第三讲--托勒密定理及其应用
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托勒密定理:圆内接四边形中,两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和).
即:
;内接于圆,则有:设四边形BD AC BC AD CD AB ABCD ⋅=⋅+⋅ ;内接于圆时,等式成立并且当且仅当四边形中,有:定理:在四边形ABCD BD
AC BC AD CD AB ABCD ⋅≥⋅+⋅
一、直接应用托勒密定理
例1 如图2,P 是正△ABC 外接圆的劣弧上任一点
(不与B 、C 重合), 求证:PA=PB +PC .
分析:此题证法甚多,一般是截长、补短,构造全等三角形,均为繁冗.
若借助托勒密定理论证,则有PA ·BC=PB ·AC +PC ·AB ,
∵AB=BC=AC . ∴PA=PB+PC .
二、完善图形 借助托勒密定理
例2 证明“勾股定理”:
在Rt △ABC 中,∠B=90°,求证:AC 2=AB 2+BC 2
证明:如图,作以Rt △ABC 的斜边AC 为一对角线的矩形ABCD ,显然ABCD 是圆内接四边形. 由托勒密定理,有
AC ·BD=AB ·CD +AD ·BC . ①
四点共圆时成立;、、、上时成立,即当且仅当在且等号当且仅当相似
和且又相似和则:,,使内取点证:在四边形D C B A BD E BD AC BC AD CD AB ED BE AC BC AD CD AB ED AC BC AD AD ED AC BC AED ABC EAD BAC AD AE AC AB BE AC CD AB CD BE AC AB ACD ABE ACD ABE CAD BAE E ABCD ⋅≥⋅+⋅∴+⋅=⋅+⋅∴⋅=⋅⇒=∴∆∆∴∠=∠=⋅=⋅⇒=∴∆∆∠=∠∠=∠)
( E D C B A
又∵ABCD是矩形,
∴AB=CD,AD=BC,AC=BD.②
把②代人①,得AC2=AB2+BC2.
例3如图,在△ABC中,∠A的平分线交外接∠圆于D,连结BD,求证:AD·BC=BD(AB+AC).
证明:连结CD,依托勒密定理,
有AD·BC=AB·CD+AC·BD.
∵∠1=∠2,∴ BD=CD.
故 AD·BC=AB·BD+AC·BD=BD(AB+AC).
三、构造图形借助托勒密定理
例4若a、b、x、y是实数,且a2+b2=1,x2+y2=1.
求证:ax+by≤1.
证明:如图作直径AB=1的圆,在AB两边任作Rt△ACB和Rt△ADB,
使AC=a,BC=b,BD=x,AD=y.
由勾股定理知a、b、x、y是满足题设条件的.
据托勒密定理,有AC·BD+BC·AD=AB·CD.
∵CD≤AB=1,∴ax+by≤1.
四、巧变原式妙构图形,借助托勒密定理
例5已知a、b、c是△ABC的三边,且a2=b(b+c),求证:∠A=2∠B.
分析:将a2=b(b+c)变形为a·a=b·b+bc,从而联想到托勒密定理,进而构造一个等腰梯形,使两腰为b,两对角线为a,一底边为c.
证明:如图,作△ABC的外接圆,以 A为圆心,BC为半径作弧交圆于D,连结BD、DC、DA.
∵AD=BC,
∴∠ABD=∠BAC.
又∵∠BDA=∠ACB(对同弧),∴∠1=∠2.
依托勒密定理,有BC·AD=AB·CD+BD·AC.①
而已知a2=b(b+c),即a·a=b·c+b2.②
∴∠BAC=2∠ABC.
五、巧变形妙引线借肋托勒密定理
例6在△ABC中,已知∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4,
分析:将结论变形为AC·BC+AB·BC=AB·AC,把三角形和圆联系起来,可联想到托勒密定理,进而构造圆内接四边形.
如图,作△ABC的外接圆,作弦BD=BC,边结AD、CD.
在圆内接四边形ADBC中,由托勒密定理,
有AC·BD+BC·AD=AB·CD
易证AB=AD,CD=AC,∴AC·BC+BC·AB=AB·AC,
1.已知△ABC中,∠B=2∠C。求证:AC2=AB2+AB·BC。
【分析】过A作BC的平行线交△ABC的外接圆于D,连结BD。
则CD=DA=AB,AC=BD。
由托勒密定理,AC ·BD=AD ·BC+CD ·AB 。
2. 已知正七边形A 1A 2A 3A 4A 5A 6A 7。
求证: 。(第21届全苏数学竞赛)
PM AB PL AC PK BC PN PL PK AB AC BC P BC ABC +=∆求证:,
和、作垂线与、分别向边上一点外接圆的弧由.3
PM AB PL AC PK BC PM CP PM AB PL BP PL AC PK AP PK BC PM CP PL BP PL BP PK AP PA PB PL PK LAP Rt KBP Rt LAP KBP PM CP PM AB PL BP PL AC PK AP PK BC CP AB BP AC AP BC ABPC PC PB PA +=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅∴⋅=⋅⋅=⋅⇒=∴∆∆∠=∠⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅⋅+⋅=⋅可得:由同理可得:相似和可知由即:利用托勒密定理有:,对于四边形、、证:连接