力偶等效的条件是 ______，图示长方刚体，仅受二力偶 作用，已知其力偶矩矢满足 M1=M2,该长方体是否平衡？
土建06级A卷
—间力系 静力学 空
其合力偶矩矢: M = 60i + 12 j + 16k ( N .m) 合力偶矩大小 M = 60 2 + 12 2 + 16 2 = 63 .25 ( N .m )
空间力偶系
2、力偶的性质
(1 ）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零 。 (1）力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零 —间力系 静力学 空
（2）力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改 变。 （3）只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移 转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚 体的作用效果不变。 只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面移至另 (4) (4)只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面移至另 一与此平面平行的任一平面，对刚体的作用效果不变。
M O ( F ) = M x ( F )i + M y ( F ) j + M z ( F )k
例 手柄ABCE在平面Axy内,F在垂直于y轴的平面 内,AB=BC=L,CD=a.试求力对x、y和z三轴之矩及对A 点之矩。 解： Fz = F cos α F = F sinαx—Fra bibliotek力系 静力学 空
*力与轴平行或相交时，力对该轴的矩等于零。
力对轴的矩等于该力在与轴垂直的平面上的投影 对轴与平面交点之矩。 代数量
三、力对点之矩与力对轴之矩的关系
[M O (F )]z = M O (F ) ⋅ k
= M O ( F ) ⋅1 ⋅ cos γ = 2∆OAB ⋅ cos γ = 2∆Oab = M z (F )
工程力学-第五章
F F
sin γ cos φ
sin
γ
sin
φ
Fz F cos γ
应当指出：力在坐标轴上的投影是代数量，有正、负两种可能；而力在平面上的投影为矢量。
5.1.3 空间汇交力系的合成与平衡条件
1．空间汇交力系的合成
设有空间汇交力系 F1，F2，…，Fn，利用力的四边形法则，可将其逐步合成为合力矢 R，
某轴之矩等于各分力对同轴的矩的代数和，即
M x FR M x F1 M x F2 M y FR M y F1 M y F2 M z FR M z F1 M z F2
Mx My
Fn Fn
Mx My
FFii
M
z
Fn
M
z
Fi
5.2.3 空间力系的合力矩定理
如图所示，设力F的作用线沿AB，O点为矩心，则力对 这一点之矩可用矢量来表示，称为力矩矢，用MO（F）表 示。力矩矢MO（F）的始端为O点，它的模（即大小）等 于力F与力臂d的乘积，方位垂直于力F与矩心O所决定的平 面，指向可用右手法则来确定。于是可得：
MO (F ) Fd 2A OAB
5.2.1 力对点之矩
5.1.3 空间汇交力系的合成与平衡条件
例 5-1 如图所示，在正方体的顶角 A 和 B 处分别作用有力 F1 和 F2，试求此二力在 x，y，z 轴上的
投影。
F1x F1 sin cos F1
2 3
1 2
3
3
F1
解：首先，求 F1 在 x，y，z 轴上的投影，即 F1y F1 sin sin F1
5.2.4 力对点之矩与力对轴之矩的关系
以矩心 O 为原点，取直角坐标系 Oxyz，如图所示。设力 F 在各坐标轴上的投影为 Fx，Fy，Fz；力作 用点 A 的坐标为（x，y，z），则有 F Fxi Fy j Fzk
理论物理-第三章——空间力系2010
二、空间任意力系简化结果的分析
5. FR 0, Mo 0, 且FR 与Mo成角，
由3知，Mo''与 FR 可进一步合成为一个力FR ,其作 用线过简化中心以外另一点O' ，O' 点与O点间 距离为d Mo" FR 此时 M'o与 FR 组成了一力 螺旋，其中心轴过 O' 点 。
力对轴之矩
mmxy
F F
yFz zFy zFx xFz
mz F xFy yFx m F m F
m F m F
力对点之矩及合力对 一点之矩的计算方法
m F m F
第三章 空间力系
§3-2力对点之矩和力对轴之矩
四、力对点之矩及合力对一点之矩的计算方法
(1)先求合力对点之矩 在各个轴上的投影
求：三杆所受的力
P A
解：销钉O受力如图 坐标如图
第三章 空间力系
§3-1空间汇交力系
z
200 C
200
B
300
SB
SC
O
D 300
x 400 SA
例3-2： 解：销钉O受力如图
坐标如图 Fix=0: SBcos- SCcos=0
y Fiy=0: -(SB+SC) sin cos45+SAsin=0
Fy
F
cos
sin
Fz
F sin
F cos
F
y
x
第三章 空间力系
一、力在直角坐标轴上的投影
§3-1空间汇交力系
z
F
y
x
F Fx2 Fy2 Fz 2
cos Fx F cos Fy F cos Fz F
第三章 空间力系
5. FR 0, Mo 0, 且FR 与Mo成角，
由3知，Mo''与 FR 可进一步合成为一个力FR ,其作 用线过简化中心以外另一点O' ，O' 点与O点间 距离为d Mo" FR 此时 M'o与 FR 组成了一力 螺旋，其中心轴过 O' 点 。
力对轴之矩
mmxy
F F
yFz zFy zFx xFz
mz F xFy yFx m F m F
m F m F
力对点之矩及合力对 一点之矩的计算方法
m F m F
第三章 空间力系
§3-2力对点之矩和力对轴之矩
四、力对点之矩及合力对一点之矩的计算方法
(1)先求合力对点之矩 在各个轴上的投影
求：三杆所受的力
P A
解：销钉O受力如图 坐标如图
第三章 空间力系
§3-1空间汇交力系
z
200 C
200
B
300
SB
SC
O
D 300
x 400 SA
例3-2： 解：销钉O受力如图
坐标如图 Fix=0: SBcos- SCcos=0
y Fiy=0: -(SB+SC) sin cos45+SAsin=0
Fy
F
cos
sin
Fz
F sin
F cos
F
y
x
第三章 空间力系
一、力在直角坐标轴上的投影
§3-1空间汇交力系
z
F
y
x
F Fx2 Fy2 Fz 2
cos Fx F cos Fy F cos Fz F
第三章 空间力系
静力学第五章空间力系)
FRz = ∑ Fziபைடு நூலகம்
合力F 的大小为: 合力FR的大小为:
FR = ( ∑ Fxi ) + ( ∑ Fyi ) + ( ∑ Fzi )
2 2
2
合力F 的方向余弦为: 合力FR的方向余弦为:
∑ Fxi cos( FR ,i ) = FR cos( FR , j ) = ∑ Fyi FR
∑ Fzi cos( FR ,k ) = FR
球铰链固定在地面上，而B端则用绳CB和DB拉住，两 球铰链固定在地面上， 端则用绳CB和DB拉住， 拉住 绳分别系在墙上的C点和D 连线CD平行于 平行于x 绳分别系在墙上的C点和D点，连线CD平行于x轴。已 CE=EB=DE, CDB平面与水平面间的夹角 知CE=EB=DE, 角α = 30o ，CDB平面与水平面间的夹角 EBF= 重物G kN。如不计起重杆的重量, ∠EBF= 30o ,重物G = 10 kN。如不计起重杆的重量,试 求起重杆所受的力和绳子的拉力。 求起重杆所受的力和绳子的拉力。
F1r1+ F2r2
F1 + F2 ∑Fi ri
∑F
zC
矢量式
i
确定n个平行力的力系中心C 确定n个平行力的力系中心C的投影式
xC
∑Fx = ∑F
i
i i
yC
∑F y = ∑F
i i
i
∑Fz = ∑F
i
i i
2、重心
重心看成平行力系的中心 C（重力作用点）。 重力作用点）。 rC =
∑P ri ∑P
空间力偶系合成
矢量式： 矢量式： M=Σ M i
投影式： 投影式：
ΣM x
Mx=Σ M ix My=Σ M iy Mz=Σ M iz
合力F 的大小为: 合力FR的大小为:
FR = ( ∑ Fxi ) + ( ∑ Fyi ) + ( ∑ Fzi )
2 2
2
合力F 的方向余弦为: 合力FR的方向余弦为:
∑ Fxi cos( FR ,i ) = FR cos( FR , j ) = ∑ Fyi FR
∑ Fzi cos( FR ,k ) = FR
球铰链固定在地面上，而B端则用绳CB和DB拉住，两 球铰链固定在地面上， 端则用绳CB和DB拉住， 拉住 绳分别系在墙上的C点和D 连线CD平行于 平行于x 绳分别系在墙上的C点和D点，连线CD平行于x轴。已 CE=EB=DE, CDB平面与水平面间的夹角 知CE=EB=DE, 角α = 30o ，CDB平面与水平面间的夹角 EBF= 重物G kN。如不计起重杆的重量, ∠EBF= 30o ,重物G = 10 kN。如不计起重杆的重量,试 求起重杆所受的力和绳子的拉力。 求起重杆所受的力和绳子的拉力。
F1r1+ F2r2
F1 + F2 ∑Fi ri
∑F
zC
矢量式
i
确定n个平行力的力系中心C 确定n个平行力的力系中心C的投影式
xC
∑Fx = ∑F
i
i i
yC
∑F y = ∑F
i i
i
∑Fz = ∑F
i
i i
2、重心
重心看成平行力系的中心 C（重力作用点）。 重力作用点）。 rC =
∑P ri ∑P
空间力偶系合成
矢量式： 矢量式： M=Σ M i
投影式： 投影式：
ΣM x
Mx=Σ M ix My=Σ M iy Mz=Σ M iz
力学第四章空间力系
例4-3 如图所示的折杆，已知在其自由端A处受到 力F的作用。试求折杆固定端O的约束力。
§4－3 空间任意力系的平衡方程
解 取折杆为研究对象，画受力图如图所示,选直角坐 标系0xyz，列平衡方程
Fx = 0
FOx = 0
Fy = 0
FOy = 0
Fz = 0
FOz F = 0
Mx F = 0 MOx Fb = 0
§4－3 空间任意力系的平衡方程
平衡基本方程
空间任意力系平衡的充分必要条件：
各力在各坐标轴上的投影代数和分别等于零； 各力对各坐标轴的矩的代数和分别等于零
即：
Fx = 0
Fy = 0
Fz = 0
MxF = 0 M y F = 0 Mz F = 0
§4－3 空间任意力系的平衡方程
§4－3 空间任意力系的平衡方程
例4-5 用空间平衡力系的平面解法重解例4-4 解 重物匀速上升,鼓轮作匀速转动,即处于平衡姿态。取鼓轮为研究 对象。将力G和Q平移到轴线上，分别作垂直平面、水平平面和侧垂直
平面(图a、b、c)的受力图。
a)
c) b)
§4－3 空间任意力系的平衡方程
由(图a、b、 c)，列平衡方程。
§4－2 力对轴之矩
力对轴之矩（N·m）：度量力使物体绕轴的转动效应
M z (F ) = M O (Fxy ) = Fxyd
结论：力对某轴之矩是力使物体绕该轴 转动效应的度量，其大小等于力对垂直 于某轴平面内力对O点（即某轴在该面 的投影点）之矩。
力对轴之矩的符规定：
§4－2 力对轴之矩
例4-1 图示力F作用在圆轮的平面内,设力F作用线距z轴 距离为d。试计算力F对z轴之矩。
符号规定：从投影的起点到终点的方向与相应坐标轴 正向一致的就取正号；反之，就取负号。
§4－3 空间任意力系的平衡方程
解 取折杆为研究对象，画受力图如图所示,选直角坐 标系0xyz，列平衡方程
Fx = 0
FOx = 0
Fy = 0
FOy = 0
Fz = 0
FOz F = 0
Mx F = 0 MOx Fb = 0
§4－3 空间任意力系的平衡方程
平衡基本方程
空间任意力系平衡的充分必要条件：
各力在各坐标轴上的投影代数和分别等于零； 各力对各坐标轴的矩的代数和分别等于零
即：
Fx = 0
Fy = 0
Fz = 0
MxF = 0 M y F = 0 Mz F = 0
§4－3 空间任意力系的平衡方程
§4－3 空间任意力系的平衡方程
例4-5 用空间平衡力系的平面解法重解例4-4 解 重物匀速上升,鼓轮作匀速转动,即处于平衡姿态。取鼓轮为研究 对象。将力G和Q平移到轴线上，分别作垂直平面、水平平面和侧垂直
平面(图a、b、c)的受力图。
a)
c) b)
§4－3 空间任意力系的平衡方程
由(图a、b、 c)，列平衡方程。
§4－2 力对轴之矩
力对轴之矩（N·m）：度量力使物体绕轴的转动效应
M z (F ) = M O (Fxy ) = Fxyd
结论：力对某轴之矩是力使物体绕该轴 转动效应的度量，其大小等于力对垂直 于某轴平面内力对O点（即某轴在该面 的投影点）之矩。
力对轴之矩的符规定：
§4－2 力对轴之矩
例4-1 图示力F作用在圆轮的平面内,设力F作用线距z轴 距离为d。试计算力F对z轴之矩。
符号规定：从投影的起点到终点的方向与相应坐标轴 正向一致的就取正号；反之，就取负号。
工程力学-第5章 空间力系
Mo o FR
FR′′ d o FR o1 FR
FR
o1
MO(FR)= FRd=MO=∑ MO(Fi) MO(FR)= ∑ MO(Fi)
Mz(FR)= ∑ Mz(Fi)
3. 空间任意力系简化为力螺旋的情形
● FR′≠ 0，Mo ≠0 且 FR ∥′ Mo
Mo
FR
O
力螺旋
FR
O
FR
FR
O
O
右螺旋
Mo
1. 空间任意力系简化为一合力偶的情形
● F′R=0，Mo≠0
n
MO MO (Fi ) i 1
ห้องสมุดไป่ตู้★ 由于力偶矩矢与矩心位置无关，因此，在这种情况下， 主矩与简化中心的位置无关。
2. 空间任意力系简化为一合力的情形 ·合力矩定理
● F′R≠ 0，MO=0
合力的作用线通过简化中心
● FR′≠ 0，MO ≠0 且 FR ⊥′ MO
二次投影法
z
F = Fx+Fy+Fz= Fx i+Fy j+Fz k
F
O
y
Fxy
x
Fx Fy
F F
sin sin
cos
sin
Fz F cos
F
Fx2
Fy2
Fz2
cos(F , i) Fx F
cos(F , j) Fy
F
cos(F , k) Fz F
2. 空间汇交力系的合成与平衡条件
M=M1+M2+…+Mn=∑Mi
M Mxi My j Mzk M x M1x M 2x M nx M ix M y M1y M 2 y M ny M iy M z M1z M 2z M nz M iz
第4章空间力系
矩平面，指向由右手螺旋规则 来拟定，即从矢量旳正向观看， 力矩旳转向是逆钟向旳。
12
理论力学电子教案 C 机械工业出版社
力矩矢旳模等于力旳大小与矩心到力作用线垂直 距离旳乘积，即
mO (F ) F d 2OAB面积
假如r 矩心O到力F作用点A旳矢径，则矢积旳模等 于三角形OAB面积旳两倍，其方向与MO(F)旳方向相同， 故力矩矢也能够表达为
力对//它旳轴旳矩为零。 即力F与轴共面时，力 对轴之矩为零。
z
Fz
O
xy
dA
F
B
Fxy
14
理论力学电子教案 C 机械工业出版社
力矩关系定理
[证]任取一点O，并过O点作
z MO(F)
O
xy
B
F
A
B
A Fxy
一轴z，力F对点O之矩MO(F) 垂直于 所在平面，其模为
M O (F ) 2ΔOAB
力F对z轴之矩为
即合力在某一坐标轴上旳投影，等于力系中全部各
力在同一轴上投影旳代数和，这就是空间汇交力系旳合
力投影定理。
合力FR旳大小和方向余弦分别为
FR FR2x FR2y FR2z ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
cos FRx Fx ,
FR
FR
cos FRy Fy ,
FR
假设方向相反，即两杆均受压力。
11
理论力学电子教案 C 机械工业出版社
§ 4．2 力对点旳矩与力对轴旳矩
4.2.1 力对点旳矩 空间力系中，力对于某一点旳作用效应不但与力
矩旳大小和转向有关，还与力矩平面旳方位有关。 所 以空间力对点旳矩必须用力矩矢MO(F)表达。
B
12
理论力学电子教案 C 机械工业出版社
力矩矢旳模等于力旳大小与矩心到力作用线垂直 距离旳乘积，即
mO (F ) F d 2OAB面积
假如r 矩心O到力F作用点A旳矢径，则矢积旳模等 于三角形OAB面积旳两倍，其方向与MO(F)旳方向相同， 故力矩矢也能够表达为
力对//它旳轴旳矩为零。 即力F与轴共面时，力 对轴之矩为零。
z
Fz
O
xy
dA
F
B
Fxy
14
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力矩关系定理
[证]任取一点O，并过O点作
z MO(F)
O
xy
B
F
A
B
A Fxy
一轴z，力F对点O之矩MO(F) 垂直于 所在平面，其模为
M O (F ) 2ΔOAB
力F对z轴之矩为
即合力在某一坐标轴上旳投影，等于力系中全部各
力在同一轴上投影旳代数和，这就是空间汇交力系旳合
力投影定理。
合力FR旳大小和方向余弦分别为
FR FR2x FR2y FR2z ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
cos FRx Fx ,
FR
FR
cos FRy Fy ,
FR
假设方向相反，即两杆均受压力。
11
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§ 4．2 力对点旳矩与力对轴旳矩
4.2.1 力对点旳矩 空间力系中，力对于某一点旳作用效应不但与力
矩旳大小和转向有关，还与力矩平面旳方位有关。 所 以空间力对点旳矩必须用力矩矢MO(F)表达。
B
静力学(空间力系)
1,力通过轴线 ,
F Fz
2,力与轴线平行 ,
Fx Fy
力对轴之矩的两个要素 1,大小 , 2,转向(两种可能) ,转向(两种可能) 力对轴之矩为代数量
力对轴之矩代数量的正负号
按照右手螺旋法则决定之 右手螺旋法则决定之) (按照右手螺旋法则决定之)
§5.3 空间任意力系的简化
y F1 O F2 F3 = z F3/ M1 M2 F1/ O M3 F2/ x = z O y Mo FR/ x
空间任意力系的平衡条件为: 空间任意力系的平衡条件为: 主矢和主矩都等于零, 主矢和主矩都等于零,即 F
上述公式的投影方程为: 上述公式的投影方程为:
R
= 0 MO = 0 ,
x y
∑F ∑F ∑F
x y
=0 =0 =0
z
∑M (F) = 0 ∑M (F) = 0 ∑M (F) = 0
z
空间任意力系有六个独立的平衡方程, 空间任意力系有六个独立的平衡方程, 可以解得六个未知量. 可以解得六个未知量.
福州大学机械工程及自动化学院
Fa
r
z
D
Fr
E
1m
Ft
B
G
3m
MZ
A
y
x
工程力学教学课件—— 工程力学教学课件—— 静力学
因此,共有 个未知力 它们分别为: 个未知力. 因此,共有8个未知力.它们分别为:
Fa
E
r
z
D
FAx
FBx Ft
FAy FAz FBy
Fr
Ft
B
Fr
Fa
FBx
FBy
G
需要8个相互独立的方程才可以求解 需要 个相互独立的方程才可以求解 平衡方程只有6个 平衡方程只有 个 但由于大锥齿轮D上承受的啮合反力 但由于大锥齿轮 上承受的啮合反力 3个分力存在比例关系,相当于补充 个分力存在比例关系, 个分力存在比例关系 了两个方程
F Fz
2,力与轴线平行 ,
Fx Fy
力对轴之矩的两个要素 1,大小 , 2,转向(两种可能) ,转向(两种可能) 力对轴之矩为代数量
力对轴之矩代数量的正负号
按照右手螺旋法则决定之 右手螺旋法则决定之) (按照右手螺旋法则决定之)
§5.3 空间任意力系的简化
y F1 O F2 F3 = z F3/ M1 M2 F1/ O M3 F2/ x = z O y Mo FR/ x
空间任意力系的平衡条件为: 空间任意力系的平衡条件为: 主矢和主矩都等于零, 主矢和主矩都等于零,即 F
上述公式的投影方程为: 上述公式的投影方程为:
R
= 0 MO = 0 ,
x y
∑F ∑F ∑F
x y
=0 =0 =0
z
∑M (F) = 0 ∑M (F) = 0 ∑M (F) = 0
z
空间任意力系有六个独立的平衡方程, 空间任意力系有六个独立的平衡方程, 可以解得六个未知量. 可以解得六个未知量.
福州大学机械工程及自动化学院
Fa
r
z
D
Fr
E
1m
Ft
B
G
3m
MZ
A
y
x
工程力学教学课件—— 工程力学教学课件—— 静力学
因此,共有 个未知力 它们分别为: 个未知力. 因此,共有8个未知力.它们分别为:
Fa
E
r
z
D
FAx
FBx Ft
FAy FAz FBy
Fr
Ft
B
Fr
Fa
FBx
FBy
G
需要8个相互独立的方程才可以求解 需要 个相互独立的方程才可以求解 平衡方程只有6个 平衡方程只有 个 但由于大锥齿轮D上承受的啮合反力 但由于大锥齿轮 上承受的啮合反力 3个分力存在比例关系,相当于补充 个分力存在比例关系, 个分力存在比例关系 了两个方程
第5章空间力系
第5章 空间力系
§5–1 力在空间坐标轴上的投影 §5–2 力对空间坐标轴之矩 §5–3 力对点之矩 §5–4 空间一般力系的平衡条件 §5–5 重心
5- 1
M L
§5-1
力在空间坐标轴上的投影
一、一次投影法
FX X F cos , FY Y F cos , FZ Z F cos
还有四矩式，五矩式和六矩式，
同时各有一定限制条件。
25
空间汇交力系的平衡方程为：
X 0 Y 0 Z 0
因为各力线都汇交于一点，各轴都通过 该点，故各力矩方程都成为了恒等式。
空间平行力系的平衡方程，设各力线都 // z 轴。 因为 m z ( F ) 0 Z 0 X 0 m x ( F ) 0 Y 0 m y ( F ) 0 均成为了恒等式。
9
六、空间汇交力系的平衡：
空间汇交力系平衡的充要条件是：力系的合力为零，即：
R Fi 0
∴几何法平衡充要条件为该力系的力多边形封闭。
∴解析法平衡充要条件为：
X 0 Y 0 Z 0
称为平衡方程 空间汇交力系的平衡方程
10
§5-4
一、力偶矩用矢量表示：
空间力偶系
由于空间力偶除大小、转向外，还必须确定力偶的作用面，
所以空间力偶矩必须用矢量表示。 力偶的转向为右手螺旋定则。 从力偶矢末端看去，逆时针转动
为正。
空间力偶是一个自由矢量。
11
二、空间力偶的等效定理
作用在同一刚体的两平行平面的两个力偶，若它们的转向相 同，力偶矩的大小相等，则两个力偶等效。 [证] ①作II//Ⅰ，cd // ab
②作一对平衡力R, R' (在E点,且
§5–1 力在空间坐标轴上的投影 §5–2 力对空间坐标轴之矩 §5–3 力对点之矩 §5–4 空间一般力系的平衡条件 §5–5 重心
5- 1
M L
§5-1
力在空间坐标轴上的投影
一、一次投影法
FX X F cos , FY Y F cos , FZ Z F cos
还有四矩式，五矩式和六矩式，
同时各有一定限制条件。
25
空间汇交力系的平衡方程为：
X 0 Y 0 Z 0
因为各力线都汇交于一点，各轴都通过 该点，故各力矩方程都成为了恒等式。
空间平行力系的平衡方程，设各力线都 // z 轴。 因为 m z ( F ) 0 Z 0 X 0 m x ( F ) 0 Y 0 m y ( F ) 0 均成为了恒等式。
9
六、空间汇交力系的平衡：
空间汇交力系平衡的充要条件是：力系的合力为零，即：
R Fi 0
∴几何法平衡充要条件为该力系的力多边形封闭。
∴解析法平衡充要条件为：
X 0 Y 0 Z 0
称为平衡方程 空间汇交力系的平衡方程
10
§5-4
一、力偶矩用矢量表示：
空间力偶系
由于空间力偶除大小、转向外，还必须确定力偶的作用面，
所以空间力偶矩必须用矢量表示。 力偶的转向为右手螺旋定则。 从力偶矢末端看去，逆时针转动
为正。
空间力偶是一个自由矢量。
11
二、空间力偶的等效定理
作用在同一刚体的两平行平面的两个力偶，若它们的转向相 同，力偶矩的大小相等，则两个力偶等效。 [证] ①作II//Ⅰ，cd // ab
②作一对平衡力R, R' (在E点,且
空间力系
空间力系
一、力在直角坐标轴上的投影 A) 直接投影法 Fn = F ⋅ n
Fx = F ⋅ i = F cosα Fy = F ⋅ j = F cos β Fz = F ⋅ k = F cosγ F = Fxi + Fy j + Fzk
空间力系
二、空间汇交力系的合成与平衡条件
∑ FR = F1 + F2 + " + Fn = Fi
FR = F1 + F2 + " + Fn = ( F1xi + F1y j + F1zk ) + ( F2xi + F2 y j + F2zk ) + ( Fnxi# + Fny j + Fnzk )
∑ ∑ ∑ = Fix ⋅ i + Fiy ⋅ j + Fiz ⋅ k
空间力系
B) 二次投影法
Fx = F sin γ cosϕ Fy = F sin γ sinϕ Fz = F cosγ
F = Fxi + Fy j + Fzk F = Fx2 + Fy 2 + Fz 2
cos(F , i) = Fx "
F
空间力系
二、空间汇交力系的合成与平衡条件
∑ ∑ ∑ FR = Fix ⋅ i + Fiy ⋅ j + Fiz ⋅ k = 0
物体 平衡
∑ Fix = 0 ∑ Fiy = 0 ∑ Fiz = 0
空间力系 C）IF FR′ ≠ 0 ， MO ≠ 0 且有 MO ⊥ FR′
d = MO FR′
空间力系简化为一合力，该
合力的作用线并不通过所选
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27
1
工程中常常存在着很多各力的作用线在空间内任意分布的 力系，即空间力系，空间力系是最一般的力系。
(a)图为空间汇交力系；(b)图为空间任意力系； (b)图中去了风力为空间平行力系。
迎面 风力
侧面 风力
b
2
第五章 空间任意力系 §5–1 空间任意力系的简化 §5–2 空间任意力系的平衡方程
3
一、空间任意力系的简化
空间任意力系的平衡方程的其它形式： 四矩式 五矩式 六矩式
投影轴和取矩轴可以任意选择，但六个方程必须线性无关。
7
三、空间平行力系（平行于 z 轴的平行力系）：
因为： M z (Fi ) 0
F3
Fx 0
成为恒等式
Fy 0
z
Fn
F1 y O
x 故空间平行于 z 轴的平行力系的平衡方程为： F2
FBx 437(N)
Fx 0
Qx
FAx
FBx
FAy
Px
Py
y FAx FBx Px Q cos 200 0
CA
B
FAx 729(N)
x
20
解题步骤、技巧与注意问题：
1、解题步骤： 2、解题技巧：
①选研究对象 ②画受力图 ③选坐标、列方程 ④解方程、求出未知数
① 用取矩轴代替投影轴，解题常常方便。
Fx Fz Fx
10
3、止推轴承
Fz Fy
Fx
11
4、带有销子的夹板
Fz Fx
Fy
Fz
Fy
Fx
12
5、空间固定端
Fy
Fz
Fx
Fz Fy
Fx
13
[例1] 已知: RC=100mm, RD=50mm,Px=466N, Py=352N, Pz=1400N 求：平衡时(匀速转动)力Q=？和轴承A , B的约束反力？ (Q力作用在C轮的最低点）
解：
Fx 0, FDx 0
Mz
0,
M3
FAy
a
0, FAy
M3 a
M1
Fy
0,
FAy
FDy
0, FDy
FAy
M3 a
My
0,
M2
FAz
a
0, FAz
M2 a
Fz
0, FAz
FDz
0, FDz
FAz
M2 a
FAz FAy
M2
M3 FDz FDy FDx
Mx1 0, M1 bFDz c FDy 0
P
P3 3
FTB
ctg60 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
3
6
80 23.1 (N)
FTB
Fx 0, FTA FTB cos60 0
FTA FTB cos 60
3 80 1 11.5 (N)
6
2
Fy 0,
FNA FTB sin60 0,
FNA
3 80 6
3 20 (N)
2
26
5-3 5-6 5-8 5-10
解：①选研究对象 ②作受力图 ③选坐标列方程
FAz FAx
FBz FAy
FBx
最好使每 一个方程 有一个未 知数，方 便求解。
14
FAz FAx
FBz FAy
FBx
Fy 0
FAy Py 0 FAy Py 352(N)
My 0
Pz 50 100 Q cos 20o 0 Q 746(N)
15
Mz 0
FAz FAx
FBz FAy
FBx
300Px 50Py 200FBx 50Q cos200 0 FBx 437(N)
Fx 0
FAx FBx Px Q cos 200 0
FAx 729(N)
16
Mx 0
FAz FAx
FBz FAy
FBx
200FBz 300Pz 50Q sin200 0
MA 0
200FBz 300Pz 50Q sin200 0
FBz 2040(N)
Pz
y
Fz 0
FAz FBz Pz Q sin200 0
FAz 385(N)
19
俯视图：yx平面
MA 0
FAz FAx
FBz FAy
FBx
300Px 50Py 200FBx 50Q cos200 0
Mo
5
二、空间任意力系的平衡方程
FR
0
MO 0
FR Fx 2 Fy 2 Fz 2 MO M x 2 M y 2 Mz 2
Fx 0, M x (F ) 0 Fy 0, M y (F ) 0 空间任意力系的平衡方程
Fz 0, Mz (F ) 0
空间任意力系平衡的充要条件是：
Fz 0 M x (Fi ) 0 M y(F ) 0
8
四、空间约束 观察物体在空间的六种（沿三轴移动和绕三轴转动）可能
的运动中，有哪几种运动被约束所阻碍，有阻碍就有约束反力。 阻碍移动为反力，阻碍转动为反力偶。
1、球形铰链
Fz Fy
Fx
Fz
Fy Fx
9
2、向心轴承，蝶铰链，滚珠(柱)轴承 Fz
② 投影轴尽量选在与未知力，力矩轴选在与未知力
平行或相交。
③ 一般从整体 局部的研究方法。
④ 摩擦力F = FN fs ，方向与运动趋势方向相反。
21
3、注意问题： ① x , y, z (三个取矩轴和三个投影轴）可以不重合、可以 是任选的六个轴。 ② 空间力系独立方程六个，取矩方程不能少于三个。 ③ 力偶在投影轴中不出现（即在投影方程中不出现） ④ 空间力系中也包括摩擦问题。
解：思路：要巧选投影轴和取 矩轴，使一个方程解出一个未 知数。
Fz 0,FNB P 80N
25
MDD' 0,
1 FTB cos60 AC P 2 CE 0
又 AC ctg60 cos 60 CE
FTA
FTB
cos 60
AC
P
1 2
AC
ctg60
cos 60
FNA
FNB
Fx Fy
FRz
Fz
FR Fx 2 Fy 2 Fz 2
主矢的方向
cos(FR,i)
FRx FR
Fx FR
c os (FR ,
j)
FRy FR
Fy FR
cos(FR, k)
FRz FR
Fz
FR
（2）主矩的简化
Mox Moy
Mo(F) x Mo(F) y
22
[例2] 曲杆ABCD, ∠ABC=∠BCD=900, AB=a, BC=b, CD=c, M2,
M3 。
求：支座反力及M1=? 此题训练：
①力偶不出现在投影式中
M1 M2
②力偶在力矩方程中出现是把力
M3
偶当成矢量后，类似力在投影式
中投影。
③力争一个方程求一个支反力。 ④了解空间支座反力。
23
M1
bFDz
cFDy
b(
M2 a
)
c(
M3 a
)
b a
M2
c a
M3
24
FTA FNA
FNB
FTB
[例3] 已知：AB杆, AD,CB为 绳, A、C在同一垂线上，AB 重80N，A、B光滑接触， ∠ABC=∠BCE=600, 且AD水 平，AC铅直。求平衡时， FTA，FTB及支座A、B的反力。
➢ 空间任意力系向任一点简化可得到一个力和一个力偶。 ➢ 这个力通过简化中心，称为力系的主矢，它等于各个力的
矢量和，并与简化中心的选择无关。 ➢ 这个力偶的力偶矩矢称为力系对简化中心的主矩，并等于
力系中各力对简化中心之矩矢的矢量和，并与简化中心的 选择有关。
4
（1）主矢的简化
FRx FRy
各力在三个坐标轴上的投影的代数和及各力对此三个 轴力矩的代数和都必须分别等于零。
共六个独立方程，只能求解独立的六个未知数。 6
二、空间任意力系的平衡方程
Fx 0, M x (F ) 0 Fy 0, M y (F ) 0 空间任意力系的平衡方程 Fz 0, Mz (F ) 0
系平衡问题来求解。
右视图：xz平面
z
FAz FAx
FBz FAy
FBx
x Px
o
Pz
Qx
Qz
Mo 0 Pz 50 100 Qx 0
Q 746(N)
18
FAz FAx
FBz FAy
FBx
z
Qz
FAz
FAy
CA
FBz Py
B
主视图：yz平面
Fy 0
FAy Py 0 FAy Py 352(N)
FBz 2040(N)
Fz 0
FAz FBz Pz Q sin200 0
FAz 385(N)
17
[例1] 已知: RC=100mm, RD=50mm,Px=466N, Py=352N, Pz=1400N 求：平衡时力Q=？和轴承A , B的约束反力？
方法(二) : 将空间力系投影到三个坐标平面内，转化为平面力
M
x
(F
)
M y (F)
Moz
Mo(F) z
M
z
(
F
)
MO M x 2 M y 2 Mz 2
主矩的方向
cos(M o ,i)
M ox Mo
M
x
(F
)
Mo
cos(M o ,
j)
M oy Mo
M y(F)
1
工程中常常存在着很多各力的作用线在空间内任意分布的 力系，即空间力系，空间力系是最一般的力系。
(a)图为空间汇交力系；(b)图为空间任意力系； (b)图中去了风力为空间平行力系。
迎面 风力
侧面 风力
b
2
第五章 空间任意力系 §5–1 空间任意力系的简化 §5–2 空间任意力系的平衡方程
3
一、空间任意力系的简化
空间任意力系的平衡方程的其它形式： 四矩式 五矩式 六矩式
投影轴和取矩轴可以任意选择，但六个方程必须线性无关。
7
三、空间平行力系（平行于 z 轴的平行力系）：
因为： M z (Fi ) 0
F3
Fx 0
成为恒等式
Fy 0
z
Fn
F1 y O
x 故空间平行于 z 轴的平行力系的平衡方程为： F2
FBx 437(N)
Fx 0
Qx
FAx
FBx
FAy
Px
Py
y FAx FBx Px Q cos 200 0
CA
B
FAx 729(N)
x
20
解题步骤、技巧与注意问题：
1、解题步骤： 2、解题技巧：
①选研究对象 ②画受力图 ③选坐标、列方程 ④解方程、求出未知数
① 用取矩轴代替投影轴，解题常常方便。
Fx Fz Fx
10
3、止推轴承
Fz Fy
Fx
11
4、带有销子的夹板
Fz Fx
Fy
Fz
Fy
Fx
12
5、空间固定端
Fy
Fz
Fx
Fz Fy
Fx
13
[例1] 已知: RC=100mm, RD=50mm,Px=466N, Py=352N, Pz=1400N 求：平衡时(匀速转动)力Q=？和轴承A , B的约束反力？ (Q力作用在C轮的最低点）
解：
Fx 0, FDx 0
Mz
0,
M3
FAy
a
0, FAy
M3 a
M1
Fy
0,
FAy
FDy
0, FDy
FAy
M3 a
My
0,
M2
FAz
a
0, FAz
M2 a
Fz
0, FAz
FDz
0, FDz
FAz
M2 a
FAz FAy
M2
M3 FDz FDy FDx
Mx1 0, M1 bFDz c FDy 0
P
P3 3
FTB
ctg60 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
3
6
80 23.1 (N)
FTB
Fx 0, FTA FTB cos60 0
FTA FTB cos 60
3 80 1 11.5 (N)
6
2
Fy 0,
FNA FTB sin60 0,
FNA
3 80 6
3 20 (N)
2
26
5-3 5-6 5-8 5-10
解：①选研究对象 ②作受力图 ③选坐标列方程
FAz FAx
FBz FAy
FBx
最好使每 一个方程 有一个未 知数，方 便求解。
14
FAz FAx
FBz FAy
FBx
Fy 0
FAy Py 0 FAy Py 352(N)
My 0
Pz 50 100 Q cos 20o 0 Q 746(N)
15
Mz 0
FAz FAx
FBz FAy
FBx
300Px 50Py 200FBx 50Q cos200 0 FBx 437(N)
Fx 0
FAx FBx Px Q cos 200 0
FAx 729(N)
16
Mx 0
FAz FAx
FBz FAy
FBx
200FBz 300Pz 50Q sin200 0
MA 0
200FBz 300Pz 50Q sin200 0
FBz 2040(N)
Pz
y
Fz 0
FAz FBz Pz Q sin200 0
FAz 385(N)
19
俯视图：yx平面
MA 0
FAz FAx
FBz FAy
FBx
300Px 50Py 200FBx 50Q cos200 0
Mo
5
二、空间任意力系的平衡方程
FR
0
MO 0
FR Fx 2 Fy 2 Fz 2 MO M x 2 M y 2 Mz 2
Fx 0, M x (F ) 0 Fy 0, M y (F ) 0 空间任意力系的平衡方程
Fz 0, Mz (F ) 0
空间任意力系平衡的充要条件是：
Fz 0 M x (Fi ) 0 M y(F ) 0
8
四、空间约束 观察物体在空间的六种（沿三轴移动和绕三轴转动）可能
的运动中，有哪几种运动被约束所阻碍，有阻碍就有约束反力。 阻碍移动为反力，阻碍转动为反力偶。
1、球形铰链
Fz Fy
Fx
Fz
Fy Fx
9
2、向心轴承，蝶铰链，滚珠(柱)轴承 Fz
② 投影轴尽量选在与未知力，力矩轴选在与未知力
平行或相交。
③ 一般从整体 局部的研究方法。
④ 摩擦力F = FN fs ，方向与运动趋势方向相反。
21
3、注意问题： ① x , y, z (三个取矩轴和三个投影轴）可以不重合、可以 是任选的六个轴。 ② 空间力系独立方程六个，取矩方程不能少于三个。 ③ 力偶在投影轴中不出现（即在投影方程中不出现） ④ 空间力系中也包括摩擦问题。
解：思路：要巧选投影轴和取 矩轴，使一个方程解出一个未 知数。
Fz 0,FNB P 80N
25
MDD' 0,
1 FTB cos60 AC P 2 CE 0
又 AC ctg60 cos 60 CE
FTA
FTB
cos 60
AC
P
1 2
AC
ctg60
cos 60
FNA
FNB
Fx Fy
FRz
Fz
FR Fx 2 Fy 2 Fz 2
主矢的方向
cos(FR,i)
FRx FR
Fx FR
c os (FR ,
j)
FRy FR
Fy FR
cos(FR, k)
FRz FR
Fz
FR
（2）主矩的简化
Mox Moy
Mo(F) x Mo(F) y
22
[例2] 曲杆ABCD, ∠ABC=∠BCD=900, AB=a, BC=b, CD=c, M2,
M3 。
求：支座反力及M1=? 此题训练：
①力偶不出现在投影式中
M1 M2
②力偶在力矩方程中出现是把力
M3
偶当成矢量后，类似力在投影式
中投影。
③力争一个方程求一个支反力。 ④了解空间支座反力。
23
M1
bFDz
cFDy
b(
M2 a
)
c(
M3 a
)
b a
M2
c a
M3
24
FTA FNA
FNB
FTB
[例3] 已知：AB杆, AD,CB为 绳, A、C在同一垂线上，AB 重80N，A、B光滑接触， ∠ABC=∠BCE=600, 且AD水 平，AC铅直。求平衡时， FTA，FTB及支座A、B的反力。
➢ 空间任意力系向任一点简化可得到一个力和一个力偶。 ➢ 这个力通过简化中心，称为力系的主矢，它等于各个力的
矢量和，并与简化中心的选择无关。 ➢ 这个力偶的力偶矩矢称为力系对简化中心的主矩，并等于
力系中各力对简化中心之矩矢的矢量和，并与简化中心的 选择有关。
4
（1）主矢的简化
FRx FRy
各力在三个坐标轴上的投影的代数和及各力对此三个 轴力矩的代数和都必须分别等于零。
共六个独立方程，只能求解独立的六个未知数。 6
二、空间任意力系的平衡方程
Fx 0, M x (F ) 0 Fy 0, M y (F ) 0 空间任意力系的平衡方程 Fz 0, Mz (F ) 0
系平衡问题来求解。
右视图：xz平面
z
FAz FAx
FBz FAy
FBx
x Px
o
Pz
Qx
Qz
Mo 0 Pz 50 100 Qx 0
Q 746(N)
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FAz FAx
FBz FAy
FBx
z
Qz
FAz
FAy
CA
FBz Py
B
主视图：yz平面
Fy 0
FAy Py 0 FAy Py 352(N)
FBz 2040(N)
Fz 0
FAz FBz Pz Q sin200 0
FAz 385(N)
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[例1] 已知: RC=100mm, RD=50mm,Px=466N, Py=352N, Pz=1400N 求：平衡时力Q=？和轴承A , B的约束反力？
方法(二) : 将空间力系投影到三个坐标平面内，转化为平面力
M
x
(F
)
M y (F)
Moz
Mo(F) z
M
z
(
F
)
MO M x 2 M y 2 Mz 2
主矩的方向
cos(M o ,i)
M ox Mo
M
x
(F
)
Mo
cos(M o ,
j)
M oy Mo
M y(F)