数学的魅力

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11月7日午夜，海面突然息浪静，巴顿军团按计划登
陆成功。事后人们说这是侥幸取胜，这位“血胆将军” 拿将士的生命作赌注。 其实，巴顿将军在出发前就和气象学家详细研究了 摩洛哥海域风浪变化的规律和相关参数，知道11月4日至 7日该海域虽然有大风，但根据该海域往常最大浪高波长 和舰艇的比例关系，恰恰达不到翻船的程序，不会对整 个舰队造成危险。相反，11月8日却是一个有利于登陆的 好天气。巴顿正是利用科学预测和可靠边缘参数，抓住 “可怕的机会”，突然出现在敌人面前。
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虽然存在有少数花朵不符合“斐波那契数 列”，但是大部分花朵都符花朵的花瓣数会符合“斐波那契数 列”，而为什么会有少数花朵不符合“斐波那 契数列”呢，造成这种不同选择的原因是什么？ 大自然太奇妙了，目前我们对它的研究还很不 充分，需要研究的课题还有很多呢。 还有人在研究花朵的几何形状，发现花瓣 对称地排列在花托边缘，整个花朵几乎完美无 缺地呈现出辐射对称形状，除了颜色的丰富多 样，五颜六色之外，那就花瓣的形状也是有很 大的差异。但是花瓣形状之美以及整个花朵呈 现出来的对称之美，实在是让人看了之后赞叹 不已。
克芬诺基沼泽地的生态系统的动态模型。将植物及丝柏
斑块的地图与随机分形的地图相比较。结果，无需广泛 的历史资料便能得出，在物种竞争中怎样的种类能够残
留下来）。
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事实上，生态系统用分形来处理已成为当前
的一种主要手段，它对于确定酸雨的扩散和研究 其他环境污染问题也有重要的作用。分形打开了 一个完全崭新和令人兴奋的几何学大门。这一新 的数学领域，触及到我们生活的方方面面，诸如
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三、山本五十六输在换弹的五分钟
在战争中，有时候忽略了一个小小的数据，也会招致整个战局
的失利。二战中日本联合舰队司令山本五十六也是一位“要么全赢， 要么输个精光”的“拼命将军”。 在中途岛海战中，当日本舰队发现按计划空袭失利，海面出现 美军航空母舰时，山本五十六不听同僚的合理建议，妄图一举歼灭 敌方，根本不考虑美军4舰载飞机可能先行攻击可能。他命令停在甲 板上的飞机卸下炸弹换上鱼雷起飞攻击美舰，只图靠鱼雷击沉航空
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不管是在中小学数学中，还是大学数学中，
数学学习表面上看来是跟一些枯燥无味的数字、
图形和算式打交道，很难让人感受到它的美丽所
在，领略到它的魅力内涵。其实数学是个最富有 魅力的学科，它所蕴含的美妙和奇趣，是其他任 何学科都不能相比的。正如美国数学家克莱因曾 对数学美作过这样的描述：“音乐能激发或抚慰 情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲 学使人获得智慧，科技可以改善物质生活，但数
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二、巴顿的战舰与浪高
军事边缘参数是军事信息的一个重要分支，它是以概率论、统计
学和模拟试验为基础，通过对地形、天侯、波浪、水文等自然情况和 作战双方兵力兵器的测试计算，在一般人都认为无法克服、甚至容易 处于劣势的险恶环境中，发现实际上可以通过计算运筹，利用各种自 然条件的基本战术参数的最高极限或最低极限，如通过计算山地的坡 度、河水的深度、雨雪风暴等来驾驭战争险象，提供战争胜利的一种 科学依据。
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1.1.趣味之美 数学的美，质朴，深沉，令人赏 心悦目；数学的妙，鬼斧神工，令人 拍案叫绝!数学的趣，醇浓如酒，令人 神魂颠倒。因为它美，才更有趣，因 为它趣，才更显得美。美和趣的和谐 结合，便出现了种种奇妙。下面试举几
个例子：
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①花瓣与数学 人们在欣赏大自然美丽的景色的时候，往往会被
花朵的美丽的颜色和形状吸引住，而数学家在观 察花的时候，不仅注意花的几何形状，还关注到 花的其他的数学特性。13世纪有一个欧洲数论学 家斐波那契他发现了花瓣的个数有一个规律。 以前你注意过这些美丽的花儿都有多少个花 瓣？如果没有，就请你现在看着图片数一数。 看过之后，你会惊奇地发现这些花瓣的个数， 有一个规律，1，2，3，5，8，13，21，34， 55……，它的特点是从第三项开始每一项都是数 列中前两项之和，由于这个数列最早是由数学家 斐波那契发现，因此就用他的名字来命名，称之 为“斐波那契数列”。自然界大多数花都符合这 个规律。

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分形的新应用不断被发现。由于分形能够用递推函数 加以描述（斐波那契序列就是一个递推的例子，它的每 个项都等于前两项的和），所以用计算机生成分形是理 想的。像电影《星际旅行Ⅱ：可汗的愤怒》中新行星的 诞生以及《吉地的返回》中行星在空间飘浮等壮观的场 面，就是由彼克沙公司在一台计算机上完成的（1986 年）。分形还能用于描述和预示不同生态系统的演化 （如乔治亚洲奥克芬诺沼泽地和生态变化。注：H· 哈斯 汀是纽约豪弗斯塔大学的一名数学家。他用分形作为奥
角形的直角边为斜边作另外的等腰直角三角形，再以这
些新等腰直角三角形的直角边为斜边作另一些等腰直角 三角形，如此等等。并将所有的斜边删除掉，如上图所 示。现在，你可以尝试创造你自己的分形。从一些其他 类型的几何对象开始，并设计一种类似的程序。
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③海湾战争是“数学战争” 海湾战争背后的数学战当代战争史上赫赫有名的海湾战争的 背后，就是一场不动声色的数学战。 1990年，伊拉克入侵科威特之后，为阻挡以美国为首 的多国部队的军事进攻，点燃油田成为伊拉克的手中利器。 当时许多科学家发出警告：如果海湾发生战争，伊拉克引爆 科威特数以千计的油井，人类将面临一场前所未有的生态大 灾难，气候会发生灾难性的变化，10亿人赖以生存的粮食生 长将受到严重威胁。 打还是不打？美国必须考虑伊拉克点燃所有油井的后果。 为此，五角大楼要求太平洋———赛拉研究公司研究此问题。 这家公司利用Navier—Stokes方程和有热损失能量方程作 为计算模型，在进行一系列模拟计算后得出结论：这些油井 的烟雾可能招致一场重大的污染事件，可能波及波斯湾、伊 朗南部、巴基斯坦和印度北部，但不会失去控制，不会造成 全球性的气候变化，不会对地球的生态和经济系统造成不可 挽回的损失。这个计算结论最终促成美国下定决心攻打伊拉 克。
1.数学的魅力 数学学习表面上看来是跟一些枯燥无味的数 字、图形和算式打交道，很难让人感受到它的美 丽所在，领略到它的魅力内涵。其实数学是个最 富有魅力的学科，数学美的魅力是诱人的，数学 美的力量是巨大的，数学美的思想是神奇的。我 们教师可以让数学课堂变成师生寻找美的源泉， 妙用现代信息技术手段，让学生采撷数学的美， 享受数学的美，创造数学的美，领悟数学的魅力， 从而培养学生的美感和良好情操，促进学生创新 素质的发展。 新的数学课程标准指出：在数学教学过程中， 教师要充分利用教学资源，对学生实施美的教育， 培养学生高尚的审美情趣，培养学生善于发现美、 鉴赏美、创造美的能力，使学生在学习过程中充 分享受美、从而形成美的心灵、美的灵魂。
自然现象的描述，电影摄影术、天文学、经济学、
气象学、生态学等等。分形能够产生具有出人意 料的古怪物体。它的应用是如此广泛，它的特性 是如此迷人。这个我们拥有的新几何，甚至可以 描述变化的宇宙！龙的曲线是由物理学家J· E· 亥
威最先发现的，它可以通过若干步骤形成。
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这里所用的方法与生成雪花曲线一样。在雪花曲线中， 我们从一个等边三角形开始，然后在它三分边的中段加 上一个较小的等边三角形，并持续同样的过程。而龙的 曲线是由一个等腰直角三角形开始的，以该等腰直角三
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人们可以看到在花的世界有很多的数学特征可以研究。例如，
创立坐标法的著名数学家笛卡尔，他很早就在研究的一簇花瓣和 叶形曲线特征，列出了x3＋y3－3axy＝0 的方程式，这就是现代数学中有名的“笛卡尔叶线”（或者 叫“叶形线”），数学家还为它取了一个诗意的名字——茉莉花 瓣曲线。 为什么花瓣的数目经常是特定的这几种？如果是遗传决定了 花朵的花瓣数，那么为什么它们会与“斐波那契数列”如此的巧 合呢? 科学家们认为这是植物在大自然长期生存中，不断地适应和
1942年10月，巴顿将军率领4万多美军，乘100艘战舰，直奔距
离美国4000公里的摩洛哥，在11月8日凌时晨登陆。11月4日，海面 上突然刮起西北大风，惊涛骇浪使舰艇倾斜达42°。直到11月6日天 气仍无好转。华盛顿总部担心舰队会因大风而全军覆没，电令巴顿的 我将按原计划行动。
舰队改在地中海沿海的任何其他港口登陆。巴顿回电：不管天气如何，
母舰获得最大的打击效果，不考虑飞机在换装鱼雷的过程中可能遭
到美机攻击的后果，因为飞机换弹的最快时间是五分钟。 结果，在把炸弹换装鱼雷的五分钟内，日舰和“躺在甲板上的 飞机”变成了活靶，受到迅速起飞的美军舰载飞机的“全面屠杀”。 日本舰队损失惨重。从此，日本在太平洋海域由战略进攻转入了战 略防御。战后，有些军事评论家把日本联合舰队在中途岛海战失败 原因之一归咎于那“错误的五分钟”。可见，忽略了这个看似很小
学却能提供以上一切。”
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这就需要我们教师在课堂教学中，采撷数学
的美育因素，妙用现代信息技术，运用色
彩艳丽的插图、创设童话般的学习情境、
演示动感十足的数学课件等等这些充满
“美”的新鲜事物，紧紧地抓住学生的心
灵，给学生展现数学中的美，让学生感受 数学中的美，欣赏数学中的美，从而创造 出数学的美，领悟数学的魅力。
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从图片中你可以看到有一个花瓣的花，你还能想 出其他的只有一个花瓣的花吗？有两个花瓣的海棠， 有三个花瓣的百合花、铁兰、鸢尾花。最常见的花 瓣数就是五个，像蝴蝶兰、梅花、洋紫荆、黄蝉、 桃、李、樱花、杏、苹果、梨、毛良等都是有五个 花瓣，还有八个花瓣的飞燕草；有十三花瓣的瓜叶 菊和万寿菊；紫莞有二十一瓣。向日葵的花瓣有的 是21枚，有的是34枚。而大多数的雏菊都是三十四 瓣、五十五瓣或八十九瓣。 以后当你学植物课和在观赏花的时候，除了看 它的美，可别忘了数一数它有几个花瓣呀。来检验 一下这种花有几个花瓣，它是否符合“斐波那契数 列”呢。当然大自然中也会有一些植物不符合“斐 波那契数列”，因为人们也发现了符合另外数列的 花朵。你也可以找到这样的例子。
进化的结果。
而我们想知道的是，为什么大自然的花朵会有这样的数学特 性，在呈现出来的数学特性背后的科学的机理又是什么？这些都
是留给人们要去深入研究和解决的问题。
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②数学、分形与龙 分形已被归为自然的几何。虽然自然界里有殴几里得物 体的丰富例子（诸如六角形、圆、立方体、四面体、正方形、 三角形、……）。但许多随意性的自然现象似乎难于由欧几 里得的方法产生。对这类情况，分形给出了最好描述。我们 知道，欧几里得几何被大量用于描述像晶体、蜂巢之类的物 体，但人们很难在欧氏几何中找到表述诸如炒玉米花、烘烤 物品、树皮、云朵、姜根和海岸线等对象的方法。欧几里得 几何发祥于古代的希腊（约于公元前300年，欧几里得写下 了《几何原本》），而分形出现的时间则要迟至19世纪。事 实上，分形这个术语在1975年B· 曼德勃罗之前还没有被造 出来。分形有两种类型，一是几何分形，二是随机分形。分 形的性质是多样的。例如，在平面上分形的维数是在1与2之 间的分数，而在空间里分形维数在2与3之间。在分形的世界 里，我们不能把它说成是2维或3维的，而应说它是1.75维或 2.3维等等。在分形几何里海岸线的长度被认为是无限的， 因为每个小小的海湾和沙滩都被测量，而这样的海湾和沙滩 的数量在不断地变化，就像在龙的曲线构造里那样。分形有 许多形式和用途。一组分形具有以下性质：即它的精细部分 不会损失，放大后具有与原先相同的结构。下图所示的例子 是塞沙洛曲线。

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一、方程在海湾战争中的应用
1991年海湾战争时，有一个问题放在美军计划人员面前， 如果伊拉克把科威特的油井全部烧掉，那么冲天的黑烟会造成严 重的后果，这还不只是污染，满天烟尘，阳光不能照到地面，就 会引起气温下降，如果失去控制，造成全球性的气候变化，可能 造成不可挽回的生态与经济后果。五角大楼因此委托一家公司研 究这个问题，这个公司利用流体力学的基本方程以及热量传递的
方程建立数学模型，经过计算机仿真，得出结论，认为点燃所有
的油井后果是严重的，但只会波及到海湾地区以至伊朗南部、印 度和巴基斯坦北部，不至于产生全球性的后果。这对美国军方计
划海湾战争起了相当的作用，所以有人说：“第一次世界大战是
化学战争(炸药)，第二次世界大战是物理学战争(为原子弹)，而 海湾战争是数学战争。”