满秩分解

例1
化矩阵A为Hermite 标准形
1 0 2i i 0 4 2i 2 A 0 0 0 3 6 3 3i , i 1 0 2 1 1 4 4i 1
i 0 1 2 i 0 1 1 2 2 i r1 ( 2 ) 0 0 0 3 6 3 3i 0 2 1 1 4 4i 1
i 0 1 2 i 0 1 1 2 2 r3 2r1 0 0 0 3 6 3 3i 0 0 0 1 2 1 i
i 0 1 2 i 0 1 1 2 2 r2 3r3 2 1 i H 0 0 0 1 r2 r3 0 0 0 0 0 0
y1 x1 0,0,2T ,
y 2 x2
y 3 x3
( x2 , y1 ) ( y1 , y1 )
T y1 x 2 1 y 3 , 4 , 0 2 1
( x3 , y2 ) ( y2 , y2 )
( x3 , y1 ) ( y1 , y1 )
y1
1 8 6 y 2 x3 y1 y 2 , ,0 5 5 5
矩阵QR分解是一种特殊的三角分解，在解决 矩阵特征值的计算、最小二乘法等问题中起到重 要作用。
主要内容： 1· 矩阵的QR分解-- Schmidt正交化方法 2· 矩阵的QR分解-- Householder变换、 Givens变换（略）
nn 如果存在n阶酉矩阵Q和n阶上三角矩阵 A C . 定义:设
满秩分解定理：设 A C rmn r 0, 且A的Hermite 标准形H为
k1 0 0 H 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 * 0 0 0 * 0 0 0 k2 0 1 0 0 0 * * * 0 * * 0 0 0 0 1 0 0 kr * * * 0 * * * 第r行 0 0 0
由于x 1,x 2, …,x
nHale Waihona Puke n线性无关，将它们用Schmidt正交
n
化方法得标准正交向量e 1,e 2, …,e
x1 b11e1 x b e b e 其中 bii 0 , i 1,2,, n 2 12 1 22 2 xn b1n e1 b2 n e2 bnn en
kr * * * 0 * * * 第r行 0 0 0
0
0 0
0 0
定理：任何一个非零矩阵都可通过初等行变换 化为Hermite 标准形H，且H的前r行线性无关。 mm 采用矩阵的说法就是，存在 S Cm , 使得 SA H .
4 1 1 2 A 1 2 1 2 1 2 2 1
的满秩分解
首先利用行初等变换求A的Hermite 标准形H：
4 1 1 2 A 1 2 1 2 r r2 1 2 2 1 1

2 1 2 1 4 1 1 2 1 2 2 1
r2 2 r1 r3 r1

1 1 2 1 2 r2 1 2 1 2 1 2 0 1 3 0 0 3 3 0 0 1 1 0 0 1 1 H 0 0 0 0 0 0 3 3 r3 r2 0 0 0 0
（1）式称为矩阵A的满秩分解. 说明：当A为满秩矩阵（列满秩或行满秩），A可分 解为一个因子为单位矩阵，另一个因子为A本身，称 此满秩分解为平凡分解。 为了说明矩阵满秩分解定理以及满秩分解方法， 先介绍Hermite 标准形（或行最简形）。
定义矩阵 A C rmn的Hermite 标准形H为 1)前r行中，每行至少有一个非0元，且第一个非 零元为1，而后m-r行全为0； 2）若H中第i行的第一个非零元1位于第ki （i=1,2,…,r)列,则有k 1<k 2< …<k r; 3) k 1,k 2, …,k r列为单位矩阵I m的前r列.
R，使得 A QR 则称之为A的QR分解或酉三角分解 nn A R 当 时，则称为A的正交三角分解 QR分解定理
其中Q为正交（酉）矩阵，R是具有正对角元的上三角矩阵。
•任意一个满秩实(复）矩阵A，都可唯一地分解A = QR ， 证明
设A是一个实满秩矩阵, A的n个列向量为 x 1,x 2, …,x
1 x 2 y1 y 2 e1 5e2 2
1 x3 y1 y 2 y3 2e1 e2 2e3 5
从而
A QR
0 0 1
3 5 4 5 0
4 5 3 5 0
2 1 2 0 5 1 0 0 2
从而有
x1
x2 xn e1 e2
b11 b12 b1n b22 b2 n en b nn
令Q e1 e2
则QT Q I
唯一性略
b11 b12 b1n b22 b2 n en , R b nn
即有：
k1 0 0 H 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 * 0 0 0 * 0 0 0
k2 0 1 0 0 0 * * * 0 * * 0 0 0 0 1 0 0
0
0 0
0 0
则取A的第 k1 , k 2 , , k r 列构成矩阵B，取H的前r行构成矩阵
C，则A=BC即为矩阵A的满秩分解
满秩分解的步骤 1）求矩阵A的Hermite 标准形H； 2）取矩阵C为H的前r个非0行； 3）取矩阵B为A的对应于H的r个单位向量的列； 则A=BC
例：求矩阵
第四节 满秩分解
本节讨论将一个非零矩阵（长方形）分解成一 个列满秩矩阵与一个行满秩矩阵的乘积问题. 主要内容：
1· 矩阵的Hermite标准型 2· 利用Hermite标准型进行矩阵的满秩分解
满秩分解定理
设A Crmn r 0 , 则存在B Crmr , C Crrn，使 A BC (1)
A BC, B Crmr , D Crrn
D Crrr , A ( BD)( D 1C ) B1C1
注2、 矩阵A的满秩分解虽然不唯一的，但对不同的 H H 1 H 1 H 分解：A=BC，乘积 C (CC ) ( B B) B 保持不变。
第五节
QR分解
QR分解也称为正交三角分解
说明：该定理的证明过程给出了利用Schmidt正交化方法求可 逆矩阵QR分解的方法。
0 3 1 例1：利用Schmidt正交化方法求矩阵的QR分解 A 0 4 2 2 1 2
设 x1 0,0,2T , x 2 3,4,1T , x3 1,2,2T , 则 x1 , x 2 , x3 线性无关，首先将它们正交化得：
1 2 0 1 0 0 1 1 H 0 0 0 0
可见 k1 1, k 2 3
故A的满秩分解为
1 1 2 A 1 1 0 1 2
2 0 1 0 1 1
注1、 设
则
矩阵A的满秩分解是不唯一的
练习: P93
10;12;13
1 3 4 e2 y 2 , ,0 , 5 5 5
T
T
1 再单位化：e1 y1 0,0,1T , 2
e3
1 4 3 y 3 , ,0 , 2 5 5
T
于是： x1 y1 2e1
1 y1 0,0,1T , 2 T 1 3 4 e2 y 2 , ,0 , 5 5 5 e1