2013年辽宁锦州中考数学试卷及答案(word解析版)

锦州市2013年考试
数学试卷
考试时间120分钟试卷满分150分）
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，请将正确的选项选出．每小题3
分，共24分）
1．（2013辽宁锦州，1，3分）－3的倒数是
A．
1
3
-B．3 C．－3 D．
1
3
【答案】A．
2．（2013辽宁锦州，2，3分）下列运算正确的是
A．2
()
a b
+＝a2＋b2B．3x＋3x＝6x
C．32
()
a＝5a D．23
(2)(3)
x x
-＝5
6x
-
【答案】D．
3．（2013辽宁锦州，3，3分）下列几何体中，主视图与左视图不同的是
【答案】C．
4．（2013辽宁锦州，4，3分）为响应“节约用水”的号召，小刚随机调查了班级35名同学中5名同学家庭一年的平均用水量（单位：吨），记录如下：8，9，8，7，10．这组数据的平均数和中位数分别是
A．8，8 B．8.4，8 C．8.4，8.4 D．8，8.4
【答案】B．
5．（2013辽宁锦州，5，3分）不等式组
312
1
1
4
x x
x
-<
⎧
⎪
⎨
⎪⎩≤
的解集在数轴上表示正确的是
【答案】C．
6．（2013辽宁锦州，6，3分）如图，直线y＝mx与双曲线y=k
x
交于A、B两点，过点
A 圆柱球
A B C D
A
B
C
D
作A M ⊥x 轴，垂足为点M ，连结B M ，若S △AB M ＝2，则k 的值为 A ．－2 B ．2 C ．4
D ．－4
【答案】A ．
7． （2013辽宁锦州，7，3分）有如下四个命题： （1）三角形有且只有一个内切圆； （2）四边形的内角和与外角和相等；
（3）顺次连结四边形各边中点所得的四边形一定是菱形； （4）一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形． 其中真命题的个数有 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】C ．
8． （2013辽宁锦州，8，3分）为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学
们自愿捐款．已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次多20人，而且两次人均捐款额恰好相等．如果设第一次捐款人数为x 人，那么x 满足的方程是
A ．4800x ＝5000
20
x - B ．
4800x ＝5000
20
x + C ．
480020x -＝5000x D ．480020x +＝5000
x 【答案】B ．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
9． （2013辽宁锦州，9，3分）分解因式32x xy -的结果是＿＿＿＿＿． 【答案】()()x x y x y +-．
10．（2013辽宁锦州，10，3分）在函数y
【答案】x ≥2． 11．（2013辽宁锦州，11，3分）据统计，2013锦州世界园林博览会6月1日共接待游客约
154000人次．154000可用科学记数法表示为＿＿＿＿． 【答案】1.54×510． 12．（2013辽宁锦州，12，3分）为从甲、乙、丙三名射击运动员中选一人参加全运会，教
练把他们的10次比赛成绩作了统计：平均成绩均为9.3环；方差分别为2s 甲＝1.22，2
s 乙＝
1.68，2s 丙＝0.44，则应该选＿＿＿＿参加全运会．
【答案】丙．
第6题
13．（2013辽宁锦州，13，3
分）计算：11
1(3.14)()2π--︒--＝＿＿＿＿＿．
【答案】
14．（2013辽宁锦州，14，3分）在四张背面完全相同的卡片正面分别画有正三角形、正六
边形、平行四边形和圆，将这四张卡片背面朝上放在桌面上，现从中随机抽出一张，抽出的图形是中心对称图形的概率是＿＿＿＿．
【答案】
34
． 15．（2013辽宁锦州，15，3分）在△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线DE 与AC 所在的直线相交于点E ，垂足为D ，连结BE ．已知AE ＝5，tan ∠AED ＝3
4
，则BE ＋CE ＝＿＿＿＿．
【答案】6或16．
16．（2013辽宁锦州，16，3分）二次函数y ＝22
3
x 的图象如图，点A 0位于坐标原点，点A 1、
A 2，A 3，…，A n 在y 轴的正半轴上，点
B 1、B 2、B 3，…，B n 在二次函数位于第一象限的图象上．四边形A 0B 1A 1
C 1，四边形A 1B 2A 2C 2，四边形A 2B 3A 3C 3，…，四边形A n -1B n A n C n 都是菱形，∠A 0B 1A 1＝∠A 1B 2A 2＝∠A 2B 3A 3＝…＝A n -1B n A n ＝60°，菱形A n -1B n A n C n 的周长为＿＿＿＿＿．
【答案】4n ．
三、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）
17．（2013辽宁锦州，17，8分）先将211
(1)2x x x x
--÷+化简，然后请自选一个你喜欢的x 值
代入求值． 【答案】原式＝
2112x x x x x
--÷+＝1(2)
1x x x x x -+-g
＝2x +．取x ＝10，则原式＝12． 18．（2013辽宁锦州，18，8分）如图，方格纸中的每个小正方形边长都是1个单位长度，
Rt △ABC 的顶点均在格点上．建立平面直角坐标系后，点A 的坐标为（1，1），点B 的坐标为（4，1）．
（1）先将Rt △ABC 向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度得到Rt △A 1B 1C 1，
试在图中画出Rt △A 1B 1C 1，并写出点A 1的坐标；
第16题
（2）再将Rt △A 1B 1C 1绕点A 1顺时针旋转90°后得到Rt △A 1B 2C 2，试在图中画出Rt △
A 1
B 2
C 2，并计算Rt △A 1B 1C 1在上述旋转过程点C 1所经过的路径长．
【答案】（1）Rt △A 1B 1C 1如图所示，A 1（－4，0）． （2）Rt △A 1B 2C 2如图所示．
在Rt △A 1B 1C 1中，A1C1
∴点C 1
所经过的路径长为
90
180
πg
．
四、解答题（本大题共2个小题，每小题10分，共20分）
19．（2013辽宁锦州，19，10分）以下是根据全国人力资源和社会保障部公布的相关数据绘
制的统计图的一部分，请你根据图中信息解答下列问题：
（1）求2013年全国普通高校毕业生数年增长率约是多少？（精确到0.1%） （2）求2011年全国普通高校毕业生数约是多少万人？（精确到万位） （3）补全折线统计图和条形统计图．
2009年～2013年全国普通高校 毕业生数的年增长率长率统计图 2009年～2013年全国普通高校毕业生数统计图
年份
【答案】（1）
699680
100%680
-⨯≈2.8%． 答：2013年全国普通高校毕业生数年增长率约是2.8%． （2）631×(1+4.6%)≈660（万）．
答：2011年全国普通高校毕业生数约是660万人． （3）如图所示．
20．（2013辽宁锦州，20，10分）如图，点O 是菱形ABCD 对角线的交点，DE ∥AC ，CE
∥BD ，连结OE ． 求证：OE ＝B C ．
【答案】∵DE ∥AC ，CE ∥BD ， ∴四边形OCED 是平行四边形． ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ． ∴∠DOC ＝90°．
∴四边形OCED 是矩形． ∴OE ＝CD ．
∵四边形ABCD 是菱形， ∴CD ＝BC ． ∴OE ＝B C ．
五、解答题（本大题共2个小题，每小题10分，分20分） 21．（2013辽宁锦州，21，10分）一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球，分别标有
数字1，2，3，4，另有一个可以自由旋转的圆盘，被分成面积相等的3个扇形区域，分别标有数字1，2，3（如图所示）．小颖和小亮想通过游戏来决定谁代表学校参加歌咏比赛，游戏规则为：一人从口袋中摸出一个小球，另一人转动圆盘，如果所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于4，那么小颖去；否则小亮去．
2009年～2013年全国普通高校
毕业生数的年增长率长率统计图 2009年～2013年全国普通高校毕业生数统计图
年份
A D
E
O
（1）用树状图或列表法求出小颖参加比赛的概率；
（2）你认为游戏公平吗？请说明理由；若不公平，请修改该游戏规则，使游戏公平．
种等可能结果，其中所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于4的情形有3种． ∴P （小颖去）＝
312＝14
． （2）∵P （小颖去）
14＜1
2
， ∴游戏不公平．游戏规则修改为：一人从口袋中摸出一个小球，另一人转动圆盘，如果所摸球上的数字与圆盘上转出数字之和小于5，那么小颖去；否则小亮去．
22．（2013辽宁锦州，22，10分）如图，某公园入口处有一斜坡AB ，坡角为12°，AB 长为
3m ．施工队准备将斜坡建成三级台阶，台阶高度均为h cm ，深度均为30cm ，设台阶的起点为C ．
（1）求AC 的长度；（2）每级台阶的高度h ． （参考数据：sin12°≈0.2079，cos12°≈0.9781，tan12°≈0.2126，结果都精确到0.1cm ）．
【答案】（1）如图所示构造Rt △ABD ． ∴AD ＝AB ·cos ∠A ＝300×cos12°≈300×0.9781＝293.43． ∴AC ＝AB -CD ＝293.43-2×30≈233.4（cm ）．
答：AC 的长度约为236.1cm ． （2）在Rt △ABD 中，BD ＝AB ·sin ∠A ＝300×sin12°≈300×0.2079＝6.237．
∴h ＝13BD ＝13
×62.37≈20.1（cm ）．
答：每级台阶的高度h 约为20.1cm ．
3
2
1
六、解答题（本大题共2个小题，每小题10分，共20分） 23．（2013辽宁锦州，23，10分）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，OD ⊥BC 于
点D ，过点C 作⊙O 的切线，交OD 的延长线于点E ，连结BE ． （1）求证：BE 与⊙O 相切； （2）设OE 交⊙O 于点F ，若DF ＝1，BC ＝BC 、线段CE 和BE 所围
成的图形面积S ．
【答案】（1）连结OC ． ∵OC ＝OB ，OD ⊥BC ， ∴∠COD ＝∠BOD ．
又∵OC ＝OB ，OE ＝OE ， ∴△OCE ≌△OBE ． ∴∠OCE ＝∠OBE ． ∵CE 切⊙O 于点C ， ∴OC ⊥CE ． ∴∠OCE ＝90°． ∴∠OBE ＝90°． ∴OB ⊥BE ．
∴BE 与⊙O 相切．
（2）设⊙O 的半径长为r ，则OD ＝r 1，OB ＝r ． ∵OC ＝OB ，OD ⊥BC ，
A
B
C
D
E
O
F A
B
C
D
E
O
F
∴BD ＝
12BC ＝1
2
×
在Rt △OBD
中，由勾股定理得22(1)r -+＝2r ，解得r ＝2． ∴OD ＝1，OB ＝2． ∴sin ∠BOD ＝
BD
OB
．
∴∠BOD ＝60°．
在Rt △OBE 中，BE ＝OB ·tan ∠BOD ＝2×tan60°
＝
∴S △OBE ＝
12×OB ×BE ＝1
2
×
2×
＝ ∵△OCE ≌△OBE ， ∴S △OCE ＝S △OBE
＝ ∴S 四边形OBEC
＝
∵∠COD ＝∠BOD ，∠BOD ＝60°， ∴∠BOC ＝120°． ∴S 扇形OBC ＝
21202360πg g ＝4
3
π． ∴S ＝S 四边形OBEC －S 扇形OBC
＝4
3
π
．
24．（2013辽宁锦州，24，10分）甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发相向而行，并以各
自的速度匀速行驶，甲车途经C 地时休息一小时，然后按原速度继续前进到达B 地；乙车从B 地直接到达A 地．右图是甲、乙两车和B 地的距离y （千米）与甲车出发时间x （小时）的函数图象．
（1）直接写出a ，m ，n 的值；
（2）求出甲车与B 地的距离y （千米）与甲车出发时间x （小时）的函数关系式（写出
自变量的取值范围）；
（3）当两车相距120千米时，乙车行驶了多长时间？
【答案】（1）a ＝90，m ＝1.5，n ＝3.5． （2）如图标注．
①设AB 的函数关系式为y 甲＝kx b +． 将（0，300）、（1.5，120）代入，得 300120 1.5b
k b =⎧⎨
=+⎩
． 解得k ＝-120，b ＝300．
∴y 甲＝120300x -+（0≤x ≤1.5）．
②BC 的函数关系式为y 甲＝120（1.5＜x ＜2.5）．
③同理可求CD 的函数关系式为y 甲＝120420x -+（2.5≤x ≤3.5）． 综合知，y 甲＝120300(0 1.5)
120(1.5 2.5)120420(2.5 3.5)x x x x -+⎧⎪
<<⎨⎪-+⎩
≤≤≤≤．
（3）设OE 的函数关系式为y 乙＝1k x ． 将（2，120）代入，得 120＝12k ． ∴1k ＝60．
∴y 乙＝60x （0≤x ≤3.5）．
当0≤x ≤1.5时，根据题意并结合函数图象得120300x -+-60x ＝120，解得x ＝1． 当2.5≤x ≤3.5，根据题意并结合函数图象得60x -（120420x -+）＝120，解得x ＝3． 答：当两车相距120千米时，乙车行驶了1小时或3小时．
七、解答题（本题12分） 25．（2013辽宁锦州，25，12分）如图1，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD
的顶点A 重合，将此三角板绕点A 旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC 、DC 于点E 、F ，连结EF ．
（1）猜想BE 、EF 、DF 三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想；
（2）在图1中，过点A 作A M ⊥EF 于点M ，请直接写出A M 和AB 的数量关系；
（3）如图2，将Rt △ABC 沿斜边AC 翻折得到Rt △ADC ，E 、F 分别是BC 、CD 边上的
点，∠EAF ＝
1
2
∠BAD ，连结EF ，过点A 作A M ⊥EF 于点M ．试猜想A M 与AB 之间的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】（1）EF ＝BE ＋DF ．
证明：如图①，在CB 延长线截取BG ＝DF ，连结AG ．
∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠D ＝∠ABE ＝∠AB G ＝90°，AD ＝AB ． 又∵BG ＝DF ，
∴△ADF ≌△ABG ．
∴AF ＝AF ，∠DAF ＝∠B A G ． ∵∠EAF ＝45°，∠BAD ＝90°， ∴∠ADF ＋∠BAE ＝45°． ∴∠BAG ＋∠BAE ＝45°，即∠GAE ＝45°． ∴∠GAE ＝∠EAF ．
又∵AG ＝AF ，AE ＝AE ， ∴△GAE ≌△FAE ． ∴GE ＝EF ．
∵GE ＝BG ＋BE ＝DF ＋BE ， ∴EF ＝DF ＋BE ． （2）AM ＝AB ． （3）AM ＝AB ．
证明：如图②，在CB 延长线截取BG ＝DF ，连结AG ．
A
B
C
D E
F
图1
A
B
C
D
E
F
M
图2
A
B C
D E
F
图①
G
同（1）可证△GAE ≌△FAE ．
∴∠GEA ＝∠FEA ．
又∵AB ⊥GE ，AM ⊥EF ，
AM ＝AB ．
八、解答题（本题14分）
26．（2013辽宁锦州，26，14分）如图，抛物线y ＝218
x mx n -++经过△ABC 的三个顶点，点A 坐标为（0，3），点B 坐标为（2，3）点C 在x 轴正半轴上．
（1）求该抛物线的函数表达式及点C 的坐标；
（2）点E 为线段OC 上一动点，以OE 为边在第一象限内作正方形OEFG ，当正方形的
顶点F 恰好落在线段AC 上时，求线段OE 的长；
（3）将（2）中的正方形OEFG 沿OC 向右平移，记平移中的正方形OEFG 为正方形
DEFG ，当点E 和点C 重合时停止运动．设平移的距离为t ，正方形DEFG 的边EF 与AC 交于点M ，DG 所在的直线与AC 交于点N ，连结D M ，是否存在这样的t ，使△D M N 是等腰三角形？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由；
（4）在上述平移过程中，当正方形DEFG 与△ABC 的重叠部分为五边形时，请直接写
出重叠部分的面积S 与平移距离t 的函数关系式及自变量t 的取值范围；并求当t 为何值时，S 有最大值，最大值是多少？
【答案】（1）将A （0，3），B （2，3）代入y ＝218
x mx n -++，得 2313228n m n =⎧⎪⎨=-⨯++⎪⎩
． 解得m ＝14
，n ＝3． A
B C D
E
F
M
图②
G 备用图
∴该抛物线的函数表达式为y ＝211384
x x -++． 当y ＝0时，211384
x x -++＝0，解得1x ＝-4，2x ＝6． ∵点C 在x 轴的正半轴上，
∴C （6，0）．
（2）∵C （6，0），A （0，3），
∴OC ＝6，OA ＝3．
设正方形ODFG 的边长为a ，则CE ＝6－a ，EF ＝a ． 当正方形的顶点F 恰好落在线段AC 上时，如图①．
∵EF ∥OA ，
∴△CEF ∽△COA ． ∴
EF OA ＝CE OC ，即3a ＝66
a -． 解得a ＝2．
∴OE ＝2．
（3）存在，如图②．
∵EF ∥OA ，
∴△MEC ∽△AOC ． ∴ME AO ＝EC OC ，即3ME ＝626
t --． ∴ME ＝122
t -． 在Rt △DEM 中，由勾股定理得DM 2＝DE 2＋ME 2，即DM 2＝2212(2)2
t +-． ∵EF ∥DG ，
∴△NDC ∽△AOC ． ∴ND AO ＝DC OC ，即3ND ＝66
t -．
图②
图①
∴ND ＝132
t -． 过点M 作MH ⊥DG 于点H ，则MH ＝2，DH ＝ME ＝122
t -． ∴NH ＝ND －DH ＝132t -－（122
t -）＝1． 在Rt △ABC 中，由勾股定理得MN 2＝NH 2＋MH 2＝2212+＝5． ①当DM ＝DN 时，则DM 2＝DN 2． ∴2212(2)2t +-＝21(3)2
t -． 解得t ＝1．
②当DM ＝MN 时，则DM 2＝MN 2． ∴2212(2)2
t +-＝5． 解得t ＝2或6，但t ＝6不符合题意，舍去．
③当DN ＝MN 时，则132
t -．
解得t ＝6-
综合知，当t ＝1或2或6-DMN 是等腰三角形．
（4）S ＝235283t t -+-（2＜t ＜103
）． ∵S ＝235283t t -+-＝238()183
t --+， 而38-＜0且2＜83＜103， ∴当t ＝83时，S 有最大值，最大值为1．。