托勒密定理及其应用
托勒密定理及应用_沈文选
∠ ★数学竞赛初级讲座 ★托 勒 密 定 理 及 应 用湖南师大数学奥林匹克研究所 沈文选上依次排列的四点, 则1 基础知识托勒密定理 圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两对角线的乘积.证明:如图 1, 四边形 ABCD 内接 ⊙O , 在 BD 上 取点 P , 使 ∠PAB = ∠CAD , 则 ■ ABP ∽ ■ ACD , 于是AB ·CD +BC · A D =AC ·BD . ④ 四边形中的托勒密定理 设四边形 ABCD 为任意凸四边形, 则 AB ·CD +BC · AD ≥AC ·BD . ⑤当且仅当 A 、B 、C 、D 四点共圆时取等号. 证 明:如 图 2, 取 点 E 使 ∠BAE = ∠CAD , ∠ABE = ∠ACD , 则■ABE ∽ ■ACD , 即有 AB = BP*AB · C D = AC · AD = AC , 且 AC = CD , 即AC CD AE AB AB BE BP .又■ABC ∽■ APD , 有 BC · AD = AC · P D .上述两乘积式相加, 得AB ·CD +BC · A D =AC (BP +PD )=AC ·BD .① 注:此定理有多种证法, 例如也可这样证:作 AE ∥BD 交⊙O 于 E , 连结 EB 、ED , 则知四边形 BDAE 为等腰梯形, 有 EB = AD , ED = AB , ∠ABD =∠BDE =θ, 且∠EBC +∠EDC =180°, 令 ∠BAC =φ, AC 与 BD 交于点 G , 则S 四边形ABCD = 1 AC ·BD ·sin ∠ AGD = 1AC ·BD ·AB ·CD =AC ·BE . (＊)又 ∠DAE = ∠CAB , 有■ ADE ∽■ACB , 亦有 AD ·BC =AC ·ED . (＊＊)由(＊)式与(＊＊)式, 注意到 BE +ED ≥BD , 有 AB ·CD +BC · A D =AC ·(BE +ED )≥ AC · B D . 其中等号当且仅当 E 在BD 上, 即∠ABD =∠ACD 时成立.此时 A 、B 、C 、D 四点共圆.由此, 即有托勒密定理的逆定理 在凸四边形 ABCD 中, 若 AB ·CD +BC · A D =AC ·BD , 则 A , B , C , D 四点 共圆.2 综合应用2 sin (θ+φ)= 1 AC · B D ·sin ∠EDC , 2 S 四边形EBCD = S ■EBC + S ■ECD = 21EB · BC 22 .1 恰当地选择或作出四边形, 是应用托勒密定理的关键例 1 在■ABC 中, 角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、 ·sin ∠EBC + 1 ED · D C ·sin ∠EDC = 1 (EB · B C +b 、c .若角 A 、B 、C 的大小成等比数列, 且 b 2 -a 2 = 2 2ac , 则角 B 的弧度数等于多少? (1985 年全国高中联 ED · DC )· sin ∠EDC = 1(AD · BC + AB · DC )2·sin ∠EDC .易知 S 四边形AB CD =S E BC D , 从而有 AB · DC +BC · AD = AC · B D .推论 1 (三弦定理)如果 A 是圆上任意一点, AB , AC , AD 是该圆上顺次的三条弦, 则AC · sin ∠BAD = AB · sin ∠CAD + AD · sin ∠CAB . ② 事实上, 由①式, 应用正弦定理将 BD , DC , BC 换掉即得②式.推论 2 (四角定理)四边形 ABCD 内接于 ⊙O , 则 sin ∠ADC ·sin ∠BAD =sin ∠ABD · sin ∠BDC + sin ∠ADB ·sin ∠DBC . ③ 事实上, 由①式, 应用正弦定理将六条线段都换掉即得③式.直线上的托勒密定理 若 A 、B 、C 、D 为一直线赛题)解:如图 3 , 过点 C 作 CD ∥ AB 交■ ABC 的外接圆于D , 连结AD , 则 四边形 ABCD 为 等腰梯形.由托勒密定理, 有 b 2 =a 2 + c ·CD .由已知有 b 2 = a 2 + c · a , 则CD =a , 从而 AD =DC = CB , 即 ADC =2 BC , 亦即 ∠B =2 ∠BAC .又因为在■ ABC 中, ∠A 、∠B 、∠C 的大小成等比数列, 则公比 q = ∠B=2 .从而, ∠A +∠B + ∠CA=∠A +2 ∠A +4 ∠ A =7 ∠ A =π, 故∠ A = π, ∠B7=2π为所求. 7例 2 凸四边形 ABCD 中, ∠ABC =60°, ∠BAD3 331°= =∠BCD =90°, AB =2, CD =1, 对角线 AC 、BD 交于 点O , 如图 4, 求 sin ∠AOB .(1996 年北京中学生数学竞赛题)解:因∠BAD =∠BCD =90°, 则 A 、 B 、 C 、D 四 点共 圆, 延 长 BA , CD 交 于 P , 则 ∠ ADP = ∠ABC =60°.设 AD =x , 有 AP = 3 x , DP =2 x .由割线定理, 有(2 + x )· 3 x =2 x (1 +2 x ).求得 AD = x =AB · AF ·sin (α+β)+1AC · A F ·sin α 2= AF(AB · C D + AC · B D ), 4R其中 R 为外接圆半径 .又 S 四边形AMDN = 1 AM · AD ·sin α+ 1AD · AN ·2 2sin (α+β)= 2AD [ AF · c o s (α+ β)· s in α+ AF ·c o s α· sin (α+β)]= 1 AD · A F ·sin (2α+β)= AF AD ·BC . 2 -2, BC =BP=4 - 3 . 2 4R2对四边形 ABCD 应用托勒密定理, 有由托勒密定理, 有 AB ·CD +AC ·BD =AD ·BC . 故 S 四边形AMDN =S ■ABC . BD ·AC =(4- 3)(2 -2)+2·1 =10 3-12.例 5 如图 7 , 在■ABC 中, ∠A =60°, AB >AC , 又 S 四边形ABCD =S ■ABD +S ■BC D =(2 3 -2)+ 12·(4- 3)=3 3.2点 O 是外心, 两条高 BE , CF 交于 H 点, 点 M , N 分别在线段BH , HF 上, 且满足 BM =CN .求M H +NHOH的值.(2002 年全国高中联赛题)从而, 1 (10 2 sin ∠AOB =15+6 26-12)· sin ∠AOB = 3 3 .故 2.解法 1 :参见文[ 1] 中的解法 2 .解法 2:同解法 1 , 知 B , C , H , O 四点共 圆, 有 ∠OBH = 例 3 如图 5, 已知在 ■ABC 中, AB > AC , ∠A 的一个外角的角平分线交 ■ABC 的外接圆于点E , 过 E 作 EF ⊥AB , 垂足为 F .求证:2 AF = AB - AC .(1989 年全 国高中联赛题)证明:在 FB 上取点D , 使 FD =FA , 连结 ED 并延长交圆于 G ,连结 AG 、EC , 则 ∠ACE = ∠AGD , ∠ ADG =180°- ∠OCH , 而 BO = OC , BM = CN , 则■OB M ≌■OCN , 从而 OM = ON , ∠BMO = ∠CNO , 由此知 O , M , H , N 四点共圆,且等腰■OMN 的顶角∠MON =∠N HE =120°, 即知 MN =sin 120° 3 .OM sin 30 对四边形 OMHN , 应用托勒密定理, 有 MH · O N+NH · O M = OH · MN , 故 MH +N H = MN = 3 为∠ADE = 180°- ∠EAH = ∠EAC , 从 而 ■ADG ∽ ■ E A C , 且BC = A G .于是, 注意 BC = A G , 有 AD =所求. OH OMAE ·BC , 故 2 AF = A E · B C . 2 .2 注意托勒密定理逆定理的应用和拓广的托勒密定理或托勒密定理推论的应用 EC EC连结 EB , 对四边形 AEBC 应用托勒密定理, 有AB ·EC =AE ·BC +BE · A C ,即 AE ·BC =AB · E C -BE · A C .于是 2 AF = AB ·EC -BE · A C=AB -AC .EC其中 EC =BE 可由 ∠EAB =∠EAH =∠EBC 推得. 例4 如图 6, 在锐角 ■ABC 的 BC 边上有两点 E 、F , 满足∠BAE = ∠CAF , 作 FM ⊥AB , 重足为 M , FN ⊥AC , 垂足为 N , 延长 AE 交 ■ABC 的外接圆于点 D .证 明:四 边 形 AMDN 与 ■ ABC 的面积相等.(2000 年全国高中联赛题)证明:设 ∠BAE = ∠CAF =α, ∠E AF =β , 有 S ■AB C = 1·2例 6 若有四个圆都与第五个圆内切, 第一个与 第二个圆的外公切线的长用 l 12表示, 其他前四个圆中的两两的外公切线也用同样的方法来标记, 且前四个圆以顺时针的顺序排列, 试证明依次以 l 12 、l 23 、l 34 、l 41为边长, 以 l 13 , l 24 为对角线所构成的凸四边形的四个顶点共圆.(《中等数学》数学奥林区克问题高 79)证明:如图 8, 设前四个圆 分 别 为 ⊙O 1 、 ⊙O 2 、 ⊙O 3 、 ⊙O 4 , 第五个圆为⊙O .前四个圆与⊙O 分别内切于 A 、B 、C 、D , 则易知 A 、O 1 、O 三点共线.类似地, 有 B 、O 2 、O ;C 、O 3 、O ;D 、O 4 、O 三点共线.设五 个圆 的 半径 分 别 为 r 1 、r 2 、r 3 、r 4 、R ;∠AOB =α、∠BOC =β 、∠COD =γ、3 312 2 = = ∠DOA =δ;OO 1 =a 、OO 2 =b 、OO 3 =c 、OO 4 =d , 则 a =R -r 1 , b =R -r 2 , c =R -r 3 , d =R -r 4 . BC · C A .试确定 D 点的几何位置, 并证明你的结论. (1998 年 CM O 试题)从而 l 2=O 1 O 2-(r 1 -r 2)2=a 2+b 2-2 ab cos α此题我们改证比其更强的命题如下:-(a -b )2=4ab sin 2 α.2故 l 12 =2 ab sin α.2同理, 可求得 l 23 , l 34 , l 41 , l 13 , l 24 . 要证明以 l 12 、l 23 、l 34 、l 41 为边长, 以 l 13 , l 24 为对角线所构成的凸四边形的四个顶点共圆, 只要证明 l 12 · l 34 +l 23· l 41 =l 13· l 24 , 化简后只要证明 sin α sin r设 D 为锐角■ ABC 内部一点, 求证: DA · D B · AB +DB · DC · BC +DC · D A · C A ≥ AB ·BC ·CA ,等号当且仅当 D 为■ABC 的垂心时才成立.证明:如 图 10 , 作 ED ∥BC , FA ∥ED , 则四边形 BCDE 和四边形 ADEF 均是平行四边 +sin β ·sin δsinα+β sin β +γ2 · 2 形.连结 BF 和 AE .显然四边形BCAF 也 是平行四边 形.于 是 2 2 = 2 · 2, (＊)即 sin ∠ADB · s in ∠DBC + sin ∠BDC · sin ∠ ABD = sin ∠ADC ·sin ∠BAD .这由托勒密定理的推论 2 即证.注:对于(＊)式也可由正弦定理 AB =2 R sin α2式转换成 AB ·CD +BC ·DA = AC · BD 即证.此例是一个富有应用价值的问题.托勒密定理是这个问题中四个圆均变为点(过该点的线成了“ 点圆”的切线)的情形.例 7 经过 ∠X OY 的平分线上 的一点 A , 任 作一直 线与OX 及 OY 分别相交于P , Q .求AF = E D = B C , EF = AD , EB = CD , BF = AC .对 四 边 形ABEF 和四边形 AEBD , 应用四边形中的托勒密定理(或托勒密不等式)有 AB ·EF +AF · BE ≥ AE ·BF , BD · AE +AD ·BE ≥ AB ·ED , 即 AB · AD +BC · C D ≥AE · A C , BD ·AE + AD ·CD ≥AB ·BC . (＊)对上述(＊)式中前一式两边同乘 DB 后, 两边同加上 DC ·DA · AC , 然后注意到上述(＊)式中的后一式, 有DB ·DA · AB +DB ·DC ·BC +DC ·DA · AC ≥DB · A E · A C +DC ·DA · AC , 证:1 OP + 1等于定值.OQ 即 DB (AB · A D +BC · C D )+DC ·DA ·C A≥ AC (DB · A E +DC · A D )≥AC · A B ·BC . 解:如图 9 , 过 O , P , Q 三点 作 圆, 交 射 线 OA 于 B .设 ∠POA = ∠QOA =α, 对四边形 OPBQ 中的三条弦 OP , OB , OQ应用托勒密定理的推论 1 , 有BO ·sin2 α=OP ·sin α+OQ ·sin α.即 OP + OQ = BO ·sin2α= 2BO ·sin α·c o s α =故 DA ·DB · A B +DB · DC ·BC +DC ·DA · CA ≥ AB ·BC ·CA .其中等号成立的充分必要条件是(＊)式中两个不等式中的等号同时成立, 即等号当且仅当四边形 ABEF 及四边形 AEBD 都是圆内接四边形时成立 , 亦即五边形AFEBD 恰是圆内接五边形时等号成立.由于四边形 AFED 为平行四边形 , 所以条件等价于四边形 AFED sin α sin α为矩形(即 AD ⊥BC ), 且 ∠ABE =∠ ADE =90°, 亦等 2 BO ·c o s α. (＊)连结 BQ , 由■OPA ∽■OBQ , 有OP ·OQ =OA ·OB . 由(＊)式除以上式, 得 1 + 1 =2c o s α 定值).价于 AD ⊥BC 且CD ⊥AB , 所以所证不等式等号成立的充分必要条件是 D 为■ABC 的垂心 .3 强化训练OP OQ OA (注:类似于此例, 应用托勒密定理的推论 1 也可求解如下问题:过平行四边形 ABCD 的顶点 A 作一圆分别与AB , AC , AD 相交于E , F , G .则有 AE · A B + AG · A D =AF · AC .事实上, 若设∠BAC =α, ∠CAD =β , 则有 AE · sin β+ AG ·sin α= AF ·sin (α+ β).对此式两边同乘 AB · AC · AD , 利用三角形的面积公式有 AE · AB · S ■A DC +AG · AD ·S ■ABC =AF · AC ·S ■A B D .而在º ABCD 中, 有 S ■ADC = S ■ABC =S ■ABD , 由 (1)■ABC 为⊙O 内接三角形, AB > AC >BC .点 D 在BC 上, 从 O 点分别作 AB 、AC 的垂线交 AD 于E 、F , 射线 BE 、CF 交于P 点.则 PB =PC +PO 的充要条件是∠BAC =30°. (2) 证明:设 ■ABC 中, ∠ A 、∠B 与 ∠C 的三条 角平分线分别交 ■ABC 的外接圆于 A 1 , B 1 , C 1 , 则 A A 1 +BB 1 +CC 1 >AB +BC +CA .(1982 年澳大利亚 竞赛题)(3) 设六边形 ABCDEF 是凸六边形, 且 AB =BC , 此即证.例 8 设 D 为锐角 ■ABC 内部一点, 且满足条 CD =DE , EF =FA .证明:BC + DE +FA ≥ 3 , 并指BE DA FC 2件:DA ·DB · AB +DB ·DC · B C +DC ·DA ·CA = AB ·出等式在什么条件下成立.(I M O 38 预选题)等,= > (= ( > ( > ()= ( + + +z 3 a b c 3 BC ≥ b c a (4)在 ■ABC 中, ∠A =90°, ∠B < ∠C .过 A 点 = AM .令 ∠ABC =∠EBC =θ, 有BX = BX =c o s2θ, 作■ ABC 的外接圆⊙O 的切线, 交直线 BC 于点D , 设点 A 关于直线BC 的对称点为点E , 作 AX ⊥BE , 垂足为 X , Y 为AX 的中点, BY 与⊙O 交于Z .证明:BD ME 即 AM =c o s2θ. MEEB AB 为■ADZ 的外接圆的切线.(I M O 39 预选题)(5)⊙O 为正■ABC 的外接圆, AD 为 ⊙O 的直 径, 在BC 上任取一点 P (P ≠B , P ≠C ), 设 E 、F 分别为■PAB 、■PAC 的内心, 证明 PD =l PE -PF l.(6)设 G 为■ ABC 的重心, 在■ABC 所在平面上 确定点 P 的位置, 使得 AP · AG +BP · B G +CP · CG 对四边形 ABEZ 应用托勒密定理有 AZ ·BE + AB ·EZ =AE ·BZ .(＊)注意 AE =2 AB sin θ=2BE sin θ及∠AZ M = ∠EZ M , 有 AZ = AM=c o s2θ, ＊式变为EZ MEAZ =2sin θ·c o s2θ BZ 1+c o s2θ由 ∠ABC =θ, 有 ∠CAD =θ, ∠ ADC =90°-2θ,有最 小 值, 并 用 ■ ABC 的 边 长 表 示 这 个最 小 值 (I M O 42 预选题)有 AC AD = cos2θ sin θ 注 意 AC = BC sin θ, 有 AC = BD 2sin θ·c o s2θ AC AZ AC BD训练题解答(1) 先证必要性.连结 OB , OC , 知■EAB , ■FAC 均为等 腰三角形, 且 ∠BPC = ∠AEP + ∠CFD = 2 (∠BAD +∠CAD )=2 ∠B AC = ∠BOC , 知 B , C , P ,O 共圆.由托勒密定理, 有 PB · OC =PC · OB+PO · BC .由 PB =PC +PO 得 OC =BC , 即■OBC为正三角形, 推得∠BAC 1 ∠BOC =30°.2 再证充分性.由∠B AC =30°, 知 ■OBC 为正三角形, 且由∠BPC =∠BOC 知 B , C , P , O 共圆.由托氏定理有 PB · OC =PC · OB +PO · BC , 及 OC =OB = BC , 即得 PB =PC +PO .(2) 对四边形 ACA 1 B 应用托勒密定理, 有 AA 1·BC =AB · A 1 C + AC · A 1 B .令 A 1 B = A 1 C = x , 注意ABx + A 1 C1+c o s2θ .即BD =BZ , 亦即 AZ =BZ , 再由 ∠ZBD=∠CAZ 知 ■ZBD ∽■ZAC , 有 ∠ZCA =∠ZDB .又 ∠ZCA = ∠ABZ = ∠ZAD , 所以 ∠ZAD = ∠ZDC .即 证.(5) 设 P 在BD 内部, 取 AB , AC 中点 M , N , 可证 P 、E 、 M ;P 、F 、N 分别共线.由 ME = AM = AN = NF . 可 证 ■DME ≌■DNF 及 ∠EPF =60°= ∠EDF , 知 P 、D 、F 、E 共圆, 在此圆中应用托勒密定理, 有 PD·EF +PE ·DF =PF · DE .再由■DEF 为正三角形即 证得PD +PE=PF , 若 P 在DC 上有PD +PF =PE .即 证. (6) 设 a , b , c 分别为 ■ ABC 顶点 A , B , C 所对边长.2 x = A 1 B + A 1 C > BC , 有 2 AA 1 =2 BC =下证所求最小值当 P 为重心 G 时取到, 且最小值(AB +AC )·2 x >AB +AC , 即 AA 1 1AB +AC ). 为 AG 2 +BG 2 +CG 2 1 a 2+b 2 +c 2).BC 2 3同理 BB 1 1 BA +BC ), CC 1 1CA +CB ).此三 2 2式相加即证.(3) 令 AC =a , CE =b , AE =c .对四边形 ACEF 应用托勒密不等式, 有 AC ·EF +CE · AF ≥ AE · C F ,设 Γ是过 B 、G 、C 的圆, 中线 AL 交 Γ于 G (在■ ABC 内)和 K , 令 ∠BGK =θ, ∠AGN =φ, ∠BGN=δ(N 为AB 中点).由 L 为BC 中点, 知 B 、C 到 GL的距离相等.即 BG ·sin θ=CG sin φ, 故 BG = C G.同注意 EF = AF , 有FA ≥ c .同理, DE ≥ b , BC≥理 AG = BG . sin φ sin θFC a +b DA c +a BEsin δ sin φ a . b +c1 x +z -y设 R 为圆 Γ的半径, 则 BK =2R ·sin θ, CK =2R·sin φ, BC =2R ·sin δ, 即AG =BG = CG.(＊)又设 P令 x =a +b , y =c +a , z =b +c , 有 2 ( yBC CK BK+x +y -z +y +z -x 1 x y x + z y z x 2 y x z x z , 即知 + +≥ (＊).故BE +DE +FA 3 .其中等号成立, 即要(＊)式中等号 是■ ABC 所在平面上任意一点, 由托勒密不等式, 有 PK · BC ≤BP ·CK +CP ·BK , 等号当且仅当 P 在圆 Γ 上成立.由(＊)式, 有 PK · AG ≤BP · BG +CP · C G , 两边同加 AP · AG 得(AP +PK )· AG ≤ AP · A G +BP ·BG DA FC 2成立, 亦即每次应用托氏不等式中等号也成立.从而四边形 ACEF 、四边形 ABCE 、四边形 ACDE 都是圆内接四边形.即六边形 ABCDEF 为圆内接六边形且 a =b =c 成立.即为正六边形时成立.(4) 连结 AE 交BZ 于 M , 连结 ZE 、ZC , 对 ■AXE及截线BY M 应用梅氏定理有EB · XY · AM =1, 即BXBX Y A ME EB.+GP·CG .而AK ≤AP +PK ,则AK ·A G ≤AP·AG +BP·BG +CP·CG.等号当且仅当P 在线段AK 上,且点P 在圆Γ上成立, 即等号当且仅当P 与G 重合时成立.参考文献1 广隶,陆珂.2002 年全国高中数学联赛加试几何题的几种解法.中学数学教学参考, 2002 , 12。
第三章托勒密定理及应用答
第三章 托勒密定理及应用习题A1．由CDE BAE △∽△和CBE DAE △∽△，有4BE AB CE =，4DEAD CE=，对四边形ABCD 应用托勒密定理，有()()416BE DEBD AE CE AB AD CE+⋅+=+=⋅．令CE x =，得方程26160x x +-=，求得2x =(舍去了负值)．于是12BE DE CE AE ⋅=⋅=．又8BD BC DC <+=，求得3BE =，4DE =或4BE =，3DE =，总之7BD =为所求．2．连EF ，DF ，由FBC FBD FED FAC ∠=∠=∠=∠，ABF EBF EDF ACF ∠=∠=∠=∠，知EDF EDF △∽△，即EF DE DFAF AC CF==．设其比值为k （k 为参数），则EF kAF =，DE kAC DF kCF =⋅=，对四边形BEFD 应用托勒密定理．有()BE EF DF BF DE +=⋅，即()BE k AF k CF BF k AC ⋅+⋅=⋅⋅注意到BE AC =，消去k ，得BF AF CF =+．3．连AC ，在四边形APCD 中应用托勒密定理，有PA PC AC PB AB += 4．连11l l 11,,B D DC B C ，设CAD α∠=，BAD β∠=，O ⊙的半径为R ．由AD 为BC 上中线，可令12ABC ACD ABC S S S k ===△△△．由正弦定理有112sin B D R β=⋅，112sin()C D R αβ=⋅+．对四边形111AB D C 应用托勒密定理，有1112sin 2sin 2sin()AB R αAC R βAD R αβ⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+，消去2R ，两边同乘以 12AB AC AD ⋅⋅得111122ACD ABD ABC AB AB S AC AC S AD AD S ⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅△△△，亦即 1112AB AB AC AC AD AD ⋅+⋅=⋅，由此即证．5．连1535,A A A A ，则1514A A A A =，3513A A A A =．对四边形1345A A A A 应用托勒密定理，有 3413151435()A A A A A A A A A A ⋅+=⋅，即1213141413()A A A A A A A A A A +=⋅，由此整理即证．6．对四边形AB A B ''应用托勒密定理，有11a b cc AB A B '''=+⋅，即11111a b c cc c AB A B c '''=+⋅⋅，同理，对四边形B CA C '''，AB BC ''，AA BC ''分别应用托勒密定理，有1AB A B c AB B C b AB A C a '''''''⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅，1AB B C b abc bb b '''⋅⋅=+，1AB A C a a b c aa a '''''''⋅⋅=+．由此四式即证得结论．7．设圆心O 到AB ，BC ，CA 的距离分别为1x ，2x ，3x ，连接BO 并延长与O ⊙交于D ，连AD ，DC ，则12AD x =，22CD x =，对四边形ABCD 应用托勒密定理有12222x a x c Rb +=．同理，23222x b x a Rc +=，13222x b x c Ra +=．加之1232()2()2()2()x a b x b c x c a R a b c +=+++=++，但123()cx ax bx r a b c ++=++，以上两式相加得123x x x R r ++=+．但11x R h =-，22x R h =-，33x R h =-，由此即证．8．作一直径(11)AB x x =≥的圆，在B 的两侧分别取C ，D 二点，使2BC =，11BD =，于是AC =，AD =，对四边形ABCD 应用托勒密定理，有211CD x ⋅=，将此式与原方程比较得CD =BCD △中，由余弦定理，有1cos 2CBD ∠==-，知120CBD ∠=︒，故14sin120CDx AB ===︒为所求．9．作直径1AC =的圆，并作弦AB b =，AD a =的圆内接四边形ABCD，则DC =BC =．应用托勒密定理，有AD BC AB CD AC BD ⋅+⋅=⋅，即1a b BD =⋅，由此得1BD =，即BD 也是圆的直径，故221a b +=．10．当0x =时，1y =，当0x ≠时，作代换222x t x +=，1122x x t x x =+=+≥sin cos t θy t θ+=+，即1sin cos yt θy θ-=-⋅，以1AB =为直径作圆，作弦sin AC θ=，作弦AD =，则BD =cos BC θ=．由托勒密定理及1CD AB ≤=，有sin cos θy θ+，亦有sin cos sin cos yt t θy θθy θ-=-≤+11t y y ⋅-≤-≤，故22y ≤≤+11．连AC ，CE ，AE ，对四边形APCE 应用托勒密定理，有AC PE AE PC CE PA ⋅=⋅+⋅，而AC AE CE ==，有PE PA PC =+．同理，PD PB PF =+，由此即证． 12．不失一般性，令P 点位于OBF △内部（其中O 为C AB △中心），作1PP AD ⊥于1P ，2PP BE ⊥于2P ，3PP CF ⋅于3P ．由P ，O ，1P ，2P 四点共圆，有23180PP O PPO ∠+=︒，知1P ，3P ，O ，2P 四点共圆，即P ，3P ，O ，l P ，2P 共圆，推知l 23PP P △是正三角形，在312PP PP 中，有123213312PP P P PP PP PP PP ⋅=⋅+⋅，即123PP PP PP =+，故PAD PCF S S +△△．13．作ABC △外接圆的直径CF ，并设AF x =，BF y =，则60BFC A ∠=∠=︒，直径2CF d y ==．对四边形BCAF 应用托勒密定理，有cd ax by =+．从而tan tan tan tan 2221tan tan tan tan 2a b A B BFC AFC ax by ax by by cd by by c by x a b A B BFC AFC ax by ax by cd c y cy x--∠-∠-+-=-======-=+∠+∠++⋅+．14．令AB AC a ==，对四边形ABPC 应用托勒密定理，有a PB a PC BC PA ⋅+⋅=⋅，即有PA aPB PC BC =+．对四边形BCAQ 应用托勒密定理，有QA BC a QB a QC ⋅+⋅=⋅，即QA aQC QB BC=-． 15．对四边形ABCD 应用托勒密定理，BC AD BD AC AB CD ⋅+⋅=⋅，即AD AC BC BD CD AB AB ⋅+⋅=．又ABD MCP △∽△及ABC MDQ △∽△，有AD MPAB MC =，AC MQ AB MD =，于是MP MQBC BD CD MC MD⋅+⋅=，注意到=22CD MC MD =即证．16．连EG ，FG 和EF ，对四边形BFGE 应用托勒密定理，有BE FG BF EG BG EF ⋅+⋅=⋅，又FEG FBG ADB ∠=∠=∠，EFG EBG ∠=∠，则EFG ABD △∽△，有FG EG EFAB AD BD==，令其比值为t ，则t BE AB t BF AD t BG BD ⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅，消去t ，注意到AD BC =即证．17．作DG AF ∥交1O ⊙于G ，则AG FD =，GF AD =．对四边形AGDF 应用托勒密定理，AD FG AG FD AF GD ⋅=⋅+⋅．由AD 平分BAF ∠，知FD BD =，即AG BD =，由此知GB DA ∥，有GD AB =．故 222AD FD AF GD FD AF AB =+⋅=+⋅． 同理，有22AE FE AF AC =+⋅．此两式相减有2222DA EA DF EF -=-，故DE AF ⊥．18．在直径2AB x =>的圆中，在两个半圆上分别取点C 和，使2AC =，1AD =，则BC =，BD =CD x ⋅，与原方程比较得CD =．在ACD △中，由余弦定理，有1cos 2CAD ∠=-，则120CAD ∠=︒，故sin CD x CAD =∠．19．由222+=，在直径AB =的圆中，在一半圆上取点C ，使AC BC D ，则AD BD =．连CD ，知CD AB ≤2AB CD =⋅≤，即y =又在ABC △中，AC BC AB +≥（当C 与A 或B 重合时，取等号)y ≤≤ 20．设222x y a +=，则01a ≤≤．当0a =时，命题显然成立，当01a <≤时，在直径AB a =的一半圆上取点C ，使AC x =，BC y =，因2222x y a +=+=，则可在另一半圆上取点D ，使BD =，AD =，由托勒密定理，有2x y AB CD a +=⋅≤，即2()()x x y y x y ++-≤≤但222()()()()x xy y x x y y x y x x y y x y +-=++-≤++-21．设点T 在劣弧AB 上，连AT ，BT ，CT ，分别交小圆于点D ，E ，F ．连DE ，EF ，FD ，过点T 作公切线RQ ．由DFT RTD RTA ACT ∠=∠=∠=∠，有AC DF ∥，有AD ATCF CT=．又 2AM AD AT =⋅，2CP CF CT =⋅，有2222AM AD AT AT CP CF CT CT =⋅=，即AM AT CP CT=．同理，BN BTCP CT=．对圆内接四边形ATBC 应用托勒密定理，有AT BC BT AC TC AB ⋅+⋅=⋅，而AB BC CA ==，则AT BT CT +=，故AM BN CP ++．22．令BC a =，AC b =，AB c =．由BE 平分ABC ∠，有AE AB EC BC =，亦有AE ABAC BC AB=+，即bc AE a c =+．同理，bcAF a b=+．由AE PQ ∥，有AEF Q ∠=∠，从而AEF PCB ∠=∠，注意到FAE BPC ∠=∠，有AEF PCB △∽△，即PB AF a cPC AE a b+==+，即()PB b PC a c PB a ⋅=⋅+-⋅．在圆内接四边形PABC 中，应用托勒密定理，有PB b PC c PA a ⋅=⋅+⋅，故()PC a c PB a PC c PA a +-⋅=⋅+⋅，因此，PC PA PB ++． 23．由()BE AC AF FC AC ⋅=+⋅，AC ，()()AF BC AB FC AF BD CD FC BE AE AF ⋅+⋅=⋅++-=⋅()()AC AF CD FC AC FC AE AF FC AC AF CD FC AE +⋅+⋅-⋅=+⋅+⋅-⋅，又AF CD FC AE ⋅=⋅，则BF AC AF BC AB FC ⋅=⋅+⋅，由托勒密定理之逆，知ABCF 有外接圆．24．连EA ，ED ，由BAE ECD ∠=∠，且CDE EAD ABE ∠=∠=∠，有ABE CDE △∽△，亦有AE AB EC CD=， 即EC AB EA CD ⋅=⋅．在圆内接四边形AEBC 中，应用托勒密定理，有EA BC EB AC EC AB⋅+⋅=⋅，于是222111EB AC EA BC EA BC BC BD BD BD EC AB EC AB EA CD CD CD BD CD DA ⋅⋅⋅=-=-=-===⋅⋅⋅⋅．又ABD CAD ∠=∠，ADB ADC ∠=∠，有ABD CAD △∽△，有AB BDAC AD=．于是22EB AC AB EC AB AC ⋅=⋅，故33EB AB EC AC =． 习题B1．在弧ADC 上取点H ，使AH CD c ==，连HC ，HB ，令AC m =，BD n =，BH p =，易证AHC CDA △∽△，即HC AD d ==．对四边形ABCD ，ABCH 分别应用托勒密定理，有ac bd mn +=，ad bc pm +=．又在弧BCH 上取点K ，使BK CH d ==，由CHB KBH △∽△，有HK BC b ==对四边形ABKH 应用托勒密定理，有ab cd AK p +=⋅．又由KHA BCD =，有AK BD n ==．于是2()()ac bd ad bc m ab cd ++=+，2()()ac bd ab cd n ad bc++=+，由此即求得AC ，BD ．2．作AGH △的外接圆1O ，分别截AC ，AD AB 于点H ，Q ，G ．易证BCD APE △∽△，即DC BC PE AP =，BD BC AE AP =，即PE AK CD BC BC AP AP =⋅=⋅，AE BD BC AP =⋅．对四边形ABDC 应用托勒密定理，有AE AKAD BC BD AC DC AB BC BC AB AP AP⋅=⋅+⋅=⋅+⋅⋅，故AP AD AE AE AK AB ⋅=⋅+⋅．（*） 同理，由托勒密定理，有AP AQ AE AE AK AG ⋅=⋅+⋅．于是2()AP AQ AP AP PQ AP AP PQ AE AH AK AG ⋅=+=+⋅=⋅+⋅， 即22AP PG PH AP AP PQ AE AH AK AG +⋅++⋅=⋅+⋅从而2AP AE AH AK AG PG PH =⋅+⋅-⋅．由(*)式减去上式，有()()() AP AD AP AE AC AH AK AB AG PG PH -=-+-+⋅，即PA PD PK PI PE PF PG PH ⋅=⋅+⋅+⋅．又22221()24PK PI EF KI KI++≤≤，214PE PF EF ⋅≤，214PG PH GH ⋅≤，故224EF KI GH PA PD ++≥⋅，其中等号当且仅当P 为ABCV △的中心时取得．3．设四边形1234A A A A 内接于以O 为圆心，半径为R 的圆，设点O 在弦13A A ，12A A ，23A A ，34A A ，41A A ，上的射影分别为点0H ，1H ，2H ，3H ，4H ．记(0,1,,4)i i h OH i ==…，1S ，2S 与1p ，2p 为123A A A △与34l A A A △的面积与半周长，1r ，2r 为它们的内切圆半径． 考虑含点O 的三角形，不妨设O 在123A A A △内，分别对四边形302A H OH ，110A H OH ，221A H OH ，应用托勒密定理，并注意02H H ，01H H ，12H H 是123A A A △的中位线，有1102()R r p R H H +=⋅．01121023203011102121()()(R H H R H H S h H A h H A h H A h H A h H A h +⋅+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅2211222003112011)()()2H A h A A h A A h A A h h h p +⋅+⋅+⋅=++⋅，故1120R r h h h +=++．考虑O 在三角形外部的情形，考虑341A A A △，对四边形140A H H O ，330A H H O ，413A H OH 应用托勒密定理，有220404033434010413()()(R r p R H H R H H R H H R H H S h H A h H A h +=⋅+⋅+⋅+⋅+=⋅-⋅+⋅0303343434433444101334021)()()()2H A h H A h H A h H A h A A h A A h A A h h h p -⋅+⋅-⋅+⋅+⋅-⋅=+-⋅，故2340R r h h h +=+-．在上述情形下，1212342r r h h h h R +=+++-．对一般情形，所求内切圆半径之和等于1h ，2h ，3h ，4h ，2R 并赋以一定的符号之和，这些符号只与点O 相对四边形1234A A A A 的位置有关．因此，这个和与对角线的选取无关． 4．设圆1C 的圆心为O ，半径为r ，连i OA ，(1,2,,)i OB i n =…，在四边形112OA B B 中应用托勒密不等式，有112211112OA B B CO A B OB A B ⋅+⋅≥⋅，即1211222()r B B λr A B λr A A A B →⋅+⋅≥+)，故12111222()B B λA B λA A A B +≥+． 同理，迭用托勒密不等式，有23222333()B B λA B λA A A B '+≥+；34333444()B B λA B λA A A B +⋅≥+；…；1111()n n n n n n n B λA B λA A A B ----+⋅≥+，1111()n n n n B B λA B λA A A B +≥+． 将上述几个同向不等式相加，得1223111223-11()n n n n n B B B B B B B B λA A A A A An A A -+++≥+++……+，故21p λp ≥．由托勒密不等式中等号成立的条件是当且仅当四边形112OA B B ，223OA B B ，…，1n n OA B B ，都是圆内接四边形，由圆内接四边形性质，知2323OA A OB B ∠=∠，2132OA A OB B ∠=∠，但2332OB B OB O ∠=∠，则2123OA A OA A ∠=∠，从而1223OA A OA A △∽△，因此1223A A A A =．同理， 23341n A A A A A A ===…，即n 边形12n A A A …为正n 边形．反之，若12n A A A …为正n 边形，将其绕点O 逆时针方向旋转2πn，知12A A →，23A A →，…，1n A A →，从而12B B →，23B B →，…，1n B B →．于是知12n B B B …也是正n 边形，因此有122312n A A A A A A r ===⋅…πsin n，12231π2sin n B B B B B B λr n ====⋅…．此时有21p λp =．5．作1O ⊙，O ⊙的公共直径GMK ，其中GM 是1O ⊙的直径，GK 是O ⊙的直径，连CG 交1O ⊙于点N ．显然MN KC ∥，于是CN KM KG =，222CN KMf CN CG CG CG CG KG=⋅=⋅=⋅，即f CG =d AG =e BG =ABGC 中应用托勒密定理，有b BGc CG a AG ⋅+⋅=⋅bd ce af +=． 6．首先证EF GH =，MN PQ =．由切线长定理，有()()()()AC BC BD DA AF BF BE AE -+-=-+-=()()2AF AE BE BF EF-+-=，()()()()()AC DA BD BC CH DH DG CG CH CG -+-=-+-=-+()2DG DH GH -=，而()()()()AC B BD DA AC DA BD BC -+-=-+-，故EF GH =．同理MN PQ =．连1O A ，1O E ，3O C ，3O G ，由BAD ∠与BCD ∠互补，知1O AE ∠与3O CG ∠互余，有 13390O AE O CG CO G ∠=︒-∠=∠，即13AE CO G △∽△．于是1313AE CG O E O G R R ⋅=⋅=⋅．同理，24BM DP R R ⋅=⋅．令AE AQ a ==，BM BF b ==，CG CN c ==,DP DH d ==,EF GH m ==，MN PQ n ==．于是，AB a b m =++，CD c d m =++，BC b c n =++，DA d a n =++，()()AC AF CM a m c n =+=+++，()()BD BE DQ b m d n =+=+++．对ABCD 应用托勒密定理，有AC BD AB CD BC DA⋅=⋅+⋅，即()()()()()()a c m nb d m n a b mcd m b c n d a n +++⋅+++=+++++++++，亦即mn ac bd =+．即证．7．设BAN NAC a ∠=∠=，对AB ，AN ，AC 应用三弦定理，则有2cos AN αAB AC ⋅=+，因1sin ()2ABC ABL ACL S S S AL αAB AC ++=⋅⋅+△△△，则cos sin ABC AN AL αα=⋅⋅⋅△S ．又在Rt ALK △中，cos AL αAK ⋅=，则sin 2ANK S ABC AN AK αS =⋅⋅=△△．又易知AK AM =，即知ANK ANM △∽△，于是12ANK ANM AKNM S S S ==△△四边形，即证．8．必要性：连OB ，OC ，知EAB △，FAC △均为等腰三角形，且2()2BPC AEP CFD BAD CAD BAC BOC ∠=∠+∠=∠+∠=∠=∠，知B ，C ，P ，O 共圆，由托勒密定理，有PB OC PC OB OP BC ⋅=⋅+⋅，由PB PC PO =+得OC BC =，即OBC △为正三角形，推得1302BAC BOC ∠=∠=︒．充分性：由30BAC ∠=︒，知OBC △为正三角形，且由BPC BOC ∠=∠知B ，C ，P ，O 共圆，由托勒密定理，有PB OC PC OB PO BC ⋅=⋅+⋅，及OC OB BC ==，即得PB PC PO =+． 9．对四边形1ACA B 应用托勒密定理，有111AA BC AB AC AC A B ⋅=⋅+⋅，令11A B AC x ==，注意112x A B ACK BC =+>，有11222()ABx AC x AA AB AC AB AC BC BC+==+⋅>+，即11()2AA AB AC >+．同理，11()2BB BA BC >+，11()2CC CA CB >+，此三式相加即证．10．令AC a =，CE b =，AE c =．对四边形ACEF 应用托勒密不等式，有AC EF CE AF AE CF ⋅+⋅≥⋅，注意EF AF =，有FA c FC a b ≥+．同理。
平面几何3--托勒密定理及应用
平面几何（3）----托勒密定理及应用托勒密定理：圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两对角线的乘积推论1（三弦定理） 如果A 是圆上任意一点，AB ，AC ，AD 是该圆上顺次的三条弦，则sin sin sin AC BAD AB CAD AD CAB ⋅∠=⋅∠+⋅∠推论2（四角定理） 四边形ABCD 内接于O ，则sin sin sin sin sin sin ADC BAD ABD BDC ADB DBC ∠⋅∠=∠⋅∠+∠⋅∠直线上的托勒密定理（或欧拉定理） 若A ，B ，C ，D 为一直线上依次排序的四点，则AB CD BC AD AC BD ⋅+⋅=⋅四边形中的托勒密定理：设ABCD 为任意凸四边形，则,AB CD BC AD AC BD ⋅+⋅≥⋅当且仅当A ，B ，C ，D 四点共圆时取等号托勒密定理的逆定理： 在凸四边形ABCD 中，若AB CD BC AD AC BD ⋅+⋅=⋅，则A ，B ，C ，D 四点共圆例1：在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若角A ，B ，C 的大小成等比数列，且22b a ac -=，则角B 的弧度数等于多少？例2：凸四边形ABCD 中，60,90o o ABC BAD BCD ∠=∠=∠=，AB=2，CD=1，对角线AC ，BD 交于点O ，如图，求sin AOB ∠例3：如图，在锐角ABC 的BC 边上有两点E ，F ，满足,BAE CAF ∠=∠作FM AB ⊥于M ，FN AC ⊥于N ，延长AE 交ABC 的外接圆于点D ，证明：四边形AMDN 与ABC 的面积相等.例4：如图，在ABC 中，60o A ∠=，,AB AC >点O 是外心，两条高BE ，CF 交于H 点，点M ，N 分别在线段BH ，HF 上，且满足BM=CN ，求MH NH OH+的值例5：若有四个圆都与第五个圆内切，第一个与第二个圆的外公切线长用12l 表示，其他前四个圆中的两两的外公切线也用同样的方法来标记，且前四个圆以顺时针的顺序排列，试证明依次以12233441,,,l l l l 为边长，以1324,l l 为对角线所构成的凸四边的四个顶点共圆.例6：经过XOY ∠的平分线上的一点A ，任作一直线与OX 及OY 分别相交于P,Q ，求证：11OP OQ+为定值例7：圆内接六边形ABCDEF 的对角线共点的充要条件是1AB CD EF BC DE FA ⋅⋅=。
托勒密定理及应用
托勒密定理及应用托勒密定理，也被称为定理于托勒密或托勒密定律，是一个在三角形中严格的几何定理。
该定理与中学三角学和圆的几何性质密切相关，在数学教学中有广泛的应用。
托勒密定理是提出了一种关于四边形的特殊情况，并解释了四边形特殊情况的几何性质。
托勒密定理表述为：在任意一个四边形中，如果四个顶点连成的对角线相交于一点，那么这个四边形的两组对边的乘积之和等于另外一组对边的乘积之和。
具体表达式为：AB×CD + BC×AD = AC×BD。
托勒密定理的应用非常广泛，以下介绍了一些常见的应用：1. 判断四边形是否为一个圆的内接四边形：通过托勒密定理，如果一个四边形的对角线乘积之和等于一组对边的乘积之和，那么这个四边形可以被证明是一个圆的内接四边形。
2. 求解边长或角度的问题：在一些特定的几何问题中，根据给定的条件，可以利用托勒密定理来解决边长或角度的问题。
例如，已知一个四边形的边长和某个角度，可以通过托勒密定理推导出其他边长或角度的值。
3. 延长线或外接圆的构造：通过托勒密定理，可以利用已知的边长和角度来构造延长线或外接圆。
这在一些复杂的几何问题中非常有用。
4. 平面几何中的证明问题：托勒密定理可以用于平面几何中的证明问题。
通过应用托勒密定理，可以推导出一些几何命题的证明过程。
5. 解决三角函数问题：托勒密定理可以用于解决一些三角函数相关的问题。
通过托勒密定理，可以建立各种三角函数之间的关系式，从而解决一些复杂的三角函数问题。
总结来说，托勒密定理在数学教学和实际应用中都有广泛的应用。
通过应用托勒密定理，我们可以解决各种几何问题，推导证明命题，以及解决一些与三角函数相关的问题。
托勒密定理的重要性不仅体现在它本身的几何性质，还在于它在数学教学中的应用广泛，能够帮助学生掌握几何和三角学的基本概念和技巧，为他们建立数学思维提供了一个很好的平台。
平面几何中几个重要定理在中考中的应用
A
B C F
E
D
E
F
D
C B A
P
A
B
C
D
E F
A
B
C
D
P E
F
P A
B C
F
E
D C
B
A
P
A B
C
D
E F
【例2】等腰梯形一条对角线的平方,等于一腰的平方加上两底之积.
已知:在梯形ABCD中,AD=BC ,AB//CD.求证:2
2
BD BC AB C D =+⋅.
【例3】已知1a b =.求证:2
1A F B D C E F B
D C
E A
⋅⋅=,那么D、E、F三点共线.
梅涅劳斯(Menelaus定理(简称梅氏定理是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的
三、塞瓦定理:若△ABC的三个顶点与一点P的连线AP、BP、CP交对边或其延长线于D、E、F ,则
1BD CE AF D C
EA
FB
⋅
⋅
=.通常称点P为△ABC的塞瓦点.
交BC于G.求证:AG、BF、EH三线共点.
斯特瓦尔特定理
O
A
F
E
D C
B
M
B
D
E
F
A
N
【例10】
(1990全国初中联赛△ABC中,
AB=,
,P为BC上任一点,则( . A.2PA PB PC <⋅ B.2
P A P B P C =⋅
C. 2
P A P B P C >⋅ D. 2PA PB PC ⋅与的大小关系不能确定
平面几何中的几个重要定理在中考中的应用
托勒密定理及其应用
托勒密定理及其应用河北省晋州市数学论文研究协会刘同林托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)．已知：圆内接四边形ABCD，求证：AC·BD＝AB·CD＋AD·BC．证明：如图1，过C作CP交BD于P，使∠1=∠2，又∠3=∠4，∴△ACD∽△BCP．又∠ACB=∠DCP，∠5=∠6，∴△ACB∽△DCP．①＋②得 AC(BP＋DP)=AB·CD＋AD·BC．即AC·BD=AB·CD＋AD·BC．这就是著名的托勒密定理，在通用教材中习题的面目出现，不被重视．笔者认为，既然是定理就可作为推理论证的依据．有些问题若根据它来论证，显然格外简洁清新．兹分类说明如下，以供探究．一、直接应用托勒密定理例1如图2，P是正△ABC外接圆的劣弧上任一点(不与B、C重合)，求证：PA=PB ＋PC．分析：此题证法甚多，一般是截长、补短，构造全等三角形，均为繁冗．若借助托勒密定理论证，则有PA·BC=PB·AC＋PC·AB，∵AB=BC=AC．∴PA=PB+PC．二、完善图形借助托勒密定理例2证明“勾股定理”：在Rt△ABC中，∠B=90°，求证：AC2=AB2＋BC2证明：如图3，作以Rt△ABC的斜边AC为一对角线的矩形ABCD，显然ABCD是圆内接四边形．由托勒密定理，有AC·BD=AB·CD＋AD·BC．①又∵ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，AC=BD．②把②代人①，得AC2=AB2＋BC2．例3如图4，在△ABC中，∠A的平分线交外接∠圆于D，连结BD，求证：AD·BC=BD(AB ＋AC)．证明：连结CD，依托勒密定理，有AD·BC＝AB·CD＋AC·BD．∵∠1=∠2，∴ BD=CD．故AD·BC=AB·BD＋AC·BD=BD(AB＋AC)．三、利用“无形圆”借助托勒密定理例4等腰梯形一条对角线的平方等于一腰的平方加上两底之积．如图5，ABCD中，AB∥CD，AD=BC，求证：BD2=BC2＋AB·CD．证明：∵等腰梯形内接于圆，依托密定理，则有AC·BD=AD·BC＋AB·CD．又∵ AD=BC，AC=BD，∴BD2=BC2＋AB·CD．四、构造图形借助托勒密定理例5若a、b、x、y是实数，且a2＋b2=1，x2＋y2=1．求证：ax＋by≤1．证明：如图6，作直径AB=1的圆，在AB两边任作Rt△ACB和Rt△ADB，使AC＝a，BC=b，BD＝x，AD＝y．由勾股定理知a、b、x、y是满足题设条件的．据托勒密定理，有AC·BD＋BC·AD=AB·CD．∵CD≤AB＝1，∴ax＋by≤1．五、巧变原式妙构图形，借助托勒密定理例6已知a、b、c是△ABC的三边，且a2=b(b＋c)，求证：∠A=2∠B．分析：将a2=b(b＋c)变形为a·a=b·b＋bc，从而联想到托勒密定理，进而构造一个等腰梯形，使两腰为b，两对角线为a，一底边为c．证明：如图 7，作△ABC的外接圆，以 A为圆心，BC为半径作弧交圆于D，连结BD、DC、DA．∵AD=B C，∴∠ABD=∠BAC．又∵∠BDA=∠ACB(对同弧)，∴∠1=∠2．依托勒密定理，有BC·AD=AB·CD＋BD·AC．①而已知a2=b(b＋c)，即a·a=b·c＋b2．②∴∠BAC=2∠ABC．六、巧变形妙引线借肋托勒密定理例7在△ABC中，已知∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶4，析证：将结论变形为AC·BC＋AB·BC=AB·AC，把三角形和圆联系起来，可联想到托勒密定理，进而构造圆内接四边形．如图8，作△ABC的外接圆，作弦BD=BC，边结AD、CD．在圆内接四边形ADBC中，由托勒密定理，有AC·BD＋BC·AD=AB·CD易证AB=AD，CD=AC，∴AC·BC＋BC·AB=AB·AC，沁园春·雪 <毛泽东>北国风光，千里冰封，万里雪飘。
托勒密定理及其推广和应用
托勒密定理及其推广和应用1什么是托勒密定理及其推广和应用托勒密定理（Pythagorean Theorem）或者又被称为“勾股定理”，是古希腊数学家托勒密(Pythagoras)提出的一个定理，可以用来求三角形的斜边长度。
定理的内容是，如果一个三角形中，两条直角边的长度分别是a和b，那么斜边的长度c就等于根号下(a²+b²）。
2历史沿革托勒密定理在西元前600年由古希腊数学家托勒密首先提出，是一项里程碑式的数学理论，它被看做是世界三大数学定理之一，也是最古老、最广为人知的数学定理。
3推广和应用定理的推广和应用非常广泛，在四边形和多边形的求周长中占有重要的地位，它与三角函数的涉及将二元一次方程的解法推广到三元一次方程。
此外，在几何概念上勾股定理也可以应用于球面和曲面上，已经广泛运用于航海、地质、地理等科学中。
在数学证明上，勾股定理只有一个精辟而有力的自然证明，这也是它被广泛认可的原因。
可以说它改变了人们的数学思维，它的提出让很多已有的数学概念有了研究深刻的定义，更多的数学猜想也借此得以验证。
4扩展应用勾股定理的扩展应用至今来，也可以用于三次方程求解，它的推广也涉及到全部的多项式方程求解（又称厄米-伯拉斯特），它也在微积分中有重要的作用，在体积也有着深远的意义；此外，勾股定理也是测地学（地形测量和测绘，即建筑师和土木工程师所必须熟悉的学科）的基础，在远程精确测量地形细节的时候，投影的误差也是在计算过程中要考虑的重要因素。
5结论托勒密定理（Pythagorean theorem）经过几千年的发展变化，仍然是数学界一项最为重要的理论和定义，不仅在几何和数学上有着广泛的应用，也被用在了科学和文化领域，它深深地影响着我们对数学理解的方式。
它也给人们提供了很多对数学发展的启示，使人们在理解数学和科学以及其他文化领域知识时有一个更开放的思维框架。
四点共圆托勒密定理
四点共圆——托勒密定理
在几何学中，“四点共圆”是一个非常重要的定理，它也被称为“托勒密定理”。
这个定理阐述了四个点在同一圆周上的条件，因此被广泛应用于各种圆周相关的问题和证明。
托勒密定理的表述如下：假设有一个圆，该圆的直径为AC。
则另外两个点B和D，如果满足BD与AC垂直且交于点E，则四个点A、B、C、D在同一个圆周上的充分必要条件是AE×CE+BE×DE=AC×BE（其中“×”表示向量的点乘运算）。
这个定理我们可以通过几何图形来理解。
如果四个点在同一圆周上，那么任意两个点之间的弧长和是定值，同时它们组成的四边形ABCD也是圆周上的一段弧，因此关于其对角线的乘积和就有一个特殊的形式。
这个形式就是定理中所表述的AE×CE+BE×DE=AC×BE。
托勒密定理的证明有多种方法，其中一种比较简单的思路是利用向量运算。
我们可以将四个点表示为向量A、B、C、D，根据向量的几何性质，我们可以得到两个向量的点乘运算与它们的夹角和长度的关系。
利用这个基本的向量等式，我们就可以推导出托勒密定理的表述形式。
托勒密定理的应用非常广泛，它可以被用于求解等角线、外心、内心等诸多几何问题。
如果你想深入研究几何学，托勒密定理一定是一个必须掌握的重要工具。
初中托勒密定理
初中托勒密定理
初中托勒密定理是几何中的一条重要定理，它描述了一个四边形的对角线长与它的边长之间的关系。
具体来说，设一个四边形ABCD，对角线AC与BD相交于点E，那么托勒密定理可以表示为：
AC + BD = AB + CD
这个定理的证明可以用勾股定理、相似三角形以及平移等几何方法来完成。
在实际应用中，托勒密定理可以用来求解一些几何问题，比如找到一个四边形的对角线长，或者确定一个三角形的内心坐标等等。
总之，初中托勒密定理虽然看似简单，但却蕴含着许多几何知识。
学好这个定理，有助于提高我们的几何思维能力，更好地理解和应用几何知识。
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托勒密定理的多种证明及其应用例谈
托勒密定理的多种证明及其应用例谈
作者：陶布
来源：《学校教育研究》2016年第03期
托勒密定理是初等几何的一个经典命题，它以具有十分广泛的应用而著称，托勒密定理描述的是圆内接四边形的性质，利用它可以解决与圆有关的几何命题，也可以通过构造圆解决代数问题，本文主要通过对托勒密定理的研究，从不同的角度给出了七种证法，并着重研究了托勒密定理的应用，以凸显托勒密定理在解决有关几何命题的作用。
一、托勒密定理及其证明
托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和。
1.预备知识
引理一（西姆松定理）：三角形外接圆上任意一点在三边所在直线上的射影点共线。
引理二（西姆松定理的逆定理）：若一个点在三角形三边所在直线上的射影点共线，则该点在此
三角形的外接圆上。
托勒密定理及应用
托勒密定理及应用
托勒密定理及应用
一、托勒密定理
托勒密定理是由富兰克林在1732年提出的数学定理，它认为“如果一个正三角形的三边长各不相同，它的每个内角都等于180度，那么已知此三角形的两边和其夹角等于定值的话，就可求出此三角形的另外一条边的长度。
”这就是托勒密定理。
二、托勒密定理的应用
1. 计算夹角
托勒密定理可用于计算夹角。
例如，若已知三角形的两边长数值，那么可以使用托勒密定理计算出它们之间的夹角。
2. 计算边长
托勒密定理也可以用于计算三角形边长。
例如，假设一个正三角形的另外一条边和它们之间的夹角都已知，那么可以通过托勒密定理计算这两边的长度。
3. 绘图测量
此外，使用托勒密定理也可以很方便地进行曲率量测，椭圆重心量测
等等。
例如，由于一个圆的另一条边和它们之间的夹角总是相等的，
因此很容易通过托勒密定理计算出这两部分的数值。
4. 求解方程
此外，可以使用托勒密定理来求解复杂方程。
最常见的用法就是将正
三角形边长和它们之间的夹角式子带入方程，从而求解圆形及抛物线
方程。
5. 电子学
此外，托勒密定理也用于电子学中，用于计算一个电机的磁励磁和电
路的阻抗特性。
通过托勒密定理，可以精准求出直流电路中的无功功
率和有功功率，也可以求得交流电路中的量度电压和电流的关系。
三、总结
托勒密定理是一个非常简单又实用的数学定理，它可以用于计算夹角、求出三角形边长，也可以用于测量、求解方程，甚至在电子学中也有
应用。
几何定理及应用
托勒密定理1定理内容托勒密(Ptolemy)定理指出，圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。
2 证明方法1 在任意凸四边形ABCD 中(如右图)，作△ABE 使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD,连接DE.则△ABE∽△ACD所以 BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1)由△ABE∽△ACD 得AD/AC=AE/AB 又∠BAC=∠EAD,所以△ABC∽△AED.BC/ED=AC/AD,即ED·AC=BC·AD (2) (1)+(2),得AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC 又因为BE+ED≥BD（仅在四边形ABCD 是某圆的内接四边形时，等号成立，即“托勒密定理”）2 已知：圆内接四边形ABCD ，求证：AC·BD ＝AB·CD ＋AD·BC ．证明：如图1，过C 作CP 交BD 于P ，使∠1=∠2，又∠3=∠4，∴△ACD ∽△BCP ．得AC ：BC=AD ：BP ，AC·BP=AD·BC ①。
又∠ACB=∠DCP ，∠5=∠6，∴△ACB ∽△DCP ．得AC ：CD=AB ：DP ，AC·DP=AB·CD ②。
①＋②得 AC(BP ＋D P)=AB·CD ＋AD·BC ．即AC·BD=AB·CD ＋AD·BC ．例1 凸四边形ABCD 中,∠ABC ＝60°,∠BAD ＝∠BCD ＝90°,AB ＝2,CD ＝1,对角线AC 、BD 交于点O ,如图2. 则sin ∠AOB ＝____. 分析：由∠BAD ＝∠BCD ＝90°可知A 、B 、C 、D 四点共圆,欲求sin ∠AOB ,联想到托勒密定理,只须求出BC 、AD 即可.解：因∠BAD ＝∠BCD ＝90°,故A 、B 、C 、D 四点共圆.延长BA 、CD 交于P ,则∠ADP ＝∠ABC ＝60°.设AD ＝x ,有AP ＝3x ,DP ＝2x .由割线定理得(2＋3x )3x ＝2x (1＋2x ).解得AD ＝x ＝23－2,BC ＝21BP ＝4－3. 由托勒密定理有BD ·CA ＝(4－3)(23－2)＋2×1＝103－12.ABCDP O 图2又S ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝233. 故sin ∠AOB ＝263615 .例8 如图8,△ABC 与△A ＇B ＇C ＇的三边分别为a 、b 、c 与a ＇、b ＇、c ＇,且∠B ＝∠B ＇,∠A ＋∠A ＇＝180°.试证：aa ＇＝bb ＇＋cc ＇.分析：因∠B ＝∠B ＇,∠A ＋∠A ＇＝180°,由结论联想到托勒密定理,构造圆内接四边形加以证明.证明：作△ABC 的外接圆,过C 作CD ∥AB 交圆于D ,连结AD 和BD ,如图9所示. ∵∠A ＋∠A ＇＝180°＝∠A ＋∠D , ∠BCD ＝∠B ＝∠B ＇, ∴∠A ＇＝∠D ,∠B ＇＝∠BCD . ∴△A ＇B ＇C ＇∽△DCB .有DC B A ''＝CB C B ''＝DB C A '',即 DC c '＝a a '＝DB b '.故DC ＝''a ac ,DB ＝''a ab .又AB ∥DC ,可知BD ＝AC ＝b ,BC ＝AD ＝a .从而,由托勒密定理,得AD ·BC ＝AB ·DC ＋AC ·BD , 即 a 2＝c ·''a ac ＋b ·''a ab . 故aa ＇＝bb ＇＋cc ＇.西姆松定理西姆松定理是一个几何定理。
第三讲--托勒密定理及其应用.docx
第三讲托勒密定理及其应用托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和 (一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)．设四边形 ABCD 内接于圆，则有：即：AB CD AD BC AC BD ；定理：在四边形 ABCD中，有： AB CD AD BC AC BD并且当且仅当四边形 ABCD内接于圆时，等式成立；证：在四边形ABCD 内取点，使BAE CAD，ABEACD E则：ABE和ACD相似AB BE AC CD AB CD AC BEAD又AB AE且 BAC EAD AC AD ABC和 AED相似BC EDAD BC AC ED AC ADAB CD AD BC AC ( BE ED) AB CD AD BC AC BDEB C且等号当且仅当 E在 BD上时成立，即当且仅当A、B、 C、 D四点共圆时成立；一、直接应用托勒密定理例 1 如图 2，P 是正△ ABC外接圆的劣弧上任一点(不与 B、 C 重合 )，求证： PA=PB＋PC．分析：此题证法甚多，一般是截长、补短，构造全等三角形，均为繁冗．若借助托勒密定理论证，则有PA· BC=PB·AC＋PC·AB，∵AB=BC=AC．∴PA=PB+PC．二、完善图形借助托勒密定理例 2 证明“勾股定理”：在Rt△ABC中，∠ B=90°，求证： AC2 =AB2＋ BC2证明：如图，作以 Rt△ABC的斜边 AC为一对角线的矩形ABCD，显然 ABCD是圆内接四边形．由托勒密定理，有AC·BD=AB·CD＋AD·BC．①又∵ ABCD是矩形，∴AB=CD， AD=BC， AC=BD．②把②代人①，得AC2 =AB2＋ BC2．例3 如图，在△ ABC中，∠ A 的平分线交外接∠圆于 D，连结 BD，求证： AD·BC=BD(AB＋AC)．证明：连结 CD，依托勒密定理，有AD·BC＝ AB· CD＋AC·BD．∵∠ 1=∠ 2，∴ BD=CD．故 AD·BC=AB·BD＋AC· BD=BD(AB＋ AC)．三、构造图形借助托勒密定理例4 若 a、b、x、y 是实数，且 a2＋b2=1，x2＋y2=1．求证： ax＋by≤ 1．证明：如图作直径 AB=1的圆，在 AB 两边任作 Rt△ACB和 Rt△ADB，使AC＝a，BC=b，BD＝ x， AD＝ y．由勾股定理知 a、 b、 x、y 是满足题设条件的．据托勒密定理，有 AC· BD＋BC·AD=AB·CD．∵CD≤AB＝ 1，∴ ax＋by≤1．四、巧变原式妙构图形，借助托勒密定理例 5 已知 a、 b、 c 是△ ABC的三边，且 a2 =b(b＋c)，求证：∠ A=2∠B．分析：将 a2 =b(b＋c)变形为 a·a=b·b＋ bc，从而联想到托勒密定理，进而构造一个等腰梯形，使两腰为 b，两对角线为 a，一底边为 c．证明：如图，作△ ABC的外接圆，以 A 为圆心， BC为半径作弧交圆于D，连结 BD、DC、 DA．∵AD=BC，∴∠ ABD=∠BAC．又∵∠ BDA=∠ ACB(对同弧 )，∴∠ 1=∠2．依托勒密定理，有BC·AD=AB·CD＋BD· AC．①而已知 a2 =b(b＋c)，即 a·a=b· c＋b2．②∴∠ BAC=2∠ABC．五、巧变形妙引线借肋托勒密定理例 6 在△ ABC中，已知∠ A∶∠ B∶∠ C=1∶2∶4，分析：将结论变形为 AC·BC＋ AB·BC=AB·AC，把三角形和圆联系起来，可联想到托勒密定理，进而构造圆内接四边形．如图，作△ ABC的外接圆，作弦BD=BC，边结 AD、CD．在圆内接四边形ADBC中，由托勒密定理，有AC·BD＋ BC·AD=AB·CD易证 AB=AD，CD=AC，∴ AC·BC＋BC·AB=AB· AC，1.已知△ ABC中，∠ B=2∠ C。
托勒密定理的证明及其应用
托勒密定理的证明及其应用
托勒密定理是数论中一个古老的定理，由古希腊数学家托勒密（Euclid）在他的著作《几何原本》中提出来的，它指出给定集合中
任意两个质数之间存在一个乘积为其积的合数。
托勒密定理的证明非
常简单而有效，它可以这样表述：
假设存在两个质数p和q，它们的乘积不能被表示为两个质数乘
积的积形式，也就是说，p × q ≠ m × n (其中m，n两个质数)。
使用反证法可以得出它们之间存在合数的结论：
反证：假设p和q之间没有合数，那么p × q只能由质数乘积
的形式来表示。
也就是说，p × q = m × n，m，n是任意的质数。
然而，根据前面的假设，我们知道p × q≠ m × n，于是得出矛盾，即
p和q之间存在合数。
托勒密定理的应用可以追溯到古罗马时代，当年人们经常会利用
它来求解各种猜想问题（比如判断数字是不是质数）。
直到19世纪，
它还可以用来测量太空物体距离地球的距离，还有工程精细化的计算。
近年来，随着计算机科技的发展，托勒密定理的应用也在不断的拓展，比如数论的信息安全方面，可以应用于数字签名算法，非常实用。
托勒密定理的证明及应用
托勒密定理的证明及应用
托勒密定理：圆的内接四边形中，两条对角线的积等于两组对边乘积之和！
证明过程如下，先作辅助线如下：
具体过程如下：
下面，我们看看使用托勒密定理证明两个重要其他定理：勾股定理和余弦定理
（1）利用托勒密定理证明勾股定理如下：
具体过程为：
（2）利用托勒密定理证明余弦定理
具体过程如下：
是不是感觉很强大呢？
下面我们再来看看使用托勒密定理的其他应用，用题目说话吧：题目一：
添加辅助线如下：
具体证明过程如下：
题目二：
本题直接使用托勒密定理，甚是简洁！
题目三：
附辅助线如下：。
几何必备知识：广义托勒密定理,最值问题很实用的方法(一)
几何必备知识：广义托勒密定理，最值问题很实用的方法(一)几何必备知识: 广义托勒密定理，最值问题很实用什么是广义托勒密定理？•广义托勒密定理是托勒密定理的一种推广，用于解决更为复杂的几何问题。
•托勒密定理是指一个四边形的对角线平方等于两组对边乘积的和，而广义托勒密定理则适用于非完全四边形的情况。
广义托勒密定理的表达式•对于一个非完全四边形ABCD，广义托勒密定理可以表达为AB^2 * CD^2 + BC^2 * DA^2 = AC^2 * BD^2的形式。
•这个表达式展示了四边形的对角线平方与对边乘积之间的关系，是广义托勒密定理的核心。
广义托勒密定理的应用场景1. 非凸四边形的问题求解•广义托勒密定理可以用于解决非凸四边形的问题。
非凸四边形是指至少有一个内角大于180度的四边形。
•通过应用广义托勒密定理，我们可以计算出非凸四边形的对角线长度，从而解决相关几何问题。
2. 三角形中点问题的求解•广义托勒密定理可以用于解决三角形中点问题。
三角形中点问题是指寻找连接三角形各边中点的线段之间的关系问题。
•通过应用广义托勒密定理，我们可以确定三角形中点线段的长度，进而研究它们之间的性质和关系。
3. 凸多边形的性质分析•广义托勒密定理可以用于分析凸多边形的性质。
凸多边形是指所有内角都小于180度的多边形。
•通过应用广义托勒密定理，我们可以推导出凸多边形中各边与对角线之间的关系，进而研究多边形的一些重要性质。
广义托勒密定理的求解方法1. 角度法•角度法是一种常用的求解广义托勒密定理的方法。
通过研究四边形的内角和外角，利用三角恒等关系和三角函数等知识，可以得到对角线与对边之间的关系。
2. 向量法•向量法也是一种常用的求解广义托勒密定理的方法。
通过引入向量的定义和运算，将四边形的顶点表示为向量的形式，利用向量的叉乘和数量积等性质，可以得到对角线与对边之间的关系。
3. 解析几何法•解析几何法是一种利用坐标系统求解广义托勒密定理的方法。
用托勒密定理
用托勒密定理托勒密定理是几何学中的一个重要定理，它被广泛应用于各种几何问题的解决中。
本文将从三个方面介绍托勒密定理的应用。
一、求正方形对角线长托勒密定理可以用来求正方形对角线长。
我们知道，正方形的对角线长等于边长的根号二倍，即d=a√2。
而托勒密定理告诉我们，对于任意四边形ABCD，有AB×CD+BC×AD=AC×BD。
因此，对于正方形ABCD，有AB×CD+BC×AD=2a×2a=4a^2，其中a为正方形的边长。
又因为正方形的对角线AC和BD相等，所以AC×BD=d^2。
将这两个式子联立，得到d=a√2。
二、求圆内接四边形对角线长托勒密定理还可以用来求圆内接四边形对角线长。
我们知道，圆内接四边形的对角线相互垂直且相等。
设四边形ABCD的对角线AC和BD 的长度分别为d，AB=a，BC=b，CD=c，DA=d，则托勒密定理告诉我们，有AB×CD+BC×AD=AC×BD。
又因为四边形ABCD内接于圆，所以AB+CD=BC+DA。
将这两个式子联立，得到d^2=a^2+c^2+2ac。
三、求三角形内切圆半径托勒密定理还可以用来求三角形内切圆半径。
我们知道，三角形内切圆的半径r等于三角形面积S除以半周长s的差值，即r=S/(s-a)。
而托勒密定理告诉我们，对于任意四边形ABCD，有AB×CD+BC×AD=AC×BD。
因此，对于三角形ABC，有AB×BC+AC×CB=2s×r，其中s=(a+b+c)/2为半周长。
将这个式子变形，得到r=S/(s-a)。
综上所述，托勒密定理是一个非常有用的几何定理，它可以用来解决各种几何问题，如求正方形对角线长、圆内接四边形对角线长和三角形内切圆半径等。
在学习几何学时，我们应该认真掌握托勒密定理的应用，以便更好地解决几何问题。
几何必备知识：广义托勒密定理,最值问题很实用的方法
几何必备知识：广义托勒密定理，最值问题很实用的方法几何必备知识:广义托勒密定理,最值问题很实用的方法广义托勒密定理是几何中一个非常重要的定理,它在解决最值问题中有广泛的应用。
该定理可以用于求解曲线的最值、极值和最小值,并且可以应用于许多其他领域。
让我们了解一下广义托勒密定理的基本知识。
该定理可以表述为:在一个n维空间中,对于任何两条不共线的n条向量,它们的内积等于该空间中任意一个n-1维向量的模长。
换句话说,如果我们有n条向量a1, a2, ..., an,并且它们不共线,那么它们的内积a1·a2·...·an=|a1|·|a2|·...·|an|。
这个定理可以用于解决许多最值问题,例如求解函数的最值、曲线的极值和最小值等。
在解决最值问题中,我们可以使用广义托勒密定理来求解曲线的最值。
例如,如果我们正在求解一个函数f(x)的最小值,我们可以使用以下方法: 首先,我们找到两条不共线的函数曲线y=f(x)和y=g(x),并计算它们内积。
然后,我们将这个内积除以它们分别乘以x的幂次,得到一个新的函数h(x)=f(x)·g(x)。
最后,我们使用广义托勒密定理,将h(x)的模长与x的幂次相乘,得到一个新的函数值g(x)=h(x)。
这种使用广义托勒密定理的方法可以用于解决许多最值问题,例如求解函数的最值、曲线的极值和最小值等。
除了最值问题,广义托勒密定理还可以用于求解其他问题。
例如,我们可以使用它来求解曲线的切线,即找到两条曲线的交线,该交线就是这两条曲线的切线。
此外,广义托勒密定理还可以应用于优化问题,例如求解最优投资组合或最优路径等。
总之,广义托勒密定理是几何中一个非常重要的定理,它在解决最值问题中有广泛的应用,并且可以应用于许多其他领域。
掌握这个定理的基本知识,可以帮助我们更好地理解和解决各种几何问题。
平面几何中几个重要定理在中考中的应用
平面几何中的几个重要定理在中考中的应用一、托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．即：若四边形ABCD 内接于圆，则有：AB CD AD BC AC BD ⋅+⋅=⋅ 一般几何教科书中的“托勒密定理”，实出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是从他的书中摘出。
喜帕恰斯依巴谷古希腊最伟大的天文学家他编制出1022颗恒星的位置一览表，首次以“星等”来区分星星.二、梅涅劳斯定理：如果一条直线与ABC ∆的三边BC 、CA 、AB 或其延长线交于D 、E 、F 点，那么1AF BD CEFB DC EA⋅⋅=.这条直线叫做ABC ∆的梅氏线，ABC ∆叫梅氏三角形. 梅涅劳斯定理逆定理：如果D 、E 、F 分别是ABC ∆的三边BC 、CA 、AB 或其延长线的三点，且满足1AF BD CEFB DC EA⋅⋅=，那么D 、E 、F 三点共线. 梅涅劳斯（Menelaus ）定理（简称梅氏定理）是由古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的三、塞瓦定理：若△ABC 的三个顶点与一点P 的连线AP 、BP 、CP 交对边或其延长线于D 、E 、F ，则1BD CE AFDC EA FB⋅⋅=.通常称点P 为△ABC 的塞瓦点. 塞瓦（Giovanni Ceva ，1648～1734）意大利水利工程师，数学家。
塞瓦定理载于塞瓦于1678年发表的《直线论》一书，也有书中说塞瓦定理是塞瓦重新发现。
塞瓦定理逆定理：如果点D 、E 、F 分别在△ABC 的BC 、CA 、AB 上或其延长线上，并且1BD CE AFDC EA FB⋅⋅=，那么AD 、BE 、CF 相交于一点（或互相平行）.四、斯特瓦尔特定理：若P 为△ABC 的BC 边上B 、C 之间一点，则有222PC BPAP BP PC AB AC BC BC+⋅=⋅+⋅.或222PC BPAP AB AC BP PC BC BC=⋅+⋅-⋅托勒密定理【例 1】 设P 为正方形ABCD 的外接圆的弧AD 上的一点，则PA PCPB+为定值.AB C FE DEFDC B APABCDE FABCDP EFP AB CABCDPFED CB AP A BCDE F【例 2】 等腰梯形一条对角线的平方，等于一腰的平方加上两底之积.已知：在梯形ABCD 中，AD=BC ，AB//CD.求证：22BD BC AB CD =+⋅.【例 3】已知1a b =.求证：221a b +=.【例 4】 如图，在△ABC 中，A ∠的平分线交外接圆于D ，连接BD.求证：AD ·BC=BD(AB+AC).梅涅劳斯定理恰当的选择截线是应用梅涅劳斯定理的关键，其逆定理常用于证明点共线，应用很广泛。