电磁场论文

u(r )
1
4
V
F (r )dV
r r
A(r )
1 4
V
rFr(r)
dV
第二章：电磁场的基本定律
本章先介绍电磁场的源量（电荷和电流），再从基本实验定律引入电磁场的场量，并讨论
其散度和旋度，最后讨论媒质的电磁特性和麦克斯韦方程组。
2.1、电流及电流密度
电流：电荷的定向运动而形成，用 i 表示，其大小定义为：单位时间内通过某一横截面 S
式中的 ，得到 kc c 。
4.3、电磁能量守恒定律
进入体积 V 的能量=体积 V 内增加的能量+体积 V 的损耗的能量
坡印廷定理—表征电磁能量守恒关系。
s
(E
H )·dS
d dt
v
(1 2
H·B
1 2
E·D)dV
v
E·J dV
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若已知某点的 E 和 H，即可求出该点的能流密度矢量： S E H
电 磁 场 与 电 磁 波
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摘要：电磁波是电磁场的一种运动形态。电与磁可说是一体两面，电流会产生磁场，变动的 磁场则会产生电流。变化的电场和变化的磁场构成了一个不可分离的统一的场，这就是电磁 场，而变化的电磁场在空间的传播形成了电磁波，电磁的变动就如同微风轻拂水面产生水波 一般，因此被称为电磁波，也常称为电波。电磁场与电磁波在实际生产、生活、医学、军事 等领域有着广泛的应用，具有不可替代的作用。如果没有发现电磁波，现在的社会生活将是 无法想象的。
的电荷量，即 1）体电流
i lim (q t) dq dt t 0
电荷在某一体积内定向运动所形成的电流称为体电流。为了描述该截面上的电流分布，引
入电流密度矢量 J 表示。
J
en
lim
S 0
i S
en
di dS
2）、面电流 s 来描述其分布。
电荷在一个厚度可以忽略的薄层内定向运动所形成的电流，用电流密度矢量 J
理。
4.1、波动方程
波动方程揭示了时变电磁场的运动规律，即电磁场的波动性。下面是建立的无源空间中电
磁场的波动方程。
HE t E H
t
·H 0
·E 0
无源区域中电场强度矢量 E 满足波动方程为： 2E
2H t 2
0
无源区域中磁场强度矢量 H 满足波动方程为： 2H
2H t 2
0
4.2、时谐电磁场 1）时谐电磁场的复数表示
E(r)= 4
v
r r r r 3
(r)dV
同时可导出电荷分别按面电荷密度 s (r')和线电荷密度 l （r'）连续分布时，场强 r 处的
电场强度计算公式
E(r)
1 4
s
r r r r 3
s
(r
)dS
E(r) 1
4
l
r r r r 3
l
(r
)dl
2)静电场的散度与旋度
高斯定理的微分形式 ·E , 表明空间任意一点电场强度的散度与该处的电荷密
度有密度，静电荷是静电场的通量源。
高斯定理的积分形式 E·ds 1 dV ,表明电场强度矢量穿过闭合曲线 S 的通量等
s
v
于该闭合面所包围的总电荷与 之比。
由环路定理 E·dl 0 表明，在静电场 E 中，沿任意闭合路径 C 的积分恒等于 0。
c
2.3、真空中恒定磁场的基本规律
1)毕奥-萨伐尔定律：任意电流回路 C 产生的磁场感应强度
为周界的任意一曲面的磁通量变化率的负值。
麦克斯韦第三方程 B·dS 0 ，其含义是穿过任意闭合曲面的磁感应强度的通量恒等于
s
0。
麦克斯韦第四方程 D·dS dV ,其含义是穿过任意闭合曲面的电位移的通量等于
s
v
该闭合面所包围的自由电荷的代数和。
2)麦克斯韦方程组的微分形式
麦克斯韦方程组的微分形式（又称为点函数形式）描述的是空间任意一点场的变化规律。
用场矢量 E、H 表示的方程组
H E E t
E H t
·H 0
2.7、电磁场的边界条件 1）边界条件的一般形式 磁场强度 H 的边界条件
en (H1 H 2 ) 0或H1t H 2t 0
电场强度 E 的边界条件
et·(E1 E2 ) 0或E1t E2t 0
磁感应强度 B 的边界条件 en（·D1 D2） s或D1n D2n s
按前述顺序依次为
H J D ,表明 时变电场不仅由传导电流产生，也有位移电流产生。位移电流代表 t
电位移的变化率。
E - B ，表明时变电场产生时变磁场。 t
·B 0 ，磁通永远是连续的，磁场是无散度的。
·D ，空间任意一点若存在正电荷体密度，则该点发出电位移线；若存在负电荷体
密度，则电荷汇聚于该点。 3）媒质的本构关系
每一时刻在区域中每一点它都有一个确定值，则在此区域中就确定了该物理系统的一种 场。若物理状态与时间无关，则为静态场；反之，则为动态场或时变场。 2）标量场的等值面
等值面: 标量场取得同一数值的点在空间形成的曲面。 意义: 形象直观地描述了物理量在空间的分布状态。
等值面方程： u(x, y, z) C 。
环流面密度：过点 M 作一微小曲面ΔS，它的边界曲线记为 C，曲面的法线
1
方向 n 与曲线的绕向成右手螺旋法则。当ΔS→0 时，极限
rotn F
lim
S 0
S
F dl
C
称为矢量场在点 M 处沿方向 n 的环流面密度。
斯托克斯定理：从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环流等于矢量场的
旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即 F dl F dS
C q 可知，电容的大小与电荷量、电位差无关，因为该比值为常数。电容的大小只是导 U
体系统的物理尺寸及周围电解质的特性参数的函数。 第四章：时变电磁场
电磁场的波动方程描述了电磁场的波动性。本章首先对电磁场的波动方程进行讨论，然 后讨论了随时间按正弦函数变化的时变电磁场，最后表征电磁场能量守恒关系的坡印廷定
C
S
1.5、无旋场与无散场
标量场的梯度的旋度恒等于 0,即▽×（▽u）≡0。
矢量场的旋度的散度恒等于 0，即▽·（▽×A）=0。
1.6、亥姆霍兹定理
在有限区域 V 内，任一矢量场由它的散度、旋度和边界条件（即限定区域 V 的闭合面 S 上的矢量场的分布）惟一地确定，且表示为 F (r ) u(r ) A(r ) 其中
能流密度矢量的大小：通过垂直于能量传输方向单位面积的电磁功率。 能流密度矢量的方向：S、E、H 三者是相互垂直的，且成右旋关系。
第一章：矢量分析 矢量分析是研究电磁场在空间的分布和变化规律的基本数学工具之一。本章首先介绍标
量场和矢量场的概念，然后着重讨论标量场的梯度、矢量场的散度和旋度的概念及其运算规 律，在此基础上介绍亥姆霍兹定理。 1.1、矢量代数
1）定义 标量:一个只用大小描述的物理量。 矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量。 单位矢量：模为 1 的矢量。 点积：两个矢量 A 与 B 的点积 A·B 是一个标量，定义为矢量 A 和 B 的大小与他们之间较
3）标量场的梯度
概念：标量场 u 在点 M 处的梯度是一个矢量，它的方向沿场量 u 变化率最大的方向，
大小等于其最大变化率，并记作 gradu 或 u ，即 u
en
u |
l m ax
性质：标量场的梯度是矢量场，它在空间某点的方向表示该点场变化最大（增大）的
方向，其数值表示变化最大方向上场的空间变化率。
J dS dq d dV
S
dt dt V
微分形式： J t
恒定电流的连续性方程：
0 →
t
▽·J=0、 sJ ·ds=0
2.2、真空中静电场的基本规律
1）电场强度
若电荷按体密度ρ（r')分布在体积 V 内，则小体积▽Vi'所带电荷量Δqi=ρ(r')ΔVi',
场点 r 的电场强度为
1
对时谐电磁场采用复数方式表示其瞬时值为 u(r,t) um (r) cost (r)，利用复数取实
·
部表示方法得出式中实部 u（r） um (r)e j(r) ，称为负振幅，或称为 u(r, t) 的复数形式。
2）亥姆霍兹方程
对于时谐电磁场， k ，如果媒质有损耗，则将前式中的等效复介电常数 c 代替
dB(r ) 0 4
Idl (r r) r r 3
电流元 Idl ' 产生的磁场感应强度
B(r ) 0
4
C
Idl (r r r 3
r)
0 4
Idl R C R3
2)恒定磁场的散度与旋度
恒定场的散度（微分形式）:
·B(r) 0
磁通连续性原理（积分形式）: 恒定磁场的旋度（微分形式）:
2）两种特殊情况下的边界条件 理想导体表面上的边界条件
en H1 J S
en E1 0
en·B1 0
en·D1 S
第三章：静电场分析
·E
静电场是电磁场的一种特殊形式。当场源（电荷、电流）不随时间变化时，所激发的电
场、磁场也不随时间变化，称为静态电磁场。
3.1、静电场分析
1）静电场的基本方程
i di
JS
et
lim
l 0
l
et
dl
en et JS
l
hd 0
面 电 流 密0 度
3）线电流
电荷在一个横截面积可以忽略的细线中做定向流动所形成的电流。
4）电荷守恒定律
电荷守恒定律：电荷既不能被创造，也不能被消灭，只能从物体的一部分转移到另一部分
或者从一个物体转移到另一个物体。
电流连续性方程的积分形式：
c
s
路径的环量，等于与该闭合路径交链的传导电流。
各向同性磁介质的本构关系 B (1 m )H H H ,式中 ， 称为
磁介质的磁导率， 1 m 称为磁介质的相对磁导率，无量纲量。
2）媒体的传导特性
欧姆定律的微分形式 J E ,式中的比例系数 称媒质的电导率。
焦耳定律的积分形式 P pdV J·EdV .
v
v
2.5、电磁感应定律和位移电流
法拉第电磁感应定律
当通过导体回路所围面积的磁通量ψ发生变化时，回路中产生的感应电动势ξin 的大小
等于磁通量的时间变化率的负值，方向是要阻止回路中磁通量的改变，即 负号表示感应电流产生的磁场总是阻止磁通量的变化。
in
d dt
静止回路位于时变磁场中时，法拉第电磁感应定律的积分形式 E·dl B·dS 。
小的夹角 θ（0≤θ≤π）的余弦之积，即 A·B=A B cosθ。
叉积：两个矢量 A 与 B 的叉积是一个矢量，大小定义为矢量 A 与 B 的与它们之间较小的夹
角的正弦之积，方向为当右手四个手指从矢量 A 到 B 旋转时大拇指的方向。即 A×B=е n AB sinθ。
1.2、标量的梯度 1）场的定义
标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。
1.3、失场的通量与散度
S 闭合面的总通量：
ψ
dψ
SF
dS
S
F endS
散度定理（高斯定理）： F dS FdV
S
V
C F (x, y, z) dl
1.4、矢量场的环流与旋度
环流：矢量场对于闭合曲线 C 的环流定义为该矢量对闭合曲线 C 的线积分，即
c
s t
静止回路位于时变磁场中时，法拉第电磁感应定律的微分形式 E - B 。 t
2.6、麦克斯韦方程组
1）麦克斯韦方程组的积分形式
麦克斯韦第一方程 H·dl J·dS D·dS ,其含义是磁场强度沿任意闭合曲线的环
c
s
s t
量，等于穿过以该闭合曲线为周界的任意曲线之和。
麦克斯韦第二方程,其含义是电场强度沿任意闭合曲线的环量 ，等于穿过以该闭合曲线
微分形式
·D
E 0
基本方程表明静电场是有源（通量源）无旋场，静止电荷是产生静电场的通量源；电场
线(E 线)从正的静止电荷出发，终于负的静止电荷。
2)静电位的微分方程
静点位满足标量泊松方程
2（r）
(r)
。若空间内无自由电荷分布，即
0
则
（r）满足拉普拉斯方程 2（r） 0 。
3）导体系统的电容 电容是导体系统的一种基本属性，它是描述导体系统储存电荷能力的物理量。由公式
S B(r ) dS 0
B(r ) 0J (r)
安培环路定理（积分形式）:
B(r)dl
C
0
J (r ) dS
S
0I
2.4、媒质的电磁特性
1）电位移矢量和电介质中的高斯定律
电介质中高斯定律的微分形式 ·D(r) ，表明电解质内任一点的位移矢量的散度等于
该点的自由电荷体密度，即 D 的通量源是自由电荷，电位移线从正的自由电荷出发而终止于
负的自由电荷。
电介质中高斯定律的积分形式 D·dS q ，表明电位移矢量穿过任一闭合面的通量等于
s
该闭合面内的自由电荷的代数和。
安培环路定理的微分形式 H（r） J ,表明磁介质内某点的磁场强度 H 的旋度等于该
点的传导电流密度。
安培环路定理的积分形式 H (r)·dl J (r)·dS l ，表明磁场强度沿磁介质内任意闭合